[{"data":1,"prerenderedAt":1367},["ShallowReactive",2],{"public-task-103":3,"public-task-topics-uk":30},{"id":4,"topic_id":5,"code":6,"title":7,"locale":8,"uk_question_id":9,"slug":10,"seo_title":11,"seo_description":12,"seo_text":13,"description":14,"approx_time_min":15,"content":16,"updated_at":29},103,139,"bolt-tightening-torque-wrench","Момент затягування болта","uk",null,"moment-zatiahuvannia-bolta-haikovym-kliuchem","Момент затягування болта та довжина ключа — задача","Знайдіть момент затягування болта за силою і довжиною ключа, а потім визначте потрібну довжину ключа для заданого моменту.","Практична задача зі статики на момент сили під час затягування болта.","",5,[17,20,24,26],{"type":18,"html":19},"html","\u003Cp>Болт затягують гайковим ключем. До кінця ключа \u003Cstrong>перпендикулярно\u003C\u002Fstrong> до його рукоятки прикладають силу \u003Cstrong>F = 190 Н\u003C\u002Fstrong>. Відстань від осі болта до точки прикладання сили становить \u003Cstrong>l = 190 мм\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Cp>\u003Cstrong>1.\u003C\u002Fstrong> Визначте момент затягування болта у Н·м.\u003C\u002Fp>",{"type":21,"html":22,"name":23},"number","1. Момент затягування M, Н·м","moment",{"type":18,"html":25},"\u003Cp>\u003Cstrong>2.\u003C\u002Fstrong> Інший болт потрібно затягнути моментом \u003Cstrong>112 Н·м\u003C\u002Fstrong>. Максимальна сила, яку можна прикласти перпендикулярно до ключа, становить \u003Cstrong>320 Н\u003C\u002Fstrong>. Визначте мінімальну довжину ключа в мм.\u003C\u002Fp>",{"type":21,"html":27,"name":28},"2. Мінімальна довжина ключа l, мм","length","2026-08-23 18:38:13",[31,43,649,1333,1359],{"id":32,"parent_id":9,"code":9,"slug":33,"name":34,"seo_title":35,"seo_description":36,"seo_text":37,"content":9,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":38,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":38,"url_slug":33,"children":42},34,"test-shkilnykh-znan","Тест шкільних знань","Тест шкільних знань з фізики та математики","Перевірте свій рівень підготовки з базової фізики та геометрії перед вивченням механіки.","Успішне опанування опору матеріалів та механіки вимагає міцного фундаменту зі шкільних курсів фізики та геометрії. Цей онлайн-тест дозволяє швидко перевірити знання векторних величин, законів Ньютона, тригонометрії, обчислення площ та центрів ваги простих фігур перед початком вивчення інженерних дисциплін.",0,1,"published","public",[],{"id":44,"parent_id":9,"code":9,"slug":45,"name":46,"seo_title":47,"seo_description":48,"seo_text":49,"content":50,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":45,"children":51},40,"teoretychna-mekhanika","Теоретична механіка","Теоретична механіка — Статика, Кінематика, Динаміка","Базовий курс теоретичної механіки для студентів інженерних спеціальностей.","Теоретична механіка є базовою фізико-математичною дисципліною про закони механічного руху та рівноваги матеріальних тіл. Курс розділено на три класичні частини: Статику (рівновага сил), Кінематику (геометрія руху без урахування мас) та Динаміку (рух під дією сил). Подано основні аксіоми та теореми.","\u003Cp>\u003Cstrong>Теоретична механіка\u003C\u002Fstrong> — фундаментальна інженерна дисципліна, що вивчає загальні закони механічного руху та рівноваги матеріальних тіл. Вона формує математичну основу для подальшого вивчення опору матеріалів, теорії механізмів і машин, динаміки машин, будівельної механіки та інших інженерних дисциплін.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що вивчає теоретична механіка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У межах курсу реальні тіла та механічні системи замінюють розрахунковими моделями: матеріальною точкою, абсолютно твердим тілом або системою матеріальних точок. Це дозволяє виділити основні закономірності руху й рівноваги та описати їх математично.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Курс складається з трьох основних розділів: \u003Cstrong>статики, кінематики та динаміки\u003C\u002Fstrong>. Вони вивчаються послідовно — від сил і рівноваги до опису руху та встановлення причин цього руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Статика\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Статика\u003C\u002Fstrong> вивчає системи сил та умови рівноваги матеріальних тіл. У цьому розділі розглядаються сила та її проєкції, момент сили, пара сил, зведення систем сил, в’язі та реакції в’язей, рівновага плоских і просторових систем, розподілені навантаження, центр ваги та тертя.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Основна практична мета статики — навчитися будувати розрахункову схему, правильно показувати зовнішні сили й реакції опор та складати незалежні рівняння рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінематика\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Кінематика\u003C\u002Fstrong> описує механічний рух без аналізу сил, що його спричиняють. Основними характеристиками є положення, траєкторія, швидкість, прискорення, кутова швидкість і кутове прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Розділ охоплює кінематику матеріальної точки, поступальний та обертальний рух твердого тіла, плоскопаралельний рух, складний рух точки, прискорення Коріоліса, сферичний і загальний рух вільного твердого тіла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Динаміка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Динаміка\u003C\u002Fstrong> встановлює зв’язок між рухом тіл та силами, що його викликають. Тут використовуються закони Ньютона, диференціальні рівняння руху, теореми про кількість руху, кінетичний момент і кінетичну енергію, а також закони збереження.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для механічних систем розглядаються рух центра мас, загальні теореми динаміки, принцип Даламбера, можливі переміщення, загальне рівняння динаміки та рівняння Лагранжа другого роду. Завершує курс вступ до малих коливань системи з одним ступенем вільності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Як працювати з курсом\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рекомендується проходити матеріал у порядку \u003Cstrong>Статика → Кінематика → Динаміка\u003C\u002Fstrong>. У кожній темі спочатку розберіть фізичний зміст понять і припущення моделі, потім основні рівняння та алгоритм їх застосування. Після цього переходьте до задач — саме розв’язування задач формує навичку вибору правильної механічної моделі та методу розрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Позначення та одиниці\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У формулах використовуються загальноприйняті векторні й скалярні позначення механіки. Якщо не зазначено інше, фізичні величини слід подавати в узгодженій системі одиниць, переважно SI: довжина — у метрах, час — у секундах, маса — у кілограмах, сила — у ньютонах, момент сили — у Н·м.\u003C\u002Fp>",[52,248,425],{"id":53,"parent_id":44,"code":9,"slug":54,"name":55,"seo_title":56,"seo_description":57,"seo_text":58,"content":59,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":54,"children":60},133,"statyka","Статика","Статика — сили, моменти та рівновага | Теормех","Статика в теоретичній механіці: сили, моменти, в’язі та умови рівноваги. Коротка теорія, формули й практичні задачі для студентів.","Статика — розділ теоретичної механіки, що вивчає умови рівноваги тіл під дією сил. Тут зібрано теорію про сили та їх проекції, моменти, в’язі й реакції, системи сил та рівняння рівноваги, а також практичні задачі для закріплення методів розрахунку.","\u003Cp>Статика вивчає умови рівноваги матеріальних тіл під дією сил. У цьому розділі послідовно розглядаються сили та їх проекції, моменти, в’язі й реакції, системи сил і рівняння рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Основний акцент MechClassroom — практичне застосування: після опрацювання понять і формул переходьте до задач, щоб навчитися складати розрахункові схеми та рівняння рівноваги.\u003C\u002Fp>",[61,127,178,212],{"id":62,"parent_id":53,"code":9,"slug":63,"name":64,"seo_title":65,"seo_description":66,"seo_text":67,"content":68,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":63,"children":70},270,"osnovy-syl-i-momentiv","Основи сил і моментів","Основи сил і моментів у статиці","Сила, проєкції, моменти, пари сил, рівнодійна та зведення систем сил у теоретичній механіці.","Базовий блок статики про сили, їх проєкції та моменти, пари сил, додавання сил і зведення системи сил до заданого центра.","\u003Cp>\u003Cstrong>Основи сил і моментів\u003C\u002Fstrong> — вступний блок статики, у якому формуються способи математичного опису дії сил на тверде тіло. Сила розглядається як вектор, тому для розрахунків важливі її модуль, напрям, точка прикладання та проєкції на координатні осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сили та їх еквівалентні перетворення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кілька сил можуть утворювати систему сил. Для спрощення розрахунку систему замінюють еквівалентною — рівнодійною або головним вектором і головним моментом відносно вибраного центра. Такі перетворення не повинні змінювати механічну дію системи на тверде тіло.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент і пара сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Обертальну дію сили характеризує її момент. Пара сил має нульову рівнодійну, але створює чистий момент. Розуміння сил, моментів і правил зведення є основою для подальшого складання рівнянь рівноваги.\u003C\u002Fp>","draft",[71,80,90,99,109,118],{"id":72,"parent_id":62,"code":9,"slug":73,"name":74,"seo_title":75,"seo_description":76,"seo_text":77,"content":78,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":73,"children":79},167,"osnovni-poniattia-statyky-syla-ta-systema-syl","Основні поняття статики. Сила та система сил","Основні поняття статики: сила та система сил","Основні поняття статики: сила, система сил, рівнодійна та зрівноважена система. Базові визначення для подальшого вивчення рівноваги тіл.","Вступна тема зі статики пояснює поняття сили та системи сил, їх механічний зміст і базову термінологію. Матеріал готує до вивчення проекцій, моментів, рівнодійної та умов рівноваги твердого тіла.","\u003Cp>\u003Cstrong>Статика\u003C\u002Fstrong> вивчає умови рівноваги матеріальних тіл та способи перетворення систем сил. Її базовою моделлю є абсолютно тверде тіло — ідеалізоване тіло, відстані між будь-якими двома точками якого під час механічної взаємодії вважають незмінними.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила та система сил\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-force-system-basics}}\u003Ch2>Як задають силу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сила є вектором. Для її однозначного опису в задачі потрібно знати \u003Cstrong>модуль\u003C\u002Fstrong> $F$, \u003Cstrong>напрям\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>точку прикладання\u003C\u002Fstrong>. Пряма, уздовж якої напрямлений вектор сили, називається \u003Cstrong>лінією дії сили\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Одиницею сили в SI є ньютон (Н). Один ньютон — сила, яка надає тілу масою 1 кг прискорення 1 м\u002Fс².\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Класифікація систем сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Системи сил розрізняють за взаємним розташуванням ліній дії. Сили можуть бути \u003Cstrong>колінеарними\u003C\u002Fstrong>, \u003Cstrong>збіжними\u003C\u002Fstrong>, \u003Cstrong>паралельними\u003C\u002Fstrong> або утворювати довільну систему. Якщо всі лінії дії лежать в одній площині, система є плоскою; інакше — просторовою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Еквівалентність і рівнодійна\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У статиці часто замінюють одну систему сил іншою, простішою, але еквівалентною. Якщо систему можна замінити однією силою, ця сила є її рівнодійною. Важливо не плутати рівнодійну з простою сумою модулів: сили додаються як вектори, а положення їхніх ліній дії також впливає на механічний ефект.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівновага\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тверде тіло перебуває в рівновазі відносно вибраної інерціальної системи відліку, якщо під дією заданої системи сил його стан спокою не змінюється. Систему сил, за якої виконується ця умова, називають зрівноваженою. Конкретні рівняння рівноваги для плоских і просторових систем будуть розглянуті в наступних темах.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай до кільця прикладено дві сили по 100 Н уздовж однієї прямої у протилежних напрямах. Їх векторна сума дорівнює нулю, тому така система є зрівноваженою. Якщо ж одна із сил дорівнює 120 Н, рівнодійна колінеарної системи матиме модуль 20 Н і буде напрямлена в бік більшої сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що потрібно запам’ятати\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>сила має модуль, напрям і точку прикладання;\u003C\u002Fli>\u003Cli>система сил — це сукупність сил, що діють на тіло;\u003C\u002Fli>\u003Cli>еквівалентні системи мають однакову механічну дію;\u003C\u002Fli>\u003Cli>рівнодійна замінює систему однією силою лише тоді, коли така заміна можлива;\u003C\u002Fli>\u003Cli>для розв’язування задач важливо враховувати не лише модулі сил, а й їх напрям та лінії дії.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":81,"parent_id":62,"code":9,"slug":82,"name":83,"seo_title":84,"seo_description":85,"seo_text":86,"content":87,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":82,"children":89},43,"proektsiyi-sil","Проекції сил","Проекції сил на осі координат — Статика","Правила знаходження проекцій сил на декартові осі у теоретичній механіці.","Проекція сили на вісь — це скалярна величина, яка дорівнює добутку модуля сили на косинус кута між вектором сили та додатним напрямком осі. У розділі детально розглянуто правила знаків при проектуванні сил на прямокутні осі X, Y, Z та складання рівнянь рівноваги сил у статиці.","\u003Cp>\u003Cstrong>Проекція сили на вісь\u003C\u002Fstrong> — алгебраїчна скалярна величина, що показує складову вектора сили вздовж вибраного напряму. Проекції дають змогу перейти від векторних співвідношень до скалярних рівнянь, тому вони є основою аналітичного розв’язування задач статики.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Проекція сили на координатну вісь\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-force-projection}}\u003Cp>Якщо сила $\\vec F$ утворює кут $\\alpha$ з додатним напрямком осі $x$, її проекція дорівнює $F_x$. Аналогічно визначають $F_y$ і, для просторової задачі, $F_z$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Знаки проекцій\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Проекція додатна, якщо складова сили напрямлена в додатний бік осі, і від’ємна, якщо в протилежний. Якщо сила перпендикулярна до осі, її проекція на цю вісь дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розкладання сили на площині\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для сили, що лежить у площині $xy$, можна записати $\\vec F=F_x\\vec i+F_y\\vec j$. Якщо кут $\\alpha$ відраховують від додатного напряму осі $x$, то $F_x=F\\cos\\alpha$, а $F_y=F\\sin\\alpha$ з урахуванням фактичних напрямків складових.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка через модуль сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для прямокутної декартової системи координат модуль плоского вектора пов’язаний із проекціями співвідношенням $F=\\sqrt{F_x^2+F_y^2}$. Це зручно використовувати для перевірки обчислень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сила $F=10$ кН напрямлена під кутом $30^\\circ$ до додатного напряму осі $x$ у першій чверті. Тоді $F_x=10\\cos30^\\circ\\approx8{,}66$ кН, а $F_y=10\\sin30^\\circ=5$ кН. Обидві проекції додатні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати кут до осі $x$ з кутом до осі $y$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>записувати модуль проекції без урахування її знака;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати синус замість косинуса без перевірки, від якої осі задано кут;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати модулі сил замість їх алгебраїчних проекцій.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>У рівняннях рівноваги використовують саме алгебраїчні проекції всіх сил на вибрані координатні осі.\u003C\u002Fp>",2,[],{"id":5,"parent_id":62,"code":9,"slug":91,"name":92,"seo_title":93,"seo_description":94,"seo_text":95,"content":96,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":91,"children":98},"moment-syly-vidnosno-tochky-ta-osi","Момент сили відносно точки та осі","Момент сили відносно точки та осі — формули і задачі","Момент сили у статиці: плече сили, знак моменту, формули відносно точки та осі, координатний спосіб обчислення, приклади й задачі.","Момент сили — одна з основних величин статики, що характеризує здатність сили обертати тіло. У темі розглянуто момент сили відносно точки та осі, плече сили, правило знаків, векторне означення, координатне обчислення та зв’язок із рівняннями рівноваги. Матеріал підготовлено як теоретичну основу для розв’язування задач зі статики.","\u003Cp>\u003Cstrong>Момент сили\u003C\u002Fstrong> характеризує обертальну дію сили. Він залежить не лише від модуля сили, а й від положення її лінії дії відносно точки або осі, щодо якої розглядають обертання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент сили відносно точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай сила $\\vec F$ прикладена в точці $A$, а $O$ — точка, відносно якої визначають момент. Вектор моменту задається векторним добутком:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec M_O=\\vec r\\times\\vec F,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\vec r=\\overrightarrow{OA}$. Напрям $\\vec M_O$ визначають за правилом правої руки. Модуль можна записати як $M_O=rF\\sin\\alpha$, де $\\alpha$ — кут між $\\vec r$ і $\\vec F$. Оскільки $d=r\\sin\\alpha$ є перпендикулярною відстанню від точки $O$ до лінії дії сили, для модуля отримуємо основну практичну формулу.\u003C\u002Fp>{{chunk:moment-syly-vidnosno-tochky}}\u003Ch2>Знак моменту в плоскій задачі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для плоскої системи сил момент зручно розглядати як алгебраїчну величину. Зазвичай обертання проти годинникової стрілки вважають додатним, а за годинниковою — від’ємним. Важливо один раз прийняти правило знаків і послідовно використовувати його в усіх рівняннях.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Коли момент дорівнює нулю\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо лінія дії сили проходить через точку $O$, плече $d=0$, тому момент відносно цієї точки дорівнює нулю. Через це силу можна переміщувати вздовж її лінії дії без зміни моменту відносно довільної точки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Координатний спосіб\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У плоскій системі $xy$, якщо $\\vec r=(x,y)$, а $\\vec F=(F_x,F_y)$, момент відносно початку координат визначається як\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M_O=xF_y-yF_x.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Ця форма особливо зручна в задачах, де задано координати точки прикладання сили та її проекції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент сили відносно осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Момент сили відносно заданої осі дорівнює проекції вектора моменту сили відносно будь-якої точки цієї осі на напрям осі. Для одиничного вектора $\\vec e$ уздовж осі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M_{axis}=\\vec e\\cdot(\\vec r\\times\\vec F).$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У просторових задачах це дозволяє визначити, наскільки сила прагне обертати тіло саме навколо вибраної осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>До важеля прикладено силу $F=200$ Н, а перпендикулярна відстань від точки обертання до лінії дії сили становить $d=0{,}30$ м. Модуль моменту дорівнює $M=200\\cdot0{,}30=60$ Н·м. Знак визначається напрямом можливого обертання відносно прийнятого правила.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що потрібно вміти для задач\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Перед обчисленням моменту визначте точку або вісь, знайдіть лінію дії сили, встановіть плече або розкладіть силу на проекції та перевірте знак. У складніших задачах моменти кількох сил підсумовують алгебраїчно. Цей прийом є основою рівнянь рівноваги у статиці.\u003C\u002Fp>",3,[],{"id":100,"parent_id":62,"code":9,"slug":101,"name":102,"seo_title":103,"seo_description":104,"seo_text":105,"content":106,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":101,"children":108},168,"para-syl-moment-pary","Пара сил. Момент пари","Пара сил і момент пари — статика","Пара сил у статиці, момент пари та його властивості. Еквівалентність пар і правила роботи з моментами у задачах теоретичної механіки.","Тема розглядає пару сил як систему двох рівних паралельних і протилежно напрямлених сил. Пояснюється момент пари, його властивості та застосування під час перетворення систем сил.","\u003Cp>\u003Cstrong>Пара сил\u003C\u002Fstrong> — система двох паралельних сил однакового модуля, напрямлених у протилежні боки та прикладених уздовж різних ліній дії. Геометрична сума сил пари дорівнює нулю, але їх моменти створюють ненульову обертальну дію.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Плече та момент пари\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Плече пари\u003C\u002Fstrong> $d$ — найкоротша, тобто перпендикулярна, відстань між лініями дії двох сил.\u003C\u002Fp>{{chunk:statics-couple-moment}}\u003Cp>Одиницею моменту пари в SI є Н·м. Момент пари не слід ототожнювати з роботою або енергією, хоча їх розмірності в SI мають однаковий вигляд.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому рівнодійна сила дорівнює нулю\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сили пари мають однакові модулі й протилежні напрями, тому їх векторна сума дорівнює нулю: $\\vec F+(-\\vec F)=0$. Проте лінії дії не збігаються, тому моменти сил не компенсуються. Саме через це пару не можна замінити однією ненульовою силою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Незалежність моменту пари від точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сума моментів двох сил пари відносно довільної точки однакова. Отже, момент пари є вільним вектором: у моделі абсолютно твердого тіла пару можна переносити в інше місце без зміни її механічної дії, якщо зберігаються величина й напрям моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Еквівалентні пари\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Дві пари сил еквівалентні, якщо їх моменти однакові. Тому пара з більшою силою і меншим плечем може бути еквівалентною парі з меншою силою і більшим плечем, якщо добуток $Fd$ залишається тим самим.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Додавання пар\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кілька пар сил можна замінити однією парою, момент якої дорівнює векторній сумі моментів початкових пар. У плоскій задачі це зводиться до алгебраїчного додавання моментів з урахуванням знаків.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Дві сили по 300 Н утворюють пару з плечем $d=0{,}20$ м. Модуль моменту пари дорівнює $M=300\\cdot0{,}20=60$ Н·м. Якщо збільшити плече до 0,30 м і потрібно зберегти той самий момент, достатньо сил по $F=60\u002F0{,}30=200$ Н.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що потрібно запам’ятати\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>геометрична сума сил пари дорівнює нулю;\u003C\u002Fli>\u003Cli>пара створює чисту обертальну дію;\u003C\u002Fli>\u003Cli>момент пари дорівнює $Fd$ і не залежить від вибору точки відліку;\u003C\u002Fli>\u003Cli>пари з однаковими моментами еквівалентні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>у плоских задачах моменти пар додають алгебраїчно.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",4,[],{"id":110,"parent_id":62,"code":9,"slug":111,"name":112,"seo_title":113,"seo_description":114,"seo_text":115,"content":116,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":15,"url_slug":111,"children":117},169,"dodavannia-syl-rivnodiina-systemy-syl","Додавання сил. Рівнодійна системи сил","Додавання сил і рівнодійна системи сил","Додавання сил у статиці та визначення рівнодійної системи сил. Геометричні й аналітичні підходи для плоских систем сил.","Тема пояснює додавання сил та поняття рівнодійної системи сил. Розглядаються геометричний і аналітичний підходи, необхідні для подальшого зведення систем сил і складання умов рівноваги.","\u003Cp>\u003Cstrong>Додавання сил\u003C\u002Fstrong> виконують за правилами додавання векторів. Результатом векторного додавання є головний вектор системи сил. Для збіжної системи сил, лінії дії яких проходять через одну точку, цей вектор можна прикласти в точці збігу і він є рівнодійною системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Геометричне додавання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Дві сили додають за правилом паралелограма або трикутника. Для кількох сил будують силовий багатокутник: кожний наступний вектор відкладають від кінця попереднього. Вектор від початку першої сили до кінця останньої є їх геометричною сумою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Аналітичне додавання на площині\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У декартових координатах зручно спочатку знайти сумарні проекції:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$R_x=\\sum_i F_{ix},\\qquad R_y=\\sum_i F_{iy}.$$\u003C\u002Fp>{{chunk:statics-resultant-two-components}}\u003Cp>Напрям головного вектора визначають за його проекціями з урахуванням чверті, наприклад за допомогою функції $\\operatorname{atan2}(R_y,R_x)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівнодійна та головний вектор\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Векторна сума всіх сил завжди задає \u003Cstrong>головний вектор\u003C\u002Fstrong> $\\vec R=\\sum\\vec F_i$. Проте для довільної системи сил цього недостатньо, щоб замінити всю систему однією силою: потрібно також врахувати моменти сил. Тому термін «рівнодійна» слід застосовувати тоді, коли одна сила справді еквівалентна початковій системі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Колінеарні сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для сил уздовж однієї прямої достатньо вибрати додатний напрям і скласти їх алгебраїчно. Наприклад, сили 8 кН і 5 кН, напрямлені в один бік, дають 13 кН; якщо вони напрямлені протилежно, модуль суми становить 3 кН і напрям збігається з більшою силою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад для двох перпендикулярних сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай у спільній точці діють сили 3 кН уздовж $+x$ і 4 кН уздовж $+y$. Тоді $R_x=3$ кН, $R_y=4$ кН, а модуль рівнодійної збіжної системи $R=\\sqrt{3^2+4^2}=5$ кН. Її напрям задається кутом $\\alpha=\\arctan(4\u002F3)\\approx53{,}1^\\circ$ від додатного напряму осі $x$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>додавати модулі неколінеарних сил як звичайні числа;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати знаки проекцій;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначати напрям лише через $\\arctan(R_y\u002FR_x)$ без перевірки чверті;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати головний вектор рівнодійною довільної системи без перевірки моментів.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>Наступний крок у статиці — зведення довільної системи сил до заданого центра, де разом із головним вектором вводять головний момент.\u003C\u002Fp>",[],{"id":119,"parent_id":62,"code":9,"slug":120,"name":121,"seo_title":121,"seo_description":122,"seo_text":123,"content":124,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":125,"url_slug":120,"children":126},170,"zvedennia-systemy-syl-do-zadanoho-tsentra","Зведення системи сил до заданого центра","Зведення довільної системи сил до заданого центра: головний вектор і головний момент системи та їх застосування у задачах статики.","Тема пояснює зведення довільної системи сил до заданого центра. Вводяться головний вектор і головний момент системи, що використовуються для аналізу еквівалентності систем сил та рівноваги.","\u003Cp>\u003Cstrong>Зведення системи сил до заданого центра\u003C\u002Fstrong> дає змогу замінити довільну сукупність сил і пар сил еквівалентною, компактнішою системою: однією силою, прикладеною в обраному центрі, та однією парою сил. Цей результат є основою подальшого аналізу рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перенесення сили до заданого центра\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Силу $\\vec F$, прикладену в точці $A$, можна перенести паралельно самій собі до точки $O$, якщо одночасно додати пару з моментом $\\vec M_O=\\vec r\\times\\vec F$, де $\\vec r=\\overrightarrow{OA}$. Отримана система еквівалентна початковій силі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головний вектор і головний момент\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-force-system-reduction}}\u003Cp>У плоскій задачі головний вектор задають проекціями $R_x=\\sum F_{ix}$ і $R_y=\\sum F_{iy}$, а головний момент відносно центра $O$ — алгебраїчною сумою моментів усіх сил і прикладених пар.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зміна центра зведення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо систему вже зведено до центра $O$, то при переході до іншого центра $A$ головний вектор не змінюється. Головний момент перераховують за правилом перенесення:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec M_A=\\vec M_O+\\overrightarrow{AO}\\times\\vec R.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, одна й та сама система має однаковий головний вектор у будь-якому центрі, але різні головні моменти, якщо $\\vec R\\ne0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні випадки після зведення\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>якщо $\\vec R=0$ і $\\vec M_O=0$, система зрівноважена;\u003C\u002Fli>\u003Cli>якщо $\\vec R=0$, але $\\vec M_O\\ne0$, система еквівалентна парі сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>якщо $\\vec R\\ne0$, подальша можливість зведення до однієї рівнодійної залежить від взаємного зв’язку головного вектора і головного моменту.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Приклад у плоскій задачі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай сила 10 кН напрямлена вздовж $+y$ і прикладена на відстані 2 м праворуч від центра $O$. Після перенесення сили до $O$ потрібно додати момент $M_O=10\\cdot2=20$ кН·м. За стандартного правила знаків цей момент додатний, оскільки початкова сила прагне обертати тіло проти годинникової стрілки відносно $O$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм зведення\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>обрати центр зведення $O$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>знайти проекції всіх сил і скласти головний вектор $\\vec R$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обчислити моменти всіх сил відносно $O$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додати моменти заданих пар сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>записати еквівалентну систему $\\vec R$ і $\\vec M_O$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>за потреби проаналізувати, чи можна спростити її далі.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Cp>Саме умови $\\vec R=0$ і $\\vec M_O=0$ приводять до загальних рівнянь рівноваги твердого тіла.\u003C\u002Fp>",6,[],{"id":128,"parent_id":53,"code":9,"slug":129,"name":130,"seo_title":131,"seo_description":132,"seo_text":133,"content":134,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":129,"children":135},271,"rivnovaha-ploskykh-system","Рівновага плоских систем","Рівновага плоских систем сил","Умови рівноваги, в’язі, реакції, системи тіл і розподілені навантаження у плоских задачах статики.","Розділ об’єднує методи розрахунку рівноваги плоских систем сил, визначення реакцій в’язей, аналіз систем тіл і заміну розподілених навантажень рівнодійними.","\u003Cp>\u003Cstrong>Рівновага плоских систем\u003C\u002Fstrong> охоплює задачі, у яких сили діють в одній площині. Центральна ідея розділу — перехід від реальної конструкції до розрахункової схеми та визначення умов, за яких тверде тіло або система тіл не набуває прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>В’язі та реакції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Опори, шарніри, нитки та інші в’язі обмежують можливі переміщення тіла. У розрахунковій схемі їх дію замінюють реакціями, напрям і кількість невідомих компонент яких визначаються типом в’язі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння рівноваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для довільної плоскої системи сил використовують умови нульової суми проєкцій сил та нульової суми моментів. Для системи кількох тіл окремі елементи можна розглядати послідовно, враховуючи сили взаємодії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розподілені навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Навантаження, розподілені вздовж довжини або поверхні, у задачах рівноваги часто замінюють еквівалентною рівнодійною, положення якої визначається законом розподілу навантаження.\u003C\u002Fp>",[136,144,153,161,170],{"id":137,"parent_id":128,"code":9,"slug":138,"name":139,"seo_title":139,"seo_description":140,"seo_text":141,"content":142,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":138,"children":143},171,"umovy-rivnovahy-ploskoi-systemy-syl","Умови рівноваги плоскої системи сил","Умови та рівняння рівноваги плоскої системи сил у статиці. Проекції сил і сума моментів для розв’язування інженерних задач.","Тема систематизує умови рівноваги плоскої системи сил. Розглядаються рівняння проекцій сил і моментів та їх застосування для визначення невідомих сил і реакцій у задачах статики.","\u003Cp>\u003Cstrong>Рівновага плоскої системи сил\u003C\u002Fstrong> означає, що головний вектор системи та її головний момент дорівнюють нулю. Для твердого тіла на площині це дає три незалежні скалярні рівняння, за допомогою яких визначають невідомі сили та реакції в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основна форма рівнянь рівноваги\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-planar-equilibrium-equations}}\u003Cp>Перші два рівняння виключають поступальну дію системи вздовж координатних осей, а третє — її обертальну дію. Якщо всі три умови виконані, тіло не має тенденції до поступального або обертального руху під дією розглянутих сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір координатних осей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Осі $x$ і $y$ можна обирати довільно, але зручний вибір значно спрощує обчислення. Часто одну вісь спрямовують уздовж похилої поверхні, стрижня або напряму кількох відомих сил. Після вибору осей потрібно послідовно дотримуватися знаків проекцій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір точки для моментів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Точку $O$ доцільно вибирати так, щоб через неї проходили лінії дії однієї або кількох невідомих реакцій. Їх моменти відносно цієї точки тоді дорівнюють нулю, і рівняння містить менше невідомих.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Еквівалентні форми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для довільної плоскої системи сил замість двох рівнянь проекцій і одного рівняння моментів можна використовувати інші незалежні набори рівнянь. Наприклад, можливі два рівняння моментів відносно різних точок і одне рівняння проекцій, якщо вибрані рівняння залишаються незалежними. У задачах важливо не лише мати три записи, а й уникати їх геометричної залежності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Окремі системи сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для збіжної плоскої системи всі лінії дії проходять через одну точку, тому рівновага визначається двома незалежними умовами $\\sum F_x=0$ і $\\sum F_y=0$. Для системи паралельних сил зазвичай достатньо рівняння проекцій уздовж напряму сил та одного незалежного рівняння моментів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На тіло діють горизонтальні сили 8 кН праворуч і невідома сила $P$ ліворуч, а вертикальні сили 5 кН вгору і 5 кН вниз. Із $\\sum F_x=0$ отримуємо $8-P=0$, звідки $P=8$ кН. Вертикальна умова вже виконується. Для повної рівноваги потрібно також перевірити $\\sum M_O=0$, оскільки навіть за нульової суми сил система може створювати пару.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розв’язування\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>відокремити тіло або систему тіл, що розглядається;\u003C\u002Fli>\u003Cli>показати всі активні сили та реакції в’язей;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обрати координатні осі й правило знаків моментів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>записати проекції сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обрати зручну точку для рівняння моментів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>скласти незалежні рівняння рівноваги та знайти невідомі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>перевірити знаки, одиниці й фізичний зміст результату.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>пропускати одну з реакцій опори;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати знак сили зі знаком її проекції;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати неправильне плече сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати задані моменти пар сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>складати залежні рівняння замість незалежних.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":145,"parent_id":128,"code":9,"slug":146,"name":147,"seo_title":148,"seo_description":149,"seo_text":150,"content":151,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":146,"children":152},172,"viazi-ta-reaktsii-viazei","В’язі та реакції в’язей","В’язі та реакції в’язей у статиці","Основні типи в’язей і реакцій у статиці: опори, шарніри, нитки та контакти. Побудова розрахункової схеми для рівнянь рівноваги.","Тема розглядає механічні в’язі та сили реакцій, якими їх замінюють у розрахунковій схемі. Пояснюються типові опори, шарніри, нитки й контакти та напрямки відповідних реакцій.","\u003Cp>\u003Cstrong>В’язі\u003C\u002Fstrong> — це тіла або пристрої, які обмежують можливі переміщення розглядуваного тіла. У задачах статики дію в’язі замінюють її \u003Cstrong>реакцією\u003C\u002Fstrong>, після чого тіло розглядають як вільне під дією заданих сил і реакцій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип звільнення від в’язей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Щоб скласти рівняння рівноваги, тіло уявно звільняють від в’язей. Кожну вилучену в’язь замінюють силою реакції або системою сил і моментів, які відтворюють її механічну дію. Напрям і кількість невідомих складових визначаються тим, які переміщення ця в’язь забороняє.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові в’язі на площині\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-constraint-reactions}}\u003Ch2>Гладкий контакт\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для ідеально гладкої поверхні тертям нехтують. Реакція контакту напрямлена по спільній нормалі до поверхонь у точці контакту. Якщо поверхня плоска, напрям реакції відомий наперед, а невідомим залишається її модуль.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нитки, троси та двосилові стрижні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ідеальна гнучка нитка або трос передає лише розтягувальне зусилля, тому сила натягу напрямлена вздовж нитки. Прямий стрижень, на який діють сили лише у двох шарнірах на його кінцях, є двосиловим елементом: кінцеві сили лежать на одній прямій уздовж осі стрижня, мають однакові модулі й протилежні напрями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Шарнірні опори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Шарнірно-рухома опора в плоскій моделі створює одну реакцію в напрямі, в якому вона забороняє переміщення. Шарнірно-нерухома опора забороняє два незалежні поступальні переміщення, тому її реакцію зазвичай подають двома невідомими складовими $R_x$ і $R_y$. Ідеальний шарнір не передає реактивного моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Жорстке защемлення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Защемлення на площині забороняє два поступальні переміщення та поворот. Тому його дія замінюється двома складовими реакції $R_x$, $R_y$ і реактивним моментом $M$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Схема вільного тіла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після звільнення від в’язей будують схему вільного тіла. На ній потрібно показати всі задані сили, прикладені моменти, вагу тіла, якщо вона враховується, та всі реакції в’язей. Саме до цієї схеми застосовують рівняння рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Балка на шарнірно-нерухомій опорі $A$ і шарнірно-рухомій опорі $B$ у типовій плоскій схемі має три невідомі реакції: $A_x$, $A_y$ та $B_y$, якщо реакція рухомої опори вертикальна. Це відповідає трьом незалежним рівнянням рівноваги плоского твердого тіла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>залишати опору на схемі й одночасно показувати її реакції;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати реактивний момент до ідеального шарніра;\u003C\u002Fli>\u003Cli>задавати довільний напрям реакції гладкої поверхні замість нормалі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що трос може передавати стиск;\u003C\u002Fli>\u003Cli>пропускати одну зі складових реакції защемлення.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":154,"parent_id":128,"code":9,"slug":155,"name":156,"seo_title":156,"seo_description":157,"seo_text":158,"content":159,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":155,"children":160},173,"rivnovaha-tverdoho-tila-na-ploshchyni","Рівновага твердого тіла на площині","Рівновага твердого тіла на площині: розрахункова схема, реакції опор та рівняння статики для визначення невідомих сил.","Тема присвячена практичному застосуванню рівнянь статики до твердого тіла на площині. Розглядаються побудова розрахункової схеми, заміна в’язей реакціями та визначення невідомих сил.","\u003Cp>У практичних задачах статики \u003Cstrong>рівновагу твердого тіла на площині\u003C\u002Fstrong> досліджують за схемою вільного тіла. Реальні опори й контакти замінюють реакціями, після чого до ізольованого тіла застосовують рівняння рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Схема вільного тіла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Схема вільного тіла повинна містити лише тіло, яке аналізують, та всі зовнішні сили й моменти, що на нього діють. В’язі на схемі не залишають: замість них показують відповідні реакції. Внутрішні сили самого ізольованого тіла на такій схемі не наносять.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-planar-rigid-body-procedure}}\u003Ch2>Статична визначуваність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для одного абсолютно твердого тіла під дією довільної плоскої системи сил доступні три незалежні рівняння рівноваги. Якщо після правильної заміни в’язей маємо не більше трьох незалежних невідомих реакцій і рівнянь достатньо для їх однозначного визначення, задача може бути статично визначуваною. Надлишок невідомих реакцій зазвичай потребує додаткових співвідношень деформацій і виходить за межі статики абсолютно твердого тіла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зручний порядок рівнянь\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Часто найвигідніше почати з рівняння моментів відносно точки, де перетинаються лінії дії кількох невідомих реакцій. Так ці реакції одразу виключаються з рівняння. Після знаходження однієї невідомої використовують рівняння проекцій для решти.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад: проста балка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Балка довжиною 6 м спирається на шарнір у точці $A$ та рухому опору в точці $B$. Посередині діє вертикальна сила $P=12$ кН униз. Для вертикального навантаження $A_x=0$. Із моментів відносно $A$: $B_y\\cdot6-12\\cdot3=0$, тому $B_y=6$ кН. Із $\\sum F_y=0$ отримуємо $A_y+B_y-12=0$, звідки $A_y=6$ кН.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що означає від’ємна реакція\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Напрям невідомої реакції на початку розрахунку можна припустити довільно. Якщо отримане значення від’ємне, це не є помилкою саме по собі: фактичний напрям реакції протилежний до прийнятого на схемі. Водночас результат потрібно перевірити на відповідність фізичній моделі контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка розв’язку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після обчислення реакцій варто повторно перевірити суми проекцій і моментів, бажано взявши момент відносно іншої точки. Так можна виявити помилки у знаках, плечах сил або арифметиці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>будувати рівняння без попередньої схеми вільного тіла;\u003C\u002Fli>\u003Cli>неправильно моделювати реакцію опори;\u003C\u002Fli>\u003Cli>включати до рівнянь сили, які діють на інше тіло;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати момент пари сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>підміняти плече сили відстанню до точки її прикладання без перевірки перпендикулярності.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":162,"parent_id":128,"code":9,"slug":163,"name":164,"seo_title":165,"seo_description":166,"seo_text":167,"content":168,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":163,"children":169},174,"rivnovaha-systemy-til-metod-rozchlenuvannia","Рівновага системи тіл. Метод розчленування системи","Рівновага системи тіл і метод розчленування системи","Рівновага системи тіл у статиці та метод розчленування системи: окремі схеми тіл, сили взаємодії й рівняння рівноваги.","Тема пояснює рівновагу системи твердих тіл і метод розчленування системи, за яким рівновагу кожного тіла розглядають окремо. Розглядаються зовнішні та внутрішні сили, реакції внутрішніх шарнірів і двосилові елементи.","\u003Cp>\u003Cstrong>Система тіл\u003C\u002Fstrong> складається з кількох тіл, з’єднаних шарнірами, контактами, стрижнями або іншими в’язями. Для визначення не лише зовнішніх реакцій, а й сил взаємодії між частинами систему часто потрібно розчленувати та розглянути рівновагу кожного тіла окремо.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зовнішні та внутрішні сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для всієї системи сили взаємодії між її тілами є внутрішніми. Вони входять попарно й при розгляді системи як одного цілого взаємно компенсуються. Реакції зовнішніх опор і задані навантаження є зовнішніми силами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Метод розчленування\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-system-of-bodies-procedure}}\u003Ch2>Сили у внутрішньому шарнірі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У плоскій моделі ідеальний внутрішній шарнір може передавати дві складові сили, але не передає момент. Якщо на першому тілі в шарнірі прийнято сили $H_x$ і $H_y$, то на другому тілі діють сили $-H_x$ і $-H_y$. Ці сили не слід одночасно включати до схеми всієї системи як зовнішні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навіщо спочатку розглядати всю систему\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рівняння рівноваги всієї конструкції часто дозволяють знайти частину зовнішніх реакцій без введення внутрішніх сил. Після цього розчленування дає додаткові рівняння для визначення реакцій у шарнірах та інших з’єднаннях. Такий порядок зазвичай зменшує кількість невідомих у кожному рівнянні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад: дві балки з внутрішнім шарніром\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай дві балки $AC$ і $CB$ з’єднані внутрішнім шарніром $C$ та мають зовнішні опори в $A$ і $B$. Після аналізу всієї системи її можна розділити в точці $C$. На балку $AC$ у шарнірі діють $C_x$ і $C_y$, а на балку $CB$ — рівні за модулем сили $-C_x$ і $-C_y$. Для кожної балки окремо складають власні рівняння рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Двосилові елементи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо окреме пряме тіло з’єднане шарнірами лише у двох точках і не має інших навантажень, воно є двосиловим елементом. Сили на його кінцях повинні бути колінеарними, рівними за модулем і протилежними за напрямом. Це дозволяє замість двох невідомих складових використовувати одну невідому осьову силу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після розв’язання потрібно перевірити, що сили взаємодії на парних схемах мають однакові модулі й протилежні напрями. Також корисно підставити знайдені зовнішні реакції назад у рівняння рівноваги всієї системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати внутрішні сили зовнішніми при аналізі всієї системи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>показувати однаковий напрям сили шарніра на обох відокремлених тілах;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати реактивний момент в ідеальному внутрішньому шарнірі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не використовувати властивість двосилового елемента;\u003C\u002Fli>\u003Cli>складати рівняння для частини конструкції без повної схеми вільного тіла.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":171,"parent_id":128,"code":9,"slug":172,"name":173,"seo_title":173,"seo_description":174,"seo_text":175,"content":176,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":15,"url_slug":172,"children":177},175,"rozpodilene-navantazhennia-ta-ioho-rivnodiina","Розподілене навантаження та його рівнодійна","Розподілені навантаження у статиці: інтенсивність, рівнодійна та точка її прикладання для рівномірних і лінійно змінних навантажень.","Тема розглядає розподілені навантаження та їх заміну еквівалентною зосередженою силою. Пояснюється визначення величини рівнодійної та положення точки її прикладання для типових законів розподілу.","\u003Cp>\u003Cstrong>Розподілене навантаження\u003C\u002Fstrong> діє неперервно вздовж певної ділянки тіла. У плоских задачах для балки його часто задають інтенсивністю $q(x)$ — силою на одиницю довжини. Одиницею лінійної інтенсивності в SI є Н\u002Fм.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Еквівалентна зосереджена сила\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розподілене навантаження можна замінити рівнодійною силою, якщо зберегти її модуль, напрям і моментний ефект. Для навантаження $q(x)$ на відрізку від $a$ до $b$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$R=\\int_a^b q(x)\\,dx.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Геометрично модуль рівнодійної дорівнює площі під епюрою інтенсивності навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівномірно розподілене навантаження\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-uniform-distributed-load-resultant}}\u003Cp>Оскільки епюра такого навантаження є прямокутником, її центр площі лежить посередині. Саме через цю точку проходить лінія дії еквівалентної сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Точка прикладання для змінного навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Координату лінії дії рівнодійної визначають з умови рівності моментів:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$x_R=\\frac{\\int_a^b xq(x)\\,dx}{\\int_a^b q(x)\\,dx}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, рівнодійна проходить через центр площі епюри $q(x)$. Для стандартних прямокутних, трикутних і трапецієподібних епюр це дозволяє користуватися відомими положеннями геометричних центрів площ.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Трикутне навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо інтенсивність лінійно змінюється від нуля до максимального значення $q_{max}$ на довжині $L$, модуль рівнодійної дорівнює площі трикутника: $R=q_{max}L\u002F2$. Лінія дії проходить на відстані $L\u002F3$ від боку з максимальною інтенсивністю або $2L\u002F3$ від боку, де інтенсивність дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Трапецієподібне навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Трапецієподібну епюру зручно подати як суму прямокутної та трикутної. Для кожної частини знаходять власну рівнодійну й точку її прикладання, після чого ці сили додають із урахуванням моментів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На балку на ділянці довжиною 4 м діє рівномірне навантаження $q=3$ кН\u002Fм униз. Його еквівалентна сила становить $R=qL=3\\cdot4=12$ кН і прикладена посередині навантаженої ділянки, тобто на відстані 2 м від її початку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати інтенсивність $q$ у кН\u002Fм із силою в кН;\u003C\u002Fli>\u003Cli>прикладати рівнодійну в середині ділянки для будь-якої форми епюри;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати фактичне положення початку навантаженої ділянки на балці;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначати лише модуль рівнодійної, не зберігаючи її момент відносно вибраної точки.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":179,"parent_id":53,"code":9,"slug":180,"name":181,"seo_title":182,"seo_description":183,"seo_text":184,"content":185,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":180,"children":186},272,"prostorova-statyka","Просторова статика","Просторова статика та рівновага систем сил","Просторові системи сил, умови їх рівноваги, центр паралельних сил і центр ваги.","Розділ присвячено просторовим системам сил, рівнянням рівноваги у просторі та визначенню центра паралельних сил і центра ваги.","\u003Cp>\u003Cstrong>Просторова статика\u003C\u002Fstrong> узагальнює методи статики на тривимірні системи сил. Сили та моменти тут мають три компоненти, тому для повного опису рівноваги необхідно враховувати як поступальну, так і обертальну дію відносно трьох координатних осей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Просторова система сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Довільну систему сил у просторі можна характеризувати головним вектором і головним моментом відносно вибраного центра. Для рівноваги обидві ці величини повинні дорівнювати нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння рівноваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У загальному випадку отримують шість скалярних умов: три для проєкцій сил і три для моментів відносно координатних осей. Правильний вибір осей і точок для обчислення моментів часто суттєво спрощує розрахунок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Центр паралельних сил і центр ваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Окремий клас задач пов’язаний із системами паралельних сил. Їх результуюча проходить через центр паралельних сил; для сил тяжіння однорідного поля відповідне поняття приводить до центра ваги тіла.\u003C\u002Fp>",[187,196,204],{"id":188,"parent_id":179,"code":9,"slug":189,"name":190,"seo_title":191,"seo_description":192,"seo_text":193,"content":194,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":189,"children":195},176,"prostorova-systema-syl","Просторова система сил","Просторова система сил — теоретична механіка","Просторова система сил у статиці: проекції сил, моменти відносно осей, головний вектор і головний момент у тривимірних задачах.","Тема переносить основні поняття статики на просторові системи сил. Розглядаються складові сил у трьох вимірах, моменти та характеристики системи, потрібні для аналізу просторової рівноваги.","\u003Cp>\u003Cstrong>Просторова система сил\u003C\u002Fstrong> — система, у якій лінії дії сил не обмежені однією площиною. Для її аналітичного опису використовують три координатні осі, векторні моменти та правила векторного добутку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила у просторі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У декартовій системі координат силу записують як $\\vec F=F_x\\vec i+F_y\\vec j+F_z\\vec k$. Три проекції однозначно задають вектор сили, а їх знаки визначають напрями складових уздовж координатних осей.\u003C\u002Fp>{{chunk:statics-force-magnitude-3d}}\u003Ch2>Напрямні косинуси\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\alpha$, $\\beta$ і $\\gamma$ — кути між вектором сили та додатними напрямами осей $x$, $y$, $z$, то $F_x=F\\cos\\alpha$, $F_y=F\\cos\\beta$, $F_z=F\\cos\\gamma$. Для напрямних косинусів виконується тотожність $\\cos^2\\alpha+\\cos^2\\beta+\\cos^2\\gamma=1$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила вздовж заданої прямої\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сила напрямлена від точки $A(x_A,y_A,z_A)$ до точки $B(x_B,y_B,z_B)$, спочатку утворюють вектор $\\overrightarrow{AB}$. Після нормування отримують одиничний вектор $\\vec e_{AB}=\\overrightarrow{AB}\u002F|\\overrightarrow{AB}|$, а силу записують як $\\vec F=F\\vec e_{AB}$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент сили відносно точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Момент сили $\\vec F$, прикладеної в точці $A$, відносно точки $O$ визначається векторним добутком $\\vec M_O=\\vec r\\times\\vec F$, де $\\vec r=\\overrightarrow{OA}$. Вектор моменту перпендикулярний до площини, утвореної $\\vec r$ і $\\vec F$, а його напрям визначають правилом правої руки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент сили відносно осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Момент відносно координатної або довільної осі дорівнює проекції вектора моменту сили на цю вісь. Якщо $\\vec e$ — одиничний вектор осі, то $M_{axis}=\\vec e\\cdot(\\vec r\\times\\vec F)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головний вектор і головний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи просторових сил головний вектор дорівнює $\\vec R=\\sum\\vec F_i$, а головний момент відносно центра $O$ — $\\vec M_O=\\sum(\\vec r_i\\times\\vec F_i)+\\sum\\vec M_j$. У тривимірній задачі кожен із цих векторів має три координатні складові.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай сила має проекції $F_x=3$ кН, $F_y=4$ кН і $F_z=12$ кН. Її модуль становить $F=\\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13$ кН. Вектор сили можна записати як $\\vec F=(3\\vec i+4\\vec j+12\\vec k)$ кН.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>використовувати плоску схему знаків для просторового векторного моменту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не нормувати вектор між двома точками перед множенням на заданий модуль сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати момент відносно точки з його проекцією на вісь;\u003C\u002Fli>\u003Cli>міняти порядок множників у $\\vec r\\times\\vec F$, що змінює знак моменту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати одну з трьох складових сили або моменту.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":197,"parent_id":179,"code":9,"slug":198,"name":199,"seo_title":199,"seo_description":200,"seo_text":201,"content":202,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":198,"children":203},177,"umovy-rivnovahy-prostorovoi-systemy-syl","Умови рівноваги просторової системи сил","Рівняння рівноваги просторової системи сил: суми проекцій сил і моментів відносно координатних осей для тривимірних задач.","Тема систематизує умови рівноваги довільної просторової системи сил. Розглядаються рівняння для проекцій сил і моментів та їх використання для визначення реакцій і невідомих навантажень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Рівновага твердого тіла у просторі\u003C\u002Fstrong> вимагає одночасної відсутності поступальної та обертальної дії системи сил. У векторній формі це означає $\\sum\\vec F=0$ і $\\sum\\vec M_O=0$. Після проєктування на три координатні осі отримують шість скалярних умов.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Загальні рівняння рівноваги\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-spatial-equilibrium-equations}}\u003Cp>Для одного абсолютно твердого тіла ці шість незалежних рівнянь є основним інструментом визначення невідомих реакцій просторових опор і навантажень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Складові сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кожну просторову силу перед складанням рівнянь подають через компоненти $F_x$, $F_y$, $F_z$. Якщо напрям сили задано двома точками, спочатку визначають одиничний вектор її лінії дії, а потім множать його на модуль сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Складові моментів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Момент сили відносно точки $O$ обчислюють як $\\vec M_O=\\vec r\\times\\vec F$. Після цього вектор моменту розкладають на $M_x$, $M_y$, $M_z$. Прикладені пари сил також безпосередньо додають до відповідних складових сумарного моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір центра моментів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Як і в плоскій статиці, центр моментів можна вибирати з міркувань зручності. Якщо через точку проходять лінії дії кількох невідомих сил, їх моменти відносно цієї точки дорівнюють нулю. Проте в просторі потрібно уважно враховувати всі три складові векторного моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Реакції просторових в’язей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кількість невідомих реакцій визначається рухами, які забороняє в’язь. Наприклад, ідеалізоване жорстке просторове закріплення може передавати три складові сили та три складові моменту. Конкретну модель опори потрібно встановити до запису рівнянь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Спеціальні системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для просторової збіжної системи сил усі лінії дії проходять через одну точку, тому незалежними умовами є три рівняння проекцій сил. Для інших спеціальних систем кількість необхідних рівнянь може зменшуватися через їх геометричні властивості, але загальні шість рівнянь залишаються базовою формою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На точку діють сили з компонентами $\\vec F_1=(3,0,-4)$ кН, $\\vec F_2=(-3,5,0)$ кН і $\\vec F_3=(0,-5,4)$ кН. Суми всіх трьох проекцій дорівнюють нулю, тому ця збіжна система сил зрівноважена. Для довільної незбіжної системи додатково потрібно перевірити три рівняння моментів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розв’язування\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>побудувати просторову схему вільного тіла;\u003C\u002Fli>\u003Cli>замінити всі в’язі відповідними реакціями;\u003C\u002Fli>\u003Cli>подати сили через декартові компоненти;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обрати центр $O$ і визначити моменти сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>скласти рівняння $\\sum F_x=\\sum F_y=\\sum F_z=0$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>скласти рівняння $\\sum M_x=\\sum M_y=\\sum M_z=0$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>розв’язати систему та перевірити фізичний зміст знайдених реакцій.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>пропускати одну з трьох складових сили або моменту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>неправильно визначати напрям одиничного вектора сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати момент сили відносно точки з моментом відносно осі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>порушувати порядок векторного добутку $\\vec r\\times\\vec F$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати шість рівнянь, не перевіривши правильність моделі просторових в’язей.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":205,"parent_id":179,"code":9,"slug":206,"name":207,"seo_title":207,"seo_description":208,"seo_text":209,"content":210,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":206,"children":211},178,"tsentr-paralelnykh-syl-i-tsentr-vahy","Центр паралельних сил і центр ваги","Центр паралельних сил і центр ваги: координати центра, симетрія та визначення положення центра ваги тіл і плоских фігур у статиці.","Тема пояснює поняття центра паралельних сил і центра ваги. Розглядаються способи визначення координат центра, використання симетрії та застосування до складених тіл і плоских фігур.","\u003Cp>\u003Cstrong>Центр паралельних сил\u003C\u002Fstrong> — точка, через яку проходить лінія дії рівнодійної системи паралельних сил при незмінному взаємному розташуванні точок їх прикладання. Поняття центра ваги є важливим фізичним застосуванням цієї ідеї.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Координати центра паралельних сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для паралельних сил $F_i$, напрямлених уздовж однієї осі, координати центра визначають із рівності моментів. Наприклад, $x_C=\\sum F_i x_i\u002F\\sum F_i$ і $y_C=\\sum F_i y_i\u002F\\sum F_i$, якщо знаменник не дорівнює нулю. Сили протилежних напрямів враховують зі знаками.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Центр ваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сили тяжіння окремих частинок тіла практично паралельні в однорідному полі тяжіння. Точка прикладання їх рівнодійної називається \u003Cstrong>центром ваги\u003C\u002Fstrong>. Для однорідного тіла центр ваги збігається з центром мас, а для однорідної тонкої пластини — з геометричним центром її площі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Складені плоскі фігури\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-composite-area-centroid}}\u003Cp>Цей спосіб особливо зручний для перерізів, які можна розбити на прямокутники, трикутники, круги та інші прості області. Отвори та вирізи враховують зі знаком мінус.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Використання симетрії\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо однорідна фігура має вісь симетрії, її центр лежить на цій осі. За наявності двох осей симетрії центр знаходиться в точці їх перетину. Симетрія часто дозволяє визначити одну або обидві координати без обчислень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Фігура складається з двох прямокутників площами $A_1=6$ см² і $A_2=4$ см², центри яких мають координати $x_1=2$ см і $x_2=7$ см. Тоді $x_C=(6\\cdot2+4\\cdot7)\u002F(6+4)=4$ см.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>змішувати координати, відраховані від різних початків;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати вирізи як від’ємні площі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати центр ваги неоднорідного тіла з геометричним центром його об’єму;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати середнє арифметичне координат замість зваженого середнього.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":213,"parent_id":53,"code":9,"slug":214,"name":215,"seo_title":216,"seo_description":217,"seo_text":218,"content":219,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":214,"children":220},273,"tertia","Тертя","Тертя у статиці — ковзання, рівновага і кочення","Закони тертя ковзання, рівновага тіл з урахуванням тертя та тертя кочення.","Розділ охоплює сухе тертя ковзання, закони Кулона, умови рівноваги за наявності тертя та модель тертя кочення.","\u003Cp>\u003Cstrong>Тертя\u003C\u002Fstrong> враховує сили опору, що виникають у зоні контакту тіл і перешкоджають їх відносному ковзанню або коченню. На відміну від ідеалізованих гладких контактів, реальні опори можуть передавати дотичні сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Тертя ковзання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сила сухого тертя спрямована проти тенденції відносного ковзання. У стані спокою її значення пристосовується до прикладеного навантаження до певної граничної величини, пов’язаної з нормальною реакцією та коефіцієнтом тертя.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівновага з тертям\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У задачах рівноваги напрям сили тертя визначають за можливим напрямом руху. Важливо розрізняти звичайний стан рівноваги та граничний стан, коли тіло перебуває на межі ковзання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Тертя кочення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Опір коченню пов’язаний із деформаціями контактуючих тіл та зміщенням результуючої контактної реакції. Його модель відрізняється від закону сухого тертя ковзання.\u003C\u002Fp>",[221,230,239],{"id":222,"parent_id":213,"code":9,"slug":223,"name":224,"seo_title":225,"seo_description":226,"seo_text":227,"content":228,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":223,"children":229},179,"tertia-kovzannia-zakony-kulona","Тертя ковзання. Закони Кулона","Тертя ковзання та закони Кулона","Тертя ковзання у статиці: сила тертя, коефіцієнт тертя, граничне тертя, кут і конус тертя та закони Кулона.","Тема розглядає сухе тертя ковзання та закони Кулона. Вводяться сила й коефіцієнт тертя, граничний стан, кут і конус тертя, необхідні для аналізу рівноваги тіл із шорсткими контактами.","\u003Cp>\u003Cstrong>Сухе тертя ковзання\u003C\u002Fstrong> виникає в зоні контакту двох шорстких тіл і протидіє їх відносному ковзанню або тенденції до нього. У найпростішій моделі Кулона дотичну силу тертя пов’язують із нормальною реакцією контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила тертя у стані спокою\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поки тіло не ковзає, сила тертя пристосовується до зовнішнього навантаження в межах, необхідних для рівноваги. Тому запис $F_{fr}=\\mu N$ не можна автоматично застосовувати до будь-якого стану спокою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Граничне тертя\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-coulomb-friction-limit}}\u003Cp>Рівність виконується у граничному стані, коли тіло перебуває на межі ковзання. Напрям сили тертя протилежний можливому напряму відносного руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Коефіцієнт тертя\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коефіцієнт сухого тертя $\\mu$ є безрозмірною характеристикою контактної пари в межах прийнятої моделі. Його значення залежить від матеріалів і стану поверхонь. У простій моделі Кулона граничну силу тертя вважають пропорційною нормальній реакції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кут тертя\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Повна реакція шорсткої поверхні є векторною сумою нормальної реакції $N$ та сили тертя. У граничному стані вона відхиляється від нормалі на кут тертя $\\varphi$, для якого $\\tan\\varphi=\\mu$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Конус тертя\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У просторовій задачі можливий напрям граничної повної реакції утворює поверхню конуса навколо нормалі до контакту. Якщо результуюча контактна реакція лежить усередині конуса тертя, контакт може залишатися без ковзання; на поверхні конуса відповідає граничному стану.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Брусок притиснутий до горизонтальної поверхні нормальною силою $N=500$ Н, а коефіцієнт тертя $\\mu=0{,}30$. Максимальна сила статичного тертя становить $F_{fr,max}=0{,}30\\cdot500=150$ Н. Якщо горизонтальна зовнішня сила дорівнює 80 Н і інших горизонтальних сил немає, сила тертя у стані рівноваги дорівнює 80 Н, а не 150 Н.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>завжди приймати $F_{fr}=\\mu N$ замість нерівності для статичного тертя;\u003C\u002Fli>\u003Cli>задавати напрям тертя без аналізу можливого ковзання;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати нормальну реакцію з повною реакцією шорсткого контакту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати коефіцієнт тертя як величину з одиницями;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не перевіряти, чи знайдена з рівнянь рівноваги сила тертя не перевищує граничне значення.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":231,"parent_id":213,"code":9,"slug":232,"name":233,"seo_title":234,"seo_description":235,"seo_text":236,"content":237,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":232,"children":238},180,"rivnovaha-za-naiavnosti-tertia","Рівновага за наявності тертя","Рівновага тіл за наявності тертя","Рівновага тіл із сухим тертям: напрям сили тертя, граничний стан і складання рівнянь рівноваги для типових задач статики.","Тема присвячена розв’язуванню задач рівноваги за наявності сухого тертя. Пояснюються вибір напряму сили тертя, перевірка граничної умови та спільне використання законів тертя й рівнянь статики.","\u003Cp>У задачах \u003Cstrong>рівноваги за наявності тертя\u003C\u002Fstrong> звичайні рівняння статики доповнюють умовами сухого тертя. Головна відмінність від гладкого контакту полягає в тому, що реакція шорсткої поверхні має нормальну та дотичну складові.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Схема вільного тіла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реакцію шорсткого контакту зручно розкласти на нормальну реакцію $N$ і силу тертя $F_{fr}$. Нормальна складова перпендикулярна до поверхні, а сила тертя лежить у дотичному напрямі й протидіє можливому відносному ковзанню.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Послідовність перевірки\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-friction-equilibrium-check}}\u003Ch2>Похила площина\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тіла на похилій площині вага розкладається на складову вздовж площини $G\\sin\\alpha$ і нормальну складову $G\\cos\\alpha$. Якщо інших сил немає, для спокою потрібно $G\\sin\\alpha\\le\\mu G\\cos\\alpha$, тобто $\\tan\\alpha\\le\\mu$. Граничний кут відповідає куту тертя.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напрям сили тертя\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Напрям тертя визначають не за фактичним рухом, якого в задачі рівноваги немає, а за тенденцією до відносного ковзання без тертя. Якщо початкове припущення напряму виявилося протилежним, розраховане значення сили тертя буде від’ємним.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Гранична рівновага\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коли в умові сказано, що тіло перебуває на межі руху, починає ковзати або потрібно знайти мінімальну чи максимальну силу перед початком руху, зазвичай розглядають граничний стан $|F_{fr}|=\\mu N$. Для звичайної рівноваги слід використовувати нерівність.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Брусок вагою 1 кН лежить на горизонтальній поверхні з $\\mu=0{,}25$. Горизонтальна сила 180 Н потребує сили тертя 180 Н. Оскільки $F_{fr,max}=0{,}25\\cdot1000=250$ Н, рівновага можлива. Якщо горизонтальна сила зросте до 300 Н, статичне тертя вже не може забезпечити спокій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>відразу підставляти $F_{fr}=\\mu N$ без ознаки граничного стану;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не перевіряти отриману силу тертя за нерівністю;\u003C\u002Fli>\u003Cli>напрямляти тертя разом із тенденцією ковзання, а не проти неї;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати зміну нормальної реакції через похилі зовнішні сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати модель сухого тертя там, де умова задачі задає іншу модель контакту.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":240,"parent_id":213,"code":9,"slug":241,"name":242,"seo_title":243,"seo_description":244,"seo_text":245,"content":246,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":241,"children":247},181,"tertia-kochennia","Тертя кочення","Тертя кочення — статика","Тертя кочення у теоретичній механіці: природа опору коченню, момент опору та умови рівноваги коліс і циліндричних тіл.","Тема пояснює опір коченню та його відмінність від тертя ковзання. Розглядається момент опору коченню та використання відповідної моделі в задачах рівноваги коліс і циліндричних тіл.","\u003Cp>\u003Cstrong>Опір коченню\u003C\u002Fstrong> виникає під час кочення колеса, циліндра або іншого округлого тіла по реальній поверхні. На відміну від ідеального точкового контакту, контактна зона деформується, тому результуюча нормальна реакція може бути зміщена відносно геометричної вертикалі через центр тіла й створювати момент, що протидіє коченню.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Модель моменту опору\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-rolling-resistance-moment}}\u003Cp>Коефіцієнт $\\delta$ у цій моделі має одиниці довжини, наприклад метри або міліметри. Це принципова відмінність від безрозмірного коефіцієнта тертя ковзання $\\mu$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для абсолютно твердого колеса на абсолютно твердій поверхні ідеалізований опір коченню відсутній. У реальному контакті деформації колеса та опорної поверхні, гістерезис матеріалу й інші втрати створюють опір. У простій статичній моделі ці ефекти замінюють моментом опору або еквівалентним зміщенням нормальної реакції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Умова початку кочення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо зовнішні сили створюють відносно центра колеса рушійний момент, кочення починається тоді, коли цей момент перевищує максимально доступний момент опору коченню за прийнятою моделлю. При цьому окремо потрібно перевіряти умову відсутності ковзання в контакті, якщо в задачі враховується сухе тертя.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кочення і ковзання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Опір коченню та тертя ковзання — різні явища. Тертя в контакті може бути необхідним для кочення без проковзування, тоді як опір коченню описує втрати, що перешкоджають самому перекочуванню. Тому коефіцієнти $\\mu$ і $\\delta$ не можна взаємозамінювати.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для колеса з нормальною реакцією $N=2$ кН і коефіцієнтом опору коченню $\\delta=5$ мм маємо $M_{rr}=2000\\cdot0{,}005=10$ Н·м. Зовнішній рушійний момент має подолати цей опір, щоб за спрощеною моделлю почалося кочення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати $\\delta$ безрозмірним коефіцієнтом;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати опір коченню з силою тертя ковзання $\\mu N$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не переводити міліметри в метри при обчисленні моменту в Н·м;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати можливість ковзання при аналізі кочення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати просту модель $M_{rr}=N\\delta$ без урахування того, яка саме модель задана в умові задачі.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":249,"parent_id":44,"code":9,"slug":250,"name":251,"seo_title":252,"seo_description":253,"seo_text":254,"content":255,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":250,"children":256},134,"kinematyka","Кінематика","Кінематика — рух, швидкість і прискорення | Теормех","Кінематика в теоретичній механіці: положення, траєкторія, швидкість і прискорення точки та твердого тіла. Теорія, формули й задачі.","Кінематика вивчає геометричні характеристики механічного руху без аналізу сил, що його спричиняють. Розділ охоплює способи задання руху, траєкторію, швидкість і прискорення точки, а також основні види руху твердого тіла. Теорія доповнюється практичними задачами.","\u003Cp>Кінематика описує механічний рух без розгляду причин, які його викликають. Основні величини розділу — положення, переміщення, траєкторія, швидкість і прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Матеріал орієнтований на розв’язування задач: від визначення параметрів руху точки до аналізу поступального, обертального та плоскопаралельного руху твердого тіла.\u003C\u002Fp>",[257,300,343,375,401],{"id":258,"parent_id":249,"code":9,"slug":259,"name":260,"seo_title":260,"seo_description":261,"seo_text":262,"content":263,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":259,"children":264},278,"kinematyka-materialnoi-tochky","Кінематика матеріальної точки","Способи задання руху, швидкість, прискорення та окремі випадки руху матеріальної точки.","Розділ об’єднує основні методи опису руху матеріальної точки, визначення її швидкості та прискорення і типові окремі випадки руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кінематика матеріальної точки\u003C\u002Fstrong> вивчає способи опису руху точки незалежно від причин, що цей рух викликають. Основне завдання — за заданим законом руху визначати положення точки, її траєкторію, швидкість і прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Задання руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рух можна описувати координатним, векторним або природним способом. Вибір способу залежить від геометрії задачі та від того, які характеристики руху потрібно знайти.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкість і прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Швидкість характеризує зміну положення точки в часі та напрямлена по дотичній до траєкторії. Прискорення характеризує зміну вектора швидкості й може бути розкладене на компоненти, пов’язані зі зміною модуля та напряму швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові закони руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Прямолінійний, рівномірний, рівноприскорений і криволінійний рух є базовими моделями, на яких відпрацьовуються зв’язки між координатою, швидкістю та прискоренням.\u003C\u002Fp>",[265,274,283,292],{"id":266,"parent_id":258,"code":9,"slug":267,"name":268,"seo_title":269,"seo_description":270,"seo_text":271,"content":272,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":267,"children":273},197,"kinematyka-tochky-sposoby-zadannia-rukhu","Кінематика точки. Способи задання руху","Кінематика точки та способи задання руху","Кінематика матеріальної точки: векторний, координатний і природний способи задання руху, траєкторія та закон руху.","Тема вводить кінематику точки та основні способи задання її руху: векторний, координатний і природний. Розглядаються закон руху, траєкторія та перехід між описами.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кінематика точки\u003C\u002Fstrong> описує рух матеріальної точки без аналізу сил, що його спричиняють. Основне завдання — встановити положення точки як функцію часу, її траєкторію, швидкість і прискорення відносно вибраної системи відліку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Система відліку та закон руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для опису руху задають тіло відліку, пов’язану з ним систему координат і спосіб вимірювання часу. Закон руху повинен дозволяти визначити положення точки в будь-який момент часу в межах розглядуваного інтервалу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні способи задання руху\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-particle-motion-description}}\u003Ch2>Векторний спосіб\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Радіус-вектор $\\vec r(t)$ сполучає початок координат із рухомою точкою. Сукупність кінців $\\vec r(t)$ при зміні часу утворює траєкторію. У декартовому базисі $\\vec r=x\\vec i+y\\vec j+z\\vec k$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Координатний спосіб\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рівняння $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$ називають кінематичними рівняннями руху. Щоб отримати рівняння траєкторії, параметр часу виключають із цих залежностей. Для плоского руху достатньо двох координат.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Природний спосіб\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо форма траєкторії вже відома, вибирають початок відліку дугової координати $O_1$, додатний напрям уздовж кривої та задають закон $s=s(t)$. Знак $s$ характеризує положення відносно початку відліку, а знак $\\dot s$ — напрям руху вздовж траєкторії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Траєкторія, шлях і переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Траєкторія\u003C\u002Fstrong> — геометричне місце послідовних положень точки. \u003Cstrong>Шлях\u003C\u002Fstrong> — довжина пройденої ділянки траєкторії, тому він не зменшується під час руху. \u003Cstrong>Переміщення\u003C\u002Fstrong> — вектор від початкового положення до кінцевого; його модуль загалом не дорівнює пройденому шляху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай плоский рух задано $x=2t$, $y=t^2$ у метрах. Виключаючи час із $t=x\u002F2$, одержуємо траєкторію $y=x^2\u002F4$ — параболу. Параметричні рівняння одночасно задають і положення точки на цій траєкторії в кожний момент.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати закон руху з рівнянням траєкторії;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати шлях модулем переміщення для довільного криволінійного руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>виключати час, втрачаючи інформацію про напрям або допустимий інтервал руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати природний спосіб без заданої траєкторії та напряму відліку $s$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":275,"parent_id":258,"code":9,"slug":276,"name":277,"seo_title":278,"seo_description":279,"seo_text":280,"content":281,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":276,"children":282},198,"shvydkist-tochky","Швидкість точки","Швидкість точки в кінематиці","Швидкість матеріальної точки: вектор швидкості, декартові проекції, модуль і напрям, швидкість при природному способі задання руху.","Тема пояснює визначення швидкості матеріальної точки за векторним, координатним і природним способами задання руху та геометричний зміст вектора швидкості.","\u003Cp>\u003Cstrong>Швидкість точки\u003C\u002Fstrong> характеризує швидкість зміни її положення та напрям руху в даний момент. Середня швидкість описує зміну положення за скінченний проміжок часу, а миттєва швидкість визначається граничним переходом і є похідною радіус-вектора за часом.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вектор швидкості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для $\\vec r=\\vec r(t)$ миттєва швидкість дорівнює $\\vec v=d\\vec r\u002Fdt$. Вектор $\\vec v$ напрямлений по дотичній до траєкторії в бік руху точки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Координатний спосіб\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-particle-velocity-cartesian}}\u003Cp>Знаки $v_x$, $v_y$, $v_z$ показують, у якому напрямі змінюються відповідні координати. Нульова окрема проекція не означає, що точка нерухома.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Природний спосіб\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо положення задане дуговою координатою $s=s(t)$, алгебраїчна швидкість уздовж траєкторії дорівнює $v_s=ds\u002Fdt$. Векторно $\\vec v=(ds\u002Fdt)\\vec\\tau$, де $\\vec\\tau$ — одиничний дотичний вектор у додатному напрямі відліку $s$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Середня і миттєва швидкість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Середня векторна швидкість на інтервалі $\\Delta t$ дорівнює $\\Delta\\vec r\u002F\\Delta t$. Вона залежить від переміщення, а не від довжини пройденої траєкторії. При $\\Delta t\\to0$ середня швидкість переходить у миттєву.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для руху $x=3t^2$, $y=4t$ маємо $v_x=6t$, $v_y=4$. При $t=1$ с модуль швидкості $v=\\sqrt{6^2+4^2}=\\sqrt{52}\\approx7{,}21$ м\u002Fс. Напрям швидкості збігається з дотичною до траєкторії в цій точці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зупинка та зміна напряму\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Точка миттєво нерухома, якщо весь вектор швидкості дорівнює нулю. У прямолінійному русі зміна знака алгебраїчної швидкості означає зміну напряму руху; сам момент $v=0$ потрібно аналізувати разом із законом руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати середню швидкість із відношенням пройденого шляху до часу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обчислювати модуль швидкості як суму модулів її проекцій;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати знаки проекцій при визначенні напряму;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що $v_x=0$ означає повну зупинку точки.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":284,"parent_id":258,"code":9,"slug":285,"name":286,"seo_title":287,"seo_description":288,"seo_text":289,"content":290,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":285,"children":291},199,"pryskorennia-tochky","Прискорення точки","Прискорення точки в кінематиці","Прискорення матеріальної точки: вектор і проекції прискорення, дотична та нормальна складові, повне прискорення.","Тема розглядає прискорення точки як похідну швидкості, його декартові проекції, а також дотичну й нормальну складові при криволінійному русі.","\u003Cp>\u003Cstrong>Прискорення точки\u003C\u002Fstrong> характеризує швидкість зміни вектора швидкості. Воно може виникати як через зміну модуля швидкості, так і через зміну її напряму.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вектор прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Миттєве прискорення визначають як $\\vec a=d\\vec v\u002Fdt=d^2\\vec r\u002Fdt^2$. На відміну від швидкості, вектор прискорення загалом не є дотичним до траєкторії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Координатні та природні складові\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-particle-acceleration-components}}\u003Ch2>Дотичне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Складова $a_\\tau=dv\u002Fdt$ описує зміну модуля швидкості. Якщо $a_\\tau>0$ у напрямі руху, швидкість за модулем зростає; якщо дотична складова протилежна швидкості — модуль швидкості зменшується.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нормальне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Складова $a_n=v^2\u002F\\rho$ зумовлена зміною напряму швидкості. Вона завжди напрямлена до центра кривизни траєкторії та дорівнює нулю для прямолінійного руху, де радіус кривизни формально прямує до нескінченності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Повне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Оскільки дотична та нормальна складові взаємно перпендикулярні, модуль повного прискорення дорівнює $a=\\sqrt{a_\\tau^2+a_n^2}$. Напрям визначається векторною сумою $\\vec a=a_\\tau\\vec\\tau+a_n\\vec n$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Точка рухається по колу радіуса $\\rho=2$ м зі швидкістю 6 м\u002Fс, яка в даний момент зростає зі швидкістю 3 м\u002Fс². Тоді $a_\\tau=3$ м\u002Fс², $a_n=6^2\u002F2=18$ м\u002Fс², а $a=\\sqrt{3^2+18^2}\\approx18{,}25$ м\u002Fс².\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати прискорення нульовим лише тому, що модуль швидкості сталий;\u003C\u002Fli>\u003Cli>напрямляти нормальне прискорення вздовж дотичної;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати радіус кривизни траєкторії з відстанню до довільного центра координат;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати $a_\\tau$ і $a_n$ алгебраїчно при визначенні модуля повного прискорення.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":293,"parent_id":258,"code":9,"slug":294,"name":295,"seo_title":295,"seo_description":296,"seo_text":297,"content":298,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":294,"children":299},200,"okremi-vypadky-rukhu-tochky","Окремі випадки руху точки","Рівномірний і рівнозмінний прямолінійний рух точки, рух по колу та основні кінематичні залежності.","Тема систематизує типові закони руху точки: рівномірний, рівнозмінний прямолінійний рух і рух по колу, з основними залежностями між координатою, швидкістю та прискоренням.","\u003Cp>Багато задач кінематики зводяться до кількох \u003Cstrong>типових законів руху точки\u003C\u002Fstrong>. Їх корисно розрізняти за формою траєкторії та характером зміни швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівномірний прямолінійний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо точка рухається вздовж прямої зі сталою алгебраїчною швидкістю $v$, її координата змінюється за законом $s=s_0+vt$. Прискорення дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівнозмінний прямолінійний рух\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-uniformly-accelerated-motion}}\u003Cp>Якщо $a$ і $v_0$ мають однакові знаки, модуль швидкості спочатку зростає. За протилежних знаків точка може сповільнитися до зупинки, а потім змінити напрям руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вільне падіння як окремий випадок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо нехтувати опором повітря та зміною прискорення тяжіння з висотою, вертикальний рух поблизу поверхні Землі є рівнозмінним із прискоренням $\\vec g$, напрямленим униз. Знаки у формулах залежать від вибраного додатного напряму вертикальної осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівномірний рух по колу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При сталому модулі швидкості $v$ уздовж кола радіуса $R$ дотичне прискорення дорівнює нулю, але нормальне прискорення не зникає: $a_n=v^2\u002FR$. Воно напрямлене до центра кола, тому вектор швидкості постійно змінює напрям.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нерівномірний рух по колу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо модуль швидкості змінюється, точка має одночасно дотичне прискорення $a_\\tau=dv\u002Fdt$ і нормальне $a_n=v^2\u002FR$. Повне прискорення є їх векторною сумою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Автомобіль рухається прямолінійно з $v_0=5$ м\u002Fс і сталим прискоренням $a=2$ м\u002Fс². Через 4 с його швидкість становить $v=5+2\\cdot4=13$ м\u002Fс, а переміщення від початкового положення — $5\\cdot4+2\\cdot4^2\u002F2=36$ м.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>застосовувати формули сталого прискорення, коли $a$ залежить від часу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати прискорення нульовим при рівномірному русі по колу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>підставляти $g$ без узгодження його знака з напрямом осі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати координату $s$ з пройденим шляхом, якщо точка змінює напрям.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":301,"parent_id":249,"code":9,"slug":302,"name":303,"seo_title":304,"seo_description":305,"seo_text":306,"content":307,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":302,"children":308},279,"naiprostishi-rukhy-tverdoho-tila","Найпростіші рухи твердого тіла","Поступальний та обертальний рух твердого тіла","Поступальний рух, обертання навколо нерухомої осі, швидкості й прискорення точок та передачі обертання.","Розділ охоплює поступальний рух твердого тіла, обертання навколо нерухомої осі, кінематику його точок і передачі обертального руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Найпростіші рухи твердого тіла\u003C\u002Fstrong> — поступальний рух та обертання навколо нерухомої осі. Вони є базовими моделями кінематики твердого тіла й використовуються як складові більш загальних видів руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поступальний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При поступальному русі будь-яка пряма, жорстко зв’язана з тілом, залишається паралельною своєму початковому положенню. Усі точки тіла в кожний момент мають однакові вектори швидкості та прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Обертання навколо нерухомої осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Положення тіла визначається кутом повороту. Його похідні за часом задають кутову швидкість і кутове прискорення, а лінійні швидкості та прискорення точок залежать від їх відстані до осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Передача обертання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У механізмах обертальний рух передається між ланками через зубчасті, пасові, фрикційні та інші передачі. Кінематичні співвідношення пов’язують кутові швидкості елементів через геометричні параметри передачі.\u003C\u002Fp>",[309,317,325,334],{"id":310,"parent_id":301,"code":9,"slug":311,"name":312,"seo_title":312,"seo_description":313,"seo_text":314,"content":315,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":311,"children":316},201,"postupalnyi-rukh-tverdoho-tila","Поступальний рух твердого тіла","Поступальний рух абсолютно твердого тіла: траєкторії, швидкості та прискорення точок тіла й основні властивості руху.","Тема пояснює поступальний рух твердого тіла та доводить, що в кожний момент усі його точки мають однакові вектори швидкості й прискорення.","\u003Cp>\u003Cstrong>Поступальний рух твердого тіла\u003C\u002Fstrong> — рух, за якого будь-яка пряма, жорстко зв’язана з тілом, залишається паралельною своєму початковому положенню. Тіло при цьому не обертається відносно вибраної системи відліку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основна властивість\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-rigid-body-translation}}\u003Cp>Отже, для кінематичного аналізу поступального руху достатньо дослідити рух однієї довільної точки тіла. Результати для її швидкості та прискорення в той самий момент справедливі для всіх інших точок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Траєкторії точок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай $\\vec r_B=\\vec r_A+\\vec r_{AB}$, де $\\vec r_{AB}$ — сталий вектор, оскільки тіло абсолютно тверде й не змінює орієнтації. Тому траєкторія точки $B$ є траєкторією точки $A$, перенесеною на сталий вектор $\\vec r_{AB}$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Диференціюючи співвідношення положень за часом, отримуємо $\\vec v_B=\\vec v_A$, бо $d\\vec r_{AB}\u002Fdt=0$. Усі точки тіла мають однакові вектори швидкості в кожний момент, хоча їхні траєкторії розташовані в різних місцях простору.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Повторне диференціювання дає $\\vec a_B=\\vec a_A$. Отже, поступальний рух твердого тіла кінематично еквівалентний руху однієї точки щодо визначення швидкості та прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поступальний рух не обов’язково прямолінійний\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Термін «поступальний» описує незмінність орієнтації тіла, а не форму траєкторії. Наприклад, кабіна оглядового колеса за відповідної підвіски може рухатися поступально по криволінійній траєкторії, залишаючись вертикально орієнтованою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо одна точка платформи має в певний момент швидкість $\\vec v=(2\\vec i+3\\vec j)$ м\u002Fс і платформа рухається поступально, кожна інша її точка має в цей самий момент той самий вектор швидкості. Аналогічно збігаються їхні прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати поступальний рух обов’язково прямолінійним;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати поступальний рух із рухом без прискорення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>приписувати різним точкам поступально рухомого тіла різні кутові швидкості;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що однакові траєкторії точок повинні геометрично збігатися.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":318,"parent_id":301,"code":9,"slug":319,"name":320,"seo_title":320,"seo_description":321,"seo_text":322,"content":323,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":319,"children":324},202,"obertannia-tverdoho-tila-navkolo-nerukhomoi-osi","Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі","Кут повороту, кутова швидкість і кутове прискорення твердого тіла при обертанні навколо нерухомої осі.","Тема розглядає закон обертання твердого тіла навколо нерухомої осі, кутову швидкість, кутове прискорення та кінематичні характеристики точок тіла.","\u003Cp>\u003Cstrong>Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі\u003C\u002Fstrong> — рух, за якого дві точки тіла, а отже й пряма, що проходить через них, залишаються нерухомими. Цю пряму називають віссю обертання. Усі інші точки тіла рухаються по колах із центрами на осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон обертання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Положення тіла визначається кутом повороту $\\varphi=\\varphi(t)$. Додатний напрям відліку кута задають наперед; разом із ним визначають знаки кутової швидкості та кутового прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кутова швидкість і кутове прискорення\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-angular-velocity-acceleration}}\u003Cp>У SI кут вимірюють у радіанах. Кутова швидкість має розмірність рад\u002Fс, а кутове прискорення — рад\u002Fс²; радіан є безрозмірною похідною одиницею, але його позначення корисне для фізичного змісту величин.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Векторний опис\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вектор $\\vec\\omega$ напрямлений уздовж осі обертання за правилом правого гвинта. Вектор $\\vec\\varepsilon=d\\vec\\omega\u002Fdt$ при нерухомій осі також лежить уздовж цієї осі; його напрям відносно $\\vec\\omega$ показує, чи зростає модуль кутової швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівномірне обертання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\omega=const$, то $\\varepsilon=0$ і $\\varphi=\\varphi_0+\\omega t$. За один повний оберт зміна кута за модулем дорівнює $2\\pi$ рад.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівнозмінне обертання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\varepsilon=const$, то $\\omega=\\omega_0+\\varepsilon t$, а $\\varphi=\\varphi_0+\\omega_0t+\\varepsilon t^2\u002F2$. Ці залежності аналогічні формулам рівнозмінного прямолінійного руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Період і частота\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для рівномірного обертання період $T$ — час одного оберту, а частота $f=1\u002FT$ — кількість обертів за одиницю часу. Кутова швидкість пов’язана з ними співвідношенням $\\omega=2\\pi\u002FT=2\\pi f$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Диск обертається рівномірно з частотою $f=5$ Гц. Його кутова швидкість $\\omega=2\\pi f=10\\pi\\approx31{,}4$ рад\u002Fс. За 2 с диск здійснить 10 повних обертів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати кутову швидкість із лінійною швидкістю точки тіла;\u003C\u002Fli>\u003Cli>підставляти кут у градусах у формули, розраховані на радіани;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати знак $\\omega$ або $\\varepsilon$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що точки на осі обертання мають ненульову лінійну швидкість.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":326,"parent_id":301,"code":9,"slug":327,"name":328,"seo_title":329,"seo_description":330,"seo_text":331,"content":332,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":327,"children":333},203,"shvydkosti-pryskorennia-tochok-pry-obertanni","Швидкості та прискорення точок тіла при обертанні","Швидкості й прискорення точок тіла при обертанні","Лінійна швидкість, дотичне, нормальне та повне прискорення точок твердого тіла при обертанні навколо осі.","Тема пов’язує кутову швидкість і кутове прискорення тіла з лінійною швидкістю, дотичним, нормальним і повним прискоренням його точок.","\u003Cp>Під час \u003Cstrong>обертання твердого тіла навколо нерухомої осі\u003C\u002Fstrong> всі точки тіла мають однакові кутову швидкість $\\omega$ і кутове прискорення $\\varepsilon$, але їхні лінійні швидкості та прискорення залежать від відстані до осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінійна швидкість\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-fixed-axis-point-velocity}}\u003Cp>Чим далі точка розташована від осі, тим більший модуль її швидкості за однакової $\\omega$. Точки безпосередньо на осі мають $r=0$ і залишаються нерухомими.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Векторна формула швидкості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки з радіус-вектором $\\vec r$ від осі до точки швидкість можна подати як $\\vec v=\\vec\\omega\\times\\vec r$. Ця формула автоматично задає дотичний напрям швидкості за правилом векторного добутку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Дотичне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Зміна модуля швидкості зумовлює дотичну складову $a_\\tau=\\varepsilon r$. Вона напрямлена по дотичній до кола; її напрям залежить від знака кутового прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нормальне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Через зміну напряму швидкості виникає нормальна складова $a_n=\\omega^2r=v^2\u002Fr$, напрямлена від точки до осі обертання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Повне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Дотична та нормальна складові взаємно перпендикулярні, тому $a=\\sqrt{a_\\tau^2+a_n^2}=r\\sqrt{\\varepsilon^2+\\omega^4}$. У векторній формі $\\vec a=\\vec\\varepsilon\\times\\vec r+\\vec\\omega\\times(\\vec\\omega\\times\\vec r)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Точка диска розташована на відстані $r=0{,}20$ м від осі. При $\\omega=10$ рад\u002Fс і $\\varepsilon=4$ рад\u002Fс² маємо $v=2$ м\u002Fс, $a_\\tau=0{,}8$ м\u002Fс², $a_n=20$ м\u002Fс² і $a\\approx20{,}02$ м\u002Fс².\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>використовувати відстань до центра тіла замість найкоротшої відстані до осі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати $a_\\tau=\\varepsilon r$ з $a_n=\\omega^2r$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що за сталої $\\omega$ прискорення точки дорівнює нулю;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати дотичне та нормальне прискорення алгебраїчно замість векторного додавання.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":335,"parent_id":301,"code":9,"slug":336,"name":337,"seo_title":338,"seo_description":339,"seo_text":340,"content":341,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":336,"children":342},204,"peredachi-obertalnoho-rukhu","Передачі обертального руху","Передачі обертального руху в кінематиці","Кінематичні співвідношення для зубчастих, пасових і фрикційних передач: кутові швидкості, радіуси та передаточне відношення.","Тема розглядає передачу обертального руху між тілами без проковзування та зв’язок кутових швидкостей, радіусів і передаточного відношення.","\u003Cp>\u003Cstrong>Передачі обертального руху\u003C\u002Fstrong> передають рух від ведучої ланки до веденої. У кінематиці основна задача — встановити співвідношення між кутовими швидкостями, частотами обертання та геометричними параметрами ланок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Умова відсутності проковзування\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-rotation-transmission-ratio}}\u003Cp>Рівність дотичних швидкостей у контакті є основою розрахунку простих фрикційних, пасових і зубчастих передач у кінематичній ідеалізації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фрикційні колеса\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для двох зовнішньо дотичних коліс без проковзування $|\\omega_1|r_1=|\\omega_2|r_2$. Вони обертаються у протилежних напрямах. При внутрішньому контакті напрями обертання однакові.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пасова передача\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для відкритої пасової передачі без проковзування швидкість паса однакова на обох шківах, тому $\\omega_1r_1=\\omega_2r_2$ за модулями. Відкритий пас дає однаковий напрям обертання шківів, перехресний — протилежний.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зубчаста передача\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для зовнішньої пари зубчастих коліс $|\\omega_1|\u002F|\\omega_2|=z_2\u002Fz_1$, де $z_1$ і $z_2$ — числа зубців. Зовнішнє зачеплення змінює напрям обертання; внутрішнє зачеплення зберігає його.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Передаточне відношення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Передаточне відношення потрібно завжди читати разом із прийнятим означенням. Тут використано $i=\\omega_1\u002F\\omega_2$, де ланка 1 — ведуча, а 2 — ведена. Якщо потрібен лише модуль, знак напряму розглядають окремо.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Багатоступенева передача\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для послідовних ступенів загальне передаточне відношення дорівнює добутку передаточних відношень окремих ступенів. Напрям вихідного обертання визначають за кількістю зовнішніх зачеплень або перехресних пасових ступенів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ведуча шестірня має $z_1=20$ зубців і обертається з $\\omega_1=60$ рад\u002Fс. Ведена має $z_2=60$. Тоді $|\\omega_2|=60\\cdot20\u002F60=20$ рад\u002Fс, а напрям для зовнішнього зачеплення протилежний.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати відношення радіусів $r_2\u002Fr_1$ з $r_1\u002Fr_2$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не вказувати, яка ланка ведуча при визначенні $i$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати напрям обертання при зовнішньому зачепленні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати умову рівності швидкостей, якщо в задачі явно задане проковзування;\u003C\u002Fli>\u003Cli>для багатоступеневої передачі враховувати лише одну пару коліс.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":344,"parent_id":249,"code":9,"slug":345,"name":346,"seo_title":347,"seo_description":348,"seo_text":349,"content":350,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":345,"children":351},281,"ploskoparalelnyi-rukh","Плоскопаралельний рух","Плоскопаралельний рух твердого тіла","Плоскопаралельний рух, швидкості та прискорення точок твердого тіла.","Розділ присвячено плоскопаралельному руху твердого тіла та методам визначення швидкостей і прискорень його точок.","\u003Cp>\u003Cstrong>Плоскопаралельний рух твердого тіла\u003C\u002Fstrong> — рух, за якого всі точки тіла переміщуються у площинах, паралельних деякій нерухомій площині. Такий рух характерний для багатьох плоских механізмів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розклад руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Плоскопаралельний рух можна подати як поступальний рух разом із обертанням навколо осі, перпендикулярної до площини руху. Вибір точки-полюса не змінює фізичного руху, але може спростити обчислення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкості точок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Швидкість довільної точки визначається через швидкість полюса та відносну швидкість, спричинену обертанням тіла. Для аналізу швидкостей також застосовують миттєвий центр швидкостей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Прискорення точок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Прискорення точки складається з прискорення полюса та дотичної й нормальної складових, пов’язаних з обертанням. На відміну від задач на швидкості, миттєвий центр швидкостей не є універсальним центром для обчислення прискорень.\u003C\u002Fp>",[352,359,367],{"id":353,"parent_id":344,"code":9,"slug":354,"name":347,"seo_title":347,"seo_description":355,"seo_text":356,"content":357,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":354,"children":358},205,"ploskoparalelnyi-rukh-tverdoho-tila","Плоскопаралельний рух твердого тіла: розклад на поступальний та обертальний рух, рівняння руху плоскої фігури.","Тема вводить плоскопаралельний рух твердого тіла та його подання як суми поступального руху полюса й обертання тіла навколо полюса.","\u003Cp>\u003Cstrong>Плоскопаралельний рух твердого тіла\u003C\u002Fstrong> — рух, за якого всі точки тіла переміщуються в площинах, паралельних деякій нерухомій площині. Для його дослідження достатньо розглядати рух плоскої фігури — перерізу тіла площиною, паралельною площині руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінематичний розклад\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-plane-motion-decomposition}}\u003Cp>Вибір полюса довільний. Поступальна складова залежить від обраного полюса, але кутова швидкість і кутове прискорення плоскої фігури в даний момент не залежать від цього вибору.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння руху плоскої фігури\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Три функції $x_A=x_A(t)$, $y_A=y_A(t)$ і $\\varphi=\\varphi(t)$ повністю визначають положення фігури в площині. Перші дві описують рух полюса, третя — зміну орієнтації тіла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поступальна й обертальна складові\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Уявний розклад руху на поступальний і обертальний не означає, що тіло фізично виконує ці рухи послідовно. Це кінематичний спосіб опису одного реального руху: полюс переміщується, а фігура одночасно змінює орієнтацію.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кутові характеристики\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кутова швидкість $\\omega=\\dot\\varphi$, а кутове прискорення $\\varepsilon=\\ddot\\varphi$. Для плоского руху їхні вектори перпендикулярні до площини руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Окремі випадки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\omega=0$ протягом усього інтервалу, рух стає поступальним. Якщо полюс нерухомий, маємо обертання навколо нерухомої осі, перпендикулярної до площини руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Колесо, що котиться по прямій, здійснює плоскопаралельний рух: його центр переміщується поступально, а саме колесо одночасно обертається. Рух довільної точки обода визначається поєднанням цих двох складових.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати полюс фізичною нерухомою точкою тіла;\u003C\u002Fli>\u003Cli>припускати, що $\\omega$ залежить від вибору полюса;\u003C\u002Fli>\u003Cli>описувати положення плоскої фігури лише координатами однієї точки без кута $\\varphi$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати плоскопаралельний рух із чистим поступальним рухом.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":360,"parent_id":344,"code":9,"slug":361,"name":362,"seo_title":362,"seo_description":363,"seo_text":364,"content":365,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":361,"children":366},206,"shvydkosti-tochok-pry-ploskoparalelnomu-rusi","Швидкості точок при плоскопаралельному русі","Теорема про швидкості точок плоскої фігури, миттєвий центр швидкостей і визначення швидкостей точок твердого тіла.","Тема розглядає визначення швидкостей точок тіла при плоскопаралельному русі за допомогою полюса, кутової швидкості та миттєвого центра швидкостей.","\u003Cp>Для \u003Cstrong>плоскопаралельного руху\u003C\u002Fstrong> швидкості різних точок твердого тіла загалом відрізняються. Їх пов’язує теорема про швидкості точок плоскої фігури.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема про швидкості\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-plane-motion-velocity-theorem}}\u003Cp>Вибираючи точку $A$ з відомою швидкістю як полюс, можна визначити швидкість будь-якої іншої точки $B$. Вектор $\\vec\\omega\\times\\vec r_{B\u002FA}$ завжди перпендикулярний до $AB$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Проекції швидкостей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Оскільки відносна швидкість $\\vec v_{B\u002FA}$ перпендикулярна до $AB$, проекції швидкостей двох точок твердого тіла на пряму, що їх сполучає, однакові. Ця властивість часто дозволяє швидко знаходити невідомі компоненти без повної векторної побудови.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Миттєвий центр швидкостей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Миттєвий центр швидкостей (МЦШ)\u003C\u002Fstrong> — точка площини, швидкість якої в даний момент дорівнює нулю. Якщо МЦШ існує в скінченній точці $P$, рух фігури в цей момент за швидкостями еквівалентний миттєвому обертанню навколо $P$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Визначення МЦШ\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо відомі напрями швидкостей двох точок, через кожну з них проводять пряму, перпендикулярну до відповідної швидкості. Точка перетину цих прямих є МЦШ, якщо вони перетинаються в скінченній точці. Для чистого поступального руху МЦШ розглядають як точку на нескінченності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкість через МЦШ\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки $A$ при відомому МЦШ $P$ модуль швидкості $v_A=|\\omega|PA$. Тому $v_A\u002Fv_B=PA\u002FPB$. Напрями швидкостей перпендикулярні до прямих $PA$ і $PB$ та узгоджені з одним напрямом миттєвого обертання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кочення без проковзування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для колеса, що котиться без проковзування по нерухомій поверхні, точка контакту має нульову миттєву швидкість і є МЦШ. Звідси для центра колеса $v_C=\\omega R$ за модулями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо МЦШ плоскої ланки лежить у точці $P$, $PA=0{,}2$ м, $PB=0{,}5$ м, а $v_A=1$ м\u002Fс, то $|\\omega|=1\u002F0{,}2=5$ рад\u002Fс і $v_B=5\\cdot0{,}5=2{,}5$ м\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати МЦШ нерухомою матеріальною точкою тіла на скінченному інтервалі часу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>будувати МЦШ уздовж напрямів швидкостей замість перпендикулярів до них;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати відношення $v_A\u002Fv_B=PA\u002FPB$ без спільного МЦШ;\u003C\u002Fli>\u003Cli>припускати нульову швидкість точки контакту при коченні з проковзуванням.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":368,"parent_id":344,"code":9,"slug":369,"name":370,"seo_title":370,"seo_description":371,"seo_text":372,"content":373,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":369,"children":374},207,"pryskorennia-tochok-pry-ploskoparalelnomu-rusi","Прискорення точок при плоскопаралельному русі","Теорема про прискорення точок плоскої фігури: переносна, дотична та нормальна складові при плоскопаралельному русі.","Тема пояснює визначення прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі через прискорення полюса, кутову швидкість і кутове прискорення.","\u003Cp>У \u003Cstrong>плоскопаралельному русі\u003C\u002Fstrong> прискорення різних точок твердого тіла пов’язані прискоренням вибраного полюса, кутовою швидкістю та кутовим прискоренням фігури.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема про прискорення\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-plane-motion-acceleration-theorem}}\u003Cp>На відміну від задачі швидкостей, відносне прискорення має дві складові: дотичну через зміну кутової швидкості та нормальну через зміну напряму відносної швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Дотична складова\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вектор $\\vec a^\\tau_{B\u002FA}=\\vec\\varepsilon\\times\\vec r_{B\u002FA}$ перпендикулярний до $AB$. Його модуль дорівнює $|\\varepsilon|AB$, а напрям визначають за знаком кутового прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нормальна складова\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вектор $\\vec a^n_{B\u002FA}=\\vec\\omega\\times(\\vec\\omega\\times\\vec r_{B\u002FA})$ напрямлений від точки $B$ до полюса $A$ і має модуль $\\omega^2AB$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір полюса\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Полюс доцільно вибирати в точці, прискорення якої відоме або легко визначається з умов в’язей. Кутові величини $\\omega$ і $\\varepsilon$ не залежать від вибору полюса.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Миттєвий центр прискорень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У деяких випадках існує точка плоскої фігури з нульовим прискоренням, але її не слід ототожнювати з миттєвим центром швидкостей. Нульова швидкість точки в даний момент не означає нульового прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кочення без проковзування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Точка контакту колеса з нерухомою поверхнею має нульову швидкість у момент контакту, але загалом має ненульове прискорення. Тому використовувати її як «нерухомий центр» для прискорень так само, як МЦШ для швидкостей, не можна.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для ланки $AB=0{,}4$ м при $\\omega=5$ рад\u002Fс і $\\varepsilon=3$ рад\u002Fс² відносні складові прискорення точки $B$ відносно $A$ мають модулі $a^\\tau_{B\u002FA}=1{,}2$ м\u002Fс² і $a^n_{B\u002FA}=10$ м\u002Fс². Їх потрібно векторно додати до $\\vec a_A$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>враховувати лише дотичну або лише нормальну складову;\u003C\u002Fli>\u003Cli>напрямляти нормальну складову від полюса до точки;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати МЦШ точкою з нульовим прискоренням;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати модулі складових замість векторів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати різні значення $\\omega$ чи $\\varepsilon$ для різних точок одного твердого тіла.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":376,"parent_id":249,"code":9,"slug":377,"name":378,"seo_title":378,"seo_description":379,"seo_text":380,"content":381,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":377,"children":382},282,"skladnyi-rukh-materialnoi-tochky","Складний рух матеріальної точки","Відносний, переносний і абсолютний рух точки, додавання прискорень та прискорення Коріоліса.","Розділ охоплює складний рух матеріальної точки, теореми додавання швидкостей і прискорень та прискорення Коріоліса.","\u003Cp>\u003Cstrong>Складний рух матеріальної точки\u003C\u002Fstrong> розглядають, коли точка рухається відносно системи відліку, яка сама переміщується відносно іншої системи. Такий підхід дозволяє розділити рух на відносну, переносну та абсолютну складові.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Додавання швидкостей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Абсолютна швидкість точки визначається як векторна сума її відносної та переносної швидкостей. Це співвідношення є основою кінематичного аналізу рухомих напрямних і механізмів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Додавання прискорень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для прискорень структура складніша: крім відносного та переносного прискорень, при обертанні рухомої системи виникає прискорення Коріоліса. Воно залежить від кутової швидкості переносного руху та відносної швидкості точки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір систем відліку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ключовим етапом розв’язування є чітке визначення нерухомої та рухомої систем відліку й правильне віднесення кожної кінематичної величини до відповідного виду руху.\u003C\u002Fp>",[383,392],{"id":384,"parent_id":376,"code":9,"slug":385,"name":386,"seo_title":387,"seo_description":388,"seo_text":389,"content":390,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":385,"children":391},208,"skladnyi-rukh-tochky","Складний рух точки","Складний рух точки в кінематиці","Абсолютний, відносний і переносний рух точки. Теорема додавання швидкостей у складному русі.","Тема вводить абсолютний, відносний і переносний рух точки та показує, як визначати абсолютну швидкість через відносну й переносну складові.","\u003Cp>\u003Cstrong>Складний рух точки\u003C\u002Fstrong> розглядають, коли точка рухається відносно системи відліку, яка сама рухається відносно іншої, умовно нерухомої системи. Такий опис дає змогу розділити рух на абсолютну, відносну та переносну складові.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Три види руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Абсолютний рух\u003C\u002Fstrong> — рух точки відносно нерухомої системи відліку. \u003Cstrong>Відносний рух\u003C\u002Fstrong> — рух точки відносно рухомої системи. \u003Cstrong>Переносний рух\u003C\u002Fstrong> — рух тієї точки рухомої системи, з якою в даний момент збігається розглядувана точка.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Додавання швидкостей\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-relative-motion-velocity-addition}}\u003Cp>Це векторне співвідношення, тому модулі швидкостей загалом не можна просто додавати алгебраїчно. Потрібно враховувати їхні напрями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Переносна швидкість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо рухома система здійснює лише поступальний рух, усі її точки мають однакову переносну швидкість. Якщо система також обертається, для точки з радіус-вектором $\\vec r$ від вибраного полюса $O'$ переносна швидкість має вигляд $\\vec v_e=\\vec v_{O'}+\\vec\\omega_e\\times\\vec r$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Відносна швидкість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Відносну швидкість визначають так, ніби спостерігач рухається разом із рухомою системою координат. Наприклад, для повзуна в пазу, закріпленому на рухомій ланці, відносна швидкість напрямлена вздовж паза.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Геометричне додавання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рівняння $\\vec v_a=\\vec v_r+\\vec v_e$ зручно розв’язувати в проекціях на осі або побудовою трикутника швидкостей. Вибір способу залежить від того, які напрями та модулі задані.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Людина рухається вздовж вагона зі швидкістю 1,5 м\u002Fс відносно вагона, а вагон рухається по прямій зі швидкістю 12 м\u002Fс у тому самому напрямі. Абсолютна швидкість людини дорівнює 13,5 м\u002Fс. Якщо людина йде у протилежний бік, за тієї самої домовленості про знак абсолютна швидкість становить 10,5 м\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати відносну та переносну швидкості;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати модулі швидкостей без урахування напрямів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>для обертової рухомої системи брати переносну швидкість лише як швидкість її початку координат;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не вказувати, відносно якої системи визначена кожна швидкість.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":393,"parent_id":376,"code":9,"slug":394,"name":395,"seo_title":396,"seo_description":397,"seo_text":398,"content":399,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":394,"children":400},209,"dodavannia-pryskoren-pryskorennia-koriolisa","Додавання прискорень. Прискорення Коріоліса","Додавання прискорень і прискорення Коріоліса","Абсолютне, відносне, переносне та коріолісове прискорення точки у складному русі. Теорема додавання прискорень.","Тема розглядає теорему додавання прискорень у складному русі точки та фізичний і геометричний зміст прискорення Коріоліса.","\u003Cp>У складному русі точки при обертанні рухомої системи відліку абсолютне прискорення не зводиться лише до суми відносного та переносного. З’являється додаткова складова — \u003Cstrong>прискорення Коріоліса\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема додавання прискорень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки, що рухається відносно рухомої системи відліку, абсолютне прискорення записують як $\\vec a_a=\\vec a_r+\\vec a_e+\\vec a_C$, де $\\vec a_r$ — відносне, $\\vec a_e$ — переносне, а $\\vec a_C$ — коріолісове прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Прискорення Коріоліса\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-coriolis-acceleration}}\u003Ch2>Коли Коріолісове прискорення дорівнює нулю\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Складова $\\vec a_C$ зникає, якщо рухома система не обертається ($\\omega_e=0$), якщо точка не рухається відносно неї ($v_r=0$), або якщо $\\vec v_r$ паралельна чи антипаралельна $\\vec\\omega_e$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Переносне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для рухомої системи з полюсом $O'$ переносне прискорення точки, що миттєво збігається з рухомою точкою, містить прискорення полюса, дотичну та доцентрову складові обертального руху: $\\vec a_e=\\vec a_{O'}+\\vec\\varepsilon_e\\times\\vec r+\\vec\\omega_e\\times(\\vec\\omega_e\\times\\vec r)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напрям Коріолісового прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Напрям $\\vec a_C$ визначають як напрям $2\\vec\\omega_e\\times\\vec v_r$. У плоских задачах зручно спочатку встановити напрям $\\vec\\omega_e$ за правилом правої руки, а потім виконати векторний добуток із $\\vec v_r$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо диск обертається з $\\omega_e=4$ рад\u002Fс, а повзун рухається по радіальному пазу зі швидкістю $v_r=0{,}5$ м\u002Fс, то $\\theta=90^\\circ$ і $a_C=2\\cdot4\\cdot0{,}5=4$ м\u002Fс². Напрям лежить у площині диска та перпендикулярний до радіального напряму відносної швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>забувати множник 2 у формулі Коріоліса;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати абсолютну швидкість замість відносної $\\vec v_r$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати прискорення як скаляри без урахування напрямів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>включати Коріолісову складову при чисто поступальному русі рухомої системи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначати напрям без урахування порядку векторного добутку $\\vec\\omega_e\\times\\vec v_r$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":402,"parent_id":249,"code":9,"slug":403,"name":404,"seo_title":404,"seo_description":405,"seo_text":406,"content":407,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":15,"url_slug":403,"children":408},283,"prostorovyi-rukh-tverdoho-tila","Просторовий рух твердого тіла","Сферичний та загальний рух вільного твердого тіла у просторі.","Розділ об’єднує сферичний рух твердого тіла та загальний рух вільного твердого тіла у тривимірному просторі.","\u003Cp>\u003Cstrong>Просторовий рух твердого тіла\u003C\u002Fstrong> охоплює рухи, які не можна звести лише до плоскої кінематики. Орієнтація тіла змінюється у тривимірному просторі, тому кутова швидкість і кутове прискорення розглядаються як вектори.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сферичний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При сферичному русі одна точка тіла залишається нерухомою, а інші точки рухаються по поверхнях сфер із центром у цій точці. Миттєвий рух можна характеризувати обертанням навколо миттєвої осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Загальний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Загальний рух вільного твердого тіла можна подати як поступальний рух вибраного полюса та обертальний рух тіла відносно цього полюса. Такий розклад є просторовим аналогом ідеї, що використовується для плоскопаралельного руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінематичні характеристики\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Швидкості й прискорення точок визначаються з урахуванням поступальної складової, кутової швидкості та кутового прискорення тіла. Векторний запис дозволяє застосовувати єдиний підхід незалежно від орієнтації тіла.\u003C\u002Fp>",[409,417],{"id":410,"parent_id":402,"code":9,"slug":411,"name":412,"seo_title":412,"seo_description":413,"seo_text":414,"content":415,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":411,"children":416},210,"sferychnyi-rukh-tverdoho-tila","Сферичний рух твердого тіла","Сферичний рух твердого тіла з нерухомою точкою: кутова швидкість, миттєва вісь обертання та швидкості точок.","Тема знайомить зі сферичним рухом твердого тіла, що має одну нерухому точку, та з поняттями миттєвої осі й вектора кутової швидкості.","\u003Cp>\u003Cstrong>Сферичний рух твердого тіла\u003C\u002Fstrong> — просторовий рух, за якого одна точка тіла залишається нерухомою. Усі інші точки рухаються по поверхнях сфер із центром у цій нерухомій точці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Геометрія сферичного руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай точка $O$ тіла нерухома. Відстань $OP$ до будь-якої точки $P$ тіла стала, тому траєкторія $P$ лежить на сфері радіуса $OP$. На відміну від обертання навколо нерухомої осі, напрям миттєвої осі при сферичному русі загалом змінюється з часом.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Миттєва кутова швидкість\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-spherical-motion-velocity}}\u003Cp>Вектор $\\vec\\omega$ характеризує миттєве обертання тіла. Пряма через нерухому точку $O$, напрямлена вздовж $\\vec\\omega$, є миттєвою віссю обертання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкості точок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Модуль швидкості точки $P$ дорівнює $v_P=\\omega r_\\perp$, де $r_\\perp$ — найкоротша відстань від точки до миттєвої осі. Тому точки на самій миттєвій осі в цей момент мають нульові швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зміна миттєвої осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Миттєва вісь не є загалом постійною матеріальною прямою тіла. У процесі руху її положення змінюється як у тілі, так і в нерухомому просторі. Саме це відрізняє загальний сферичний рух від простого обертання навколо нерухомої осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кутове прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кутове прискорення визначається як $\\vec\\varepsilon=d\\vec\\omega\u002Fdt$ у нерухомій системі відліку. Оскільки може змінюватися не лише модуль, а й напрям $\\vec\\omega$, вектори $\\vec\\varepsilon$ і $\\vec\\omega$ загалом не паралельні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо в певний момент $\\omega=6$ рад\u002Fс, а точка розташована на перпендикулярній відстані 0,15 м від миттєвої осі, її швидкість має модуль $v=6\\cdot0{,}15=0{,}9$ м\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати миттєву вісь незмінною протягом усього сферичного руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати повну відстань $OP$ замість перпендикулярної відстані до миттєвої осі у формулі $v=\\omega r_\\perp$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>припускати, що $\\vec\\varepsilon$ завжди паралельне $\\vec\\omega$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати сферичний рух із рухом точки по сферичній поверхні.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":418,"parent_id":402,"code":9,"slug":419,"name":420,"seo_title":420,"seo_description":421,"seo_text":422,"content":423,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":419,"children":424},211,"zahalnyi-rukh-vilnoho-tverdoho-tila","Загальний рух вільного твердого тіла","Загальний просторовий рух твердого тіла: поступальна й обертальна складові, швидкості та прискорення точок.","Тема завершує кінематику твердого тіла загальним випадком просторового руху, який подають через рух полюса та обертання навколо нього.","\u003Cp>\u003Cstrong>Загальний рух вільного твердого тіла\u003C\u002Fstrong> — найзагальніший випадок кінематики твердого тіла, коли воно не має нерухомої точки або нерухомої осі. Такий рух можна подати як поступальний рух довільно вибраного полюса та одночасний сферичний рух тіла відносно цього полюса.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розклад загального руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Положення тіла визначається положенням вибраного полюса $A$ і орієнтацією тіла відносно нерухомої системи координат. Вибір полюса впливає на поступальну складову опису, але миттєва кутова швидкість $\\vec\\omega$ тіла не залежить від вибору полюса.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкість довільної точки\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-general-rigid-body-velocity}}\u003Cp>Це співвідношення є просторовим узагальненням теореми про швидкості точок плоскої фігури.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Прискорення довільної точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для двох точок $A$ і $B$ одного твердого тіла:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec a_B=\\vec a_A+\\vec\\varepsilon\\times\\vec r_{B\u002FA}+\\vec\\omega\\times(\\vec\\omega\\times\\vec r_{B\u002FA}).$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Друга складова пов’язана з кутовим прискоренням, третя — з миттєвою кутовою швидкістю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір полюса\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Полюс вибирають для зручності розрахунку — часто це центр мас, точка з відомим рухом або геометрично характерна точка механізму. Фізичний рух тіла від вибору полюса не змінюється.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зв’язок з окремими видами руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\vec\\omega=0$, загальний рух зводиться до поступального. Якщо полюс нерухомий, отримуємо сферичний рух. Плоскопаралельний рух є спеціальним випадком, коли траєкторії точок лежать у паралельних площинах, а $\\vec\\omega$ має сталий напрям, перпендикулярний до цих площин.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Миттєвий гвинтовий рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У загальному просторовому випадку поле швидкостей твердого тіла можна інтерпретувати через миттєвий гвинтовий рух: обертання навколо певної миттєвої осі поєднується з поступальною складовою вздовж неї. Це узагальнює поняття миттєвої осі обертання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо полюс $A$ має швидкість $\\vec v_A$, а положення точки $B$ відносно нього відоме, швидкість $B$ визначають додаванням $\\vec v_A$ до $\\vec\\omega\\times\\vec r_{B\u002FA}$. Навіть якщо $A$ миттєво нерухомий, інші точки можуть мати ненульові швидкості через обертальну складову.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати загальний рух просто поступальним рухом центра мас;\u003C\u002Fli>\u003Cli>забувати обертальну складову $\\vec\\omega\\times\\vec r_{B\u002FA}$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>припускати, що $\\vec\\omega$ залежить від вибору полюса;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати плоскі скалярні правила напрямів без повного просторового векторного аналізу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати миттєвий гвинтовий опис із траєкторією конкретної матеріальної точки.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":426,"parent_id":44,"code":9,"slug":427,"name":428,"seo_title":429,"seo_description":430,"seo_text":431,"content":432,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":427,"children":433},135,"dynamika","Динаміка","Динаміка — закони руху та задачі | Теормех","Динаміка в теоретичній механіці: закони руху, сили, робота, енергія та імпульс. Основні формули, пояснення й практичні задачі.","Динаміка вивчає механічний рух тіл з урахуванням сил і мас. Розділ охоплює основні закони динаміки, диференціальні рівняння руху, роботу та потужність, кінетичну енергію, імпульс і загальні теореми динаміки. Теоретичні положення закріплюються задачами.","\u003Cp>Динаміка встановлює зв’язок між рухом матеріальних тіл і силами, що діють на них. Тут кінематичні характеристики поєднуються з масою, силами та законами механіки.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Розділ побудовано з орієнтацією на задачі: визначення сил і параметрів руху, застосування рівнянь динаміки, теорем про енергію, імпульс та інші практичні методи.\u003C\u002Fp>",[434,475,536,597],{"id":435,"parent_id":426,"code":9,"slug":436,"name":437,"seo_title":437,"seo_description":438,"seo_text":439,"content":440,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":436,"children":441},289,"dynamika-materialnoi-tochky","Динаміка матеріальної точки","Закони Ньютона, диференціальні рівняння та основні задачі руху матеріальної точки під дією сил.","Розділ охоплює основні закони динаміки матеріальної точки, рівняння руху, постановку основних задач і рух під дією типових сил.","\u003Cp>\u003Cstrong>Динаміка матеріальної точки\u003C\u002Fstrong> встановлює зв’язок між рухом точки та силами, що на неї діють. На відміну від кінематики, тут прискорення розглядається як наслідок силової взаємодії відповідно до законів Ньютона.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закони Ньютона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Основою розділу є принцип інерції, зв’язок результуючої сили з прискоренням та закон рівності дії і протидії. Для матеріальної точки сталої маси рівняння руху записують у векторній формі та проєктують на зручні осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Диференціальні рівняння руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сили відомі як функції положення, швидкості або часу, другий закон Ньютона приводить до диференціальних рівнянь. Їх розв’язок разом із початковими умовами визначає закон руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пряма й обернена задачі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У прямій задачі за заданим рухом визначають сили або їх результуючу; в оберненій — за відомими силами та початковими умовами знаходять рух. Типові моделі включають дію сили тяжіння, пружності та опору.\u003C\u002Fp>",[442,451,459,467],{"id":443,"parent_id":435,"code":9,"slug":444,"name":445,"seo_title":446,"seo_description":447,"seo_text":448,"content":449,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":444,"children":450},227,"osnovni-zakony-dynamiky-zakony-niutona","Основні закони динаміки. Закони Ньютона","Основні закони динаміки та закони Ньютона","Основні поняття динаміки матеріальної точки, інерціальні системи відліку та закони Ньютона.","Тема вводить основні поняття динаміки, інерціальні системи відліку, масу, силу та три закони Ньютона як основу рівнянь руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Динаміка\u003C\u002Fstrong> вивчає рух матеріальних тіл з урахуванням причин, що цей рух викликають. Основою класичної динаміки є закони Ньютона, які встановлюють зв’язок між силами, масою та прискоренням.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Матеріальна точка та інерціальна система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Матеріальною точкою називають модель тіла, розмірами якого в умовах задачі можна знехтувати. Закони Ньютона в стандартній формі застосовують в інерціальних системах відліку — системах, відносно яких вільна матеріальна точка зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перший закон Ньютона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо рівнодійна сил, прикладених до матеріальної точки, дорівнює нулю, її швидкість в інерціальній системі залишається сталою: $\\sum\\vec F=0\\Rightarrow\\vec v=const$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Другий закон Ньютона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки сталої маси основне рівняння динаміки має вигляд:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\vec a=\\sum_i\\vec F_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Прискорення має напрям рівнодійної сили, а його модуль прямо пропорційний силі та обернено пропорційний масі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Третій закон Ньютона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сили взаємодії двох тіл рівні за модулем, протилежні за напрямом і діють на різні тіла: $\\vec F_{12}=-\\vec F_{21}$. Тому їх не можна взаємно скорочувати на діаграмі сил одного тіла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Маса та сила\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Маса характеризує інертність тіла. У SI масу вимірюють у кілограмах, силу — у ньютонах: $1\\,\\text{Н}=1\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м}\u002F\\text{с}^2$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм застосування другого закону\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>виділити тіло або матеріальну точку;\u003C\u002Fli>\u003Cli>показати всі зовнішні сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вибрати систему координат;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначити прискорення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>записати $m\\vec a=\\sum\\vec F$ та спроєктувати на осі.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо на тіло масою 5 кг уздовж осі $x$ діє рівнодійна сила 20 Н, то $a_x=20\u002F5=4$ м\u002Fс².\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>змішувати сили, прикладені до різних тіл;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що для руху обов’язково потрібна ненульова рівнодійна;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати масу з вагою;\u003C\u002Fli>\u003Cli>записувати рівняння рівноваги $\\sum\\vec F=0$ для точки з ненульовим прискоренням.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":452,"parent_id":435,"code":9,"slug":453,"name":454,"seo_title":454,"seo_description":455,"seo_text":456,"content":457,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":453,"children":458},228,"dyferentsialni-rivniannia-rukhu-materialnoi-tochky","Диференціальні рівняння руху матеріальної точки","Рівняння руху матеріальної точки у векторній, декартовій та природній формах і постановка задач динаміки.","Тема розглядає основне рівняння динаміки матеріальної точки та його запис у декартових і природних координатах.","\u003Cp>Диференціальні рівняння руху поєднують кінематику точки із силами, що на неї діють. Для матеріальної точки сталої маси вони безпосередньо випливають із другого закону Ньютона.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Векторне рівняння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Основне рівняння руху:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\frac{d^2\\vec r}{dt^2}=\\sum_i\\vec F_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо сили залежать від положення, швидкості або часу, права частина може мати вигляд $\\vec F(\\vec r,\\vec v,t)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння в декартових координатах\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Проєктування на нерухомі осі дає систему:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\ddot x=\\sum F_x,\\qquad m\\ddot y=\\sum F_y,\\qquad m\\ddot z=\\sum F_z.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Це система диференціальних рівнянь другого порядку відносно координат точки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Природні координати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для руху по відомій траєкторії зручно проєктувати рівняння на дотичну та головну нормаль:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\frac{dv}{dt}=\\sum F_\\tau,\\qquad m\\frac{v^2}{\\rho}=\\sum F_n,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\rho$ — радіус кривини траєкторії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Початкові умови\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для однозначного визначення руху зазвичай задають початкове положення та початкову швидкість, наприклад $x(t_0)=x_0$ і $\\dot x(t_0)=v_{0x}$. Сталі інтегрування визначають саме з цих умов.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір координат\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Систему координат варто узгоджувати з геометрією руху й напрямами сил. Для прямолінійного руху достатньо однієї осі; для руху по кривій часто ефективні природні координати.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для вертикального падіння без опору повітря, якщо вісь $y$ спрямована вгору, маємо $m\\ddot y=-mg$, тобто $\\ddot y=-g$. Після двох інтегрувань і використання початкових умов отримують закон руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати знак проєкції сили з модулем сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати реакції в’язей;\u003C\u002Fli>\u003Cli>інтегрувати рівняння без використання початкових умов;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати $v^2\u002F\\rho$ як повне прискорення замість нормальної складової.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":460,"parent_id":435,"code":9,"slug":461,"name":462,"seo_title":462,"seo_description":463,"seo_text":464,"content":465,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":461,"children":466},229,"dvi-osnovni-zadachi-dynamiky-materialnoi-tochky","Дві основні задачі динаміки матеріальної точки","Пряма та обернена задачі динаміки: визначення руху за силами та сил за заданим законом руху.","Тема пояснює пряму й обернену задачі динаміки матеріальної точки та послідовність їх розв’язування.","\u003Cp>У динаміці матеріальної точки розрізняють дві основні постановки задач. Вони використовують те саме рівняння $m\\vec a=\\sum\\vec F$, але відрізняються тим, які величини задані та які потрібно знайти.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перша задача динаміки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За відомим законом руху точки, її масою та частиною сил визначають невідомі сили. Спочатку з $\\vec r(t)$ знаходять швидкість і прискорення, а потім із рівнянь динаміки — шукані сили або реакції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Друга задача динаміки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За відомими силами, масою та початковими умовами визначають закон руху. Для цього складають диференціальні рівняння, інтегрують їх і знаходять сталі інтегрування з початкових умов.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перша задача: алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>записати заданий закон руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>двічі продиференціювати координати та знайти прискорення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>побудувати схему сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>записати проєкції $m\\vec a=\\sum\\vec F$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначити невідомі сили.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Друга задача: алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>виділити матеріальну точку та показати сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вибрати координати;\u003C\u002Fli>\u003Cli>скласти диференціальні рівняння руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>інтегрувати їх;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використати початкові умови;\u003C\u002Fli>\u003Cli>перевірити отриманий закон руху та розмірності.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Приклад першої задачі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо рух уздовж осі задано $x=2t^2$ м для точки масою 3 кг, то $a_x=4$ м\u002Fс², а необхідна рівнодійна вздовж осі становить $F_x=ma_x=12$ Н.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад другої задачі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо на точку маси $m$ діє стала сила $F$ уздовж осі, то $\\ddot x=F\u002Fm$. За початкових умов $x(0)=x_0$, $\\dot x(0)=v_0$ отримуємо $x=x_0+v_0t+Ft^2\u002F(2m)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>не розрізняти, що є заданим у першій і другій задачах;\u003C\u002Fli>\u003Cli>забувати початкові умови у другій задачі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначати силу за швидкістю замість прискорення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не включати невідомі реакції в рівняння руху.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":468,"parent_id":435,"code":9,"slug":469,"name":470,"seo_title":470,"seo_description":471,"seo_text":472,"content":473,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":469,"children":474},230,"rukh-materialnoi-tochky-pid-diieiu-typovykh-syl","Рух матеріальної точки під дією типових сил","Динаміка точки під дією сили тяжіння, пружності, тертя та опору середовища.","Тема розглядає моделі руху матеріальної точки під дією типових сил: тяжіння, пружності, сухого тертя та опору середовища.","\u003Cp>У задачах динаміки часто повторюються типові моделі сил. Правильний запис цих сил і вибір напрямів дають змогу швидко скласти диференціальне рівняння руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила тяжіння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поблизу поверхні Землі силу тяжіння приймають сталою: $\\vec F_g=m\\vec g$. Якщо опором повітря нехтувати, вертикальний рух має сталу прискореність $g$, напрямлену вниз.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила пружності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для лінійної пружини в межах моделі Гука відновлювальна сила пропорційна деформації та напрямлена проти неї:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$F_s=-kx.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>За відсутності інших змінних сил рівняння $m\\ddot x+kx=0$ описує вільні гармонічні коливання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сухе тертя ковзання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У простій моделі Кулона модуль сили тертя ковзання дорівнює $F_f=\\mu N$, а напрям протилежний відносній швидкості ковзання. Знак проєкції сили потрібно визначати за фактичним напрямом руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Опір середовища\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При невеликих швидкостях часто використовують лінійну модель $\\vec R=-c\\vec v$. В інших умовах застосовують квадратичну залежність, у якій модуль опору пропорційний $v^2$. Конкретну модель має задавати умова задачі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рух по похилій площині\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо вісь спрямувати вздовж площини під кутом $\\alpha$ до горизонту, складова сили тяжіння вздовж неї має модуль $mg\\sin\\alpha$, а нормальна складова — $mg\\cos\\alpha$. За відсутності інших нормальних сил $N=mg\\cos\\alpha$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тіло ковзає вниз по похилій площині з коефіцієнтом тертя $\\mu$. Якщо додатний напрям вибрано вниз уздовж площини, то $ma=mg\\sin\\alpha-\\mu mg\\cos\\alpha$, звідки $a=g(\\sin\\alpha-\\mu\\cos\\alpha)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>автоматично спрямовувати силу тертя проти осі, а не проти ковзання;\u003C\u002Fli>\u003Cli>записувати силу пружності без відновлювального напряму;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати $N=mg$ для будь-якої геометрії руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>змішувати лінійну та квадратичну моделі опору середовища.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":476,"parent_id":426,"code":9,"slug":477,"name":478,"seo_title":478,"seo_description":479,"seo_text":480,"content":481,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":477,"children":482},290,"zahalni-teoremy-dynamiky-materialnoi-tochky","Загальні теореми динаміки матеріальної точки","Імпульс, момент кількості руху, робота, кінетична і потенціальна енергія та закони збереження.","Розділ об’єднує енергетичні та імпульсні методи динаміки матеріальної точки: кількість руху, момент кількості руху, роботу, енергію та закони збереження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Загальні теореми динаміки матеріальної точки\u003C\u002Fstrong> дають альтернативу безпосередньому інтегруванню диференціальних рівнянь руху. Вони пов’язують зміну характеристик руху з імпульсом сил, їх моментами та роботою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Імпульсний підхід\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кількість руху характеризує поступальний рух точки. Теорема про її зміну пов’язує зміну кількості руху за певний проміжок часу з імпульсом результуючої сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент кількості руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для аналізу руху відносно точки або осі використовують момент кількості руху. Його зміна визначається моментом діючих сил відносно того самого центра або осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота та енергія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Теорема про зміну кінетичної енергії пов’язує зміну швидкості через роботу сил і часто дозволяє виключити час із розрахунку. Для потенціальних сил вводять потенціальну енергію, а за відповідних умов застосовують закон збереження механічної енергії.\u003C\u002Fp>",[483,492,501,510,519,528],{"id":484,"parent_id":476,"code":9,"slug":485,"name":486,"seo_title":487,"seo_description":488,"seo_text":489,"content":490,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":485,"children":491},231,"kilkist-rukhu-tochky-impuls-syly","Кількість руху точки. Імпульс сили","Кількість руху матеріальної точки та імпульс сили","Кількість руху, імпульс сили та теорема про зміну кількості руху матеріальної точки.","Тема вводить кількість руху матеріальної точки, імпульс сили та інтегральну форму теореми про зміну кількості руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кількість руху матеріальної точки\u003C\u002Fstrong> (лінійний імпульс) — векторна міра механічного руху, що визначається добутком маси точки на її швидкість.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кількість руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки сталої маси:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec p=m\\vec v.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Вектор $\\vec p$ має той самий напрям, що й швидкість. Одиниця SI — кг·м\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Імпульс сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Імпульс сили за проміжок часу від $t_1$ до $t_2$ визначається:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec J=\\int_{t_1}^{t_2}\\vec F\\,dt.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для сталої сили $\\vec J=\\vec F\\Delta t$. Імпульс характеризує дію сили протягом певного часу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема про зміну кількості руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Із другого закону Ньютона для сталої маси випливає $d\\vec p\u002Fdt=\\sum\\vec F$. Після інтегрування:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec p_2-\\vec p_1=\\int_{t_1}^{t_2}\\sum\\vec F\\,dt.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, зміна кількості руху дорівнює імпульсу рівнодійної сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Проєкції на осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Векторну теорему можна застосовувати окремо за координатними напрямами: $mv_{2x}-mv_{1x}=\\int\\sum F_xdt$ і аналогічно для інших осей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Коли метод зручний\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Імпульсний підхід особливо ефективний, коли потрібно пов’язати швидкості у два моменти часу, а детальний закон руху між ними не потрібний. Він також корисний для короткочасних великих сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На тіло масою 2 кг, яке спочатку має швидкість 3 м\u002Fс уздовж осі $x$, протягом 0,5 с діє стала сила 8 Н у тому самому напрямі. Імпульс сили дорівнює 4 Н·с, тому $2v_2-2\\cdot3=4$ і $v_2=5$ м\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати кількість руху $m\\vec v$ з кінетичною енергією;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати векторний характер імпульсу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати $F\\Delta t$ для змінної сили без обґрунтування;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не включати всі сили до сумарного імпульсу.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":493,"parent_id":476,"code":9,"slug":494,"name":495,"seo_title":496,"seo_description":497,"seo_text":498,"content":499,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":494,"children":500},232,"moment-kilkosti-rukhu-tochky","Момент кількості руху точки","Момент кількості руху матеріальної точки","Момент кількості руху точки відносно центра й осі та теорема про його зміну.","Тема розглядає момент кількості руху матеріальної точки, кінетичний момент і зв’язок його зміни з моментом сили.","\u003Cp>\u003Cstrong>Момент кількості руху\u003C\u002Fstrong> характеризує обертальну складову руху матеріальної точки відносно вибраного центра або осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент кількості руху відносно центра\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки $M$ відносно центра $O$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec L_O=\\vec r\\times m\\vec v,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\vec r=\\overrightarrow{OM}$. Напрям $\\vec L_O$ визначають за правилом правої руки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Модуль\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Модуль моменту кількості руху дорівнює $L_O=mvr\\sin\\theta=mv h$, де $h$ — перпендикулярна відстань від центра $O$ до лінії швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент відносно осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Момент кількості руху відносно осі є проєкцією вектора $\\vec L_O$ на цю вісь. Для осі $z$: $L_z=(\\vec r\\times m\\vec v)\\cdot\\vec e_z$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема про зміну моменту кількості руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для нерухомого центра $O$ в інерціальній системі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{d\\vec L_O}{dt}=\\vec M_O,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\vec M_O=\\vec r\\times\\sum\\vec F$ — момент рівнодійної сил відносно $O$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон збереження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо момент рівнодійної зовнішніх сил відносно центра дорівнює нулю, то $\\vec L_O=const$. Аналогічно, якщо сума моментів сил відносно певної нерухомої осі дорівнює нулю, відповідна складова моменту кількості руху зберігається.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Точка масою 2 кг рухається зі швидкістю 4 м\u002Fс перпендикулярно до радіус-вектора довжиною 0,5 м. Тоді $L_O=mvr=2\\cdot4\\cdot0{,}5=4$ кг·м²\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати момент кількості руху з моментом сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>міняти порядок векторного добутку;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати повну відстань $r$ замість плеча $h$, коли вектори не перпендикулярні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати закон збереження без перевірки зовнішнього моменту.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":502,"parent_id":476,"code":9,"slug":503,"name":504,"seo_title":505,"seo_description":506,"seo_text":507,"content":508,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":503,"children":509},233,"robota-syly-potuzhnist","Робота сили. Потужність","Робота сили та потужність у динаміці","Елементарна й повна робота сили, робота типових сил та потужність.","Тема охоплює роботу сили на переміщенні, потужність, знаки роботи та обчислення роботи типових сил.","\u003Cp>\u003Cstrong>Робота сили\u003C\u002Fstrong> характеризує дію сили на переміщенні, а \u003Cstrong>потужність\u003C\u002Fstrong> — швидкість виконання роботи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Елементарна робота\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На нескінченно малому переміщенні $d\\vec r$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$dA=\\vec F\\cdot d\\vec r=F\\,ds\\cos\\alpha,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\alpha$ — кут між силою та напрямом переміщення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота на скінченному переміщенні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Від точки 1 до точки 2:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$A_{1\\to2}=\\int_1^2\\vec F\\cdot d\\vec r.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для сталої сили на прямолінійному переміщенні $s$: $A=Fs\\cos\\alpha$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Знак роботи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Робота додатна при гострому куті між силою і переміщенням, від’ємна при тупому та дорівнює нулю, якщо сила перпендикулярна до миттєвого переміщення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота сили тяжіння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поблизу поверхні Землі робота сили тяжіння залежить лише від зміни висоти: $A_g=mg(h_1-h_2)$. При русі вниз вона додатна, при русі вгору — від’ємна.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота сили пружності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для пружини з $F_x=-kx$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$A_s=\\frac{kx_1^2}{2}-\\frac{kx_2^2}{2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Потужність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Миттєва потужність сили:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$P=\\frac{dA}{dt}=\\vec F\\cdot\\vec v.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Одиниця SI — ват: $1\\,\\text{Вт}=1\\,\\text{Дж}\u002F\\text{с}$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Стала сила 50 Н переміщує точку на 3 м у своєму напрямі. Робота дорівнює 150 Дж. Якщо це переміщення відбулося за 5 с із рівномірною середньою швидкістю виконання роботи, середня потужність становить 30 Вт.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>використовувати $Fs$ без урахування кута;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати роботу з потужністю;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати роботу завжди додатною;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати середню потужність замість миттєвої $\\vec F\\cdot\\vec v$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":511,"parent_id":476,"code":9,"slug":512,"name":513,"seo_title":514,"seo_description":515,"seo_text":516,"content":517,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":512,"children":518},234,"kinetychna-enerhiia-tochky-teorema-pro-zminu","Кінетична енергія точки. Теорема про зміну кінетичної енергії","Кінетична енергія точки та теорема про її зміну","Кінетична енергія матеріальної точки та теорема про зміну кінетичної енергії через роботу сил.","Тема пояснює кінетичну енергію матеріальної точки та застосування теореми про її зміну для розв’язування задач динаміки.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кінетична енергія\u003C\u002Fstrong> — скалярна міра механічного руху матеріальної точки. На відміну від кількості руху, вона не залежить від напряму швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінетична енергія точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для матеріальної точки маси $m$ зі швидкістю $v$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T=\\frac{mv^2}{2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Кінетична енергія невід’ємна і в SI вимірюється в джоулях.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Диференціальна форма теореми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Із $m\\vec a=\\sum\\vec F$ та $d\\vec r=\\vec vdt$ випливає:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$dT=\\sum\\vec F\\cdot d\\vec r=\\sum dA.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тобто елементарна зміна кінетичної енергії дорівнює сумі елементарних робіт сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтегральна форма\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Між положеннями 1 і 2:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T_2-T_1=\\sum A_{1\\to2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Це теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Переваги енергетичного методу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Метод безпосередньо пов’язує швидкості та положення й часто дозволяє не визначати час руху. Реакції ідеальних нерухомих в’язей, перпендикулярні до переміщення, роботи не виконують і можуть не входити до енергетичного рівняння.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Знак роботи та зміна швидкості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Додатна сумарна робота збільшує кінетичну енергію, від’ємна — зменшує. Проте теорема визначає зміну модуля швидкості через $v^2$, а не напрям вектора швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тіло масою 2 кг починає рух зі спокою, а сумарна робота сил на деякому переміщенні становить 36 Дж. Тоді $mv^2\u002F2=36$, звідки $v=6$ м\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>приписувати кінетичній енергії знак напряму швидкості;\u003C\u002Fli>\u003Cli>враховувати лише одну силу замість сумарної роботи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати теорему про зміну кінетичної енергії із законом збереження механічної енергії;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати енергетичне рівняння для безпосереднього визначення напряму швидкості.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":520,"parent_id":476,"code":9,"slug":521,"name":522,"seo_title":523,"seo_description":524,"seo_text":525,"content":526,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":15,"url_slug":521,"children":527},235,"potentsialne-sylove-pole-potentsialna-enerhiia","Потенціальне силове поле. Потенціальна енергія","Потенціальне силове поле та потенціальна енергія","Консервативні сили, потенціальне силове поле, потенціальна енергія та зв’язок роботи з її зміною.","Тема вводить потенціальне силове поле, консервативні сили й потенціальну енергію та пояснює їх зв’язок із роботою сили.","\u003Cp>\u003Cstrong>Потенціальним силовим полем\u003C\u002Fstrong> називають поле, в якому робота сил між двома положеннями не залежить від траєкторії руху, а визначається лише початковим і кінцевим положеннями. Такі сили називають консервативними.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Потенціальна енергія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для консервативної сили вводять потенціальну енергію $\\Pi$, таку що робота сили при переході з положення 1 у положення 2 дорівнює:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$A_{1\\to2}=\\Pi_1-\\Pi_2=-\\Delta\\Pi.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Нульовий рівень потенціальної енергії вибирають довільно; фізичне значення мають її різниці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила і потенціальна енергія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У просторовому випадку консервативна сила пов’язана з потенціальною енергією співвідношенням $\\vec F=-\\nabla\\Pi$. В одновимірному русі це дає $F_x=-d\\Pi\u002Fdx$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поле тяжіння поблизу Землі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо вісь висоти $h$ спрямована вгору, потенціальну енергію сили тяжіння можна записати як $\\Pi_g=mgh+C$. При виборі нульового рівня на $h=0$ маємо $\\Pi_g=mgh$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пружна сила\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для лінійної пружини $F_x=-kx$, тому потенціальна енергія деформації:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\Pi_s=\\frac{kx^2}{2}+C.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>При $x=0$ зазвичай вибирають $\\Pi_s=0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ознаки консервативної сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для консервативної сили робота по будь-якому замкненому контуру дорівнює нулю. Сухе тертя ковзання та більшість моделей опору середовища не є консервативними: їх робота залежить від пройденого шляху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тіло масою 3 кг опускається на 2 м. Зміна потенціальної енергії тяжіння дорівнює $\\Delta\\Pi=-3g\\cdot2$, а робота сили тяжіння — $A_g=6g\\approx58{,}9$ Дж при $g=9{,}81$ м\u002Fс².\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати роботу консервативної сили зі зміною потенціальної енергії: між ними протилежні знаки;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати абсолютне значення потенціальної енергії однозначним без вибору нульового рівня;\u003C\u002Fli>\u003Cli>приписувати потенціальну енергію сухому тертю;\u003C\u002Fli>\u003Cli>забувати знак мінус у $\\vec F=-\\nabla\\Pi$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":529,"parent_id":476,"code":9,"slug":530,"name":531,"seo_title":531,"seo_description":532,"seo_text":533,"content":534,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":125,"url_slug":530,"children":535},236,"zakon-zberezhennia-mekhanichnoi-enerhii","Закон збереження механічної енергії","Збереження суми кінетичної та потенціальної енергій у консервативних механічних системах.","Тема розглядає умови збереження механічної енергії та використання енергетичного балансу в задачах динаміки.","\u003Cp>\u003Cstrong>Механічна енергія\u003C\u002Fstrong> системи визначається як сума її кінетичної та потенціальної енергій: $E=T+\\Pi$. Для системи, на яку діють лише консервативні сили, ця сума залишається сталою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон збереження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо робота всіх неконсервативних сил дорівнює нулю, то:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T_1+\\Pi_1=T_2+\\Pi_2=const.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Кінетична й потенціальна енергії можуть переходити одна в одну, але їх сума не змінюється.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Енергетичний баланс\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У загальнішому випадку зміна механічної енергії дорівнює роботі неконсервативних сил:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$E_2-E_1=A_{nc}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Наприклад, від’ємна робота сухого тертя зменшує механічну енергію.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Гравітаційна система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки в однорідному полі тяжіння без опору $mv^2\u002F2+mgh=const$. Зменшення висоти супроводжується збільшенням кінетичної енергії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пружна система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для маси, зв’язаної з ідеальною пружиною, за відсутності втрат $mv^2\u002F2+kx^2\u002F2=const$. У крайніх положеннях швидкість може дорівнювати нулю, а пружна потенціальна енергія — бути максимальною.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір рівня потенціальної енергії\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Закон збереження не залежить від вибору нульового рівня $\\Pi$, якщо один і той самий рівень використано в усіх станах задачі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тіло падає зі спокою без опору з висоти 5 м. Вибравши $\\Pi=0$ внизу, маємо $mgh=mv^2\u002F2$, тому $v=\\sqrt{2gh}\\approx9{,}90$ м\u002Fс при $g=9{,}81$ м\u002Fс².\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>застосовувати закон збереження механічної енергії при наявності неврахованої роботи тертя;\u003C\u002Fli>\u003Cli>змішувати різні нульові рівні потенціальної енергії;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати окремо $T$ і $\\Pi$ сталими;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати збереження механічної енергії зі збереженням повної енергії фізичної системи.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":537,"parent_id":426,"code":9,"slug":538,"name":539,"seo_title":539,"seo_description":540,"seo_text":541,"content":542,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":538,"children":543},291,"dynamika-mekhanichnoi-systemy","Динаміка механічної системи","Центр мас, кількість руху, кінетичний момент і кінетична енергія механічної системи та теореми їх зміни.","Розділ охоплює динаміку систем матеріальних точок: центр мас, теореми про кількість руху, кінетичний момент і кінетичну енергію.","\u003Cp>\u003Cstrong>Динаміка механічної системи\u003C\u002Fstrong> поширює закони динаміки з однієї матеріальної точки на систему взаємодіючих точок або тверде тіло. Замість аналізу руху кожної частинки окремо часто використовують інтегральні характеристики всієї системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Центр мас\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Положення центра мас визначається розподілом маси. Теорема про рух центра мас показує, що його рух визначається головним вектором зовнішніх сил; внутрішні сили не змінюють рух центра мас системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кількість руху та кінетичний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сумарна кількість руху характеризує поступальну складову руху системи, а кінетичний момент — її обертальну характеристику відносно точки або осі. Теореми про їх зміну пов’язують ці величини із зовнішніми силами та моментами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінетична енергія системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій усіх точок системи. Теорема про її зміну враховує роботу сил і є одним із найзручніших енергетичних методів аналізу складних механічних систем.\u003C\u002Fp>",[544,553,562,571,580,588],{"id":545,"parent_id":537,"code":9,"slug":546,"name":547,"seo_title":548,"seo_description":549,"seo_text":550,"content":551,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":546,"children":552},237,"dynamika-mekhanichnoi-systemy-tsentr-mas","Динаміка механічної системи. Центр мас","Динаміка механічної системи та центр мас","Механічна система, внутрішні й зовнішні сили, маса системи та рух її центра мас.","Тема вводить механічну систему, класифікацію сил і центр мас та готує до загальних теорем динаміки системи.","\u003Cp>\u003Cstrong>Механічна система\u003C\u002Fstrong> — сукупність матеріальних точок або тіл, рух яких розглядають спільно. Перехід від однієї точки до системи дає змогу сформулювати загальні теореми динаміки для центра мас, кількості руху, кінетичного моменту та енергії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Маса системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з $n$ матеріальних точок загальна маса:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M=\\sum_{i=1}^{n}m_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У класичній механіці замкненої системи масу вважають сталою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зовнішні та внутрішні сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Зовнішні сили\u003C\u002Fstrong> діють на точки системи з боку тіл, які до системи не входять. \u003Cstrong>Внутрішні сили\u003C\u002Fstrong> — сили взаємодії між точками або тілами самої системи. Класифікація залежить від того, яку сукупність тіл обрано системою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Властивості внутрішніх сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За третім законом Ньютона внутрішні сили попарно рівні й протилежні. Тому їх головний вектор дорівнює нулю. Для центральних парних взаємодій також дорівнює нулю сумарний момент внутрішніх сил відносно довільного центра.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Центр мас\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Положення центра мас $C$ визначається:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec r_C=\\frac{1}{M}\\sum_{i=1}^{n}m_i\\vec r_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У декартових координатах $x_C=\\sum m_ix_i\u002FM$, $y_C=\\sum m_iy_i\u002FM$, $z_C=\\sum m_iz_i\u002FM$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкість і прискорення центра мас\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для сталої маси системи диференціювання дає $\\vec v_C=(1\u002FM)\\sum m_i\\vec v_i$ та $\\vec a_C=(1\u002FM)\\sum m_i\\vec a_i$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Суцільне тіло\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для неперервного розподілу маси суми замінюють інтегралами: $\\vec r_C=(1\u002FM)\\int\\vec r\\,dm$. За наявності симетрії центр мас часто лежить на осі, площині або в центрі симетрії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Дві точки масами 2 кг і 3 кг лежать на осі $x$ у координатах 0 м і 5 м. Тоді $x_C=(2\\cdot0+3\\cdot5)\u002F5=3$ м.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати поділ сил на внутрішні й зовнішні абсолютним, незалежним від вибору системи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>знаходити центр мас як просте середнє координат для нерівних мас;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати центр мас із геометричним центром неоднорідного тіла;\u003C\u002Fli>\u003Cli>робити висновок, що внутрішні сили взагалі не впливають на рух частин системи.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":554,"parent_id":537,"code":9,"slug":555,"name":556,"seo_title":557,"seo_description":558,"seo_text":559,"content":560,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":555,"children":561},238,"teorema-pro-rukh-tsentra-mas-systemy","Теорема про рух центра мас системи","Теорема про рух центра мас механічної системи","Рівняння руху центра мас механічної системи та наслідки для замкнених систем.","Тема розглядає теорему про рух центра мас і зв’язок прискорення центра мас із головним вектором зовнішніх сил.","\u003Cp>\u003Cstrong>Теорема про рух центра мас\u003C\u002Fstrong> дозволяє описати поступальний рух механічної системи одним рівнянням, у якому внутрішні сили не входять явно.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Виведення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожної точки системи $m_i\\vec a_i=\\vec F_i^{e}+\\vec F_i^{i}$. Після підсумовування за всіма точками внутрішні сили взаємно компенсуються, а $\\sum m_i\\vec a_i=M\\vec a_C$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основне рівняння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Отже:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M\\vec a_C=\\sum\\vec F^{e}=\\vec R^{e},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\vec R^{e}$ — головний вектор зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Проєкції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У декартових координатах:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M\\ddot x_C=\\sum F_x^{e},\\qquad M\\ddot y_C=\\sum F_y^{e},\\qquad M\\ddot z_C=\\sum F_z^{e}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Ці рівняння мають ту саму форму, що й рівняння руху матеріальної точки маси $M$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Наслідок при нульовій рівнодійній\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\sum\\vec F^{e}=0$, то $\\vec a_C=0$ і $\\vec v_C=const$. Центр мас або перебуває в спокої, або рухається рівномірно прямолінійно.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Збереження координати центра мас\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сума проєкцій зовнішніх сил лише на одну вісь, наприклад $x$, дорівнює нулю, то $v_{Cx}=const$. Якщо додатково $v_{Cx}(0)=0$, координата $x_C$ залишається сталою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Внутрішні сили можуть суттєво змінювати взаємне положення частин системи, але не можуть самі по собі змінити рух центра мас замкненої системи. Саме тому переміщення частин усередині ізольованої системи супроводжується компенсуючим рухом інших частин.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На систему масою 10 кг діє горизонтальна зовнішня рівнодійна 30 Н. Незалежно від внутрішніх взаємодій $a_C=30\u002F10=3$ м\u002Fс² у напрямі сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>включати внутрішні сили до правої частини рівняння центра мас після їх попарного підсумовування;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що $\\sum\\vec F^e=0$ означає нерухомий центр мас, а не сталу його швидкість;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати теорему до окремої частини системи, не перекласифікувавши сили на зовнішні та внутрішні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ототожнювати рух центра мас із рухом кожної точки системи.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":563,"parent_id":537,"code":9,"slug":564,"name":565,"seo_title":566,"seo_description":567,"seo_text":568,"content":569,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":564,"children":570},239,"teorema-pro-zminu-kilkosti-rukhu-systemy","Теорема про зміну кількості руху механічної системи","Зміна кількості руху механічної системи","Кількість руху механічної системи, імпульс зовнішніх сил і закон збереження кількості руху.","Тема розглядає теорему про зміну кількості руху механічної системи та умови його збереження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кількість руху механічної системи\u003C\u002Fstrong> дорівнює векторній сумі кількостей руху всіх її матеріальних точок. Теорема про її зміну дає змогу описувати поступальну складову руху системи через дію лише зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кількість руху системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з $n$ точок:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec Q=\\sum_{i=1}^{n}m_i\\vec v_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Оскільки $\\vec v_C=(1\u002FM)\\sum m_i\\vec v_i$, маємо важливе співвідношення:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec Q=M\\vec v_C.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Диференціальна форма теореми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Підсумовуючи рівняння руху всіх точок системи та враховуючи взаємне компенсування внутрішніх сил, отримуємо:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{d\\vec Q}{dt}=\\sum\\vec F^{e}=\\vec R^{e}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Швидкість зміни кількості руху системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтегральна форма\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За проміжок часу від $t_1$ до $t_2$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec Q_2-\\vec Q_1=\\int_{t_1}^{t_2}\\sum\\vec F^{e}\\,dt.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, зміна кількості руху системи дорівнює сумарному імпульсу зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон збереження кількості руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\sum\\vec F^{e}=0$, то $\\vec Q=const$. Якщо нульовою є лише сума проєкцій зовнішніх сил на певну вісь, зберігається відповідна проєкція кількості руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Внутрішні сили можуть змінювати швидкості окремих частин системи, але не змінюють її сумарну кількість руху. Саме це лежить в основі аналізу віддачі, розділення тіл та багатьох задач ударної взаємодії за малим зовнішнім імпульсом.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Два тіла масами 2 кг і 3 кг рухаються вздовж однієї осі зі швидкостями 4 м\u002Fс і -1 м\u002Fс. Кількість руху системи: $Q_x=2\\cdot4+3\\cdot(-1)=5$ кг·м\u002Fс. Якщо зовнішній імпульс уздовж осі дорівнює нулю, це значення зберігається.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>додавати модулі кількостей руху замість їх векторних проєкцій;\u003C\u002Fli>\u003Cli>включати внутрішні сили до сумарного зовнішнього імпульсу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що збереження $\\vec Q$ означає незмінність швидкості кожної точки;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати закон збереження без перевірки зовнішнього імпульсу.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":572,"parent_id":537,"code":9,"slug":573,"name":574,"seo_title":575,"seo_description":576,"seo_text":577,"content":578,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":573,"children":579},240,"teorema-pro-zminu-kinetychnoho-momentu-systemy","Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи","Зміна кінетичного моменту механічної системи","Кінетичний момент системи відносно центра й осі, моменти зовнішніх сил та закон збереження.","Тема розглядає теорему про зміну кінетичного моменту механічної системи та умови збереження моменту кількості руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кінетичний момент механічної системи\u003C\u002Fstrong> (момент кількості руху системи) характеризує обертальну складову її руху відносно вибраного центра або осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінетичний момент відносно центра\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Відносно нерухомого центра $O$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec K_O=\\sum_{i=1}^{n}\\vec r_i\\times m_i\\vec v_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Відносно осі використовують проєкцію цього вектора на відповідну вісь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема про зміну кінетичного моменту\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для нерухомого центра $O$ в інерціальній системі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{d\\vec K_O}{dt}=\\sum\\vec M_O^{e}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Похідна кінетичного моменту системи за часом дорівнює головному моменту зовнішніх сил відносно того самого центра.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому внутрішні сили не входять\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для центральних парних внутрішніх сил моменти сил взаємодії взаємно компенсуються. Тому в рівнянні для всієї системи залишається лише сумарний момент зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема відносно осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Проєктуючи векторне рівняння на нерухому вісь $z$, отримуємо:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{dK_z}{dt}=\\sum M_z^{e}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон збереження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\sum\\vec M_O^{e}=0$, то $\\vec K_O=const$. Якщо нульовою є лише сума моментів зовнішніх сил відносно певної осі, зберігається відповідна складова кінетичного моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Обертання твердого тіла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для твердого тіла, що обертається навколо нерухомої головної осі $z$, маємо $K_z=I_z\\omega$. Тоді рівняння набуває форми $I_z\\dot\\omega=\\sum M_z^{e}$ за сталого $I_z$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо тверде тіло має $I_z=2$ кг·м² і обертається з $\\omega=5$ рад\u002Fс, то $K_z=10$ кг·м²\u002Fс. За нульового зовнішнього моменту відносно осі це значення зберігається.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати кінетичний момент із моментом сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>брати моменти сил відносно одного центра, а кінетичний момент — відносно іншого;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати $K_z=I_z\\omega$ без перевірки умов руху та вибору осі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>стверджувати збереження всього вектора, якщо нульовою є лише одна проєкція зовнішнього моменту.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":581,"parent_id":537,"code":9,"slug":582,"name":583,"seo_title":583,"seo_description":584,"seo_text":585,"content":586,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":15,"url_slug":582,"children":587},241,"kinetychna-enerhiia-mekhanichnoi-systemy","Кінетична енергія механічної системи","Кінетична енергія системи та твердого тіла при поступальному, обертальному і плоскопаралельному русі.","Тема розглядає кінетичну енергію механічної системи та формули для основних видів руху твердого тіла.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кінетична енергія механічної системи\u003C\u002Fstrong> дорівнює сумі кінетичних енергій усіх її матеріальних точок. Це скалярна величина, тому енергії окремих частин додаються алгебраїчно.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Загальне визначення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з $n$ точок:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T=\\sum_{i=1}^{n}\\frac{m_iv_i^2}{2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Кінетична енергія системи невід’ємна та вимірюється в джоулях.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема Кеніга\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кінетичну енергію системи можна подати як суму енергії поступального руху центра мас і енергії руху відносно центра мас:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T=\\frac{Mv_C^2}{2}+T_C.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Цей розклад особливо корисний для твердого тіла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поступальний рух твердого тіла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При поступальному русі всі точки тіла мають однакову швидкість, тому:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T=\\frac{Mv_C^2}{2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Обертання навколо нерухомої осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо тіло обертається з кутовою швидкістю $\\omega$ навколо нерухомої осі $z$, то:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T=\\frac{I_z\\omega^2}{2},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $I_z$ — момент інерції тіла відносно осі обертання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Плоскопаралельний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для плоского руху твердого тіла:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T=\\frac{Mv_C^2}{2}+\\frac{I_C\\omega^2}{2},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $I_C$ — момент інерції відносно осі через центр мас, перпендикулярної до площини руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Диск масою 4 кг має швидкість центра мас 3 м\u002Fс, момент інерції відносно центральної осі 0,5 кг·м² і кутову швидкість 4 рад\u002Fс. Тоді $T=4\\cdot3^2\u002F2+0{,}5\\cdot4^2\u002F2=18+4=22$ Дж.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>використовувати лише поступальну складову для тіла, яке одночасно обертається;\u003C\u002Fli>\u003Cli>підставляти момент інерції відносно неправильної осі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати швидкості замість кінетичних енергій;\u003C\u002Fli>\u003Cli>забувати, що при чистому поступальному русі відносна кінетична енергія дорівнює нулю.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":589,"parent_id":537,"code":9,"slug":590,"name":591,"seo_title":592,"seo_description":593,"seo_text":594,"content":595,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":125,"url_slug":590,"children":596},242,"teorema-pro-zminu-kinetychnoi-enerhii-systemy","Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи","Зміна кінетичної енергії механічної системи","Теорема про зміну кінетичної енергії системи, робота зовнішніх і внутрішніх сил та її застосування.","Тема пояснює теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи та роль роботи зовнішніх і внутрішніх сил.","\u003Cp>\u003Cstrong>Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи\u003C\u002Fstrong> пов’язує зміну її кінетичної енергії з роботою сил, що діють на точки системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Диференціальна форма\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожної точки елементарна зміна кінетичної енергії дорівнює елементарній роботі прикладених сил. Після підсумовування за системою:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$dT=\\sum dA^{e}+\\sum dA^{i},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де верхні індекси $e$ та $i$ позначають зовнішні й внутрішні сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтегральна форма\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Між положеннями 1 і 2:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T_2-T_1=\\sum A_{1\\to2}^{e}+\\sum A_{1\\to2}^{i}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>На відміну від теорем про кількість руху та кінетичний момент, робота внутрішніх сил у загальному випадку не дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні сили у твердому тілі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для абсолютно твердого тіла ідеальні внутрішні сили попарно не виконують сумарної роботи, оскільки відстані між точками тіла незмінні. Для деформівної системи внутрішні сили можуть виконувати роботу, пов’язану зі зміною внутрішньої або потенціальної енергії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ідеальні в’язі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реакції ідеальних нерухомих в’язей часто не виконують роботи, якщо точка прикладання не переміщується в напрямі реакції. Це дозволяє виключити невідомі реакції з енергетичного рівняння.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Застосування до твердого тіла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Спочатку обчислюють $T_1$ і $T_2$ за видом руху — поступальним, обертальним або плоским — а потім прирівнюють їх різницю до сумарної роботи сил і пар сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота моменту при обертанні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для моменту $M_z$, що діє при обертанні навколо нерухомої осі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$A=\\int_{\\varphi_1}^{\\varphi_2}M_z\\,d\\varphi.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для сталого моменту $A=M_z(\\varphi_2-\\varphi_1)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тіло починає рух зі спокою, а сумарна робота зовнішніх і внутрішніх сил дорівнює 50 Дж. Тоді його кінетична енергія в кінцевому стані становить 50 Дж. Подальше визначення швидкостей залежить від виду руху та розподілу маси.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>автоматично відкидати роботу всіх внутрішніх сил для будь-якої механічної системи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати неправильний вираз кінетичної енергії для заданого виду руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>включати реакції, які роботи не виконують, або навпаки пропускати реакції рухомих в’язей;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати роботу моменту сили з самим моментом.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":598,"parent_id":426,"code":9,"slug":599,"name":600,"seo_title":601,"seo_description":602,"seo_text":603,"content":604,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":599,"children":605},292,"analitychna-mekhanika-ta-kolyvannia","Аналітична механіка та коливання","Аналітична механіка та малі коливання","Принцип Даламбера, можливі переміщення, загальне рівняння динаміки, рівняння Лагранжа та малі коливання.","Розділ об’єднує основи аналітичної механіки — принцип Даламбера, віртуальну роботу, рівняння Лагранжа — та вступ до малих коливань.","\u003Cp>\u003Cstrong>Аналітична механіка та коливання\u003C\u002Fstrong> об’єднує методи, що дозволяють описувати рух складних систем через в’язі, можливі переміщення та узагальнені координати. Ці підходи особливо корисні, коли пряме застосування рівнянь Ньютона приводить до великої кількості невідомих реакцій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип Даламбера\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Введення сил інерції дозволяє подати рівняння динаміки у формі, подібній до умов рівноваги. Це не перетворює задачу на статичну, а лише створює зручну математичну форму для подальшого аналізу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Можливі переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для систем з ідеальними в’язями віртуальна робота реакцій дорівнює нулю. Поєднання цієї властивості з принципом Даламбера приводить до загального рівняння динаміки й дозволяє усувати реакції в’язей із рівнянь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння Лагранжа\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Перехід до незалежних узагальнених координат дає рівняння Лагранжа другого роду — систематичний інструмент побудови рівнянь руху багатьох механічних систем.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Малі коливання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поблизу положення стійкої рівноваги рух часто можна лінеаризувати. Для системи з одним ступенем вільності це приводить до класичних моделей вільних, затухаючих і вимушених коливань та поняття резонансу.\u003C\u002Fp>",[606,615,624,633,641],{"id":607,"parent_id":598,"code":9,"slug":608,"name":609,"seo_title":610,"seo_description":611,"seo_text":612,"content":613,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":608,"children":614},243,"pryntsyp-dalambera","Принцип Даламбера для матеріальної точки та системи","Принцип Даламбера в теоретичній механіці","Сили інерції та принцип Даламбера для матеріальної точки і механічної системи.","Тема розглядає введення сил інерції та зведення задач динаміки до формально статичних рівнянь за принципом Даламбера.","\u003Cp>\u003Cstrong>Принцип Даламбера\u003C\u002Fstrong> дає змогу формально подати рівняння динаміки у вигляді рівнянь рівноваги, якщо до активних сил і реакцій в’язей додати сили інерції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила інерції матеріальної точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки маси $m$ з прискоренням $\\vec a$ вводять силу інерції:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec F^{in}=-m\\vec a.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Це розрахункова величина, а не додаткова фізична взаємодія з іншим тілом.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип Даламбера для точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рівняння $m\\vec a=\\sum\\vec F$ можна переписати як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum\\vec F+\\vec F^{in}=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отримана форма нагадує умову статичної рівноваги, хоча точка може рухатися з прискоренням.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Механічна система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожної точки системи вводять $\\vec F_i^{in}=-m_i\\vec a_i$. Тоді сили, реакції в’язей і сили інерції утворюють формально зрівноважену систему в сенсі принципу Даламбера.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головний вектор сил інерції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи сталої маси:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec R^{in}=\\sum\\vec F_i^{in}=-M\\vec a_C.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, головний вектор сил інерції визначається прискоренням центра мас.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головний момент сил інерції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Відносно вибраного центра $O$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec M_O^{in}=\\sum\\vec r_i\\times\\vec F_i^{in}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Разом із головним вектором він використовується при дослідженні динаміки твердих тіл і визначенні реакцій опор.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичне застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Метод зручний, коли потрібно знайти реакції в’язей у системі з відомим рухом. Після введення сил інерції можна використовувати структуру рівнянь, подібну до статики, але обов’язково з правильними інерційними членами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тіло масою 5 кг рухається поступально з прискоренням 3 м\u002Fс² вправо. Сила інерції має модуль 15 Н і напрямлена вліво. У рівняння Даламбера вона входить разом із реальними зовнішніми силами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>трактувати силу інерції як звичайну силу взаємодії;\u003C\u002Fli>\u003Cli>спрямовувати $\\vec F^{in}$ у напрямі прискорення замість протилежного;\u003C\u002Fli>\u003Cli>забувати моменти сил інерції для обертального руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати статичні рівняння без введення всіх необхідних інерційних членів.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":616,"parent_id":598,"code":9,"slug":617,"name":618,"seo_title":619,"seo_description":620,"seo_text":621,"content":622,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":617,"children":623},244,"mozhlyvi-peremishchennia-pryntsyp-mozhlyvykh-peremishchen","Можливі переміщення. Принцип можливих переміщень","Можливі переміщення та принцип можливих переміщень","Ідеальні в’язі, можливі переміщення, віртуальна робота та принцип можливих переміщень.","Тема вводить можливі переміщення, ідеальні в’язі та принцип можливих переміщень як основу аналітичної механіки.","\u003Cp>\u003Cstrong>Можливе (віртуальне) переміщення\u003C\u002Fstrong> — нескінченно мале уявне переміщення системи, сумісне з накладеними в’язями в даний момент часу. Принцип можливих переміщень дозволяє записувати умови рівноваги без явного визначення реакцій ідеальних в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Можливі переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точок системи можливі переміщення позначають $\\delta\\vec r_i$. Вони повинні задовольняти геометричним обмеженням в’язей, але не є фактичними переміщеннями за час $dt$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Віртуальна робота\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Елементарна віртуальна робота сил:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\delta A=\\sum_i\\vec F_i\\cdot\\delta\\vec r_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для силових пар додають відповідні члени $M\\,\\delta\\varphi$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ідеальні в’язі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>В’язі називають ідеальними, якщо сумарна віртуальна робота їх реакцій на будь-якому допустимому можливому переміщенні дорівнює нулю. Тоді реакції можна не включати до рівняння віртуальної роботи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип можливих переміщень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для рівноваги системи з ідеальними в’язями необхідно і, за звичайних умов стаціонарних в’язей, достатньо, щоб:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum_i\\vec F_i^{a}\\cdot\\delta\\vec r_i=0$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>для всіх допустимих можливих переміщень, де $\\vec F_i^{a}$ — активні сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Узагальнені координати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо положення системи задається незалежними координатами $q_j$, то $\\delta\\vec r_i=\\sum_j(\\partial\\vec r_i\u002F\\partial q_j)\\delta q_j$. Віртуальну роботу можна подати як $\\delta A=\\sum_jQ_j\\delta q_j$, де $Q_j$ — узагальнені сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевага методу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Метод особливо ефективний для механізмів із багатьма реакціями в’язей: якщо в’язі ідеальні, ці реакції автоматично виключаються з рівняння.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для важеля, що може обертатися навколо нерухомої осі, допустиме переміщення описується малим поворотом $\\delta\\varphi$. Умова $\\delta A=0$ приводить до рівності алгебраїчної суми моментів активних сил відносно осі нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати можливе переміщення з фактичним переміщенням за час $dt$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вибирати переміщення, несумісне з в’язями;\u003C\u002Fli>\u003Cli>відкидати роботу реакцій неідеальних в’язей;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати $\\delta$ звичайним диференціалом за часом.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":625,"parent_id":598,"code":9,"slug":626,"name":627,"seo_title":628,"seo_description":629,"seo_text":630,"content":631,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":626,"children":632},245,"zahalne-rivniannia-dynamiky","Загальне рівняння динаміки","Загальне рівняння динаміки механічної системи","Поєднання принципів Даламбера і можливих переміщень та загальне рівняння динаміки.","Тема розглядає загальне рівняння динаміки для систем з ідеальними в’язями як поєднання принципу Даламбера і принципу можливих переміщень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Загальне рівняння динаміки\u003C\u002Fstrong> поєднує принцип Даламбера з принципом можливих переміщень. Воно дозволяє складати рівняння руху систем з ідеальними в’язями без явного введення реакцій цих в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вихідна ідея\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За принципом Даламбера до активних сил і реакцій в’язей додають сили інерції $\\vec F_i^{in}=-m_i\\vec a_i$. Для формально зрівноваженої системи застосовують принцип можливих переміщень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Загальне рівняння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з ідеальними в’язями:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum_i(\\vec F_i^{a}-m_i\\vec a_i)\\cdot\\delta\\vec r_i=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Реакції ідеальних в’язей не входять до рівняння, оскільки їх сумарна віртуальна робота дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рівняння не означає, що система перебуває у статичній рівновазі. Інерційні члени враховують реальне прискорення точок, а віртуальні переміщення використовуються як математичний засіб усунення реакцій в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Через узагальнені координати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо система має $s$ ступенів вільності та координати $q_j$, то допустимі переміщення можна подати через незалежні $\\delta q_j$. Після групування коефіцієнтів при кожному $\\delta q_j$ отримують $s$ незалежних рівнянь руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Переваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Загальне рівняння динаміки особливо корисне для систем із геометричними в’язями, де пряме застосування законів Ньютона породжує багато невідомих реакцій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зв’язок із рівняннями Лагранжа\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Перехід до незалежних узагальнених координат і вираження інерційних членів через кінетичну енергію приводять до рівнянь Лагранжа другого роду.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з одним ступенем вільності всі допустимі $\\delta\\vec r_i$ виражають через одне $\\delta q$. Після підстановки загальне рівняння набуває вигляду $B(q,\\dot q,\\ddot q,t)\\delta q=0$. Оскільки $\\delta q$ довільне, $B=0$ є рівнянням руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>додавати реакції ідеальних в’язей, не використовуючи їх нульову віртуальну роботу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати сили інерції звичайними активними силами;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати залежні варіації координат як незалежні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати загальне рівняння динаміки з умовою статичної рівноваги.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":634,"parent_id":598,"code":9,"slug":635,"name":636,"seo_title":636,"seo_description":637,"seo_text":638,"content":639,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":635,"children":640},246,"rivniannia-lahranzha-druhoho-rodu","Рівняння Лагранжа другого роду","Узагальнені координати, узагальнені сили та рівняння Лагранжа другого роду для механічних систем.","Тема вводить узагальнені координати й сили та рівняння Лагранжа другого роду як універсальний метод складання рівнянь руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Рівняння Лагранжа другого роду\u003C\u002Fstrong> дають систематичний спосіб отримати рівняння руху механічної системи через незалежні узагальнені координати, не вводячи явно реакції ідеальних в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Узагальнені координати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо система має $s$ ступенів вільності, її конфігурацію можна задати незалежними координатами $q_1,\\ldots,q_s$. Це можуть бути лінійні переміщення, кути або інші параметри, що однозначно визначають положення системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Узагальнені швидкості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Похідні $\\dot q_j$ називають узагальненими швидкостями. Кінетична енергія системи записується як функція $T(q_j,\\dot q_j,t)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Узагальнені сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Віртуальна робота активних сил подається у вигляді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\delta A=\\sum_{j=1}^{s}Q_j\\delta q_j,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $Q_j$ — узагальнена сила, що відповідає координаті $q_j$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння Лагранжа\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з ідеальними в’язями:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{d}{dt}\\left(\\frac{\\partial T}{\\partial\\dot q_j}\\right)-\\frac{\\partial T}{\\partial q_j}=Q_j,\\qquad j=1,\\ldots,s.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Кількість незалежних рівнянь дорівнює числу ступенів вільності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Консервативні сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сили мають потенціальну енергію $\\Pi(q,t)$, то $Q_j=-\\partial\\Pi\u002F\\partial q_j$ для відповідної консервативної частини. Вводячи функцію Лагранжа $L=T-\\Pi$, рівняння можна записати як $d(\\partial L\u002F\\partial\\dot q_j)\u002Fdt-\\partial L\u002F\\partial q_j=Q_j^{nc}$, де $Q_j^{nc}$ — неконсервативні узагальнені сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розв’язування\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>визначити число ступенів вільності;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вибрати незалежні $q_j$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>виразити положення та швидкості частин системи через $q_j,\\dot q_j$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обчислити $T$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначити $Q_j$ або $\\Pi$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>скласти по одному рівнянню Лагранжа для кожної координати.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для вантажу маси $m$ на горизонтальній пружині з координатою $x$: $T=m\\dot x^2\u002F2$, $\\Pi=kx^2\u002F2$. Тоді рівняння Лагранжа дає $m\\ddot x+kx=0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вибирати залежні координати як незалежні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати узагальнену силу зі звичайною силою в ньютонах — для кутової координати вона має розмірність моменту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>пропускати залежність кінетичної енергії від координат;\u003C\u002Fli>\u003Cli>подвійно враховувати консервативну силу і через $\\Pi$, і через $Q_j$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":642,"parent_id":598,"code":9,"slug":643,"name":644,"seo_title":644,"seo_description":645,"seo_text":646,"content":647,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":38,"status":69,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":15,"url_slug":643,"children":648},247,"mali-kolyvannia-systemy-z-odnym-stupenem-vilnosti","Малі коливання системи з одним ступенем вільності","Вільні та вимушені малі коливання механічної системи з одним ступенем вільності, частота й резонанс.","Тема розглядає лінеаризовані вільні та вимушені коливання системи з одним ступенем вільності, власну частоту та резонанс.","\u003Cp>\u003Cstrong>Малі коливання\u003C\u002Fstrong> виникають поблизу положення стійкої рівноваги, коли відхилення достатньо малі, щоб рівняння руху можна було лінеаризувати. Для системи з одним ступенем вільності рух описується однією узагальненою координатою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вільні коливання без опору\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Стандартне лінійне рівняння має вигляд:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\ddot x+kx=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Власна кругова частота:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\omega_n=\\sqrt{\\frac{k}{m}},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>а період $T=2\\pi\u002F\\omega_n$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон вільних коливань\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розв’язок можна записати як $x=C_1\\cos\\omega_nt+C_2\\sin\\omega_nt$ або $x=A\\cos(\\omega_nt+\\varphi)$. Амплітуда та початкова фаза визначаються початковими умовами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>В’язке демпфування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При лінійному опорі $c\\dot x$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\ddot x+c\\dot x+kx=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Характер руху залежить від співвідношення демпфування та критичного значення. При слабкому демпфуванні система здійснює затухаючі коливання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вимушені коливання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для гармонічної зовнішньої сили $F_0\\cos\\Omega t$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\ddot x+c\\dot x+kx=F_0\\cos\\Omega t.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Усталена відповідь має частоту збудження $\\Omega$, а її амплітуда залежить від частотного відношення та демпфування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Резонанс\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У недемпфованій ідеалізованій системі при $\\Omega=\\omega_n$ гармонічне збудження приводить до резонансного зростання амплітуди. За наявності демпфування амплітуда залишається скінченною, а максимум частотної характеристики зміщується залежно від демпфування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінеаризація поблизу рівноваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для загальної системи координату відлічують від положення стійкої рівноваги та залишають члени першого порядку за малим відхиленням. У результаті отримують рівняння типу $m_{eq}\\ddot q+c_{eq}\\dot q+k_{eq}q=Q(t)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи $m=2$ кг, $k=50$ Н\u002Fм без демпфування власна частота $\\omega_n=\\sqrt{50\u002F2}=5$ рад\u002Fс, а період $T=2\\pi\u002F5\\approx1{,}26$ с.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати кругову частоту в рад\u002Fс зі звичайною частотою $f=\\omega\u002F(2\\pi)$ у герцах;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати лінійну модель малих коливань при великих відхиленнях без перевірки;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати демпфування при оцінюванні резонансної амплітуди реальної системи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати фізичну масу $m$ замість еквівалентної інерції для складного механізму без виведення.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":39,"parent_id":9,"code":650,"slug":651,"name":652,"seo_title":653,"seo_description":654,"seo_text":655,"content":656,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":651,"children":657},"1","opir-materialiv","Опір матеріалів","Опір матеріалів — Курс, теорія та приклади розв'язання задач","Вивчайте опір матеріалів (сопромат) онлайн: теоретичні основи, формули, розрахунки на міцність та жорсткість.","Опір матеріалів є фундаментальною інженерною дисципліною, що вивчає методи розрахунку елементів конструкцій та деталей машин на міцність, жорсткість і стійкість. У цьому розділі розглянуто базові поняття навантажень, внутрішніх сил, напружень і деформацій. Ви опануєте класичні гіпотези та допущення, такі як суцільність, ізотропність матеріалу та гіпотеза плоских перерізів Бернуллі. Наш онлайн-курс містить детальні теоретичні матеріали, графічні пояснення, розбір типових екзаменаційних задач і підказки для самостійного виконання розрахунково-графічних робіт (РГР).","\u003Cp>\u003Cstrong>Опір матеріалів\u003C\u002Fstrong> — інженерна дисципліна про міцність, жорсткість і стійкість елементів конструкцій та деталей машин під дією навантажень. Її основне завдання — пов’язати зовнішні сили з внутрішніми зусиллями, напруженнями та деформаціями і на цій основі виконати безпечний та раціональний розрахунок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що вивчає опір матеріалів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реальні елементи конструкцій деформуються під навантаженням. Тому недостатньо лише визначити реакції опор і умови рівноваги: потрібно встановити внутрішні силові фактори, оцінити напружений і деформований стан та перевірити, чи не буде перевищено допустимі межі.\u003C\u002Fp>\u003Cp>У курсі розглядаються стержні, вали, балки, тонкостінні оболонки та інші типові елементи. Основні види роботи — розтяг і стиск, зсув, кручення, згин та їх комбінації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Три основні умови працездатності\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Міцність\u003C\u002Fstrong> — здатність елемента витримувати навантаження без руйнування або недопустимого пластичного деформування.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Жорсткість\u003C\u002Fstrong> — здатність обмежувати переміщення і деформації заданими допустимими значеннями.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Стійкість\u003C\u002Fstrong> — здатність зберігати початкову форму рівноваги та не втрачати її при досягненні критичного навантаження.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Базова схема інженерного розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Задати розрахункову схему, геометрію, матеріал, опори та навантаження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити реакції та внутрішні силові фактори методом перерізів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити напруження і деформації за моделлю відповідного виду навантаження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити небезпечний переріз або критичний стан.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити міцність, жорсткість і, коли необхідно, стійкість.\u003C\u002Fli>\u003Cli>За результатами перевірки підібрати або скоригувати розміри елемента.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Основні поняття\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Напруження\u003C\u002Fstrong> характеризує інтенсивність внутрішніх сил у матеріалі, а \u003Cstrong>деформація\u003C\u002Fstrong> — зміну розмірів і форми. Для простого осьового навантаження середнє нормальне напруження визначають як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma=\\frac{N}{A},$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>$\\sigma$\u003C\u002Fstrong> — середнє нормальне напруження;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$N$\u003C\u002Fstrong> — поздовжня сила;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$A$\u003C\u002Fstrong> — площа поперечного перерізу.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>В області лінійно-пружної роботи матеріалу нормальні напруження і поздовжні деформації пов’язує закон Гука:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma=E\\varepsilon,$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>$\\sigma$\u003C\u002Fstrong> — нормальне напруження;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$E$\u003C\u002Fstrong> — модуль Юнга;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$\\varepsilon$\u003C\u002Fstrong> — поздовжня відносна деформація.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>Ці прості співвідношення є відправною точкою; для згину, кручення, складного напруженого стану, стійкості та контактної взаємодії застосовуються відповідні спеціалізовані моделі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Структура курсу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Матеріал побудовано від базових до складніших моделей: розтяг і стиск; напружений та деформований стан; зсув і кручення; згин і переміщення балок; геометричні характеристики перерізів; складний опір; енергетичні методи; стійкість стиснутих стержнів; динамічне й циклічне навантаження; розрахунок оболонок і контактні напруження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі застосовності моделей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Формули опору матеріалів базуються на певних припущеннях щодо геометрії, властивостей матеріалу, характеру деформацій і навантаження. Перед використанням формули потрібно перевірити її умови застосовності. Особливо це важливо для пластичності, локальних концентрацій напружень, великих деформацій, контактних задач і втрати стійкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Як працювати з розділом\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожної теми доцільно послідовно засвоїти фізичну модель, систему знаків, основні рівняння, одиниці вимірювання та алгоритм розрахунку. Після цього формули варто закріплювати на типових інженерних прикладах і перевіряти результат за розмірністю, порядком величини та фізичним змістом.\u003C\u002Fp>",[658,793,912,959,995,1051,1109,1148,1177,1207,1225,1264],{"id":659,"parent_id":39,"code":660,"slug":661,"name":662,"seo_title":663,"seo_description":664,"seo_text":665,"content":666,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":38,"url_slug":661,"children":667},141,"1.0","osnovni-poniattia-ta-vydy-deformatsii","Основні поняття та види деформацій","Основні поняття та види деформацій — опір матеріалів","Що вивчає опір матеріалів: деформація, переміщення, міцність, жорсткість, стійкість, пружні й пластичні деформації та їх основні види.","Вступна тема до опору матеріалів пояснює, що вивчає дисципліна та навіщо інженеру розрізняти міцність, жорсткість і стійкість. Розглянуто поняття деформації та переміщення, відмінність пружної деформації від пластичної, а також основні види деформування стержневих елементів: розтяг, стиск, зсув, кручення і згин. Матеріал створює понятійну основу для подальшого вивчення напружень, внутрішніх сил і розрахункових моделей.","\u003Cp>\u003Cstrong>Опір матеріалів\u003C\u002Fstrong> вивчає поведінку деформівних елементів конструкцій під навантаженням. Перед переходом до розтягу, стиску, кручення чи згину важливо сформувати спільну систему понять: що є деформацією, як моделюють матеріал і конструкцію та за якими критеріями оцінюють працездатність.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Цей вступний розділ послідовно розглядає предмет і завдання опору матеріалів; деформації та переміщення; пружну й пластичну поведінку; основні види деформування; міцність, жорсткість і стійкість; ізотропію, анізотропію та ортотропію; композитні матеріали; основні гіпотези й інженерні ідеалізації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ключові поняття\u003C\u002Fh2>{{chunk:som-basic-concepts}}\u003Ch2>Карта основних видів деформування\u003C\u002Fh2>{{chunk:som-deformation-classification}}\u003Cp>Мета цього розділу — не дати всі спеціальні формули, а пояснити мову й припущення, на яких побудовані наступні розділи курсу. Детальні рівняння та методи розрахунку вводяться там, де розглядається відповідний вид навантаження або механічна властивість.\u003C\u002Fp>",[668,677,687,697,707,717,727,738,749,760,771,782],{"id":669,"parent_id":659,"code":670,"slug":671,"name":672,"seo_title":672,"seo_description":673,"seo_text":674,"content":675,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":671,"children":676},143,"1.0.1","predmet-i-zavdannia-oporu-materialiv","Предмет і завдання опору матеріалів","Що вивчає опір матеріалів, які задачі розв’язує інженер і як реальний об’єкт переходить у розрахункову модель конструкції.","Тема пояснює предмет опору матеріалів, основні інженерні задачі та логіку переходу від реальної конструкції до розрахункової схеми. Розглянуто зв’язок зовнішніх навантажень із внутрішніми силами, напруженнями, деформаціями та перевірками працездатності.","\u003Cp>\u003Cstrong>Опір матеріалів\u003C\u002Fstrong> вивчає деформівні елементи конструкцій і деталей машин та дає методи їх розрахунку під дією навантажень. На відміну від статики абсолютно твердого тіла, тут враховують, що реальний елемент змінює форму і розміри.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основна мета\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Інженер має визначити внутрішні силові фактори, напруження, деформації та переміщення, а потім перевірити, чи задовольняє конструкція вимоги міцності, жорсткості й стійкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Від реального об’єкта до моделі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реальну конструкцію ідеалізують: виділяють стержні, балки, вали, оболонки та інші розрахункові елементи; задають геометрію, матеріал, опори й навантаження. Від правильності цієї моделі залежить коректність подальших формул.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типова послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Побудувати розрахункову схему.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити зовнішні сили та реакції.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти внутрішні силові фактори.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити напруження, деформації та переміщення.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити міцність, жорсткість і, коли потрібно, стійкість.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Cp>Ця логіка повторюється в усіх наступних розділах курсу, хоча конкретні рівняння залежать від виду навантаження і прийнятої моделі матеріалу.\u003C\u002Fp>",[],{"id":678,"parent_id":659,"code":679,"slug":680,"name":681,"seo_title":682,"seo_description":683,"seo_text":684,"content":685,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":680,"children":686},144,"1.0.2","deformatsiia-ta-peremishchennia","Деформація та переміщення","Деформація та переміщення в опорі матеріалів","Поняття деформації та переміщення, абсолютні й відносні зміни розмірів, малі деформації та їх фізичний зміст.","Тема розмежовує переміщення тіла і його деформацію, пояснює абсолютні та відносні зміни розмірів і вводить поняття малих деформацій, яке використовується в базових моделях опору матеріалів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Переміщення\u003C\u002Fstrong> описує зміну положення точки або перерізу в просторі, а \u003Cstrong>деформація\u003C\u002Fstrong> — зміну взаємного положення точок тіла, тобто його форми та\u002Fабо розмірів. Тіло може переміщуватися як ціле без деформування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Абсолютні та відносні зміни\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Наприклад, для стержня початкової довжини $l$ зміна довжини $\\Delta l$ є абсолютним видовженням або укороченням. Відносна поздовжня деформація характеризує цю зміну відносно початкової довжини: $\\varepsilon=\\Delta l\u002Fl$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Малі деформації\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У багатьох базових задачах опору матеріалів припускають, що деформації та переміщення достатньо малі, щоб геометрію рівноваги можна було описувати за початковою формою елемента. Для великих переміщень або деформацій така лінеаризація може бути неприйнятною.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Деформація є кінематичним наслідком навантаження. Вона пов’язана з напруженим станом через модель поведінки матеріалу, наприклад закон Гука в лінійно-пружній області.\u003C\u002Fp>",[],{"id":688,"parent_id":659,"code":689,"slug":690,"name":691,"seo_title":692,"seo_description":693,"seo_text":694,"content":695,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":690,"children":696},145,"1.0.3","pruzhni-ta-plastychni-deformatsii","Пружні та пластичні деформації","Пружні та пластичні деформації матеріалів","Чим відрізняються пружні та пластичні деформації, що відбувається після розвантаження та де проходять межі пружної моделі.","Тема пояснює оборотні пружні та незворотні пластичні деформації, процес навантаження і розвантаження та роль пружної моделі в опорі матеріалів.","\u003Cp>За поведінкою після зняття навантаження деформації поділяють на \u003Cstrong>пружні\u003C\u002Fstrong> та \u003Cstrong>пластичні\u003C\u002Fstrong>. Проте для реальних матеріалів важливо також пам’ятати про залежність поведінки від часу, швидкості навантаження та температури.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пружна деформація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Пружна складова зникає після розвантаження: тіло відновлює початкові форму й розміри в межах прийнятої моделі. Для багатьох інженерних матеріалів при невеликих навантаженнях використовують лінійно-пружне наближення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пластична деформація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Пластична складова є незворотною. Після зняття навантаження залишається остаточна деформація. Реальний процес може містити одночасно пружну і пластичну частини.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Залежність від часу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Не всі матеріали реагують на навантаження миттєво й незалежно від тривалості його дії. \u003Cstrong>Повзучість\u003C\u002Fstrong> — це розвиток деформації з часом за тривалої дії навантаження; особливо суттєвою вона може бути при підвищеній температурі. \u003Cstrong>Релаксація напружень\u003C\u002Fstrong> — зменшення напружень з часом за підтримання заданої деформації. \u003Cstrong>В’язкопружна поведінка\u003C\u002Fstrong> поєднує пружні властивості із залежністю реакції від часу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому це важливо для розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Формули лінійної пружності не можна автоматично переносити на область значної пластичної деформації або на процеси, де істотними є час і температура. Тому розрахункова модель повинна відповідати фактичному режиму роботи матеріалу. Детальні характеристики матеріалів і діаграма розтягу розглядаються далі в розділі про механічні властивості.\u003C\u002Fp>",[],{"id":698,"parent_id":659,"code":699,"slug":700,"name":701,"seo_title":702,"seo_description":703,"seo_text":704,"content":705,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":700,"children":706},146,"1.0.4","osnovni-vydy-deformuvannia","Основні види деформування","Основні види деформування: розтяг, стиск, зсув, кручення, згин","Огляд основних видів деформування елементів конструкцій: розтягу, стиску, зсуву, кручення, згину та комбінованого навантаження.","Оглядова тема систематизує основні види деформування стержневих елементів: розтяг, стиск, зсув, кручення та згин. Пояснено, що в реальних конструкціях ці види можуть поєднуватися.","{{chunk:som-deformation-classification}}\u003Ch2>Прості та комбіновані випадки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поділ на розтяг, стиск, зсув, кручення і згин дає базові моделі, на яких будуються інженерні методи розрахунку. У реальному елементі кілька внутрішніх силових факторів можуть діяти одночасно — тоді говорять про складний опір або комбіноване навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навіщо розділяти види деформування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожного випадку характерні свої внутрішні силові фактори, розподіли напружень і рівняння деформацій. Тому правильне розпізнавання виду роботи елемента є першим кроком до вибору розрахункової моделі.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Наступні великі розділи курсу послідовно розглядають осьовий розтяг і стиск, зсув і кручення, згин та їх комбінації.\u003C\u002Fp>",[],{"id":708,"parent_id":659,"code":709,"slug":710,"name":711,"seo_title":712,"seo_description":713,"seo_text":714,"content":715,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":15,"url_slug":710,"children":716},147,"1.0.5","mitsnist-zhorstkist-stiikist","Міцність, жорсткість і стійкість","Міцність, жорсткість і стійкість конструкцій","Три основні критерії працездатності конструкцій: міцність, жорсткість і стійкість, їх відмінності та інженерний зміст.","Тема пояснює відмінність між міцністю, жорсткістю та стійкістю. Показано, чому конструкція може бути достатньо міцною, але непридатною через надмірні переміщення або втрату стійкості.","{{chunk:som-basic-concepts}}\u003Ch2>Три різні перевірки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Міцність\u003C\u002Fstrong> відповідає на питання, чи не настане небезпечний стан матеріалу або руйнування. \u003Cstrong>Жорсткість\u003C\u002Fstrong> обмежує деформації й переміщення, навіть якщо міцність ще забезпечена. \u003Cstrong>Стійкість\u003C\u002Fstrong> визначає здатність елемента зберігати задану форму рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому однієї міцності недостатньо\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Балка може мати допустимі напруження, але надмірний прогин; довгий стиснутий стержень може втратити стійкість при напруженнях, нижчих за небезпечні для матеріалу. Тому критерій працездатності вибирають відповідно до конструкції та характеру навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інженерний підхід\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У реальному проєктуванні часто потрібно виконати кілька перевірок одночасно. Подальші розділи курсу дають конкретні рівняння для цих перевірок.\u003C\u002Fp>",[],{"id":718,"parent_id":659,"code":719,"slug":720,"name":721,"seo_title":722,"seo_description":723,"seo_text":724,"content":725,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":125,"url_slug":720,"children":726},148,"1.0.6","modeli-ta-vlastyvosti-materialiv","Основні властивості та моделі матеріалів","Моделі матеріалів: однорідність, ізотропія та анізотропія","Однорідні й неоднорідні, ізотропні, анізотропні та ортотропні матеріали, а також лінійні й нелінійні моделі поведінки.","Тема вводить основні ідеалізації матеріалу в опорі матеріалів: однорідність, неоднорідність, ізотропію, анізотропію та ортотропію. Пояснено різницю між лінійними й нелінійними, пружними й пружнопластичними моделями.","\u003Cp>Розрахункова формула завжди спирається на певну \u003Cstrong>модель матеріалу\u003C\u002Fstrong>. Перед застосуванням рівнянь потрібно розуміти, які властивості вважаються однаковими в різних точках і напрямках та як матеріал реагує на навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Однорідність і неоднорідність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Однорідна\u003C\u002Fstrong> модель припускає однакові властивості в усіх точках розглядуваного об’єму. У неоднорідному матеріалі властивості змінюються від точки до точки. Реальна мікроструктура майже завжди неоднорідна, але на достатньо великому масштабі матеріал часто можна ефективно моделювати як однорідний.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ізотропія та анізотропія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Ізотропний\u003C\u002Fstrong> матеріал у прийнятій моделі має однакові механічні властивості в усіх напрямках. \u003Cstrong>Анізотропний\u003C\u002Fstrong> матеріал має властивості, що залежать від напрямку. \u003Cstrong>Ортотропія\u003C\u002Fstrong> — важливий окремий випадок анізотропії з трьома взаємно перпендикулярними напрямками матеріальної симетрії; така модель часто використовується для деревини та шаруватих композитів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінійність і нелінійність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У лінійно-пружній моделі зв’язок між напруженнями та деформаціями є лінійним у межах її застосовності. Нелінійна поведінка може бути пов’язана з властивостями матеріалу, великими деформаціями або іншими фізичними ефектами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навіщо це знати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Константи та рівняння для ізотропного матеріалу не можна без перевірки застосовувати до анізотропного. Вибір моделі має відповідати матеріалу, масштабу задачі, напрямку навантаження та потрібній точності.\u003C\u002Fp>",[],{"id":728,"parent_id":659,"code":729,"slug":730,"name":731,"seo_title":732,"seo_description":733,"seo_text":734,"content":735,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":736,"url_slug":730,"children":737},149,"1.0.7","kompozytni-materialy","Композитні матеріали","Композитні матеріали в опорі матеріалів","Матриця й армування, волокнисті, шаруваті та сендвіч-композити, напрямні властивості та особливості їх механічної поведінки.","Вступ до композитних матеріалів для курсу опору матеріалів: роль матриці та армування, основні типи композитів, анізотропія та залежність жорсткості й міцності від напрямку навантаження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Композитний матеріал\u003C\u002Fstrong> утворюється поєднанням двох або більше компонентів так, щоб отримати потрібний комплекс властивостей. У багатьох конструкційних композитах розрізняють \u003Cstrong>матрицю\u003C\u002Fstrong>, яка зв’язує систему та передає навантаження, і \u003Cstrong>армування\u003C\u002Fstrong>, яке істотно впливає на жорсткість і міцність.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поширені типи\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Волокнисті композити\u003C\u002Fstrong> — наприклад, полімерна матриця з вуглецевими або скляними волокнами.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Шаруваті композити\u003C\u002Fstrong> — пакети шарів, орієнтацію яких добирають відповідно до навантаження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Сендвіч-конструкції\u003C\u002Fstrong> — міцні тонкі обшивки та легкий товстий заповнювач.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Дисперсно-зміцнені матеріали\u003C\u002Fstrong> — властивості змінюються завдяки розподіленій другій фазі.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Напрям має значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>В односпрямованому волокнистому композиті жорсткість і міцність уздовж волокон можуть суттєво відрізнятися від властивостей поперек них. Тому для композитів особливо важливі поняття анізотропії та ортотропії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Особливості руйнування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Композити можуть руйнуватися не лише через розрив матеріалу як єдиного цілого, а й через пошкодження матриці, руйнування волокон, відшарування або втрату зчеплення між компонентами. Детальний розрахунок композитів потребує моделей, складніших за базову ізотропну теорію.\u003C\u002Fp>\u003Cp>У цьому курсі тема має вступний характер і насамперед показує межі застосовності формул, отриманих для однорідних ізотропних матеріалів.\u003C\u002Fp>",7,[],{"id":739,"parent_id":659,"code":740,"slug":741,"name":742,"seo_title":743,"seo_description":744,"seo_text":745,"content":746,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":747,"url_slug":741,"children":748},150,"1.0.8","hipotezy-ta-idealizatsii","Гіпотези та ідеалізації опору матеріалів","Гіпотези та ідеалізації в опорі матеріалів","Основні припущення розрахункових моделей: суцільне середовище, малі деформації, стержнева ідеалізація та принцип Сен-Венана.","Тема пояснює, навіщо в опорі матеріалів використовують ідеалізації та припущення. Розглянуто модель суцільного середовища, малі деформації, стержневі розрахункові схеми та інженерний зміст принципу Сен-Венана.","\u003Cp>Опір матеріалів використовує спрощені моделі, які дають змогу описати реальну конструкцію відносно простими рівняннями. Будь-яка така модель має \u003Cstrong>межі застосовності\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Суцільне середовище\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Матеріал розглядають як неперервне середовище, хоча на мікрорівні він має атомну, зернисту, волокнисту або іншу структуру. Це дозволяє визначати напруження й деформації як поля, що змінюються в просторі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Малі деформації та переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У класичних лінійних задачах зміни геометрії вважають малими. Якщо переміщення істотно змінюють геометрію рівноваги, потрібна геометрично нелінійна постановка.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стержнева ідеалізація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо один розмір елемента значно перевищує поперечні, його часто моделюють стержнем, балкою або валом. Реальну тривимірну геометрію замінюють віссю та характеристиками поперечного перерізу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип Сен-Венана\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На достатній відстані від області прикладання статично еквівалентних навантажень локальні відмінності способу їх прикладання зазвичай мало впливають на розподіл напружень. Це дає змогу спрощувати локальні деталі навантаження, але не означає, що напруження безпосередньо біля місця прикладання сили можна ігнорувати.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ідеалізація має бути обґрунтованою\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Спрощення є корисним лише тоді, коли зберігає фізику, важливу для поставленої задачі. Отвори, концентратори напружень, контактні зони, великі деформації, анізотропія або складна геометрія можуть вимагати детальнішої моделі.\u003C\u002Fp>",8,[],{"id":750,"parent_id":659,"code":751,"slug":752,"name":753,"seo_title":754,"seo_description":755,"seo_text":756,"content":757,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":758,"url_slug":752,"children":759},159,"1.0.9","navantazhennia-ta-opory","Навантаження та опори","Навантаження та опори в опорі матеріалів","Основні види навантажень і опор: зосереджені сили, моменти, розподілені та об’ємні навантаження, статичні й динамічні дії та реакції опор.","Вступна тема пояснює, як в опорі матеріалів задають зовнішні дії та закріплення. Розглянуто зосереджені сили й моменти, розподілені та об’ємні навантаження, статичні й динамічні дії, а також роль опорних реакцій у розрахунковій схемі.","\u003Cp>Розрахунок елемента починається з опису \u003Cstrong>зовнішніх дій\u003C\u002Fstrong> і способу його закріплення. Навантаження та опори переносять на розрахункову схему так, щоб вона зберігала суттєві особливості роботи реальної конструкції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні види навантажень\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Зосереджена сила\u003C\u002Fstrong> — ідеалізована сила, прикладена в точці або на ділянці, розмірами якої в масштабі моделі нехтують.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Зосереджений момент\u003C\u002Fstrong> — ідеалізована пара сил, що задає момент без результуючої сили.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Розподілене навантаження\u003C\u002Fstrong> — дія, розподілена вздовж довжини, по поверхні або іншій геометричній області; її характеризують інтенсивністю.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Об’ємні сили\u003C\u002Fstrong> — діють у всьому об’ємі матеріалу, наприклад сила тяжіння або інерційні сили.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Характер зміни в часі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Навантаження можуть бути статичними або змінюватися в часі. Якщо інерційними ефектами можна знехтувати, застосовують квазістатичну модель. Ударні, вібраційні та інші швидкозмінні дії можуть вимагати динамічного розрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Опори та опорні реакції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Опора\u003C\u002Fstrong> в розрахунковій схемі моделює зв’язок елемента з іншими частинами конструкції або з основою. Вона забороняє певні можливі переміщення чи повороти. Кожному незалежному забороненому руху відповідає невідома складова опорної реакції.\u003C\u002Fp>\u003Cp>У плоскій задачі абсолютно тверде тіло має три незалежні можливості руху: поступальне переміщення вздовж осі $x$, поступальне переміщення вздовж осі $y$ та поворот у площині. Тип опори визначає, які з цих рухів залишаються можливими.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>Шарнірно-рухома опора\u003C\u002Fh3>\u003Cp>\u003Cstrong>Шарнірно-рухома опора\u003C\u002Fstrong> забороняє переміщення в одному напрямку, але допускає переміщення вздовж опорної поверхні та не перешкоджає повороту елемента. Для ідеальної гладкої опорної поверхні виникає \u003Cstrong>одна реакція\u003C\u002Fstrong>, спрямована по нормалі до цієї поверхні.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Така модель характерна, наприклад, для коткової або рухомої опори балки. Її важлива функція — не створювати зайвого кінематичного обмеження, зокрема дозволяти поздовжні переміщення, що можуть виникати через деформацію або температурне розширення.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>Шарнірно-нерухома опора\u003C\u002Fh3>\u003Cp>\u003Cstrong>Шарнірно-нерухома опора\u003C\u002Fstrong> забороняє поступальні переміщення точки закріплення у двох незалежних напрямках площини, але допускає поворот елемента навколо шарніра. Тому в плоскій задачі вона створює \u003Cstrong>дві складові реакції\u003C\u002Fstrong>, які зазвичай позначають $R_x$ і $R_y$ або $A_x$ і $A_y$.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Ідеальний шарнір не передає реактивного моменту. Напрям результуючої реакції наперед невідомий і визначається після знаходження її складових з рівнянь рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>Жорстке защемлення\u003C\u002Fh3>\u003Cp>\u003Cstrong>Жорстке защемлення\u003C\u002Fstrong> у плоскій задачі забороняє обидва поступальні переміщення та поворот закріпленого перерізу. Тому воно створює \u003Cstrong>три реактивні фактори\u003C\u002Fstrong>: дві складові сили $R_x$, $R_y$ і реактивний момент $M$.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Так моделюють, наприклад, кінець консольної балки, якщо його з’єднання з основою достатньо жорстке порівняно з деформаціями самої балки.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>Стержнева в’язь\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Якщо елемент приєднаний ідеальним прямим стержнем із шарнірами на кінцях і стержень не навантажений між шарнірами, така в’язь передає силу \u003Cstrong>вздовж своєї осі\u003C\u002Fstrong>. Отже, напрям реакції відомий наперед, а невідомою є її величина та фактичний знак.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>Гнучка в’язь: трос або канат\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Ідеальний гнучкий трос або канат може передавати лише \u003Cstrong>розтягувальне зусилля\u003C\u002Fstrong> вздовж своєї осі. Він не може створювати стискальну реакцію: якщо геометрія та навантаження вимагали б стиску, трос послаблюється і така модель зв’язку перестає бути активною.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>Контакт із гладкою поверхнею\u003C\u002Fh3>\u003Cp>За відсутності тертя гладка поверхня створює лише \u003Cstrong>нормальну контактну реакцію\u003C\u002Fstrong>. Вона може перешкоджати проникненню тіла в поверхню, але не передає дотичної сили. За наявності тертя модель контакту ускладнюється і може містити також дотичну складову.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Просторові опори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У просторовій задачі тіло має шість незалежних можливостей руху: три поступальні переміщення та три повороти. Тому просторове жорстке защемлення в загальному випадку може створювати три складові сили та три складові моменту. Шарніри, напрямні та інші просторові зв’язки усувають лише ті ступені вільності, які заборонені їх конструкцією.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Реальна опора і розрахункова модель\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Назва реального з’єднання сама по собі ще не визначає математичну модель. Болтове, зварне, підшипникове або інше з’єднання може поводитися по-різному залежно від геометрії та жорсткості. Потрібно визначити, які переміщення воно фактично обмежує і які сили або моменти здатне передавати.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навіщо потрібна правильна схема\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Помилка у напрямку, місці прикладання або характері навантаження, як і неправильна модель опори, змінює реакції та внутрішні силові фактори. Надлишкове введення зв’язків може зробити модель статично невизначуваною, а недостатня кількість зв’язків — геометрично змінюваною. Тому вибір опор є частиною фізичної постановки задачі, а не лише умовним позначенням на рисунку.\u003C\u002Fp>",9,[],{"id":761,"parent_id":659,"code":762,"slug":763,"name":764,"seo_title":765,"seo_description":766,"seo_text":767,"content":768,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":769,"url_slug":763,"children":770},160,"1.0.10","rozrakhunkovi-elementy-konstruktsii","Розрахункові елементи конструкцій","Розрахункові елементи конструкцій: стержні, балки, вали, пластини й оболонки","Основні розрахункові елементи опору матеріалів: стержень, брус, балка, вал, колона, пластина, оболонка та масивне тіло.","Тема знайомить з основними геометричними моделями елементів конструкцій в опорі матеріалів: стержнями, балками, валами, колонами, пластинами, оболонками та масивними тілами. Пояснено роль осі та поперечного перерізу.","\u003Cp>Реальну деталь або частину конструкції в розрахунку замінюють геометричною моделлю, достатньою для опису її механічної роботи. Вибір типу елемента визначає, які розміри, переміщення та внутрішні силові фактори є основними.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стержневі елементи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Стержень\u003C\u002Fstrong> — тіло, один розмір якого, довжина, істотно перевищує характерні розміри поперечного перерізу. Його геометрію описують поздовжньою віссю та поперечними перерізами.\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Брус\u003C\u002Fstrong> — загальна стержнева модель, здатна сприймати різні види навантаження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Балка\u003C\u002Fstrong> — стержневий елемент, для якого характерною є робота на згин.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Вал\u003C\u002Fstrong> — стержневий елемент, основною функцією якого часто є передавання крутного моменту.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Колона або стійка\u003C\u002Fstrong> — стиснутий стержневий елемент, для якого поряд із міцністю може бути визначальною стійкість.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Пластини та оболонки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Пластина\u003C\u002Fstrong> має малу товщину порівняно з двома іншими розмірами і в початковій конфігурації описується серединною площиною. \u003Cstrong>Оболонка\u003C\u002Fstrong> також є тонким елементом, але її серединна поверхня криволінійна.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Масивні тіла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо всі три характерні розміри одного порядку і одновимірне або двовимірне спрощення не відображає потрібної механіки, використовують просторову модель масивного тіла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поперечний переріз\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для стержневих моделей форма і розміри поперечного перерізу визначають площу та геометричні характеристики, від яких залежать напруження, жорсткість і стійкість. Саме через поперечний переріз у методі перерізів вводять внутрішні силові фактори.\u003C\u002Fp>",10,[],{"id":772,"parent_id":659,"code":773,"slug":774,"name":775,"seo_title":776,"seo_description":777,"seo_text":778,"content":779,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":780,"url_slug":774,"children":781},161,"1.0.11","zovnishni-ta-vnutrishni-syly-metod-pereriziv","Зовнішні та внутрішні сили. Метод перерізів","Зовнішні та внутрішні сили і метод перерізів","Метод перерізів в опорі матеріалів: зовнішні та внутрішні сили, відсікання частини тіла та внутрішні силові фактори N, Q, M і T.","Тема пояснює фундаментальний метод перерізів: як після уявного розсікання тіла дія відкинутої частини замінюється внутрішніми силовими факторами. Введено поздовжню силу N, поперечні сили Q, крутний момент T і згинальні моменти M.","\u003Cp>\u003Cstrong>Зовнішні сили\u003C\u002Fstrong> діють на тіло з боку інших тіл або фізичних полів. Усередині навантаженого тіла між його частинами виникає взаємодія, яку в розрахунковій моделі характеризують внутрішніми силами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ідея методу перерізів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Щоб виявити внутрішню взаємодію, тіло подумки розсікають площиною в потрібному місці. Після цього можна \u003Cstrong>відкинути будь-яку одну частину\u003C\u002Fstrong> — ліву або праву — а дію відкинутої частини на ту, що залишилася, замінити системою внутрішніх силових факторів у перерізі.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Обидва варіанти описують одну й ту саму внутрішню взаємодію. Тому за правильно складених рівнянь рівноваги розгляд лівої або правої частини приводить до узгодженого результату.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні силові фактори стержня\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У загальному просторовому випадку результуючу внутрішніх сил і моментів у поперечному перерізі розкладають на складові. У традиційних позначеннях використовують \u003Cstrong>поздовжню силу $N$\u003C\u002Fstrong>, \u003Cstrong>поперечні сили $Q$\u003C\u002Fstrong>, \u003Cstrong>крутний момент $T$\u003C\u002Fstrong> та \u003Cstrong>згинальні моменти $M$\u003C\u002Fstrong>. Конкретний набір ненульових факторів залежить від навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Як ними користуються\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після відсікання частини елемента внутрішні силові фактори визначають з рівнянь рівноваги цієї частини. Далі через них знаходять напруження в перерізі. Наприклад, при центральному розтягу або стиску основним внутрішнім фактором є $N$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Внутрішній силовий фактор характеризує сумарну дію напружень по всьому перерізу. Самі напруження описують, як ця внутрішня взаємодія розподілена по точках перерізу.\u003C\u002Fp>",11,[],{"id":783,"parent_id":659,"code":784,"slug":785,"name":786,"seo_title":787,"seo_description":788,"seo_text":789,"content":790,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":791,"url_slug":785,"children":792},162,"1.0.12","napruzhennia-ta-deformatsii-v-tochtsi","Напруження та деформації в точці","Напруження та деформації в точці: σ, τ, ε і γ","Вступ до понять нормальних і дотичних напружень та нормальних і кутових деформацій у точці матеріалу.","Тема вводить локальні характеристики напружено-деформованого стану: нормальні та дотичні напруження, нормальні та кутові деформації. Пояснено відмінність між внутрішнім силовим фактором у перерізі та напруженням у його точці.","\u003Cp>Внутрішні силові фактори описують сумарну взаємодію частин тіла через переріз. Щоб описати її \u003Cstrong>локально\u003C\u002Fstrong>, у конкретній точці матеріалу вводять поняття напруження. Зміну локальної геометрії характеризують деформаціями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вектор внутрішньої взаємодії на малій площадці можна розкласти на складову, перпендикулярну до площадки, та складову в її площині. Відповідно розрізняють \u003Cstrong>нормальне напруження $\\sigma$\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>дотичне напруження $\\tau$\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Напруження не слід ототожнювати із силою: сила або внутрішній силовий фактор є результуючою, тоді як напруження характеризує інтенсивність розподіленої внутрішньої взаємодії. Його розмірність — сила, поділена на площу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нормальна деформація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Нормальна деформація $\\varepsilon$\u003C\u002Fstrong> характеризує відносну зміну довжини матеріального відрізка. Для одновимірного малого видовження стержня її середнє значення записують як $\\varepsilon=\\Delta l\u002Fl$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кутова деформація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Кутова деформація $\\gamma$\u003C\u002Fstrong> характеризує зміну початково прямого кута між матеріальними напрямками. Вона особливо важлива при зсуві та крученні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стан у точці\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Значення $\\sigma$, $\\tau$, $\\varepsilon$ і $\\gamma$ залежать від положення точки та орієнтації площадки або напрямку. Повний опис напруженого і деформованого стану є багатокомпонентним; його детально розглядають у спеціальних темах курсу. На вступному рівні важливо розрізняти глобальні силові фактори та локальні характеристики матеріалу.\u003C\u002Fp>",12,[],{"id":88,"parent_id":39,"code":794,"slug":795,"name":796,"seo_title":797,"seo_description":798,"seo_text":799,"content":800,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":795,"children":801},"2","roztyah-i-stysk","Розтяг і стиск","Розтяг і стиск — Теорія та розрахунки на міцність","Все про деформації розтягу та стиску стержнів: епюри поздовжніх сил, напруження та закон Гука.","Розтяг і стиск - найпростіший і один з найпоширеніших видів деформування стержня, при якому в його поперечних перерізах виникає лише один внутрішній силовий фактор - поздовжня сила N. У цьому розділі описано методику побудови епюр поздовжніх сил, розрахунок нормальних напружень та лінійних деформацій. Ви вивчите закон Гука при осьовому навантаженні, модуль пружності першого роду (модуль Юнга) та коефіцієнт Пуассона. Окрему увагу приділено умові міцності та підбору безпечних розмірів поперечного перерізу стержня.","\u003Cp>\u003Cstrong>Розтяг і стиск\u003C\u002Fstrong> — види осьового деформування стержня, за яких зовнішні сили діють уздовж його поздовжньої осі. У найпростішій моделі центрального розтягу або стиску в поперечному перерізі виникає один внутрішній силовий фактор — \u003Cstrong>поздовжня сила $N$\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішня сила та напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поздовжню силу визначають методом перерізів із рівнянь рівноваги відсіченої частини стержня. При розтягу $N$ зазвичай приймають додатною, при стиску — від’ємною. Для центрально навантаженого призматичного стержня нормальні напруження в достатньо віддаленому від локальних збурень перерізі визначають відношенням поздовжньої сили до площі.\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-normal-stress}}\u003Ch2>Деформація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Під дією осьової сили довжина стержня змінюється. При розтягу він видовжується, при стиску — скорочується. Відносна поздовжня деформація характеризує зміну довжини відносно початкового розміру.\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-bar-elongation}}\u003Cp>Зв’язок між напруженням і деформацією в лінійно-пружній області описує закон Гука.\u003C\u002Fp>{{chunk:uniaxial-hooke-law}}\u003Ch2>Міцність і жорсткість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розрахунок стержня не обмежується визначенням напруження. Конструкція повинна одночасно задовольняти вимоги міцності та, коли це необхідно, жорсткості. Перша умова обмежує небезпечні напруження, друга — надмірні деформації.\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-strength-stiffness-check}}\u003Ch2>Що вивчається в розділі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У дочірніх темах послідовно розглядаються внутрішні зусилля й нормальні напруження, механічні властивості матеріалів, поздовжні деформації, розрахунки на міцність і жорсткість, температурні деформації та статично невизначувані осьові системи. Така послідовність переходить від рівноваги та напружень до деформацій і складніших умов сумісності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Базова схема розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити зовнішні сили та реакції.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Методом перерізів знайти поздовжню силу $N$ на кожній ділянці.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити нормальні напруження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>За потреби визначити деформації та переміщення.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити умови міцності й жорсткості.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Cp>Для ступінчастих стержнів або систем із різними матеріалами розрахунок виконують по ділянках, використовуючи відповідні значення $N$, $A$, $E$ та $L$.\u003C\u002Fp>",[802,810,879,887,895,904],{"id":97,"parent_id":88,"code":803,"slug":804,"name":805,"seo_title":805,"seo_description":806,"seo_text":807,"content":808,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":38,"url_slug":804,"children":809},"3","vnutrishni-zusyllya-ta-napruzhennya","Внутрішні зусилля та напруження в поперечних перерізах","Метод перерізів, побудова епюр N, Q, M та визначення напружень у перерізах елементів.","Для визначення внутрішніх факторів сил у будь-якому перерізі елемента застосовують метод перерізів (метод РОЗУ). У цьому розділі детально розглянуто правила знаків та алгоритми побудови епюр поздовжніх сил N, поперечних сил Q, згинальних моментів M та крутних моментів T. Також розкрито фізичну сутність поняття напруження як інтенсивності внутрішніх сил, їх поділ на нормальні та дотичні напруження. Наведені приклади допоможуть зрозуміти зв'язок між зовнішнім навантаженням та внутрішньою реакцією матеріалу.","\u003Cp>Під дією зовнішніх сил усередині стержня виникають внутрішні сили, які протидіють деформуванню. Для їх визначення використовують \u003Cstrong>метод перерізів\u003C\u002Fstrong>: стержень подумки розсікають у потрібному місці та розглядають рівновагу однієї з отриманих частин.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні силові фактори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У загальному випадку в поперечному перерізі можуть виникати поздовжня сила $N$, поперечні сили $Q$, згинальні моменти $M$ та крутний момент $T$. При центральному розтягу або стиску діє лише поздовжня сила $N$.\u003C\u002Fp>{{chunk:section-method-axial-force}}\u003Ch2>Правило знаків для поздовжньої сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поздовжню силу $N$ вважають додатною при розтягу і від’ємною при стиску. На різних ділянках стержня її значення визначають окремо з рівнянь рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нормальні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Внутрішня сила характеризує сумарну дію матеріалу в перерізі, а напруження описує інтенсивність цієї дії. Для центрального розтягу або стиску прямого стержня з однорідним поперечним перерізом нормальні напруження розподіляються рівномірно.\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-normal-stress}}\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай стержень з площею поперечного перерізу $A=200$ мм² розтягується поздовжньою силою $N=20$ кН. Переведемо силу в ньютони: $N=20\\,000$ Н. Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma=\\frac{20000}{200}=100\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Додатний знак напруження відповідає розтягу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що потрібно вміти\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після опрацювання теми студент має вміти виконати переріз стержня, визначити поздовжню силу з рівнянь рівноваги, побудувати епюру $N$ та знайти нормальні напруження у поперечному перерізі. Закріпити ці навички можна у практичних задачах цієї теми.\u003C\u002Fp>",[],{"id":107,"parent_id":88,"code":811,"slug":812,"name":813,"seo_title":814,"seo_description":815,"seo_text":816,"content":817,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":812,"children":818},"4","mekhanichni-vlastyvosti-materialiv","Механічні властивості матеріалів","Механічні властивості матеріалів — Границя міцності та текучості","Діаграма розтягу матеріалів, закон Гука, модуль пружності, пластичність та крихкість.","Експериментальне дослідження механічних властивостей матеріалів є основою для їх правильного вибору в інженерній практиці. У цьому розділі аналізується стандартна діаграма розтягу маловуглецевої сталі, де детально розглянуті границі пропорційності, пружності, текучості та міцності (тимчасовий опір). Пояснено різницю між пластичними та крихкими матеріалами, поняття залишкової деформації, наклепу (зміцнення) та коефіцієнта запасу міцності. Також наведено методики визначення допустимих напружень при розрахунках.","\u003Cp>Механічні властивості матеріалу визначають, як він деформується та руйнується під дією навантаження. Для інженерних розрахунків особливо важливі \u003Cstrong>пружність, пластичність, міцність і жорсткість\u003C\u002Fstrong>. Ці характеристики визначають експериментально, зокрема під час випробування стандартного зразка на розтяг.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напруження та деформація під час випробування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За результатами випробування будують діаграму розтягу в координатах «напруження $\\sigma$ — відносна деформація $\\varepsilon$». Відносна поздовжня деформація характеризує зміну довжини відносно початкової: $\\varepsilon=\\Delta l\u002Fl_0$. Вона є безрозмірною.\u003C\u002Fp>{{chunk:uniaxial-hooke-law}}\u003Cp>Модуль Юнга \u003Cstrong>$E$\u003C\u002Fstrong> характеризує жорсткість матеріалу при розтягу та стиску: що більше $E$, то менша пружна деформація виникає за однакового напруження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Характерні ділянки діаграми розтягу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На початковій ділянці напруження приблизно пропорційне деформації. Після виходу за межі пружної роботи матеріалу можуть з’являтися незворотні, або пластичні, деформації. Для пластичного матеріалу на діаграмі виділяють характерні механічні характеристики:\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>границю пропорційності\u003C\u002Fstrong> — напруження, до якого залежність між $\\sigma$ та $\\varepsilon$ практично лінійна;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>границю пружності\u003C\u002Fstrong> — характеристику області, після розвантаження з якої залишкова деформація ще не перевищує прийнятого малого значення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>границю текучості\u003C\u002Fstrong> — напруження, пов’язане з розвитком значної пластичної деформації без відповідного істотного збільшення навантаження або визначене умовним методом;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>тимчасовий опір (границю міцності)\u003C\u002Fstrong> — максимальне умовне напруження на інженерній діаграмі розтягу.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Пружна і пластична деформація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Пружна деформація\u003C\u002Fstrong> зникає після зняття навантаження. \u003Cstrong>Пластична деформація\u003C\u002Fstrong> повністю не зникає: після розвантаження залишається залишкова зміна форми або розмірів. Здатність матеріалу накопичувати значну пластичну деформацію до руйнування називають пластичністю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пластичні та крихкі матеріали\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Пластичні матеріали перед руйнуванням зазвичай мають помітні залишкові деформації. Крихкі матеріали руйнуються при відносно малих пластичних деформаціях. Такий поділ важливий для вибору розрахункової характеристики міцності та коефіцієнта запасу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зміцнення та наклеп\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після пластичного деформування властивості матеріалу можуть змінюватися. Зокрема, при холодній пластичній деформації часто спостерігається \u003Cstrong>наклеп\u003C\u002Fstrong>: опір подальшій пластичній деформації зростає, тоді як запас пластичності може зменшуватися.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Допустимі напруження та запас міцності\u003C\u002Fh2>{{chunk:allowable-normal-stress}}\u003Cp>Коефіцієнт запасу враховує невизначеності навантаження, властивостей матеріалу, розрахункової моделі та умов експлуатації. Його значення не є універсальним і задається відповідною методикою або нормативними вимогами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай для матеріалу в пружній області \u003Cstrong>$E=200$ ГПа\u003C\u002Fstrong>, а відносна деформація становить \u003Cstrong>$\\varepsilon=0{,}001$\u003C\u002Fstrong>. Тоді за законом Гука:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma=E\\varepsilon=200\\cdot10^9\\cdot0{,}001=200\\cdot10^6\\ \\text{Па}=200\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо прийнята гранична характеристика матеріалу дорівнює 360 МПа, а коефіцієнт запасу $n=1{,}5$, то допустиме напруження становить $[\\sigma]=360\u002F1{,}5=240$ МПа. У наведеному прикладі 200 МПа не перевищує 240 МПа.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що потрібно вміти\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після опрацювання теми студент має розрізняти пружні й пластичні деформації, читати основні ділянки діаграми розтягу, пояснювати фізичний зміст модуля Юнга та характеристик міцності, застосовувати закон Гука в межах його застосовності й виконувати просту перевірку за допустимими напруженнями. Практичні задачі теми допомагають закріпити ці навички.\u003C\u002Fp>",[819,829,839,849,859,869],{"id":820,"parent_id":107,"code":821,"slug":822,"name":823,"seo_title":824,"seo_description":825,"seo_text":826,"content":827,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":822,"children":828},96,"4.1","diagrama-roztiahu-ta-kharakterni-tochky","Діаграма розтягу та її характерні точки","Діаграма розтягу матеріалу — характерні точки та ділянки","Діаграма розтягу: пружна й пластична області, границі пропорційності, текучості та міцності, шийка і руйнування зразка.","Тема пояснює інженерну діаграму розтягу та фізичний зміст її характерних ділянок і точок. Розглядаються границі пропорційності, пружності, текучості й міцності, розвиток пластичної деформації, утворення шийки та руйнування. Матеріал допомагає читати діаграму випробування на розтяг і використовувати механічні характеристики в інженерних розрахунках.","\u003Cp>Діаграма розтягу показує залежність між напруженням і деформацією зразка під час випробування. За її формою визначають основні характеристики пружності, пластичності та міцності матеріалу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні ділянки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На початку навантаження деформація є переважно пружною, а в області пропорційності напруження приблизно лінійно залежить від відносної деформації.\u003C\u002Fp>{{chunk:uniaxial-hooke-law}}\u003Cp>Після виходу за межі пружної роботи виникають незворотні пластичні деформації. Для пластичних металів виділяють границю текучості або умовну границю текучості, а максимальне інженерне напруження називають тимчасовим опором, або границею міцності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Після досягнення максимального навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У пластичного зразка може виникнути локальне звуження — шийка. Подальша деформація концентрується в цій області та завершується руйнуванням. Точна форма діаграми і вираженість окремих ділянок залежать від матеріалу та умов випробування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичне значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За діаграмою оцінюють жорсткість, початок пластичного деформування, міцність і здатність матеріалу деформуватися перед руйнуванням. Ці характеристики використовують при виборі матеріалу та розрахункових допустимих напружень.\u003C\u002Fp>",[],{"id":830,"parent_id":107,"code":831,"slug":832,"name":833,"seo_title":834,"seo_description":835,"seo_text":836,"content":837,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":832,"children":838},97,"4.2","pruzhni-kharakterystyky-materialiv","Пружні характеристики матеріалів","Пружні характеристики матеріалів — E, G і коефіцієнт Пуассона","Модуль Юнга E, модуль зсуву G, коефіцієнт Пуассона ν та їх фізичний зміст у розрахунках пружного деформування матеріалів.","Тема систематизує основні пружні характеристики ізотропного матеріалу: модуль Юнга E, модуль зсуву G та коефіцієнт Пуассона ν. Пояснюється їх фізичний зміст, одиниці вимірювання та роль у законах пружного деформування. Наведено зв’язок між E, G і ν для лінійно-пружного ізотропного матеріалу.","\u003Cp>Пружні характеристики описують опір матеріалу оборотному деформуванню. Для лінійно-пружного ізотропного матеріалу основними характеристиками є модуль Юнга \u003Cstrong>$E$\u003C\u002Fstrong>, модуль зсуву \u003Cstrong>$G$\u003C\u002Fstrong> та коефіцієнт Пуассона \u003Cstrong>$\\nu$\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>{{chunk:uniaxial-hooke-law}}\u003Ch2>Коефіцієнт Пуассона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При одновісному розтягу разом із поздовжнім видовженням виникає поперечне звуження. Коефіцієнт Пуассона визначають як $\\nu=-\\varepsilon_{\\perp}\u002F\\varepsilon_{\\parallel}$, де $\\varepsilon_{\\perp}$ — поперечна, а $\\varepsilon_{\\parallel}$ — поздовжня відносна деформація.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Модуль зсуву\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Модуль зсуву $G$ характеризує жорсткість матеріалу при зсуві. Для лінійно-пружного ізотропного матеріалу пружні сталі пов’язані співвідношенням $G=E\u002F[2(1+\\nu)]$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інженерне застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>$E$ використовують у задачах розтягу, стиску та згину, $G$ — при зсуві й крученні, а $\\nu$ потрібний для опису взаємозв’язку поздовжніх і поперечних деформацій.\u003C\u002Fp>",[],{"id":840,"parent_id":107,"code":841,"slug":842,"name":843,"seo_title":844,"seo_description":845,"seo_text":846,"content":847,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":842,"children":848},98,"4.3","plastychnist-i-krykhkist-materialiv","Пластичність і крихкість матеріалів","Пластичність і крихкість матеріалів — деформація та руйнування","Пластичні й крихкі матеріали, залишкові деформації, відносне видовження і звуження та їх значення для оцінювання поведінки матеріалу.","Тема пояснює відмінності між пластичною та крихкою поведінкою матеріалів. Розглядаються залишкова деформація, відносне видовження та відносне звуження після руйнування, а також практичне значення пластичності для перерозподілу напружень і попередження раптового руйнування.","\u003Cp>\u003Cstrong>Пластичність\u003C\u002Fstrong> — здатність матеріалу набувати помітних незворотних деформацій до руйнування. \u003Cstrong>Крихка поведінка\u003C\u002Fstrong> характеризується руйнуванням при відносно малих пластичних деформаціях.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Показники пластичності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після випробування на розтяг пластичність часто характеризують відносним залишковим видовженням та відносним звуженням поперечного перерізу. Чим більші ці показники за однакових умов випробування, тим більшу пластичну деформацію зразок накопичив до руйнування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому це важливо\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Пластична деформація може забезпечувати локальний перерозподіл напружень і давати помітні ознаки перевантаження перед руйнуванням. Крихке руйнування часто розвивається з малою попередньою пластичною деформацією, тому потребує особливої уваги до дефектів, концентраторів напружень, температури та умов навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Не абсолютна класифікація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поведінка матеріалу залежить не лише від його назви або складу. Температура, швидкість деформування, напружений стан, геометрія зразка та середовище можуть змінювати характер руйнування.\u003C\u002Fp>",[],{"id":850,"parent_id":107,"code":851,"slug":852,"name":853,"seo_title":854,"seo_description":855,"seo_text":856,"content":857,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":852,"children":858},99,"4.4","dopustymi-napruzhennia-ta-koefitsiient-zapasu","Допустимі напруження та коефіцієнт запасу","Допустимі напруження та коефіцієнт запасу міцності","Визначення допустимих напружень, вибір граничної характеристики матеріалу та роль коефіцієнта запасу в інженерному розрахунку.","Тема присвячена методу розрахунку за допустимими напруженнями. Пояснюється вибір граничної характеристики матеріалу, фізичний зміст коефіцієнта запасу та перевірка умови міцності. Матеріал показує, чому запас залежить від навантаження, властивостей матеріалу, точності моделі та вимог до надійності.","\u003Cp>Реальну конструкцію не проєктують так, щоб робочі напруження безпосередньо досягали граничної характеристики матеріалу. Для створення запасу між робочим і небезпечним станом використовують \u003Cstrong>допустиме напруження\u003C\u002Fstrong> та \u003Cstrong>коефіцієнт запасу\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>{{chunk:allowable-normal-stress}}\u003Ch2>Вибір граничної характеристики\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Гранична характеристика залежить від матеріалу, виду навантаження та прийнятої методики. Для пластичних матеріалів при статичному навантаженні часто орієнтуються на границю текучості, тоді як для крихких матеріалів важливими є характеристики руйнування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що враховує запас\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коефіцієнт запасу компенсує невизначеність навантажень, розкид властивостей матеріалу, спрощення розрахункової моделі, відхилення геометрії, умови виготовлення й експлуатації. Його конкретне значення визначається нормативами або прийнятою методикою розрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\sigma_{\\mathrm{lim}}=360$ МПа та $n=1{,}5$, то $[\\sigma]=360\u002F1{,}5=240$ МПа. Розраховане робоче напруження за прийнятою моделлю не повинно перевищувати це значення.\u003C\u002Fp>",[],{"id":860,"parent_id":107,"code":861,"slug":862,"name":863,"seo_title":864,"seo_description":865,"seo_text":866,"content":867,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":15,"url_slug":862,"children":868},100,"4.5","naklep-i-povtorne-navantazhennia","Наклеп і повторне навантаження","Наклеп і повторне навантаження матеріалу","Вплив пластичного деформування на подальшу поведінку матеріалу: наклеп, зміцнення, залишкова деформація та зміна пластичності.","Тема пояснює, як попередня пластична деформація впливає на подальше навантаження матеріалу. Розглядаються наклеп, зміцнення, залишкова деформація, пружне розвантаження та зміна запасу пластичності. Показано, чому історія навантаження може бути важливою для оцінювання механічної поведінки деталі.","\u003Cp>Після пластичного деформування матеріал може мати інші механічні характеристики, ніж у початковому стані. Тому при повторному навантаженні важливо враховувати \u003Cstrong>історію деформування\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Наклеп\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При холодній пластичній деформації багатьох металів спостерігається наклеп: опір подальшому пластичному деформуванню зростає. Одночасно запас пластичності зазвичай зменшується.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розвантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після розвантаження пружна складова деформації переважно зникає, а пластична складова залишається. Тому зразок не повертається повністю до початкових розмірів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Повторне навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При повторному навантаженні поведінка залежить від попередньої пластичної деформації, напряму навантаження, матеріалу та термічної історії. У простих навчальних моделях повторне навантаження після наклепу розглядають як приклад зміни межі початку подальшої пластичної деформації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичне значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ефект наклепу використовують у технологіях холодного деформування, але його потрібно враховувати там, де важлива пластичність і здатність деталі безпечно переносити подальші перевантаження.\u003C\u002Fp>",[],{"id":870,"parent_id":107,"code":871,"slug":872,"name":873,"seo_title":874,"seo_description":875,"seo_text":876,"content":877,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":125,"url_slug":872,"children":878},101,"4.6","vplyv-zovnishnikh-faktoriv-na-mekhanichni-vlastyvosti","Вплив зовнішніх факторів на механічні властивості","Вплив зовнішніх факторів на механічні властивості матеріалів","Як температура, швидкість деформування, дефекти, стан поверхні, середовище й технологічна обробка змінюють властивості матеріалів.","Тема пояснює, чому механічні характеристики не є незмінними константами для всіх умов експлуатації. Розглядається вплив високих і низьких температур, швидкості деформування, концентраторів напружень, дефектів, стану поверхні, корозійного середовища та технологічної обробки. Окремо пояснюються повзучість і схильність деяких матеріалів до крихкого руйнування за низьких температур.","\u003Cp>Механічні характеристики, отримані під час стандартного випробування, справедливі для визначених умов. У реальній конструкції температура, швидкість навантаження, стан поверхні, дефекти, середовище та технологічна історія можуть істотно змінювати поведінку матеріалу.\u003C\u002Fp>{{chunk:external-factors-mechanical-properties}}\u003Ch2>Температура\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Зі зміною температури можуть змінюватися модуль пружності, границя текучості, міцність, пластичність та характер руйнування. За високих температур і тривалого навантаження важливим стає явище \u003Cstrong>повзучості\u003C\u002Fstrong> — накопичення деформації з часом під дією сталого або майже сталого навантаження. За низьких температур деякі конструкційні матеріали стають менш пластичними та більш чутливими до крихкого руйнування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкість деформування та характер навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Механічна відповідь матеріалу може залежати від швидкості деформування. Тому результати повільного статичного випробування не завжди безпосередньо описують поведінку при ударі. Циклічне навантаження також потребує окремого аналізу, оскільки руйнування від втоми може виникати при рівнях напружень, нижчих за статичну границю міцності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Концентратори, дефекти та розміри\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Отвори, різкі переходи перерізу, надрізи, тріщини та інші дефекти створюють локальні концентрації напружень. Вплив таких зон залежить від матеріалу, геометрії, напруженого стану та виду навантаження. Розмір деталі також може впливати на статистичну й технологічну ймовірність дефектів та на результати випробувань.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поверхня та середовище\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якість поверхні особливо важлива для деталей, що працюють при повторних навантаженнях. Риски й корозійні пошкодження можуть бути місцями зародження тріщин. Агресивне середовище здатне одночасно зменшувати ефективний переріз і змінювати механізм пошкодження матеріалу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Технологічна та термічна обробка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Холодне деформування, зварювання, механічна обробка та термічна обробка можуть змінювати структуру, твердість, міцність, пластичність і залишкові напруження. Тому для відповідального розрахунку потрібно використовувати характеристики, що відповідають фактичному стану матеріалу у готовій деталі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інженерний висновок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Довідкове значення механічної характеристики не слід автоматично переносити на будь-яку конструкцію. Потрібно перевірити температуру, тривалість і швидкість навантаження, середовище, стан поверхні, геометричні концентратори, технологію виготовлення та нормативні коефіцієнти для конкретної задачі.\u003C\u002Fp>",[],{"id":880,"parent_id":88,"code":9,"slug":881,"name":882,"seo_title":882,"seo_description":883,"seo_text":884,"content":885,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":881,"children":886},44,"temperaturni-deformatsiyi","Температурні деформації та напруження","Обчислення температурних напружень у статично невизначуваних системах.","Зміна температури викликає теплове розширення або стиск матеріалів. У статично визначуваних системах це призводить лише до зміни розмірів, а у статично невизначуваних — виникають значні температурні напруження. Розділ присвячено розрахунку температурних напружень та урахуванню температурних впливів у будівельних нормах.","\u003Cp>Зміна температури спричиняє теплове розширення або скорочення матеріалу. Якщо стержень може вільно змінювати довжину, температурний вплив викликає деформацію без механічного напруження. Якщо переміщення обмежене опорами або іншими елементами конструкції, виникають \u003Cstrong>температурні напруження\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вільна температурна деформація\u003C\u002Fh2>{{chunk:thermal-strain-elongation}}\u003Cp>Коефіцієнт $\\alpha$ залежить від матеріалу й температурного діапазону. У простих навчальних задачах його вважають сталим у межах заданої зміни температури.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Повністю закріплений стержень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розглянемо стержень, кінці якого не можуть переміщуватися вздовж осі. При нагріванні він прагнув би видовжитися, але закріплення перешкоджають цьому. Реакції опор створюють механічну деформацію, протилежну вільній температурній деформації.\u003C\u002Fp>{{chunk:fully-restrained-thermal-stress}}\u003Ch2>Часткове обмеження переміщень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У загальному випадку переміщення може бути не нульовим. Тоді температурну й силову складові враховують разом. Для ділянки стержня повна зміна довжини в лінійно-пружній моделі може бути записана як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\Delta l=\\frac{NL}{EA}+\\alpha\\Delta T\\,L.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Знак кожної складової визначають відповідно до прийнятого правила: розтяг і видовження — додатні, стиск і скорочення — від’ємні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сталевий стержень із $E=200$ ГПа та $\\alpha=12\\cdot10^{-6}\\ 1\u002F^{\\circ}\\mathrm{C}$ повністю закріплений і нагрівається на $\\Delta T=40\\ ^{\\circ}\\mathrm{C}$. За умови лінійно-пружної роботи:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_T=-200000\\cdot12\\cdot10^{-6}\\cdot40=-96\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, виникає стискальне температурне напруження 96 МПа за модулем.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інженерне значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Температурні напруження важливі в трубопроводах, рейках, довгих металевих конструкціях, деталях машин та елементах із різними коефіцієнтами теплового розширення. Для їх зменшення застосовують температурні шви, компенсатори та конструктивні рішення, що допускають необхідні переміщення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Спочатку визначають вільну температурну деформацію, потім аналізують кінематичні обмеження системи. Якщо система статично невизначувана, складають рівняння сумісності деформацій і разом із рівняннями рівноваги знаходять реакції та внутрішні сили.\u003C\u002Fp>",[],{"id":15,"parent_id":88,"code":888,"slug":889,"name":890,"seo_title":890,"seo_description":891,"seo_text":892,"content":893,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":889,"children":894},"5","statychno-nevyznachuvani-zadachi-osove-navantazhennya","Статично невизначувані задачі при осьовому навантаженні","Методи розв'язання статично невизначуваних систем при розтягу-стиску. Рівняння переміщень.","Якщо кількість невідомих опорних реакцій або внутрішніх сил перевищує кількість можливих рівнянь статики, система є статично невизначуваною. Для її розв'язання складають додаткові рівняння сумісності деформацій, які відображають геометричні умови обмежувальних зв'язків. У даному розділі розглянуто ступені статичної невизначуваності, алгоритми розрахунку східчастих стержнів та шарнірно-стержньових систем при розтягу й стиску, а також аналіз монтажних напружень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Статично невизначуваною\u003C\u002Fstrong> називають систему, у якій кількість невідомих реакцій або внутрішніх сил перевищує кількість незалежних рівнянь статичної рівноваги. Для визначення всіх невідомих до рівнянь статики додають \u003Cstrong>рівняння сумісності деформацій\u003C\u002Fstrong>, що описують геометричні обмеження системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому рівнянь статики недостатньо\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У статично визначуваному осьовому стержні реакції можна знайти лише з умов рівноваги. Якщо ж стержень має додаткові закріплення або система складається з кількох взаємодіючих елементів, рівнянь рівноваги недостатньо. Тоді розподіл сил залежить також від жорсткостей $EA$ та геометрії елементів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння деформацій\u003C\u002Fh2>{{chunk:axial-bar-elongation}}\u003Cp>Для кількох ділянок переміщення визначають алгебраїчним сумуванням їх видовжень і скорочень. Якщо діють температурні зміни, до механічної деформації додають температурну складову.\u003C\u002Fp>{{chunk:thermal-strain-elongation}}\u003Ch2>Умова сумісності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Умова сумісності випливає з реальної геометрії та закріплень. Наприклад, якщо обидва кінці стержня нерухомі й відстань між опорами не змінюється, сумарна зміна його довжини дорівнює нулю: $\\sum_i\\Delta l_i=0$. В інших системах переміщення окремих вузлів можуть бути однаковими або пов’язаними геометричним співвідношенням.\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-static-indeterminacy-algorithm}}\u003Ch2>Простий приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай однорідний стержень довжини $L$ і площі $A$ закріплений між двома нерухомими опорами та навантажений осьовою силою в проміжній точці. Реакцій дві, а незалежне рівняння рівноваги вздовж осі одне, тому система один раз статично невизначувана. Друге рівняння отримують із умови, що сумарна зміна відстані між опорами дорівнює нулю. Деформації лівої та правої ділянок виражають через відповідні внутрішні сили та їх жорсткості $EA$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вплив жорсткості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У статично невизначуваних системах сили розподіляються між елементами залежно від їх жорсткості. Більш жорсткий елемент за однакової кінематичної умови зазвичай сприймає більшу частину навантаження. Тому зміна площі $A$, модуля $E$ або довжини $L$ може змінити реакції навіть за незмінного зовнішнього навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Монтажні та температурні впливи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Неточність виготовлення, початковий зазор, примусове складання або зміна температури можуть створювати внутрішні сили навіть без звичайного зовнішнього силового навантаження. Такі задачі розв’язують тим самим принципом: рівновага плюс сумісність повних деформацій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка результату\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після визначення реакцій необхідно перевірити рівняння рівноваги, виконання геометричної умови, знаки деформацій і одиниці. Потім знаходять напруження на кожній ділянці та виконують необхідну перевірку міцності.\u003C\u002Fp>",[],{"id":896,"parent_id":88,"code":897,"slug":898,"name":899,"seo_title":899,"seo_description":900,"seo_text":901,"content":902,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":15,"url_slug":898,"children":903},102,"2.5","deformatsii-sterzhniv-pry-roztyahu-ta-stysku","Деформації стержнів при розтягу та стиску","Поздовжні й відносні деформації стержнів, формула Δl = NL\u002F(EA), ступінчасті стержні та сумарне видовження при осьовому навантаженні.","Тема присвячена визначенню деформацій стержнів при центральному розтягу та стиску. Розглядаються абсолютна зміна довжини Δl, відносна деформація ε, фізичний зміст осьової жорсткості EA та формула Δl = NL\u002F(EA). Показано розрахунок ступінчастих стержнів і сумування деформацій ділянок із різними N, E, A та L.","\u003Cp>При центральному розтягу або стиску стержень змінює довжину. Для оцінювання цієї зміни використовують \u003Cstrong>абсолютну поздовжню деформацію $\\Delta l$\u003C\u002Fstrong> та \u003Cstrong>відносну деформацію $\\varepsilon$\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Абсолютна та відносна деформація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Абсолютна деформація — це різниця між кінцевою та початковою довжиною: $\\Delta l=l-l_0$. При видовженні $\\Delta l$ додатна, при скороченні — від’ємна. Відносна деформація визначається відношенням зміни довжини до початкової довжини: $\\varepsilon=\\Delta l\u002Fl_0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Деформація призматичного стержня\u003C\u002Fh2>{{chunk:axial-bar-elongation}}\u003Cp>Добуток \u003Cstrong>$EA$\u003C\u002Fstrong> називають осьовою жорсткістю перерізу. Зі збільшенням $E$ або $A$ деформація за однакових $N$ і $L$ зменшується, а зі збільшенням довжини $L$ — зростає.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ступінчастий стержень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо поздовжня сила, площа перерізу або модуль Юнга змінюються вздовж стержня, його розбивають на ділянки. Для кожної ділянки визначають власні $N_i$, $L_i$, $E_i$ та $A_i$, після чого алгебраїчно додають зміни довжини. Ділянки, що працюють на розтяг, дають додатний внесок, а на стиск — від’ємний.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сталевий стержень має $N=20$ кН, $L=1000$ мм, $A=200$ мм² та $E=200\\,000$ МПа. Оскільки 1 МПа = 1 Н\u002Fмм², можна використовувати узгоджену систему Н і мм:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\Delta l=\\frac{20000\\cdot1000}{200000\\cdot200}=0{,}5\\ \\text{мм}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, при розтягу стержень видовжиться на 0,5 мм.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Формула $\\Delta l=NL\u002F(EA)$ у такому вигляді передбачає центральне осьове навантаження, лінійно-пружну роботу матеріалу та сталі $N$, $E$ й $A$ у межах розрахункової ділянки. Для змінних величин застосовують поділ на ділянки або інтегральну форму.\u003C\u002Fp>",[],{"id":4,"parent_id":88,"code":905,"slug":906,"name":907,"seo_title":907,"seo_description":908,"seo_text":909,"content":910,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":125,"url_slug":906,"children":911},"2.6","rozrakhunok-na-mitsnist-i-zhorstkist-pry-roztyahu-ta-stysku","Розрахунок на міцність і жорсткість при розтягу та стиску","Перевірка міцності та жорсткості стержнів при осьовому навантаженні, підбір площі перерізу й визначення допустимого навантаження.","Тема систематизує основні типи інженерних розрахунків стержнів при центральному розтягу та стиску: перевірку міцності, проєктний підбір площі поперечного перерізу, визначення допустимого навантаження та перевірку жорсткості. Використовуються умови |σmax| ≤ [σ] та |Δl| ≤ [Δl], а також зв’язки σ = N\u002FA і Δl = NL\u002F(EA).","\u003Cp>Розрахунок стержня при осьовому навантаженні повинен показати, що конструкція не лише витримує прикладені сили, а й не деформується понад установлені межі. Тому розрізняють розрахунки на \u003Cstrong>міцність\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>жорсткість\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-strength-stiffness-check}}\u003Ch2>Перевірочний розрахунок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо геометрія стержня й навантаження відомі, визначають поздовжню силу $N$, обчислюють напруження $\\sigma=N\u002FA$ та порівнюють найбільше за модулем значення з допустимим. Якщо умова міцності виконується, переріз задовольняє прийнятий критерій допустимих напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Проєктний розрахунок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коли навантаження й допустиме напруження відомі, але розміри перерізу потрібно підібрати, визначають необхідну площу $A_{\\mathrm{req}}\\ge |N|\u002F[\\sigma]$. Після цього вибирають реальний стандартний або конструктивно допустимий переріз із площею не меншою за розрахункову та повторно перевіряють його.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Допустиме навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для заданого перерізу граничне за прийнятою умовою робоче значення поздовжньої сили можна оцінити як $|N|\\le[\\sigma]A$. Якщо система має кілька ділянок, допустиме навантаження визначає найнебезпечніша ділянка з урахуванням залежності її внутрішньої сили від зовнішнього навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка жорсткості\u003C\u002Fh2>{{chunk:axial-bar-elongation}}\u003Cp>Навіть якщо напруження безпечні, надмірне видовження або скорочення може порушити роботу конструкції. Тому розраховане переміщення порівнюють із допустимим значенням, заданим умовами експлуатації або нормативними вимогами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад підбору площі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай стержень розтягується силою $N=60$ кН, а допустиме напруження становить $[\\sigma]=150$ МПа. У системі Н і мм:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$A_{\\mathrm{req}}=\\frac{60000}{150}=400\\ \\text{мм}^2.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, слід вибрати переріз із фактичною площею не меншою за 400 мм², а потім перевірити прийнятий переріз за фактичними характеристиками та, за потреби, за жорсткістю.\u003C\u002Fp>",[],{"id":769,"parent_id":39,"code":913,"slug":914,"name":915,"seo_title":916,"seo_description":917,"seo_text":918,"content":919,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":914,"children":920},"10","zsuv-ta-kruchennya","Зсув та кручення","Зсув та кручення — Розрахунок валів та з'єднань","Теорія зсуву та кручення круглих валів: крутні моменти, дотичні напруження та кут закручування.","Деформації зсуву та кручення супроводжуються виникненням у перерізах елементів дотичних напружень. У цьому розділі вивчено основи чистого зсуву, зв'язок між модулем зсуву G та модулем Юнга E, а також теорію кручення стержнів круглого та кільцевого поперечного перерізу (валів). Наведено формули для розрахунку крутного моменту, максимальних дотичних напружень за допомогою полярного моменту опору, а також алгоритми перевірки валів на міцність та жорсткість.","\u003Cp>\u003Cstrong>Зсув\u003C\u002Fstrong> — деформування, за якого сусідні шари матеріалу прагнуть зміститися один відносно одного. У перерізі при цьому виникають \u003Cstrong>дотичні напруження $\\tau$\u003C\u002Fstrong>. Кутову деформацію зсуву позначають $\\gamma$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон Гука при зсуві\u003C\u002Fh2>{{chunk:shear-hooke-law}}\u003Cp>Модуль зсуву $G$ характеризує жорсткість матеріалу при зсуві. Для лінійно-пружного ізотропного матеріалу він пов’язаний із модулем Юнга $E$ та коефіцієнтом Пуассона $\\nu$ співвідношенням $G=E\u002F[2(1+\\nu)]$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зсув у з’єднаннях\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У болтах, заклепках, штифтах та інших елементах з’єднань часто використовують модель середніх дотичних напружень у площині зрізу. Окремо перевіряють контактні напруження зминання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кручення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При крученні стержня в його поперечних перерізах виникає крутний момент $T$. Для круглого вала дотичні напруження змінюються за радіусом, а деформація характеризується кутом закручування.\u003C\u002Fp>{{chunk:circular-shaft-torsion}}\u003Ch2>Що потрібно вміти\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після опрацювання розділу студент має розрізняти зсув і кручення, застосовувати закон Гука при зсуві, визначати середні дотичні напруження в простих з’єднаннях, розраховувати круглі вали на міцність і жорсткість та пов’язувати крутний момент із потужністю.\u003C\u002Fp>",[921,930,938,948],{"id":780,"parent_id":769,"code":922,"slug":923,"name":924,"seo_title":925,"seo_description":926,"seo_text":927,"content":928,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":780,"url_slug":923,"children":929},"11","chystyy-zsuv-ta-z-yednannya","Чистий зсув та розрахунок з'єднань (заклепки, зварювання)","Чистий зсув — Розрахунок заклепочних та зварних з'єднань","Розрахунок з'єднань на зріз та зминання: заклепки, болти, зварні шви.","Чистий зсув — це такий напружений стан, при якому по двох взаємно перпендикулярних площадках діють лише дотичні напруження. Ця модель покладена в основу практичних розрахунків елементів кріплення та з'єднань. На сторінці розглянуто розрахунок заклепочних, болтових, шпонкових та зварних з'єднань на зріз і зминання. Подано інженерні методики визначення необхідної кількості заклепок або довжини зварного шва під дією зсувного навантаження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Зсув\u003C\u002Fstrong> виникає, коли зовнішні сили прагнуть змістити одну частину елемента відносно іншої вздовж площини поділу. У спрощених інженерних розрахунках болтів, заклепок, штифтів і деяких зварних з’єднань дотичні напруження часто вважають рівномірно розподіленими по розрахунковій площі зрізу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Середнє дотичне напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При прямому зрізі середнє дотичне напруження визначають як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau_{\\mathrm{avg}}=\\frac{F}{A_s},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $F$ — сила, що передається через площину зрізу, а $A_s$ — сумарна розрахункова площа зрізу. Якщо однакові кріпильні елементи та площини працюють симетрично, сумарну площу визначають з урахуванням їх кількості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Деформація чистого зсуву\u003C\u002Fh2>{{chunk:shear-hooke-law}}\u003Cp>При чистому зсуві на взаємно перпендикулярних площадках виникають парні дотичні напруження. Вони забезпечують моментну рівновагу малого елемента матеріалу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зріз кріпильних елементів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для болта або заклепки потрібно правильно визначити кількість площин зрізу. При однозрізному з’єднанні працює одна площа поперечного перерізу стрижня, при двозрізному — дві. Умова міцності в моделі середніх напружень має вигляд $\\tau_{\\mathrm{avg}}\\le[\\tau]$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зминання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Контакт болта або заклепки зі стінкою отвору створює місцеві контактні напруження, які в простому розрахунку оцінюють середнім напруженням зминання. Для пластини товщиною $t$ і кріпильного елемента діаметром $d$ проєктовану площу контакту часто приймають як $A_b=dt$, а середнє напруження — $\\sigma_b=F\u002FA_b$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зварні з’єднання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У спрощеному розрахунку кутового шва навантаження відносять до ефективної площі горла шва. Реальний розподіл напружень може бути нерівномірним, особливо при ексцентриситеті, тому для відповідального проєктування застосовують нормативні методики та відповідні коефіцієнти.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм перевірки\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити шлях передавання сили через з’єднання.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Встановити кількість робочих кріплень і площин зрізу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити зріз кріпильних елементів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити зминання контактних поверхонь.\u003C\u002Fli>\u003Cli>За потреби перевірити ослаблений отворами переріз пластини або ефективний переріз шва.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>",[],{"id":791,"parent_id":769,"code":931,"slug":932,"name":933,"seo_title":933,"seo_description":934,"seo_text":935,"content":936,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":791,"url_slug":932,"children":937},"12","kruchennya-valiv","Кручення валів круглого та кільцевого перерізів","Формули для крутних моментів, полярний момент інерції, розрахунки валів на міцність.","При крученні валів круглого та кільцевого перерізів діє гіпотеза плоских перерізів, згідно з якою поперечні перерізи залишаються плоскими та повертаються один відносно одного на певний кут. Розділ присвячено визначенню полярних моментів інерції та опору, побудові епюр крутних моментів і кутів закручування. Подано розрахунки на міцність за допустимими дотичними напруженнями та розрахунки на жорсткість за допустимим питомим кутом закручування.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кручення\u003C\u002Fstrong> — деформування стержня під дією моментів відносно його поздовжньої осі. Для круглих і кільцевих валів у межах класичної теорії кручення поперечні перерізи залишаються плоскими та повертаються один відносно одного.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Крутний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Внутрішній крутний момент \u003Cstrong>$T$\u003C\u002Fstrong> у перерізі визначають методом перерізів із рівняння рівноваги моментів відносно осі вала. Для ступінчастого або багатонавантаженого вала $T$ визначають окремо на кожній ділянці та будують епюру крутних моментів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Полярні характеристики перерізу\u003C\u002Fh2>{{chunk:circular-shaft-polar-properties}}\u003Cp>Полярний момент інерції $J_p$ характеризує геометричний опір перерізу кручення, а полярний момент опору $W_p$ зручно використовувати для визначення максимального дотичного напруження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Дотичні напруження\u003C\u002Fh2>{{chunk:circular-shaft-torsion}}\u003Cp>У суцільному круглому валу дотичне напруження змінюється лінійно за радіусом: на осі $\\tau=0$, а на зовнішній поверхні воно максимальне. Для кільцевого перерізу матеріал відсутній біля осі, тому при однаковій масі матеріалу порожнистий вал може використовувати матеріал ефективніше щодо кручення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розрахунок на міцність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У простій моделі допустимих напружень умова міцності має вигляд $|\\tau_{\\max}|\\le[\\tau]$. Для суцільного круглого вала це дозволяє підібрати діаметр за відомим $T$ і допустимим дотичним напруженням.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розрахунок на жорсткість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Надмірне закручування може порушувати точність роботи механізму навіть при безпечних напруженнях. Тому повний або питомий кут закручування порівнюють із допустимим значенням. Для кількох ділянок кути закручування додають алгебраїчно.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для суцільного вала діаметром $d=40$ мм при $T=500$ Н·м спочатку переводимо момент у Н·мм: $T=500\\,000$ Н·мм. Полярний момент опору:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$W_p=\\frac{\\pi40^3}{16}\\approx12566\\ \\text{мм}^3.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тоді $\\tau_{\\max}=500000\u002F12566\\approx39{,}8$ МПа.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Наведені співвідношення стосуються насамперед круглих і кільцевих стержнів у лінійно-пружній області. Для некруглих перерізів розподіл напружень і деформацій при крученні має інший характер.\u003C\u002Fp>",[],{"id":939,"parent_id":769,"code":940,"slug":941,"name":942,"seo_title":943,"seo_description":944,"seo_text":945,"content":946,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":939,"url_slug":941,"children":947},13,"13","rozrahunok-hvyntovykh-pruzhyn","Розрахунок гвинтових пружин","Розрахунок гвинтових пружин — Напруження та деформації","Методика розрахунку циліндричних гвинтових пружин на міцність та жорсткість.","Циліндричні гвинтові пружини малої кроковості є важливими деталями машин, що працюють на кручення витків під дією осьового навантаження. На цій сторінці подано інженерну теорію розрахунку витків пружини: обчислення крутного моменту, критерії врахування кривизни витка та додаткового зсуву, розрахунок максимальних дотичних напружень, а також визначення повної осадки пружини та кількості робочих витків для забезпечення необхідної жорсткості.","\u003Cp>\u003Cstrong>Циліндрична гвинтова пружина\u003C\u002Fstrong> перетворює осьову силу на переважно крутний момент у дроті витка. Завдяки цьому пружина може накопичувати пружну енергію та створювати значні осьові переміщення при відносно компактних розмірах.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні геометричні параметри\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для розрахунку використовують діаметр дроту \u003Cstrong>$d$\u003C\u002Fstrong>, середній діаметр витка \u003Cstrong>$D$\u003C\u002Fstrong>, кількість робочих витків \u003Cstrong>$n$\u003C\u002Fstrong> та індекс пружини $C=D\u002Fd$. Кінцеві витки можуть виконувати конструктивну функцію і не завжди входять до числа робочих витків.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кручення дроту витка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Осьова сила $F$ створює в дроті основний крутний момент приблизно $T=FD\u002F2$. Тому базовий розрахунок пружини спирається на теорію кручення круглого стержня.\u003C\u002Fp>{{chunk:circular-shaft-polar-properties}}\u003Ch2>Осадка та жорсткість\u003C\u002Fh2>{{chunk:helical-spring-stiffness}}\u003Cp>З формули видно сильний вплив діаметра дроту: жорсткість пропорційна $d^4$. Водночас збільшення середнього діаметра $D$ або кількості робочих витків $n$ зменшує жорсткість.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Дотичні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Найпростіша модель кручення дає номінальне напруження від крутного моменту. У реальній гвинтовій пружині додатково діють прямий зсув і вплив кривизни дроту. Тому для точнішого визначення максимального напруження застосовують поправкові коефіцієнти, пов’язані з індексом пружини, наприклад коефіцієнт Валя в поширених інженерних моделях.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Міцність і жорсткість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Проєктування пружини передбачає щонайменше дві перевірки: максимальні дотичні напруження не повинні перевищувати прийняте допустиме значення, а осьова деформація повинна забезпечувати потрібну характеристику сили та переміщення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад впливу геометрії\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо за незмінних $D$, $n$ і $G$ збільшити діаметр дроту в 1,2 раза, жорсткість у базовій моделі зміниться у $1{,}2^4\\approx2{,}07$ раза. Тобто відносно невелике збільшення $d$ може більш ніж удвічі підвищити жорсткість.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі простої моделі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Базові формули найкраще описують пружини з малим кутом підйому витка та пружною роботою матеріалу. У реальному проєктуванні також враховують кінцеві витки, контакт витків при стиску, втому, втрату стійкості довгих пружин, технологію виготовлення та нормативні вимоги.\u003C\u002Fp>",[],{"id":949,"parent_id":769,"code":950,"slug":951,"name":952,"seo_title":953,"seo_description":954,"seo_text":955,"content":956,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":957,"url_slug":951,"children":958},104,"10.4","peredacha-potuzhnosti-valamy","Передача потужності валами","Передача потужності валами — момент, потужність і оберти","Зв’язок потужності, крутного моменту та частоти обертання вала. Формули P = Tω і T ≈ 9550P\u002Fn та перехід до розрахунку на кручення.","Тема пояснює зв’язок між передаваною механічною потужністю, крутним моментом і частотою обертання вала. Розглядаються формули P = Tω та T ≈ 9550P\u002Fn, одиниці вимірювання й перехід від параметрів приводу до розрахункового крутного моменту. Після визначення моменту вал перевіряють на міцність за дотичними напруженнями та на жорсткість за кутом закручування.","\u003Cp>У приводах вал передає механічну енергію між двигуном, редуктором, муфтою та робочою машиною. Для розрахунку міцності вала потужність і частоту обертання потрібно перетворити на \u003Cstrong>крутний момент\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>{{chunk:shaft-power-torque}}\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За однакової потужності зменшення частоти обертання приводить до збільшення крутного моменту. Саме тому після редуктора, який знижує оберти, момент на вихідному валу за ідеалізованої передачі зростає.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перехід до розрахунку вала\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після визначення $T$ його використовують у формулах кручення. Для круглого вала знаходять полярні характеристики перерізу, максимальні дотичні напруження та кут закручування.\u003C\u002Fp>{{chunk:circular-shaft-torsion}}\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вал передає $P=15$ кВт при $n=1500$ об\u002Fхв. Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T\\approx\\frac{9550\\cdot15}{1500}=95{,}5\\ \\text{Н·м}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Це значення є базовим крутним моментом для подальшого розрахунку вала. У реальній машині додатково можуть враховувати ККД передачі, нерівномірність навантаження, пускові та динамічні режими.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Одиниці та типова помилка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У формулі з коефіцієнтом 9550 потужність потрібно підставляти саме в кВт, частоту — в об\u002Fхв, а результат отримують у Н·м. При використанні формули $P=T\\omega$ всі величини повинні бути записані в узгоджених одиницях SI.\u003C\u002Fp>",14,[],{"id":125,"parent_id":39,"code":960,"slug":961,"name":962,"seo_title":963,"seo_description":964,"seo_text":965,"content":966,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":961,"children":967},"6","napruzhenyy-ta-deformovanyy-stan","Напружений та деформований стан","Напружений та деформований стан у точці","Об'ємний та плоский напружений стан, тензор деформацій та головні площадки.","Напружений стан у точці матеріалу повністю характеризується тензором напружень і визначається сукупністю напружень, що діють по всіх довільно проведених площадках через цю точку. Розрізняють одновісний (лінійний), двовісний (плоский) та тривісний (об'ємний) напружені стани. На цій сторінці ви знайдете теоретичний аналіз компонентів напружень, правила їх трансформації при повороті координатних осей, а також методи визначення головних площадок і головних напружень, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю.","\u003Cp>\u003Cstrong>Напружений і деформований стан у точці\u003C\u002Fstrong> описує сукупність напружень та деформацій на площадках різної орієнтації, проведених через одну точку тіла. Такий підхід потрібний тоді, коли простого одновісного напруження недостатньо для оцінки роботи матеріалу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Компоненти напруженого стану\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На довільній площадці повне напруження можна розкласти на нормальну та дотичну складові. У декартовій системі координат тривимірний напружений стан описують нормальними компонентами $\\sigma_x$, $\\sigma_y$, $\\sigma_z$ і дотичними $\\tau_{xy}$, $\\tau_{yz}$, $\\tau_{zx}$. Для класичної механіки суцільного середовища з моментною рівновагою тензор напружень симетричний, тому парні дотичні компоненти рівні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Плоский і просторовий стан\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У тонких пластинах, навантажених у своїй площині, часто застосовують модель \u003Cstrong>плоского напруженого стану\u003C\u002Fstrong>, де $\\sigma_z$, $\\tau_{xz}$ і $\\tau_{yz}$ приймають близькими до нуля. Загальний тривісний стан потребує врахування всіх трьох головних напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Існують взаємно перпендикулярні головні площадки, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю. Нормальні напруження на них називають головними. Їх визначення дозволяє перейти від компонентів у довільній системі координат до інваріантних характеристик, зручних для оцінки міцності.\u003C\u002Fp>{{chunk:plane-stress-principal-stresses}}\u003Ch2>Деформований стан\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Деформації в точці описують лінійними деформаціями $\\varepsilon_x$, $\\varepsilon_y$, $\\varepsilon_z$ та кутовими деформаціями $\\gamma_{xy}$, $\\gamma_{yz}$, $\\gamma_{zx}$. Для лінійно-пружного ізотропного матеріалу напруження та деформації пов’язує узагальнений закон Гука.\u003C\u002Fp>{{chunk:generalized-hooke-3d}}\u003Ch2>Перехід до оцінки міцності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При складному напруженому стані одного значення $\\sigma=N\u002FA$ недостатньо. Для пластичних матеріалів часто формують еквівалентне напруження за критерієм Треска або Губера–Мізеса–Генкі й порівнюють його з характеристикою, прийнятою в методиці розрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Структура розділу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Дочірні теми послідовно розглядають перетворення напружень і круг Мора, головні напруження, критерії граничного стану та узагальнений закон Гука. Разом вони утворюють базу для розрахунків при складному опорі.\u003C\u002Fp>",[968,977,986],{"id":736,"parent_id":125,"code":969,"slug":970,"name":971,"seo_title":972,"seo_description":973,"seo_text":974,"content":975,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":736,"url_slug":970,"children":976},"7","analiz-napruzhen-u-tochtsi","Аналіз напружень у точці (головні напруження)","Аналіз напружень у точці — Головні напруження та круг Мора","Як знайти головні напруження та головні площадки. Графічний метод круга Мора.","Визначення екстремальних значення нормальних і дотичних напружень є вирішальним кроком для оцінки міцності деталі. У цьому розділі наведено як аналітичні формули розрахунку головних напружень, так і графічний метод — круг Мора для напруженого стану. Круг Мора дозволяє наочно візуалізувати зміну нормальних та дотичних напружень залежно від кута нахилу площадки, швидко знаходити максимально можливі дотичні напруження та контролювати правильність аналітичних розрахунків.","\u003Cp>Компоненти напружень у точці залежать від орієнтації площадки, але сам фізичний напружений стан залишається тим самим. Задача аналізу напружень полягає у визначенні нормальних і дотичних напружень на повернутих площадках та пошуку їх екстремальних значень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головні площадки та головні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Головними\u003C\u002Fstrong> називають площадки, на яких дотичне напруження дорівнює нулю. Нормальні напруження на цих площадках є головними напруженнями. Для плоского стану їх зручно знаходити безпосередньо з компонентів $\\sigma_x$, $\\sigma_y$ та $\\tau_{xy}$.\u003C\u002Fp>{{chunk:plane-stress-principal-stresses}}\u003Ch2>Перетворення напружень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При повороті координатних осей на кут $\\theta$ компоненти плоского напруженого стану змінюються за тригонометричними залежностями. У поширеній системі знаків:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_{x'}=\\frac{\\sigma_x+\\sigma_y}{2}+\\frac{\\sigma_x-\\sigma_y}{2}\\cos2\\theta+\\tau_{xy}\\sin2\\theta,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau_{x'y'}=-\\frac{\\sigma_x-\\sigma_y}{2}\\sin2\\theta+\\tau_{xy}\\cos2\\theta.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Конкретний знак дотичної складової потрібно узгоджувати з прийнятою конвенцією напрямів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Круг Мора\u003C\u002Fh2>{{chunk:mohr-circle-plane-stress}}\u003Cp>Круг Мора є графічним поданням тих самих рівнянь перетворення. Він дозволяє візуально знайти головні напруження, максимальні дотичні напруження та напруження на площадці заданої орієнтації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Максимальні дотичні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У плоскому поданні радіус круга Мора дорівнює найбільшому дотичному напруженню серед площадок, нормалі яких лежать у площині $x$–$y$. Для повної тривимірної оцінки потрібно враховувати всі три головні напруження; абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює половині найбільшої різниці між ними.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай $\\sigma_x=80$ МПа, $\\sigma_y=20$ МПа, $\\tau_{xy}=30$ МПа. Середнє напруження $C=50$ МПа, а радіус:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$R=\\sqrt{30^2+30^2}\\approx42{,}43\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тоді $\\sigma_1\\approx92{,}43$ МПа, $\\sigma_2\\approx7{,}57$ МПа, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює приблизно 42,43 МПа.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сума головних напружень повинна дорівнювати $\\sigma_x+\\sigma_y$, а їх середнє — координаті центра круга Мора. Ці співвідношення зручні для контролю обчислень.\u003C\u002Fp>",[],{"id":747,"parent_id":125,"code":978,"slug":979,"name":980,"seo_title":981,"seo_description":982,"seo_text":983,"content":984,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":747,"url_slug":979,"children":985},"8","teoriyi-mitsnosti","Теорії міцності (гіпотези граничних станів)","Теорії міцності — Гіпотези граничних станів у механіці","Основні теорії міцності: Треска, Мізеса, Мора. Розрахунок еквівалентних напружень.","Теорії міцності (гіпотези граничних станів) дають змогу оцінити міцність матеріалу при складному напруженому стані шляхом зіставлення його з простим розтягом-стиском. У розділі детально розглядаються перша та друга теорії (історичні), третя теорія найбільших дотичних напружень (критерій Треска), четверта енергетична теорія (критерій Губера-Мізеса-Генкі) та теорія Мора для матеріалів з різним опором розтягу й стиску. Ви навчитеся обчислювати розрахункові (еквівалентні) напруження.","\u003Cp>При складному напруженому стані матеріал одночасно зазнає дії кількох компонентів напружень. \u003Cstrong>Теорії міцності\u003C\u002Fstrong>, або критерії граничного стану, зводять такий стан до певної еквівалентної характеристики, яку можна зіставити з результатами простішого випробування матеріалу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навіщо потрібне еквівалентне напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Одне головне напруження не завжди достатньо описує небезпеку складного стану. Для пластичних металів важливим є вплив різниць між головними напруженнями, тобто девіаторної складової напруженого стану. Тому широко застосовують критерії Треска та Губера–Мізеса–Генкі.\u003C\u002Fp>{{chunk:tresca-von-mises-criteria}}\u003Ch2>Критерій Треска\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Критерій найбільших дотичних напружень пов’язує початок пластичної течії з максимальною різницею головних напружень. Він простий для ручного розрахунку й зазвичай дає дещо консервативнішу оцінку, ніж критерій Мізеса для багатьох станів навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Критерій Губера–Мізеса–Генкі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Енергетичний критерій пов’язує початок текучості з енергією формозміни. Для пластичних ізотропних металів він широко використовується в інженерних розрахунках і чисельному аналізі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Плоский напружений стан\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\sigma_z=0$, критерій Мізеса можна записати через компоненти плоского стану:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_{\\mathrm{eq,VM}}=\\sqrt{\\sigma_x^2-\\sigma_x\\sigma_y+\\sigma_y^2+3\\tau_{xy}^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Ця форма дозволяє виконати оцінку без попереднього обчислення головних напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Матеріали з різним опором розтягу і стиску\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для крихких матеріалів або матеріалів, міцність яких суттєво відрізняється при розтягу та стиску, застосовують інші критерії, зокрема підходи типу Мора. Конкретна формула та допустимі характеристики повинні відповідати прийнятій нормативній або розрахунковій методиці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Історичні критерії\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У навчальних курсах також розглядають критерій найбільших нормальних напружень та критерій найбільших лінійних деформацій. Вони важливі для розуміння розвитку теорій міцності, але не є універсальними для сучасного розрахунку пластичних металів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для головних напружень $\\sigma_1=100$ МПа, $\\sigma_2=40$ МПа, $\\sigma_3=0$ критерій Треска дає $\\sigma_{\\mathrm{eq,T}}=100$ МПа. За Мізесом:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_{\\mathrm{eq,VM}}=\\sqrt{\\frac{60^2+40^2+100^2}{2}}\\approx87{,}2\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Вибір критерію повинен відповідати матеріалу, характеру руйнування та правилам конкретного розрахунку.\u003C\u002Fp>",[],{"id":758,"parent_id":125,"code":987,"slug":988,"name":989,"seo_title":990,"seo_description":991,"seo_text":992,"content":993,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":758,"url_slug":988,"children":994},"9","uzahalnenyy-zakon-huka","Узагальнений закон Гука","Узагальнений закон Гука — Формули та деформації","Співвідношення між напруженнями та деформаціями для тривісного напруженого стану.","Узагальнений закон Гука встановлює лінійну залежність між компонентами тензора деформацій та компонентами тензора напружень для ізотропного пружного тіла при тривісному напруженому стані. Розділ охоплює формули для обчислення відносних лінійних деформацій вздовж головних осей, кутових деформацій, а також об'ємної деформації та модуля об'ємного стиску. Подано приклади використання закону Гука для розрахунку тонкостінних резервуарів і труб під внутрішнім тиском.","\u003Cp>\u003Cstrong>Узагальнений закон Гука\u003C\u002Fstrong> описує зв’язок між компонентами напружень і деформацій у лінійно-пружному ізотропному матеріалі. На відміну від одновісної формули $\\sigma=E\\varepsilon$, він враховує одночасну дію нормальних напружень у трьох напрямках і дотичних напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вплив коефіцієнта Пуассона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нормальне напруження в одному напрямку створює не лише поздовжню, а й поперечні деформації. Саме цей взаємний вплив описує коефіцієнт Пуассона $\\nu$.\u003C\u002Fp>{{chunk:generalized-hooke-3d}}\u003Ch2>Головні осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо систему координат зорієнтувати вздовж головних напрямків, дотичні напруження на головних площадках дорівнюють нулю. Тоді закон Гука для нормальних деформацій можна записати через $\\sigma_1$, $\\sigma_2$, $\\sigma_3$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\varepsilon_1=\\frac{1}{E}[\\sigma_1-\\nu(\\sigma_2+\\sigma_3)],$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>а два інші рівняння отримують циклічною перестановкою індексів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Об’ємна деформація\u003C\u002Fh2>{{chunk:volumetric-strain-bulk-modulus}}\u003Cp>Гідростатична складова напруженого стану пов’язана зі зміною об’єму, тоді як девіаторна складова — зі зміною форми. Це розділення важливе для розуміння енергетичних критеріїв міцності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Плоский напружений стан\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тонкої пластини часто приймають $\\sigma_z=0$. При цьому деформація $\\varepsilon_z$ загалом не дорівнює нулю: через ефект Пуассона напруження $\\sigma_x$ і $\\sigma_y$ викликають деформацію в напрямку товщини:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\varepsilon_z=-\\frac{\\nu}{E}(\\sigma_x+\\sigma_y).$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Це важлива відмінність між плоским напруженим і плоским деформованим станами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай $E=200$ ГПа, $\\nu=0{,}3$, $\\sigma_x=100$ МПа, $\\sigma_y=40$ МПа, $\\sigma_z=0$. Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\varepsilon_x=\\frac{100-0{,}3\\cdot40}{200000}=0{,}00044,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\varepsilon_y=\\frac{40-0{,}3\\cdot100}{200000}=0{,}00005,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\varepsilon_z=-\\frac{0{,}3(100+40)}{200000}=-0{,}00021.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Наведені співвідношення передбачають малі деформації, однорідний ізотропний матеріал і лінійно-пружну роботу. Для анізотропних матеріалів, пластичного деформування або великих деформацій потрібні інші визначальні співвідношення.\u003C\u002Fp>",[],{"id":996,"parent_id":39,"code":997,"slug":998,"name":999,"seo_title":999,"seo_description":1000,"seo_text":1001,"content":1002,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":998,"children":1003},15,"15","heometrychni-kharakterystyky-pereriziv","Геометричні характеристики плоских перерізів","Моменти інерції, статичні моменти, моменти опору та головні осі інерції.","Геометричні характеристики визначають здатність поперечного перерізу елемента чинити опір різним видам деформацій незалежно від властивостей матеріалу. У цьому розділі вивчено статичні моменти площини, координати центра ваги, осьові, відцентрові та полярні моменти інерції. Подано формули паралельного переносу координатних осей, правила визначення головних осей і головних моментів інерції для складних складених перерізів (прокатної сталі: швелерів, двотаврів, кутників).","\u003Cp>\u003Cstrong>Геометричні характеристики плоского перерізу\u003C\u002Fstrong> описують розподіл площі відносно вибраних осей і точок. На відміну від механічних характеристик матеріалу, вони залежать лише від форми, розмірів та орієнтації перерізу. Ці величини потрібні для розрахунків згину, кручення, стійкості та складного опору.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Площа і центр ваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Площа $A$ визначає загальний розмір поперечного перерізу, а статичні моменти використовують для знаходження положення його центра ваги. Для складених перерізів центр ваги знаходять як зважене за площами середнє координат центрів простих частин.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-static-moments-centroid}}\u003Ch2>Моменти інерції площі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Осьові моменти інерції $I_x$ та $I_y$ характеризують розподіл площі відносно відповідних осей. Чим далі елементи площі розташовані від осі, тим більший їх внесок через квадрат відстані.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-second-moments}}\u003Ch2>Перенесення та поворот осей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо потрібна вісь паралельна відомій центральній осі, використовують теорему Штейнера. Якщо змінюється орієнтація осей, застосовують формули повороту, які дозволяють знайти головні центральні осі та головні моменти інерції.\u003C\u002Fp>{{chunk:parallel-axis-theorem}}\u003Ch2>Моменти опору\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У задачах згину використовують момент опору $W=I\u002Fy_{\\max}$, де $y_{\\max}$ — відстань від нейтральної осі до відповідного крайнього волокна. Для несиметричного перерізу моменти опору для верхнього та нижнього країв можуть відрізнятися.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Прості та складені перерізи\u003C\u002Fh2>{{chunk:rectangle-circle-area-properties}}\u003Cp>Складні профілі розбивають на прямокутники, трикутники, круги або інші прості частини. Після знаходження спільного центра ваги характеристики кожної частини переносять до спільних осей і підсумовують.\u003C\u002Fp>{{chunk:composite-section-properties-algorithm}}\u003Ch2>Структура розділу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У дочірніх темах окремо розглядаються статичні моменти та центр ваги, моменти інерції, теорема Штейнера, поворот осей, головні характеристики та моменти опору. Такий поділ готує геометричну базу для подальшого вивчення напружень і деформацій при згині.\u003C\u002Fp>",[1004,1014,1023,1032,1041],{"id":1005,"parent_id":996,"code":1006,"slug":1007,"name":1008,"seo_title":1009,"seo_description":1010,"seo_text":1011,"content":1012,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":1007,"children":1013},105,"15.1","tsentr-vahy-ta-statychni-momenty-ploshchi","Центр ваги та статичні моменти площі","Центр ваги та статичні моменти площі перерізу","Статичні моменти площі Sx і Sy, координати центра ваги простих і складених плоских перерізів та правила врахування отворів.","Тема пояснює статичні моменти площі та метод визначення координат центра ваги плоского перерізу. Розглядаються прості й складені фігури, алгебраїчне сумування площ, врахування отворів та використання симетрії. Матеріал є основою для подальшого визначення центральних моментів інерції.","\u003Cp>\u003Cstrong>Центр ваги площі\u003C\u002Fstrong> — геометрична точка, через яку проходять центральні осі перерізу. Його положення визначають за статичними моментами площі.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-static-moments-centroid}}\u003Ch2>Властивість центральних осей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Статичний момент усієї площі відносно осі, що проходить через її центр ваги, дорівнює нулю. Якщо фігура має вісь симетрії, центр ваги лежить на цій осі; за двох осей симетрії він розташований у точці їх перетину.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Складений переріз\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Складну фігуру розбивають на прості частини. Для кожної частини визначають $A_i$ та координати її власного центра ваги. Після цього використовують алгебраїчні суми $\\sum A_i x_i$ і $\\sum A_i y_i$. Отвори враховують як від’ємні площі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай два прямокутники мають площі $A_1=2000$ мм² і $A_2=1000$ мм², а координати їх центрів уздовж $y$ становлять 20 та 80 мм. Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$y_c=\\frac{2000\\cdot20+1000\\cdot80}{3000}=40\\ \\text{мм}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Не можна усереднювати координати центрів частин без урахування їх площ. Також важливо задавати всі координати від однієї базової осі та правильно враховувати знак площі отвору.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1015,"parent_id":996,"code":1016,"slug":1017,"name":1018,"seo_title":1018,"seo_description":1019,"seo_text":1020,"content":1021,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":1017,"children":1022},106,"15.2","osiovi-ta-poliarnyi-momenty-inertsii-ploshchi","Осьові та полярний моменти інерції площі","Визначення Ix, Iy та Jp, фізико-геометричний зміст моментів інерції площі, одиниці та формули для прямокутника і круга.","Тема вводить осьові моменти інерції Ix, Iy та полярний момент Jp як геометричні характеристики розподілу площі. Пояснюються інтегральні визначення, розмірність, вплив віддалення площі від осі та стандартні формули для прямокутних, круглих і кільцевих перерізів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Момент інерції площі\u003C\u002Fstrong> характеризує, як площа поперечного перерізу розподілена відносно вибраної осі. Він не є масовим моментом інерції та не залежить від густини матеріалу.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-second-moments}}\u003Ch2>Геометричний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Елементи площі, розташовані далеко від осі, дають значно більший внесок у $I$ через квадрат відстані. Саме тому профілі з матеріалом, винесеним до крайніх зон, можуть мати великий момент інерції при відносно невеликій площі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стандартні фігури\u003C\u002Fh2>{{chunk:rectangle-circle-area-properties}}\u003Ch2>Полярний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для двох взаємно перпендикулярних осей $x$ та $y$, що проходять через одну точку, $J_p=I_x+I_y$. Для круглого вала ця характеристика безпосередньо входить у класичні формули кручення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Одиниці\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо геометричні розміри задані в міліметрах, моменти інерції мають одиниці мм⁴. Через четвертий степінь навіть невелика зміна характерного розміру може суттєво змінити $I$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для прямокутника $b=40$ мм, $h=80$ мм відносно центральної осі $x$, паралельної $b$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_x=\\frac{40\\cdot80^3}{12}\\approx1{,}707\\cdot10^6\\ \\text{мм}^4.$$\u003C\u002Fp>",[],{"id":1024,"parent_id":996,"code":1025,"slug":1026,"name":1027,"seo_title":1027,"seo_description":1028,"seo_text":1029,"content":1030,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":1026,"children":1031},107,"15.3","teorema-shteinera-ta-skladeni-pererizy","Теорема Штейнера та складені перерізи","Перенесення моментів інерції до паралельних осей за теоремою Штейнера та алгоритм розрахунку складених поперечних перерізів.","Тема пояснює теорему Штейнера для перенесення моментів інерції між паралельними осями та її застосування до складених перерізів. Наведено послідовний алгоритм: розбиття на прості фігури, визначення центра ваги, перенесення власних моментів інерції та алгебраїчне сумування з урахуванням отворів.","\u003Cp>Для складених перерізів табличних формул окремих простих фігур недостатньо: їх моменти інерції спочатку потрібно привести до спільної осі. Для паралельного перенесення застосовують \u003Cstrong>теорему Штейнера\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>{{chunk:parallel-axis-theorem}}\u003Ch2>Чому спочатку потрібен центр ваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Центральні моменти інерції складеного перерізу визначають відносно осей, що проходять через центр ваги всього перерізу. Тому першим етапом є знаходження координат цього центра.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-static-moments-centroid}}\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>{{chunk:composite-section-properties-algorithm}}\u003Ch2>Отвори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Отвір можна трактувати як від’ємну частину: його площа, статичні моменти та перенесений момент інерції віднімаються від відповідних сум суцільних частин.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад структури розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для Т-подібного перерізу зручно виділити полицю та стінку як два прямокутники. Спочатку знаходять $y_c$ всього перерізу, потім для кожного прямокутника визначають власний центральний $I_x$ і додають $A_i a_i^2$, де $a_i$ — відстань між центром частини та спільною центральною віссю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контроль\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Перевірте, що всі відстані виміряні до тієї самої осі, одиниці узгоджені, а внесок $Aa^2$ не був помилково доданий до моменту інерції вже відносно потрібної осі.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1033,"parent_id":996,"code":1034,"slug":1035,"name":1036,"seo_title":1036,"seo_description":1037,"seo_text":1038,"content":1039,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":1035,"children":1040},108,"15.4","vidtsentrovyi-moment-inertsii-ta-povorot-osei","Відцентровий момент інерції та поворот осей","Відцентровий момент інерції Ixy, формули перетворення Ix, Iy та Ixy при повороті координатних осей і умова головних осей.","Тема розглядає відцентровий момент інерції Ixy та залежність геометричних характеристик площі від орієнтації координатних осей. Наведено формули перетворення Ix, Iy, Ixy при повороті осей, інваріант Ix + Iy та умову визначення головних центральних осей.","\u003Cp>\u003Cstrong>Відцентровий момент інерції $I_{xy}$\u003C\u002Fstrong> характеризує спільний розподіл площі відносно двох взаємно перпендикулярних осей. На відміну від $I_x$ та $I_y$, він може бути додатним, від’ємним або дорівнювати нулю.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-second-moments}}\u003Ch2>Симетрія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо одна з центральних осей є віссю симетрії перерізу, відцентровий момент відносно цієї осі та перпендикулярної до неї центральної осі дорівнює нулю. Проте $I_{xy}=0$ саме по собі не означає, що переріз обов’язково має геометричну симетрію.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поворот осей\u003C\u002Fh2>{{chunk:area-inertia-axis-rotation}}\u003Cp>При повороті осей сума $I_x+I_y$ не змінюється. Це корисний інваріант для перевірки обчислень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головні осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Орієнтації, для яких $I_{xy}=0$ і $I_x$ та $I_y$ набувають екстремальних значень, називають головними осями інерції. Якщо вони проходять через центр ваги, це головні центральні осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичне значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для несиметричних перерізів визначення головних осей потрібне при косому згині та інших задачах, де напрям навантаження не збігається зі звичними геометричними осями.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1042,"parent_id":996,"code":1043,"slug":1044,"name":1045,"seo_title":1046,"seo_description":1047,"seo_text":1048,"content":1049,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":15,"url_slug":1044,"children":1050},109,"15.5","holovni-osi-momenty-inertsii-ta-oporu","Головні осі, головні моменти інерції та моменти опору","Головні осі, моменти інерції та моменти опору","Головні центральні осі й моменти інерції, екстремальні геометричні характеристики та моменти опору перерізу для розрахунку згину.","Тема пояснює поняття головних центральних осей і головних моментів інерції, їх визначення для несиметричних перерізів та зв’язок із моментами опору. Розглядається формула W = I\u002Fymax, різні моменти опору для крайніх волокон несиметричного перерізу та використання характеристик у розрахунках згину.","\u003Cp>\u003Cstrong>Головні центральні осі\u003C\u002Fstrong> — це взаємно перпендикулярні осі через центр ваги перерізу, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти інерції набувають екстремальних значень.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-inertia-axis-rotation}}\u003Ch2>Головні моменти інерції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для заданих центральних $I_x$, $I_y$ та $I_{xy}$ головні значення можна знайти як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_{1,2}=\\frac{I_x+I_y}{2}\\pm\\sqrt{\\left(\\frac{I_x-I_y}{2}\\right)^2+I_{xy}^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Більше значення позначають $I_1$, менше — $I_2$. Їх сума дорівнює $I_x+I_y$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент опору\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для згину відносно заданої нейтральної осі геометричний момент опору визначають як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$W=\\frac{I}{y_{\\max}}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Він має розмірність довжини в третьому степені, наприклад мм³, і безпосередньо входить у формулу максимального нормального напруження при чистому прямому згині: $|\\sigma_{\\max}|=|M|\u002FW$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Несиметричний переріз\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо нейтральна вісь не ділить висоту перерізу навпіл, відстані до крайніх волокон по різні боки різні. Тоді використовують окремі моменти опору $W_+=I\u002Fy_+$ та $W_-=I\u002Fy_-$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стандартні фігури\u003C\u002Fh2>{{chunk:rectangle-circle-area-properties}}\u003Ch2>Інженерний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Великий момент інерції зменшує кривизну балки при заданому згинальному моменті, а великий момент опору зменшує максимальне нормальне напруження. Саме тому розташування матеріалу відносно нейтральної осі є ключовим при формуванні ефективного перерізу балки.\u003C\u002Fp>",[],{"id":957,"parent_id":39,"code":1052,"slug":1053,"name":1054,"seo_title":1055,"seo_description":1056,"seo_text":1057,"content":1058,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":15,"url_slug":1053,"children":1059},"14","zhyn","Згин","Згин балок — Прямий та поперечний згин","Класична теорія згину балок: епюри згинальних моментів та поперечних сил.","Згин — це вид деформування, при якому відбувається викривлення осі стержня (балки) під дією зовнішніх навантажень. У розділі розглядаються чистий та поперечний згин, а також прямий згин балок симетричного перерізу. Подано теорію формування внутрішніх силових факторів: поперечної сили Q та згинального моменту M. Детально розкрито диференціальні співвідношення Журавського між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою та згинальним моментом.","\u003Cp>\u003Cstrong>Згин\u003C\u002Fstrong> — вид деформування стержня, за якого його поздовжня вісь викривляється під дією поперечних навантажень або прикладених моментів. Типовим елементом, що працює на згин, є балка.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні силові фактори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При поперечному згині в перерізах балки виникають згинальний момент $M$ і поперечна сила $Q$. Їх визначають методом перерізів і подають у вигляді епюр уздовж осі балки. Детальна методика побудови епюр розглядається в дочірній темі про внутрішні сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нормальні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Згинальний момент створює нормальні напруження: частина перерізу працює на розтяг, а частина — на стиск. Між ними проходить нейтральна вісь, на якій нормальне напруження в класичній моделі прямого згину дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>{{chunk:bending-navier-stress}}\u003Ch2>Дотичні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поперечна сила $Q$ створює дотичні напруження, розподіл яких залежить від форми перерізу. Для їх визначення в класичній теорії балок застосовують формулу Журавського.\u003C\u002Fp>{{chunk:beam-shear-zhuravsky}}\u003Ch2>Деформації балки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Під навантаженням вісь балки переходить у криву — зігнуту вісь. Основними кінематичними характеристиками є поперечний прогин $w$ та кут повороту перерізу $\\theta$. Опір викривленню визначає згинальна жорсткість $EI$.\u003C\u002Fp>{{chunk:beam-curvature-moment}}\u003Ch2>Міцність і жорсткість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розрахунок балки зазвичай включає перевірку напружень у небезпечному перерізі та перевірку прогинів або кутів повороту. Навіть за безпечних напружень надмірний прогин може порушувати нормальну експлуатацію конструкції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Структура розділу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Дочірні теми послідовно охоплюють внутрішні сили та епюри $Q$ і $M$, нормальні й дотичні напруження, прогини та кути повороту, диференціальне рівняння зігнутої осі та метод початкових параметрів. Геометричні характеристики $I$ і $W$ детально розглядаються в окремому розділі про плоскі перерізи.\u003C\u002Fp>",[1060,1070,1080],{"id":1061,"parent_id":957,"code":1062,"slug":1063,"name":1064,"seo_title":1065,"seo_description":1066,"seo_text":1067,"content":1068,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":38,"url_slug":1063,"children":1069},16,"16","vnutrishni-saly-pry-zhyni","Внутрішні сили при згині","Внутрішні сили при згині — Правила знаків та побудова епюр","Побудова епюр Q та M для консольних та двоопорних балок.","Правильне визначення внутрішніх сил є першим і найважливішим етапом розрахунку балок на згин. У цьому розділі розглянуто застосування методу перерізів для знаходження поперечної сили Q та згинального моменту M у довільних перерізах. Детально пояснено загальноприйняті правила знаків для Q і M, алгоритми розбиття балок на ділянки, методику визначення критичних (екстремальних) перерізів та перевірку правильності побудованих епюр за допомогою диференціальних залежностей.","\u003Cp>При поперечному згині балки в її поперечних перерізах основними внутрішніми силовими факторами є \u003Cstrong>поперечна сила $Q$\u003C\u002Fstrong> та \u003Cstrong>згинальний момент $M$\u003C\u002Fstrong>. Їх визначають методом перерізів, а зміну вздовж балки зручно показувати графічно у вигляді епюр.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поперечна сила і згинальний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Поперечна сила $Q$\u003C\u002Fstrong> у перерізі характеризує результуючу внутрішніх дотичних сил, що діють у площині перерізу. \u003Cstrong>Згинальний момент $M$\u003C\u002Fstrong> характеризує дію внутрішніх нормальних сил, які спричиняють викривлення осі балки.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для визначення $Q$ і $M$ балку подумки розсікають у потрібному перерізі та розглядають рівновагу однієї з відсічених частин.\u003C\u002Fp>{{chunk:beam-qm-section-method}}\u003Ch2>Правила знаків\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При побудові епюр необхідно користуватися однією системою знаків упродовж усього розрахунку. Додатний згинальний момент зазвичай пов’язують із таким вигином балки, за якого розтягнуті нижні волокна, а стиснуті верхні. Знак поперечної сили визначають відповідно до прийнятого правила для відсіченої частини балки. Якщо після розв’язання рівняння отримано від’ємне значення, фактичний напрям внутрішнього фактора протилежний прийнятому.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Епюри $Q$ і $M$\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Епюра\u003C\u002Fstrong> — це графік зміни внутрішнього силового фактора вздовж осі балки. Перед побудовою епюр балку розбивають на ділянки. Межами є точки, де змінюється характер навантаження: опори, зосереджені сили та моменти, початок або кінець розподіленого навантаження.\u003C\u002Fp>{{chunk:beam-qm-differential-relations}}\u003Ch2>Характерні особливості епюр\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>зосереджена поперечна сила спричиняє стрибок на епюрі $Q$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>зосереджений момент спричиняє стрибок на епюрі $M$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>за відсутності розподіленого навантаження $Q$ на ділянці є сталою, а $M$ змінюється лінійно;\u003C\u002Fli>\u003Cli>при рівномірно розподіленому навантаженні $Q$ змінюється лінійно, а $M$ — за параболою;\u003C\u002Fli>\u003Cli>у точці, де $Q$ переходить через нуль, $M$ має локальний максимум або мінімум.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Короткий приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розглянемо консольну балку довжиною \u003Cstrong>$L$\u003C\u002Fstrong> із зосередженою силою \u003Cstrong>$F$\u003C\u002Fstrong> на вільному кінці. На всій довжині між силою та защемленням розподіленого навантаження немає, тому поперечна сила є сталою за модулем: $|Q|=F$. Згинальний момент змінюється лінійно від нуля на вільному кінці до максимального за модулем значення $|M|_{\\max}=FL$ у защемленні. Знаки $Q$ і $M$ залежать від прийнятої системи знаків.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після побудови епюр перевірте рівновагу балки, стрибки в точках прикладання зосереджених сил і моментів, характер ліній на кожній ділянці та відповідність між нахилом епюри $M$ і знаком $Q$. Така перевірка дозволяє швидко знайти більшість помилок у розрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичні навички\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після опрацювання теми студент має вміти знаходити опорні реакції, розбивати балку на розрахункові ділянки, складати функції $Q(x)$ і $M(x)$, знаходити характерні та екстремальні значення й будувати епюри. Ці навички закріплюються у практичних задачах теми.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1071,"parent_id":957,"code":1072,"slug":1073,"name":1074,"seo_title":1075,"seo_description":1076,"seo_text":1077,"content":1078,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":1073,"children":1079},17,"17","napruzhennya-pry-zhyni","Напруження при згині","Напруження при згині — Нормальні та дотичні напруження","Формула Нав'є та формула Журавського для розрахунку балок на міцність.","При поперечному згині в поперечних перерізах балки виникають як нормальні, так і дотичні напруження. На цій сторінці наведено вивід класичної формули Нав'є для обчислення нормальних напружень через згинальний момент та момент опору перерізу, а також формули Журавського для дотичних напружень. Розглянуто розподіл напружень по висоті прямокутних, двотаврових та круглих перерізів та умови перевірки міцності за небезпечними точками.","\u003Cp>При поперечному згині в перерізі балки одночасно можуть виникати \u003Cstrong>нормальні напруження\u003C\u002Fstrong> від згинального моменту $M$ та \u003Cstrong>дотичні напруження\u003C\u002Fstrong> від поперечної сили $Q$. Їх розподіл по перерізу різний, тому небезпечні точки для $\\sigma$ і $\\tau$ не обов’язково збігаються.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нормальні напруження\u003C\u002Fh2>{{chunk:bending-navier-stress}}\u003Cp>У класичній моделі прямого згину нейтральна вісь проходить через центр ваги перерізу та збігається з однією з його головних центральних осей. Нормальні напруження змінюються лінійно: на нейтральній осі $\\sigma_x=0$, а найбільші за модулем значення виникають у крайніх волокнах.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розрахунок за моментом опору\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для перевірки міцності зручно використовувати $|\\sigma_{\\max}|=|M|\u002FW$. Для несиметричного відносно нейтральної осі перерізу відстані до крайніх волокон можуть бути різними, тому окремо перевіряють розтягнуту та стиснуту сторони.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Дотичні напруження\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-shear-zhuravsky}}\u003Cp>Для прямокутного перерізу розподіл $\\tau$ по висоті є параболічним, а максимальне значення на нейтральній осі дорівнює $\\tau_{\\max}=3Q\u002F(2A)$. У двотаврових профілях значна частина поперечної сили передається стінкою, оскільки її ширина мала, а статичний момент прилеглої площі може бути значним.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Круглий переріз\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для суцільного круглого перерізу дотичні напруження також дорівнюють нулю на зовнішній межі й найбільші поблизу нейтральної осі; для класичного суцільного круга $\\tau_{\\max}=4Q\u002F(3A)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка міцності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нормальні напруження перевіряють у перерізах із великим $|M|$ та у крайніх волокнах. Дотичні — у перерізах із великим $|Q|$ і в характерних точках перерізу. Якщо в одній точці одночасно істотні $\\sigma_x$ і $\\tau$, може знадобитися оцінка складного напруженого стану за відповідним критерієм міцності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі класичної моделі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Формула Нав’є передбачає лінійно-пружний матеріал, малі деформації та класичні припущення теорії балок. Поблизу місць прикладання зосереджених сил, опор, отворів і різких змін перерізу локальний розподіл напружень може відрізнятися від елементарної теорії.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1081,"parent_id":957,"code":1082,"slug":1083,"name":1084,"seo_title":1085,"seo_description":1086,"seo_text":1087,"content":1088,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":1083,"children":1089},18,"18","peremishchennya-pry-zhyni","Переміщення при згині","Переміщення при згині — Прогини та кути повороту балок","Методи визначення деформацій балок при згині: прогини та кути повороту.","Під дією згинальних моментів вісь балки викривляється, утворюючи зігнуту вісь. У цьому розділі розглянуто лінійні переміщення (прогини w) та кутові переміщення (кути повороту перерізів θ). Вивчення переміщень необхідне для оцінки жорсткості елементів конструкцій та перевірки умови, за якою максимальний прогин не перевищує гранично допустимого значення, встановленого будівельними або машинобудівними нормами.","\u003Cp>Під дією згинальних моментів балка деформується, а її початкова пряма вісь переходить у \u003Cstrong>зігнуту вісь\u003C\u002Fstrong>. Для оцінювання жорсткості визначають поперечний \u003Cstrong>прогин $w(x)$\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>кут повороту $\\theta(x)$\u003C\u002Fstrong> поперечного перерізу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Прогин і кут повороту\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Прогин $w$ — поперечне переміщення точки осі балки. Для малих деформацій кут повороту перерізу наближено дорівнює похідній прогину: $\\theta(x)\\approx w'(x)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Згинальна жорсткість\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-curvature-moment}}\u003Cp>Добуток $EI$ називають \u003Cstrong>згинальною жорсткістю\u003C\u002Fstrong>. Збільшення $E$ або $I$ зменшує кривизну та, за інших однакових умов, прогини балки. Саме тому геометричний розподіл матеріалу в перерізі сильно впливає на жорсткість.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Граничні умови\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-deflection-boundary-conditions}}\u003Cp>Граничні умови визначають сталі інтегрування та повинні відповідати реальним опорам і з’єднанням. Для багатоділянкової балки додатково використовують умови неперервності прогину й кута повороту там, де немає внутрішнього шарніра або розриву.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Методи визначення переміщень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У дочірніх темах розглядаються безпосереднє інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі та метод початкових параметрів із функціями Маколея. В інших розділах курсу переміщення також можуть визначатися енергетичними методами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка жорсткості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розрахований максимальний прогин порівнюють із допустимим значенням, установленим умовами експлуатації або нормативною методикою: $|w_{\\max}|\\le[w]$. За потреби аналогічно обмежують кут повороту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад масштабу впливу перерізу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для прямокутного перерізу $I=bh^3\u002F12$. Якщо при незмінних $b$, $E$, $L$ і навантаженні збільшити висоту $h$ удвічі, $I$ зросте у $2^3=8$ разів. У межах тієї самої лінійної моделі характерні прогини, обернено пропорційні $EI$, відповідно істотно зменшаться.\u003C\u002Fp>",[1090,1099],{"id":1091,"parent_id":1081,"code":1092,"slug":1093,"name":1094,"seo_title":1094,"seo_description":1095,"seo_text":1096,"content":1097,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":1091,"url_slug":1093,"children":1098},19,"19","dyferentsialne-rivnyannya-zihnutoyi-osi","Диференціальне рівняння зігнутої осі балки","Кривизна балки, рівняння EI·w''(x)=M(x), подвійне інтегрування та визначення прогинів і кутів повороту за граничними умовами.","Диференціальне рівняння зігнутої осі пов’язує згинальний момент M(x), згинальну жорсткість EI та кривизну балки. Для малих кутів повороту використовують наближену форму EI·w''(x)=±M(x), де знак залежить від прийнятої системи знаків. Подвійне інтегрування дає кут повороту та прогин, а сталі інтегрування визначають із граничних умов на опорах і умов неперервності.","\u003Cp>Диференціальне рівняння зігнутої осі пов’язує навантаження балки через функцію згинального моменту $M(x)$ з її геометричною деформацією — прогином і кутом повороту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кривизна зігнутої осі\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-curvature-moment}}\u003Cp>Точна геометрична кривизна плоскої кривої містить похідні прогину. Для малих кутів повороту, коли $|w'|\\ll1$, знаменник точного виразу можна наближено прийняти рівним одиниці, тому кривизна пропорційна другій похідній прогину.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Наближене диференціальне рівняння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У прийнятій системі знаків рівняння записують як $EIw''(x)=M(x)$ або $EIw''(x)=-M(x)$. Важливо не змішувати різні конвенції знаків у межах одного розрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Подвійне інтегрування\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-double-integration-algorithm}}\u003Cp>Після першого інтегрування отримують функцію кута повороту $\\theta(x)$, після другого — функцію прогину $w(x)$. Для сталої згинальної жорсткості $EI$ її можна винести за знак інтеграла; якщо $E$ або $I$ змінюються по довжині, це потрібно враховувати по ділянках або безпосередньо в рівнянні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Граничні умови\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-deflection-boundary-conditions}}\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для консолі довжиною $L$ із силою $F$ на вільному кінці, за сталої $EI$, інтегрування рівняння згину з умовами $w(0)=0$ і $w'(0)=0$ приводить за модулем до відомих значень на вільному кінці:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$|\\theta(L)|=\\frac{FL^2}{2EI},\\qquad |w(L)|=\\frac{FL^3}{3EI}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Знаки залежать від напряму сили та прийнятого додатного напряму прогину.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Наближене рівняння передбачає малі прогини та кути повороту, лінійно-пружну роботу й застосовність класичної балкової моделі. Для великих переміщень геометрична нелінійність потребує точнішого опису.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1100,"parent_id":1081,"code":1101,"slug":1102,"name":1103,"seo_title":1104,"seo_description":1105,"seo_text":1106,"content":1107,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":1100,"url_slug":1102,"children":1108},20,"20","metod-pochatkovykh-parametriv","Метод початкових параметрів (рівняння Маколея)","Метод початкових параметрів (Рівняння Маколея)","Універсальне рівняння прогинів балок методом початкових параметрів.","При наявності багатьох ділянок навантаження прямолінійне інтегрування стає громіздким через велику кількість сталих. Метод початкових параметрів (із використанням функцій Маколея) дозволяє записати єдине універсальне рівняння для прогинів та кутів повороту по всій довжині балки. На сторінці наведено вихідне рівняння, правила врахування зосереджених сил, моментів і розподілених навантажень, а також приклад швидкого розв'язання задач.","\u003Cp>\u003Cstrong>Метод початкових параметрів\u003C\u002Fstrong> дозволяє описати кут повороту та прогин балки одним універсальним виразом, не вводячи окрему пару сталих інтегрування для кожної ділянки. Зручною формою такого запису є функції Маколея.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Дужки Маколея\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Позначення $\\langle x-a\\rangle^n$ означає:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\langle x-a\\rangle^n=0\\quad\\text{при }x<a,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\langle x-a\\rangle^n=(x-a)^n\\quad\\text{при }x\\ge a.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Завдяки цьому навантаження, що починає діяти від координати $a$, можна включити в єдиний вираз для всієї балки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зв’язок із рівнянням згину\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-curvature-moment}}\u003Cp>Функцію $M(x)$ записують через звичайні члени та дужки Маколея, після чого інтегрують. Початкові параметри — наприклад прогин $w_0$ і кут $\\theta_0$ у вибраному початку координат — виконують роль сталих інтегрування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові внески\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо знак визначено відповідно до прийнятої системи, зосереджена сила $F$ у точці $a$ створює в $M(x)$ член, пропорційний $F\\langle x-a\\rangle^1$; зосереджений момент — член $M_0\\langle x-a\\rangle^0$; рівномірно розподілене навантаження, що починається в $a$, — член, пропорційний $q\\langle x-a\\rangle^2\u002F2$. Для навантаження, яке закінчується в певній точці, вводять компенсуючий член від цієї координати.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтегрування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Степеневі дужки інтегруються як звичайні степеневі функції:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\int\\langle x-a\\rangle^n dx=\\frac{\\langle x-a\\rangle^{n+1}}{n+1}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Після двох інтегрувань рівняння згину отримують універсальні вирази для $\\theta(x)$ і $w(x)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Граничні умови\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-deflection-boundary-conditions}}\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити реакції опор.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Вибрати початок координат і єдину систему знаків.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Записати $M(x)$ з використанням дужок Маколея.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Двічі проінтегрувати рівняння $EIw''=\\pm M(x)$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити початкові параметри або сталі за граничними умовами.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Підставити потрібні координати та перевірити виконання умов на опорах.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Переваги й обмеження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Метод особливо зручний для балок із багатьма зосередженими силами та ділянками розподіленого навантаження. Водночас необхідно уважно стежити за початком і завершенням кожного навантаження, степенями дужок та знаками.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1110,"parent_id":39,"code":1111,"slug":1112,"name":1113,"seo_title":1114,"seo_description":1115,"seo_text":1116,"content":1117,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":125,"url_slug":1112,"children":1118},21,"21","skladnyy-opir","Складний опір","Складний опір — Позацентровий стиск, косий згин","Розрахунок елементів при одночасній дії декількох видів деформацій.","Складним опором називають випадок деформування, коли в поперечних перерізах стержня виникає декілька внутрішніх силових факторів одночасно. У цьому розділі описано загальні принципи застосування принципу незалежності дії сил (суперпозиції) для підсумовування напружень і деформацій. Подано класифікацію видів складного опору: косий згин, згин з розтягом-стиском, позацентровий стиск та сумісний згин з крученням.","\u003Cp>\u003Cstrong>Складний опір\u003C\u002Fstrong> виникає, коли в поперечному перерізі стержня одночасно діють кілька внутрішніх силових факторів: поздовжня сила $N$, згинальні моменти $M_x$ і $M_y$, крутний момент $T$ або поперечні сили. У лінійно-пружній області окремі складові напружень часто визначають незалежно, а потім поєднують за принципом суперпозиції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип суперпозиції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо матеріал працює лінійно-пружно, деформації малі, а зміна геометрії не впливає істотно на схему навантаження, напруження від окремих силових факторів можна алгебраїчно додавати. Наприклад, осьова сила створює рівномірну складову $N\u002FA$, а згинальні моменти — лінійно змінні нормальні напруження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Двовісний згин\u003C\u002Fh2>{{chunk:unsymmetrical-bending-stress}}\u003Cp>Косий згин є типовим випадком складного опору: момент не збігається з однією головною віссю перерізу, тому напруження визначають від двох складових згину.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Позацентрове навантаження\u003C\u002Fh2>{{chunk:eccentric-axial-stress}}\u003Cp>Позацентрово прикладена сила еквівалентна центральній силі та одному або двом згинальним моментам. Положення точки прикладання сили визначає, чи весь переріз стискається, чи в ньому з’являється зона розтягу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Згин із крученням\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У приводних валах згин створює нормальні напруження, а крутний момент — дотичні. Оскільки ці компоненти одночасно діють в одній точці, міцність оцінюють за критерієм складного напруженого стану.\u003C\u002Fp>{{chunk:bending-torsion-equivalent-stress}}\u003Ch2>Загальний алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити внутрішні силові фактори та їх небезпечні комбінації.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Вибрати головні центральні осі перерізу та обчислити потрібні геометричні характеристики.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти компоненти нормальних і дотичних напружень від кожного силового фактора.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити небезпечні точки перерізу, враховуючи знаки й просторовий розподіл напружень.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для складного напруженого стану застосувати критерій міцності, придатний для матеріалу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>За потреби окремо перевірити жорсткість, стійкість або циклічну міцність.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Межі підходу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Проста суперпозиція не повинна автоматично застосовуватися при пластичному деформуванні, великих переміщеннях, суттєвій геометричній нелінійності або складних локальних концентраціях напружень. У таких випадках потрібна відповідна розширена модель.\u003C\u002Fp>",[1119,1129,1138],{"id":1120,"parent_id":1110,"code":1121,"slug":1122,"name":1123,"seo_title":1124,"seo_description":1125,"seo_text":1126,"content":1127,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":38,"url_slug":1122,"children":1128},22,"22","kosyy-zhyn","Косий згин","Косий згин — Визначення напружень та нейтральної лінії","Розрахунок елементів при косому згині, нейтральна вісь та максимальні напруження.","Косий згин виникає тоді, коли площина дії згинального моменту не збігається з жодною з головних осей інерції поперечного перерізу. На цій сторінці розглянуто розкладання згинального моменту за головними осями, формулу сумарних нормальних напружень, а також вивід рівняння нейтральної лінії (лінії нульових напружень). Подано порядок розрахунку на міцність у найвіддаленіших точках перерізу.","\u003Cp>\u003Cstrong>Косий згин\u003C\u002Fstrong> виникає, коли площина дії результуючого згинального моменту не збігається з головною центральною площиною інерції перерізу. Тоді момент розкладають на дві складові відносно головних осей, а нормальні напруження визначають суперпозицією двох прямих згинів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головні осі як розрахункова система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Найзручніше виконувати розрахунок у головних центральних осях $x$ та $y$, для яких $I_{xy}=0$. Геометричні характеристики $I_x$ та $I_y$ можуть істотно відрізнятися, тому напрям нейтральної лінії загалом не перпендикулярний вектору результуючого згинального моменту.\u003C\u002Fp>{{chunk:unsymmetrical-bending-stress}}\u003Ch2>Нейтральна лінія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нейтральна лінія проходить через центр ваги перерізу, оскільки при чистому косому згині в її точках сумарне нормальне напруження дорівнює нулю. Її положення знаходять із рівняння $\\sigma(x,y)=0$.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо $M_x\\ne0$ і $I_x$, $I_y$ відомі, рівняння можна подати як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$y=\\frac{M_y I_x}{M_x I_y}x,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>з урахуванням знаків складових моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пошук небезпечних точок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Максимальне за модулем напруження потрібно шукати не просто у точці з найбільшим $|x|$ або $|y|$, а серед крайніх точок контуру, де алгебраїчна сума двох складових згину набуває найбільшого додатного або від’ємного значення. Для багатокутного перерізу зручно перевірити його характерні вершини.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для прямокутного перерізу з відомими $I_x$ та $I_y$ при $M_x=4$ кН·м і $M_y=2$ кН·м напруження в кожній вершині визначають підстановкою її координат у формулу косого згину. Після цього найбільше додатне значення порівнюють із допустимим розтягом, а найбільше за модулем від’ємне — з допустимим стиском, якщо ці характеристики матеріалу відрізняються.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Знайти центр ваги та головні центральні осі перерізу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Розкласти згинальний момент на $M_x$ і $M_y$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити $I_x$ та $I_y$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Записати рівняння нейтральної лінії.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити $\\sigma$ у характерних крайніх точках.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Виконати перевірку міцності.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Межі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Формули передбачають пружний згин, малі деформації та застосовність класичної теорії балок. Для нецентральних осей із $I_{xy}\\ne0$ просте незалежне додавання членів $M_x\u002FI_x$ і $M_y\u002FI_y$ без попереднього переходу до головних осей загалом некоректне.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1130,"parent_id":1110,"code":9,"slug":1131,"name":1132,"seo_title":1133,"seo_description":1134,"seo_text":1135,"content":1136,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":39,"url_slug":1131,"children":1137},37,"pozatsentrovyy-stysk","Позацентровий стиск","Позацентровий стиск — Ядро перерізу та напруження","Розрахунок позацентрово стиснутих стержнів. Побудова ядра перерізу.","Позацентровий стиск виникає, коли стискаюча сила прикладена поза центром ваги поперечного перерізу. У розділі наведено формули нормальних напружень як суми від осьової сили та двох згинальних моментів. Пояснено поняття ядра перерізу — області навколо центра ваги, прикладання сили в якій гарантує відсутність розтягувальних напружень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Позацентровий стиск\u003C\u002Fstrong> виникає, коли лінія дії стискальної сили не проходить через центр ваги поперечного перерізу. Таку силу можна привести до центральної поздовжньої сили та згинального моменту або двох згинальних моментів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ексцентриситет і приведення сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ексцентриситет — відстань між лінією дії сили та відповідною центральною віссю. Якщо сила зміщена від центра ваги в обох напрямках, виникає двовісний згин.\u003C\u002Fp>{{chunk:eccentric-axial-stress}}\u003Ch2>Розподіл напружень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Складова $N\u002FA$ однакова в усіх точках перерізу, а згинальні складові лінійно залежать від координат. Тому при малому ексцентриситеті весь переріз може залишатися стиснутим, а при збільшенні ексцентриситету на одному краї напруження зменшується до нуля і далі переходить у розтяг.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ядро перерізу\u003C\u002Fh2>{{chunk:section-kern-basic}}\u003Cp>Поняття ядра особливо важливе для матеріалів і конструкцій, які погано працюють на розтяг або для яких розкриття контакту небажане. Якщо сила прикладена на межі ядра, в одній крайній точці нормальне напруження дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Одновісний ексцентриситет\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сила $N$ прикладена з ексцентриситетом $e$ лише в одній головній площині, виникає момент $M=Ne$. Тоді крайні напруження можна записати у формі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma=\\frac{N}{A}\\pm\\frac{M}{W},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де конкретний знак залежить від сторони перерізу та прийнятої системи знаків.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад для прямокутника\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для прямокутного перерізу $b\\times h$ при ексцентриситеті вздовж висоти умова відсутності розтягу зводиться до $|e|\\le h\u002F6$. При $|e|=h\u002F6$ на одному краї $\\sigma=0$, а при більшому ексцентриситеті лінійна модель повного перерізу прогнозує появу розтягувальної зони.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Знайти центр ваги й головні центральні осі.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити ексцентриситети сили.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити $N$, $M_x$ та $M_y$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти напруження в характерних крайніх точках.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити, чи знаходиться сила в ядрі, якщо потрібна відсутність розтягу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Виконати перевірку міцності.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Зауваження про контакт\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо елемент або основа фактично не можуть передавати розтягувальні контактні напруження, після виходу рівнодійної за ядро реальний контакт може стати частковим. Тоді проста формула для лінійного розподілу по всій площі вже не описує контакт повністю й потрібна інша модель.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1139,"parent_id":1110,"code":1140,"slug":1141,"name":1142,"seo_title":1143,"seo_description":1144,"seo_text":1145,"content":1146,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":88,"url_slug":1141,"children":1147},23,"23","zhyn-z-kruchennyam","Згин з крученням","Згин з крученням — Розрахунок валів за теоріями міцності","Обчислення зведеного моменту та розрахунок міцності валів при згині з крученням.","Сумісна дія згину та кручення є основним робочим станом для більшості приводних валів машин і редукторів. У цьому розділі детально розглянуто методику побудови суміщених епюр згинальних та крутних моментів, визначення небезпечних перерізів та розрахунок зведеного (еквівалентного) моменту за третьою (головних дотичних напружень) та четвертою (енергетичною) теоріями міцності. Наведено приклади підбору діаметра вала.","\u003Cp>\u003Cstrong>Згин із крученням\u003C\u002Fstrong> характерний для валів, які одночасно передають крутний момент і сприймають поперечні сили від зубчастих коліс, шківів, ланцюгових передач або інших елементів. У небезпечному перерізі згин створює нормальні напруження, а кручення — дотичні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Результуючий згинальний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо вал згинається у двох взаємно перпендикулярних площинах, спочатку визначають складові $M_x$ та $M_y$ і будують відповідні епюри.\u003C\u002Fp>{{chunk:resultant-bending-moment}}\u003Ch2>Напруження від згину та кручення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для круглого вала максимальне нормальне напруження від згину виникає на зовнішній поверхні. Там же дотичне напруження від кручення є максимальним, тому зовнішні точки небезпечного перерізу є типовими кандидатами для перевірки складного напруженого стану.\u003C\u002Fp>{{chunk:bending-torsion-equivalent-stress}}\u003Ch2>Критерії міцності\u003C\u002Fh2>{{chunk:tresca-von-mises-criteria}}\u003Cp>Для пластичних ізотропних матеріалів часто використовують критерій Треска або Губера–Мізеса–Генкі. Вибір критерію та допустимого значення повинен відповідати властивостям матеріалу й прийнятій розрахунковій методиці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Суцільний круглий вал\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для діаметра $d$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$W=\\frac{\\pi d^3}{32},\\qquad W_p=\\frac{\\pi d^3}{16}=2W.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тому для суцільного круглого вала критерій Мізеса можна також подати через моменти:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_{\\mathrm{eq,VM}}=\\frac{32}{\\pi d^3}\\sqrt{M_b^2+\\frac{3}{4}T^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>А критерій Треска:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_{\\mathrm{eq,T}}=\\frac{32}{\\pi d^3}\\sqrt{M_b^2+T^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай у перерізі суцільного вала $M_b=600$ Н·м, $T=400$ Н·м, $d=40$ мм. Після переведення моментів у Н·мм:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_b=\\frac{32\\cdot600000}{\\pi40^3}\\approx95{,}5\\ \\text{МПа},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau_t=\\frac{16\\cdot400000}{\\pi40^3}\\approx31{,}8\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>За Мізесом $\\sigma_{\\mathrm{eq,VM}}\\approx\\sqrt{95{,}5^2+3\\cdot31{,}8^2}\\approx110{,}2$ МПа.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розрахунку вала\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити сили від передач і опорні реакції.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Побудувати епюри $M_x$, $M_y$ та $T$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти $M_b$ і небезпечні перерізи.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити $W$ і $W_p$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити $\\sigma_b$ та $\\tau_t$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити еквівалентне напруження за прийнятим критерієм.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити міцність; за потреби окремо перевірити жорсткість і втому.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Зауваження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Шпонкові пази, галтелі, посадочні переходи та інші концентратори можуть істотно підвищувати локальні напруження. При циклічному навантаженні вала статичної перевірки за еквівалентним напруженням недостатньо — потрібен розрахунок на втому.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1149,"parent_id":39,"code":1150,"slug":1151,"name":1152,"seo_title":1153,"seo_description":1154,"seo_text":1155,"content":1156,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":736,"url_slug":1151,"children":1157},24,"24","enerhetychni-metody","Енергетичні методи","Енергетичні методи в механіці деформівного твердого тіла","Визначення переміщень енергетичними методами: теореми Клапейрона та Кастіліано.","Енергетичні методи базуються на законі збереження енергії і є універсальним інструментом для обчислення переміщень у пружних системах будь-якої складності. У цьому розділі вивчено поняття роботи зовнішніх сил та накопиченої потенціальної енергії деформації. Розглянуто теорему Клапейрона, теорему про взаємність робіт Бетті та взаємність переміщень Максвелла, а також теорему Кастіліано для знаходження лінійних і кутових переміщень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Енергетичні методи\u003C\u002Fstrong> визначають переміщення та деформації пружних систем через роботу зовнішніх сил і потенціальну енергію деформації. Їх перевага полягає в тому, що для знаходження окремого переміщення часто не потрібно безпосередньо будувати повну функцію зігнутої осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота та енергія деформації\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Під час поступового статичного навантаження зовнішні сили виконують роботу, яка в ідеальній пружній системі накопичується як потенціальна енергія деформації.\u003C\u002Fp>{{chunk:clapeyron-work-theorem}}\u003Cp>Енергію можна виразити через внутрішні силові фактори та жорсткості елементів. Це створює зв’язок між силовим розрахунком і переміщеннями.\u003C\u002Fp>{{chunk:strain-energy-basic-loadings}}\u003Ch2>Взаємність робіт і переміщень\u003C\u002Fh2>{{chunk:betti-maxwell-reciprocity}}\u003Cp>Взаємність є важливою властивістю лінійних пружних систем і лежить в основі низки одиничних та енергетичних методів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема Кастіліано\u003C\u002Fh2>{{chunk:castigliano-second-theorem}}\u003Cp>Диференціюючи енергію $U$ за потрібною узагальненою силою, можна отримати відповідне лінійне або кутове переміщення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтеграл Мора\u003C\u002Fh2>{{chunk:mohr-integral-unit-load}}\u003Cp>Метод одиничного навантаження особливо зручний для балок, рам і стержневих систем, коли потрібно знайти одне конкретне переміщення або кут повороту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір методу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кастіліано зручний, коли потенціальну енергію $U$ легко записати як функцію навантажень. Інтеграл Мора природно використовує епюри внутрішніх сил від реального та одиничного станів. Для кусково-лінійних епюр згинальних моментів інтеграл часто спрощують способом Верещагіна.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Наведені тут класичні співвідношення орієнтовані на малі деформації та лінійно-пружну роботу системи. Для нелінійного матеріалу, великих переміщень або навантажень, що залежать від деформованої конфігурації, потрібні відповідні узагальнення.\u003C\u002Fp>",[1158,1167],{"id":1159,"parent_id":1149,"code":1160,"slug":1161,"name":1162,"seo_title":1162,"seo_description":1163,"seo_text":1164,"content":1165,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":1159,"url_slug":1161,"children":1166},25,"25","robota-zovnishnikh-sil-ta-potentsialna-enerhiya","Робота зовнішніх сил та потенціальна енергія деформації","Формули потенціальної енергії при розтягу, крученні та згині.","При деформуванні тіла зовнішні сили виконують роботу, яка накопичується у вигляді потенціальної енергії пружної деформації U. На цій сторінці наведено формули для обчислення U при усіх базових видах деформацій: розтягу-стиску, зсуву, крученні та згині. Також розглянуто питому потенціальну енергію деформації, її поділ на енергію зміни об'єму та енергію зміни форми, що є основою для енергетичної теорії міцності.","\u003Cp>\u003Cstrong>Потенціальна енергія деформації $U$\u003C\u002Fstrong> — енергія, накопичена пружним тілом унаслідок його деформування. У лінійно-пружній системі при поступовому статичному навантаженні вона дорівнює роботі зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>{{chunk:clapeyron-work-theorem}}\u003Ch2>Енергія через внутрішні силові фактори\u003C\u002Fh2>{{chunk:strain-energy-basic-loadings}}\u003Cp>Для стержня, що одночасно зазнає кількох видів деформування, у межах відповідної лінійної моделі сумарну енергію отримують додаванням внесків розтягу-стиску, згину, кручення та, за потреби, поперечного зсуву.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Осьове навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для призматичного стержня зі сталою силою $N$, площею $A$ та модулем $E$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$U_N=\\frac{N^2L}{2EA}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Оскільки видовження $\\Delta L=NL\u002F(EA)$, той самий результат можна записати як $U=N\\Delta L\u002F2$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кручення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для круглого призматичного вала зі сталими $T$, $G$ і $J_p$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$U_T=\\frac{T^2L}{2GJ_p}=\\frac{1}{2}T\\varphi,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\varphi$ — повний кут закручування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Згин\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для балки основний енергетичний внесок у класичній моделі часто пов’язаний зі згинальним моментом $M(x)$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$U_M=\\int_0^L\\frac{M^2(x)}{2EI}\\,dx.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо вплив поперечного зсуву істотний, до нього додають відповідний зсувний внесок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Питома енергія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для одновісного лінійно-пружного стану питома енергія деформації:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$u=\\frac{U}{V}=\\frac{1}{2}\\sigma\\varepsilon=\\frac{\\sigma^2}{2E}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>При чистому зсуві:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$u=\\frac{1}{2}\\tau\\gamma=\\frac{\\tau^2}{2G}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>$U$\u003C\u002Fstrong> — потенціальна енергія деформації;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$u$\u003C\u002Fstrong> — питома потенціальна енергія деформації;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$V$\u003C\u002Fstrong> — об’єм тіла;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$N$\u003C\u002Fstrong> — поздовжня сила;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$A$\u003C\u002Fstrong> — площа поперечного перерізу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$E$\u003C\u002Fstrong> — модуль Юнга;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$T$\u003C\u002Fstrong> — крутний момент;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$G$\u003C\u002Fstrong> — модуль зсуву;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$J_p$\u003C\u002Fstrong> — полярний момент інерції;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$\\varphi$\u003C\u002Fstrong> — кут закручування;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$M(x)$\u003C\u002Fstrong> — згинальний момент;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$EI$\u003C\u002Fstrong> — згинальна жорсткість.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Енергія зміни об’єму і форми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для ізотропного лінійно-пружного матеріалу повну питому енергію можна розділити на об’ємну та девіаторну складові. Енергія зміни форми пов’язана з різницями головних напружень і лежить в основі критерію Губера–Мізеса–Генкі.\u003C\u002Fp>{{chunk:tresca-von-mises-criteria}}\u003Ch2>Практичне значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Енергетичний запис особливо корисний тоді, коли потрібно визначити переміщення через Кастіліано або метод одиничного навантаження, а також при аналізі систем, де одночасно діють кілька внутрішніх силових факторів.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1168,"parent_id":1149,"code":1169,"slug":1170,"name":1171,"seo_title":1172,"seo_description":1173,"seo_text":1174,"content":1175,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":1168,"url_slug":1170,"children":1176},26,"26","teorema-kastiliano-ta-intehral-mora","Теорема Кастіліано та інтеграл Мора","Теорема Кастіліано та інтеграл Мора — Спосіб Верещагіна","Обчислення інтеграла Мора графічним способом Верещагіна.","Інтеграл Мора дозволяє обчислити будь-яке переміщення від довільного навантаження шляхом прикладання одиничної сили або моменту. У даному розділі розглянуто застосування інтеграла Мора та його графічного аналога — способу перемноження епюр Верещагіна для балок і рам. Подано алгоритм перемноження прямолінійних та криволінійних епюр із використанням площ та ординат у центрах ваги.","\u003Cp>\u003Cstrong>Теорема Кастіліано та інтеграл Мора\u003C\u002Fstrong> дають змогу знаходити окремі лінійні й кутові переміщення пружних стержневих систем через енергію деформації або добутки внутрішніх силових факторів двох станів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема Кастіліано\u003C\u002Fh2>{{chunk:castigliano-second-theorem}}\u003Cp>Для балки, де враховують переважно енергію згину, $U=\\int M^2\u002F(2EI)\\,dx$. Якщо $M$ залежить від сили $P$, диференціювання дає:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\delta_P=\\frac{\\partial U}{\\partial P}=\\int\\frac{M}{EI}\\frac{\\partial M}{\\partial P}\\,dx.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Величина $\\partial M\u002F\\partial P$ фактично збігається з епюрою моменту від одиничної сили в напрямку $P$ для лінійної системи, що показує зв’язок Кастіліано з методом одиничного навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Допоміжна сила або момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо в точці шуканого переміщення немає реальної сили, вводять допоміжний параметр $X$ у потрібному напрямку. Внутрішні силові фактори записують як функції $X$, знаходять $\\partial U\u002F\\partial X$, а після диференціювання підставляють $X=0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтеграл Мора\u003C\u002Fh2>{{chunk:mohr-integral-unit-load}}\u003Cp>Для лінійного переміщення одиничну силу прикладають у напрямку шуканого переміщення. Для кута повороту прикладають одиничний момент. Знак отриманого результату показує, чи збігається фактичний напрям переміщення з напрямком одиничного навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм методу одиничного навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Розрахувати систему від реального навантаження та побудувати потрібні епюри внутрішніх сил.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Прибрати реальне навантаження й прикласти одиничну силу або момент у точці та напрямку шуканого переміщення.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Побудувати одиничні епюри.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Записати інтеграл Мора по всіх ділянках і елементах.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Врахувати фактичні $EA$, $EI$, $GJ_p$ та, якщо потрібно, зсувну жорсткість.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити інтеграли й підсумувати внески.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Спосіб Верещагіна\u003C\u002Fh2>{{chunk:vereshchagin-diagram-multiplication}}\u003Cp>Спосіб Верещагіна особливо ефективний для балок і рам із ділянками сталої $EI$ та простими епюрами. Він замінює частину аналітичного інтегрування операціями з площами епюр і ординатами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Взаємність\u003C\u002Fh2>{{chunk:betti-maxwell-reciprocity}}\u003Cp>Теореми взаємності дають корисний контроль результатів одиничних розрахунків і дозволяють інколи вибрати простіший взаємний стан.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Позначення\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>$U$\u003C\u002Fstrong> — потенціальна енергія деформації;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$M$\u003C\u002Fstrong> — згинальний момент від реального навантаження;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$EI$\u003C\u002Fstrong> — згинальна жорсткість;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$P$\u003C\u002Fstrong> — узагальнена сила, за якою визначають переміщення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$\\delta_P$\u003C\u002Fstrong> — переміщення в напрямку сили $P$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$X$\u003C\u002Fstrong> — допоміжна сила або момент;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$EA$\u003C\u002Fstrong> — поздовжня жорсткість;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$GJ_p$\u003C\u002Fstrong> — крутильна жорсткість.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поширені помилки: неправильний напрям одиничного навантаження, пропуск окремих елементів або ділянок, змішування знаків епюр, використання одного $EI$ там, де жорсткість змінюється, та механічне застосування правила Верещагіна до двох нелінійних епюр.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1178,"parent_id":39,"code":1179,"slug":1180,"name":1181,"seo_title":1182,"seo_description":1183,"seo_text":1184,"content":1185,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":747,"url_slug":1180,"children":1186},27,"27","stiykist-stysnutykh-sterzhniv","Стійкість стиснутих стержнів","Стійкість стиснутих стержнів — Поздовжній згин","Критична сила, стійкість форми рівноваги та поздовжній згин стержнів.","Втрата стійкості (поздовжній згин) — це явище раптової зміни початкової прямолінійної форми рівноваги стиснутого стержня при досягненні навантаженням критичного значення Pкр. У цьому розділі вивчено поняття стійкої, нестійкої та байдужої рівноваги, фактори, що впливають на критичну силу, та важливість перевірки стійкості конструкцій для запобігання аварійним руйнуванням.","\u003Cp>\u003Cstrong>Стійкість стиснутого стержня\u003C\u002Fstrong> — здатність зберігати початкову форму рівноваги під дією стискальної сили. Довгий і тонкий стержень може втратити стійкість через бокове викривлення ще до того, як середнє стискальне напруження досягне границі міцності матеріалу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Критичне навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Критичною силою $N_{\\mathrm{cr}}$\u003C\u002Fstrong> називають значення стискальної сили, за якого прямолінійна форма рівноваги стає нестійкою і стає можливою викривлена форма. Для ідеального пружного стержня великої гнучкості критичне навантаження визначають за формулою Ейлера.\u003C\u002Fp>{{chunk:euler-column-critical-load}}\u003Ch2>Вплив закріплення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Стійкість залежить не лише від матеріалу та перерізу, а й від умов закріплення кінців. Їх враховують через зведену довжину $l_{\\mathrm{eff}}=\\mu L$.\u003C\u002Fp>{{chunk:column-effective-length-factors}}\u003Ch2>Гнучкість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для порівняння довжини стержня з геометричною жорсткістю його перерізу використовують безрозмірну гнучкість $\\lambda$. Втрата стійкості відбувається відносно слабшої осі, тому визначальним є найменший радіус інерції.\u003C\u002Fp>{{chunk:column-radius-slenderness}}\u003Ch2>Не кожен стержень розраховують за Ейлером\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Формула Ейлера описує пружну втрату стійкості достатньо гнучких стержнів. Якщо розраховане критичне напруження виходить за межі пропорційності матеріалу, ейлерівська модель перестає відповідати своїм передумовам. Для проміжної гнучкості застосовують емпіричні або нормативні залежності.\u003C\u002Fp>{{chunk:euler-applicability-limit}}\u003Ch2>Практичний алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити фактичну довжину та схему закріплення стержня.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти площу $A$, центральні моменти інерції та $I_{\\min}$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити $i_{\\min}$, зведену довжину та гнучкість $\\lambda$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити, яка модель критичного стану застосовна для отриманої гнучкості та матеріалу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти $N_{\\mathrm{cr}}$ або допустиму стискальну силу за прийнятою методикою.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Окремо перевірити міцність, якщо вона може бути визначальною.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Реальні стержні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реальні елементи мають початкову кривизну, ексцентриситет прикладання сили, залишкові напруження та недосконалі закріплення. Тому в проєктуванні використовують нормативні коефіцієнти й криві стійкості, а формула Ейлера слугує фундаментальною ідеалізованою моделлю.\u003C\u002Fp>",[1187,1197],{"id":1188,"parent_id":1178,"code":1189,"slug":1190,"name":1191,"seo_title":1192,"seo_description":1193,"seo_text":1194,"content":1195,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":1188,"url_slug":1190,"children":1196},28,"28","formula-eylera-krytychna-syla","Формула Ейлера для критичної сили","Формула Ейлера для критичної сили — Закріплення стержнів","Вивід формули Ейлера, коефіцієнт зведеної довжини та гнучкість стержня.","Формула Ейлера є основою розрахунку стержнів великої гнучності на стійкість у межах пружності. У розділі наведено вивід формули Ейлера, визначення коефіцієнта зведеної довжини μ залежно від умов закріплення кінців стержня, а також поняття гнучності стержня λ та мінімального радіуса інерції поперечного перерізу.","\u003Cp>\u003Cstrong>Формула Ейлера\u003C\u002Fstrong> визначає критичну стискальну силу для ідеалізованого прямого стержня великої гнучкості, який втрачає стійкість у межах лінійно-пружної роботи матеріалу.\u003C\u002Fp>{{chunk:euler-column-critical-load}}\u003Ch2>Вивід формули Ейлера\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розглянемо ідеальний прямий стержень довжиною $L$, шарнірно закріплений на обох кінцях і стиснутий центральною силою $N$. Після малого бокового відхилення $y(x)$ сила $N$ створює згинальний момент\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M(x)=-N\\,y(x).$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для пружної лінії стержня за малих прогинів використовуємо співвідношення\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$EI\\,\\frac{d^2y}{dx^2}=M(x),$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $E$ — модуль Юнга, а $I$ — момент інерції поперечного перерізу відносно осі, навколо якої відбувається згин.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Підставляючи вираз для згинального моменту, отримуємо диференціальне рівняння\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$EI\\,\\frac{d^2y}{dx^2}+Ny=0,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>або\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{d^2y}{dx^2}+k^2y=0,\\qquad k^2=\\frac{N}{EI}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Загальний розв'язок цього рівняння має вигляд\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$y(x)=C_1\\sin(kx)+C_2\\cos(kx).$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для шарнірно закріпленого стержня прогин на обох кінцях дорівнює нулю:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$y(0)=0,\\qquad y(L)=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>З умови $y(0)=0$ отримуємо $C_2=0$. Тоді\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$y(x)=C_1\\sin(kx).$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Друга гранична умова дає\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$C_1\\sin(kL)=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Прямолінійній формі відповідає тривіальний розв'язок $C_1=0$. Щоб існувала викривлена форма рівноваги з $C_1\\ne0$, необхідно виконання умови\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sin(kL)=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже,\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$kL=n\\pi,\\qquad n=1,2,3,\\ldots$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Оскільки $k^2=N\u002F(EI)$, критичні значення сили становлять\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$N_n=\\frac{n^2\\pi^2EI}{L^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Найменше з них відповідає першій формі втрати стійкості, тобто $n=1$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$N_{\\mathrm{cr}}=\\frac{\\pi^2EI}{L^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для інших схем закріплення фактичну довжину замінюють зведеною $l_{\\mathrm{eff}}=\\mu L$, тому загальна формула Ейлера набуває вигляду\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$N_{\\mathrm{cr}}=\\frac{\\pi^2EI_{\\min}}{l_{\\mathrm{eff}}^2}=\\frac{\\pi^2EI_{\\min}}{(\\mu L)^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Таким чином, втрата стійкості виникає тоді, коли при певному значенні стискальної сили стає можливою нетривіальна викривлена форма рівноваги стержня.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Критична сила пропорційна модулю Юнга $E$ та найменшому моменту інерції $I_{\\min}$ і обернено пропорційна квадрату зведеної довжини. Тому збільшення жорсткості перерізу або покращення умов закріплення може істотно підвищити критичне навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зведена довжина\u003C\u002Fh2>{{chunk:column-effective-length-factors}}\u003Cp>Наприклад, для однакових $E$, $I$ та $L$ ідеальна консоль має $\\mu=2$, а шарнірно закріплений з обох кінців стержень — $\\mu=1$. Тому ейлерівська критична сила консолі в чотири рази менша, оскільки вона залежить від $1\u002F\\mu^2$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Радіус інерції та гнучкість\u003C\u002Fh2>{{chunk:column-radius-slenderness}}\u003Cp>Підставивши $I=A i^2$ та $l_{\\mathrm{eff}}=\\lambda i$ у формулу Ейлера, отримуємо критичне напруження:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_{\\mathrm{cr},E}=\\frac{N_{\\mathrm{cr}}}{A}=\\frac{\\pi^2E}{\\lambda^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Ця форма показує, що для заданого матеріалу ейлерівське критичне напруження визначається гнучкістю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай сталевий шарнірно закріплений стержень має $E=200$ ГПа, $L=2$ м та $I_{\\min}=2\\cdot10^{-6}$ м⁴. Для $\\mu=1$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$N_{\\mathrm{cr}}=\\frac{\\pi^2\\cdot200\\cdot10^9\\cdot2\\cdot10^{-6}}{2^2}\\approx9{,}87\\cdot10^5\\ \\text{Н}=987\\ \\text{кН}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Найслабша вісь\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $I_x\\ne I_y$, потрібно перевіряти можливість втрати стійкості в обох головних площинах. За однакових умов закріплення визначальною буде площина з меншим $I$ та меншим радіусом інерції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Передумови\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Класична формула передбачає достатню гнучкість, пружну роботу, початково прямий стержень, центральне стискання, ідеалізовані закріплення та малі початкові недосконалості. Межу її застосовності потрібно перевіряти окремо.\u003C\u002Fp>{{chunk:euler-applicability-limit}}",[],{"id":1198,"parent_id":1178,"code":1199,"slug":1200,"name":1201,"seo_title":1202,"seo_description":1203,"seo_text":1204,"content":1205,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":1198,"url_slug":1200,"children":1206},29,"29","hranytsi-zastosovnosti-formuly-eylera","Границі застосовності формули Ейлера (формула Ясинського)","Границі застосовності формули Ейлера та формула Ясинського","Критичні напруження поза межами пружності. Розрахунок за формулою Ясинського.","Формула Ейлера дає точні результати лише за умови, що критичні напруження не перевищують границі пропорційності матеріалу. Для стержнів середньої та малої гнучності, де втрата стійкості відбувається в пластичній зоні, застосовують емпіричну формулу Ясинського. У розділі розглянуто межі застосовності формули Ейлера та розрахунок коефіцієнта зниження допустимого напруження φ.","\u003Cp>Формула Ейлера описує втрату стійкості лише тоді, коли матеріал стержня до критичного стану залишається в межах лінійно-пружної області. Тому перед її використанням потрібно перевірити \u003Cstrong>гнучкість стержня\u003C\u002Fstrong> і відповідне критичне напруження.\u003C\u002Fp>{{chunk:euler-applicability-limit}}\u003Ch2>Гранична гнучкість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\lambda\\ge\\lambda_{\\mathrm{lim}}$, ейлерівське критичне напруження не перевищує границі пропорційності, і класична пружна модель може бути застосовною. Якщо $\\lambda$ менша, формула Ейлера прогнозує напруження, за яких передумова лінійної пружності вже не виконується.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стержні проміжної гнучкості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для проміжної області використовують емпіричні залежності або нормативні криві стійкості. В навчальних курсах опору матеріалів одним із таких наближень є формула Ясинського.\u003C\u002Fp>{{chunk:yasinsky-column-formula}}\u003Ch2>Коефіцієнти формули Ясинського\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Значення $a$ та $b$ необхідно брати для конкретного матеріалу з таблиці або методики, на яку спирається розрахунок. Не можна переносити коефіцієнти одного матеріалу на інший або використовувати формулу поза вказаним діапазоном $\\lambda$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Мала гнучкість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для коротких масивних стержнів втрата загальної стійкості може перестати бути визначальним граничним станом. Тоді несучу здатність насамперед обмежують міцність матеріалу, місцеві ефекти або інші механізми, передбачені розрахунковою моделлю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практична нормативна форма\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У прикладних методиках стійкість стиснутих елементів часто враховують коефіцієнтом зниження допустимого або розрахункового опору $\\varphi$, який залежить від гнучкості, матеріалу, типу перерізу та інших параметрів. Конкретну залежність $\\varphi(\\lambda)$ слід брати з відповідного стандарту або нормативної методики, а не ототожнювати автоматично з формулою Ясинського.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм вибору моделі\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити $i_{\\min}$ і гнучкість $\\lambda$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>За властивостями матеріалу визначити область пружної роботи та $\\lambda_{\\mathrm{lim}}$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для достатньо великої $\\lambda$ застосувати формулу Ейлера.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для проміжної $\\lambda$ застосувати дозволену емпіричну або нормативну залежність.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для малої $\\lambda$ перевірити міцність та інші відповідні граничні стани.\u003C\u002Fli>\u003Cli>У проєктному розрахунку використовувати коефіцієнти запасу й нормативні правила, передбачені обраним стандартом.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Приклад визначення межі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $E=200$ ГПа, а границя пропорційності матеріалу $\\sigma_p=200$ МПа, то:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\lambda_{\\mathrm{lim}}=\\pi\\sqrt{\\frac{200000}{200}}\\approx99{,}3.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, в цій ідеалізованій оцінці формула Ейлера відповідає умові $\\sigma_{\\mathrm{cr}}\\le\\sigma_p$ приблизно при $\\lambda\\ge99{,}3$.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1208,"parent_id":39,"code":9,"slug":1209,"name":1210,"seo_title":1211,"seo_description":1212,"seo_text":1213,"content":1214,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":758,"url_slug":1209,"children":1215},87,"rozrakhunok-obolonok","Розрахунок оболонок","Розрахунок оболонок — задачі з опору матеріалів","Інтерактивні задачі з розрахунку тонкостінних оболонок: внутрішні зусилля, напруження та перевірка міцності конструкцій.","Розрахунок оболонок — розділ опору матеріалів, присвячений аналізу тонкостінних просторових конструкцій. У задачах розглядаються внутрішні зусилля та напруження, що виникають в оболонках під дією зовнішніх навантажень.\nІнтерактивні завдання допомагають опанувати основні принципи розрахунку оболонок, визначення меридіональних і кільцевих зусиль та напружень, а також перевірки міцності тонкостінних конструкцій. Окрема увага приділяється застосуванню безмоментної теорії оболонок.\nРозділ призначений для студентів інженерних і технічних спеціальностей, які вивчають опір матеріалів, механіку деформівного твердого тіла та розрахунок елементів конструкцій.","\u003Cp>\u003Cstrong>Оболонка\u003C\u002Fstrong> — тонкостінний просторовий елемент, у якого одна геометрична розмірність — товщина $t$ — значно менша за характерні розміри серединної поверхні. До оболонок належать резервуари, труби великого діаметра, куполи, корпуси апаратів та інші криволінійні тонкостінні конструкції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Серединна поверхня\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Геометрію тонкої оболонки зручно описувати серединною поверхнею, розташованою приблизно посередині товщини. У кожній її точці виділяють два головні напрями кривизни з радіусами $R_1$ і $R_2$. Для оболонки обертання одним із напрямів є меридіональний, іншим — кільцевий.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні зусилля\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У загальній оболонковій теорії можуть виникати мембранні зусилля, поперечні сили, згинальні та крутні моменти на одиницю довжини. У безмоментній теорії залишають переважно зусилля, що діють у дотичній площині серединної поверхні.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для нормальних мембранних зусиль $N_1$ та $N_2$ середні напруження при товщині $t$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_1=\\frac{N_1}{t},\\qquad \\sigma_2=\\frac{N_2}{t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівновага криволінійного елемента\u003C\u002Fh2>{{chunk:shell-laplace-equilibrium}}\u003Cp>Кривизна дозволяє мембранним зусиллям урівноважувати навантаження, нормальне до поверхні. Саме тому оболонки можуть ефективно передавати тиск при відносно малій товщині.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Циліндричні та сферичні оболонки\u003C\u002Fh2>{{chunk:thin-pressure-vessel-membrane-stress}}\u003Cp>Ці формули є базовими прикладами безмоментної роботи оболонок під внутрішнім тиском і показують істотний вплив геометрії на розподіл напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Міцність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після визначення мембранних напружень оцінюють небезпечний напружений стан. Для пластичних ізотропних матеріалів можуть застосовуватися відповідні критерії складного напруженого стану; вибір критерію й допустимих значень залежить від матеріалу та розрахункової методики.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Коли мембранної моделі недостатньо\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поблизу жорстких закріплень, фланців, опор, отворів, патрубків, стиків, зосереджених сил і різких змін товщини або кривизни виникають крайові та локальні ефекти. Тут згинальні моменти можуть бути істотними, тому безмоментна теорія не повинна автоматично використовуватися для локальної перевірки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>{{chunk:membrane-shell-calculation-algorithm}}\u003Cp>Дочірня тема розглядає безмоментну теорію докладніше: її припущення, рівняння рівноваги та типові розрахункові схеми.\u003C\u002Fp>",[1216],{"id":1217,"parent_id":1208,"code":9,"slug":1218,"name":1219,"seo_title":1220,"seo_description":1221,"seo_text":1222,"content":1223,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":38,"url_slug":1218,"children":1224},88,"bezmomentna-teoriia-obolonok","Безмоментна теорія","Безмоментна теорія оболонок — задачі та розрахунки","Інтерактивні задачі з безмоментної теорії оболонок: визначення меридіональних і кільцевих зусиль та напружень у тонкостінних конструкціях.","Безмоментна теорія оболонок використовується для розрахунку тонкостінних конструкцій у випадках, коли згинальними моментами можна знехтувати. Основними внутрішніми силовими факторами при такому розрахунку є зусилля, що діють у дотичній площині оболонки.\nІнтерактивні задачі цього розділу охоплюють визначення меридіональних і кільцевих зусиль та відповідних нормальних напружень у тонкостінних оболонках під дією внутрішнього тиску та інших навантажень. \nРозділ допомагає сформувати практичні навички розрахунку тонкостінних оболонок і призначений для студентів, які вивчають опір матеріалів, механіку деформівного твердого тіла та розрахунок інженерних конструкцій.","\u003Cp>\u003Cstrong>Безмоментна теорія оболонок\u003C\u002Fstrong> — наближена теорія, у якій згинальними й крутними моментами та поперечними силами нехтують, а навантаження передається переважно мембранними зусиллями в дотичній площині серединної поверхні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні припущення\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>товщина оболонки мала порівняно з характерними радіусами кривизни;\u003C\u002Fli>\u003Cli>напруження по товщині можна описувати середніми мембранними значеннями;\u003C\u002Fli>\u003Cli>область розрахунку достатньо віддалена від локальних крайових збурень;\u003C\u002Fli>\u003Cli>геометрія та навантаження дозволяють задовольнити рівновагу без істотних згинальних моментів.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Мембранні зусилля\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У головних напрямах серединної поверхні нормальні зусилля $N_1$ і $N_2$ мають розмірність сили на одиницю довжини, наприклад Н\u002Fмм. Для товщини $t$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_1=\\frac{N_1}{t},\\qquad \\sigma_2=\\frac{N_2}{t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння Лапласа\u003C\u002Fh2>{{chunk:shell-laplace-equilibrium}}\u003Cp>Одного рівняння нормальної рівноваги загалом недостатньо для визначення двох невідомих мембранних зусиль. Друге співвідношення отримують із рівноваги частини оболонки, симетрії задачі або інших рівнянь мембранної рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Циліндрична оболонка під внутрішнім тиском\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для циліндра один головний радіус кривизни дорівнює $r$, а вздовж твірної кривизна дорівнює нулю, тобто відповідний радіус формально нескінченний. Нормальна рівновага дає кільцеве зусилля $N_\\theta=pr$. Поздовжнє зусилля в замкненому циліндрі визначають із рівноваги торцевої частини.\u003C\u002Fp>{{chunk:thin-pressure-vessel-membrane-stress}}\u003Ch2>Виведення поздовжнього зусилля циліндра\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тиск на торець створює результуючу $p\\pi r^2$. Її врівноважує поздовжнє мембранне зусилля по колу:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$2\\pi r N_z=p\\pi r^2,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>звідки:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$N_z=\\frac{pr}{2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сферична оболонка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для сфери $R_1=R_2=r$, а через симетрію $N_1=N_2=N$. Із рівняння Лапласа:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{N}{r}+\\frac{N}{r}=p,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>тому $N=pr\u002F2$ і $\\sigma=pr\u002F(2t)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тонкостінний замкнений циліндр має внутрішній радіус $r=500$ мм, товщину $t=10$ мм і надлишковий внутрішній тиск $p=2$ МПа. Мембранні напруження:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_\\theta=\\frac{2\\cdot500}{10}=100\\ \\text{МПа},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_z=\\frac{2\\cdot500}{2\\cdot10}=50\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, для цієї ідеалізованої схеми кільцеве напруження є визначальнішим за поздовжнє.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розрахунку\u003C\u002Fh2>{{chunk:membrane-shell-calculation-algorithm}}\u003Ch2>Обмеження безмоментної теорії\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Безмоментний стан зазвичай порушується поблизу жорстких країв, опор, фланців, патрубків, отворів, стиків, зосереджених навантажень і різких змін кривизни або товщини. У цих областях виникають згинальні та крайові напруження, для визначення яких потрібна моментна теорія оболонок або чисельний аналіз.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1226,"parent_id":39,"code":1227,"slug":1228,"name":1229,"seo_title":1230,"seo_description":1231,"seo_text":1232,"content":1233,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":769,"url_slug":1228,"children":1234},30,"30","dynamichne-ta-tsyklichne-navantazhennya","Динамічне та циклічне навантаження","Динамичне та циклічне навантаження — Втома матеріалів","Розрахунок елементів під дією сил інерції, ударних навантажень та втоми.","У багатьох машинах навантаження змінюються в часі або діють з високою швидкістю, викликаючи динамічні ефекти. На цій сторінці розглянуто види динамічних навантажень: рух з прискоренням, ударні дії та циклічно змінні навантаження. Пояснено специфіку поведінки матеріалу при динамічному прикладанні сил та введено коефіцієнт динамічності.","\u003Cp>\u003Cstrong>Динамічне навантаження\u003C\u002Fstrong> змінюється настільки швидко або супроводжується такими прискореннями, що сили інерції істотно впливають на внутрішні зусилля, напруження й переміщення. \u003Cstrong>Циклічне навантаження\u003C\u002Fstrong> багаторазово повторюється в часі та може спричинити втомне руйнування навіть при напруженнях, нижчих за статичну границю міцності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Динаміка і статика\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У статичному розрахунку прискореннями мас конструкції нехтують. У динамічному розрахунку необхідно враховувати інерцію, характер зміни навантаження, швидкість або прискорення та, за потреби, коливальні властивості системи.\u003C\u002Fp>{{chunk:d-alembert-inertia-force}}\u003Ch2>Ударне навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При ударі енергія рухомого тіла за короткий час переходить у енергію деформації конструкції, а частково може розсіюватися через пластичність, тертя, контактні явища та інші механізми. В ідеалізованій пружній моделі максимальну реакцію часто оцінюють енергетичним методом через коефіцієнт динамічності.\u003C\u002Fp>{{chunk:impact-dynamic-factor}}\u003Ch2>Циклічне навантаження і втома\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При повторних циклах вирішальним є не лише максимальне напруження, а й амплітуда, середнє значення, асиметрія циклу та кількість повторень.\u003C\u002Fp>{{chunk:fatigue-cycle-parameters}}{{chunk:fatigue-sn-curve-endurance}}\u003Ch2>Вплив реальної деталі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Втомна міцність лабораторного зразка не переноситься на реальну деталь без урахування її геометрії, поверхні, розмірів, середовища та концентрації напружень.\u003C\u002Fp>{{chunk:fatigue-strength-factors}}\u003Ch2>Вибір розрахункової моделі\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити характер навантаження: прискорений рух, раптове прикладання, удар або багаторазові цикли.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для руху з відомими прискореннями врахувати сили інерції.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для удару оцінити енергетичний баланс і динамічний коефіцієнт у межах прийнятої моделі.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для циклічного навантаження визначити параметри циклу та потрібну довговічність.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Врахувати концентратори, стан поверхні, масштаб та інші фактори реальної деталі.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити, чи не виходять умови за межі спрощеної лінійно-пружної моделі.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Структура розділу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Дочірні теми окремо розглядають інерційні сили, ударний розрахунок та втому матеріалів. Задачі коливань і резонансу потребують окремої динамічної моделі та не зводяться лише до статичного коефіцієнта динамічності.\u003C\u002Fp>",[1235,1244,1254],{"id":1236,"parent_id":1226,"code":9,"slug":1237,"name":1238,"seo_title":1239,"seo_description":1240,"seo_text":1241,"content":1242,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":38,"url_slug":1237,"children":1243},38,"inersiyni-saly","Інерційні сили","Інерційні сили — Динамічний розрахунок елементів","Розрахунок елементів конструкцій, що рухаються з прискоренням.","При розрахунку деталей, що рухаються з прискоренням (стержні стержневих підйомників, ободи маховиків, вали), необхідно враховувати сили інерції. У розділі застосовується принцип Д'Аламбера для зведення задач динаміки до задач статики та наведено приклади розрахунку напружень від поступального й обертального прискорення.","\u003Cp>Коли елемент конструкції рухається з прискоренням, його маса створює \u003Cstrong>інерційний ефект\u003C\u002Fstrong>, який необхідно враховувати при визначенні внутрішніх зусиль і напружень. Один зі зручних способів постановки таких задач — принцип Д’Аламбера.\u003C\u002Fp>{{chunk:d-alembert-inertia-force}}\u003Ch2>Поступальний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тіла масою $m$ з поступальним прискоренням $a$ модуль сили інерції дорівнює $ma$, а її напрям у розрахунковій схемі протилежний прискоренню. Якщо маса розподілена вздовж стержня, інерційне навантаження також може бути розподіленим.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для стержня зі сталою погонною масою $m_l$ та однаковим уздовж довжини прискоренням $a$ інтенсивність інерційного навантаження:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$q_i=m_l a.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Напрям $q_i$ у схемі Д’Аламбера протилежний прискоренню.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напруження у стержні, що прискорюється\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо прямий однорідний стержень довжиною $L$ і площею $A$ прискорюється вздовж власної осі, поздовжня сила в перерізі повинна забезпечувати прискорення частини маси по один бік від цього перерізу. Тому $N$ змінюється вздовж довжини, а нормальне напруження визначають як $\\sigma=N\u002FA$.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Наприклад, якщо стержень із густиною $\\rho$ тягнуть за один кінець і все тіло має осьове прискорення $a$, то для перерізу на відстані $x$ від вільного кінця за модулем:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$N(x)=\\rho Aax,\\qquad \\sigma(x)=\\rho ax.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Найбільше напруження виникає біля кінця, через який передається сила прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Обертальний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При кутовому прискоренні $\\varepsilon$ використовують інерційний момент $J\\varepsilon$. При сталому обертанні з кутовою швидкістю $\\omega$ точки тіла мають доцентрове прискорення $a_n=\\omega^2r$, тому в обертових деталях виникають напруження, пов’язані з розподіленими масовими силами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад: тонке кільце\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для ідеалізованого тонкого кільця з густиною матеріалу $\\rho$, що обертається з кутовою швидкістю $\\omega$ і має радіус $r$, окружне напруження в простій мембранній моделі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_\\theta=\\rho\\omega^2r^2.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для товстих дисків, ободів складної форми або неоднорідних деталей потрібні точніші моделі розподілу напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити закон руху та прискорення мас.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти зосереджені або розподілені сили інерції.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Додати їх до розрахункової схеми за принципом Д’Аламбера.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити внутрішні силові фактори.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити напруження та переміщення звичайними формулами опору матеріалів у межах прийнятої моделі.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Зауваження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо прискорення швидко змінюється, виникають коливання або поширення хвиль деформації, квазістатичне введення сил інерції може бути недостатнім. Тоді потрібен повний динамічний аналіз.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1245,"parent_id":1226,"code":1246,"slug":1247,"name":1248,"seo_title":1249,"seo_description":1250,"seo_text":1251,"content":1252,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":1245,"url_slug":1247,"children":1253},31,"31","rozrahunky-pry-udarzi","Розрахунки при ударі","Розрахунки на міцність при ударі — Коефіцієнт динамічності","Визначення динамічних напружень та переміщень при падінні вантажу.","При ударному навантаженні кінетична енергія рухомого тіла миттєво перетворюється в потенціальну енергію деформації конструкції. У розділі подано методику обчислення коефіцієнта динамічності Kd при вертикальному та горизонтальному ударах, а також формули для розрахунку максимальних ударних напружень і прогинів балок чи стержнів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Ударне навантаження\u003C\u002Fstrong> виникає, коли тіло з ненульовою швидкістю контактує з конструкцією і за короткий час передає їй енергію. Максимальні сили, напруження та переміщення при ударі можуть у кілька разів перевищувати статичні значення від тієї самої сили ваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Енергетична модель\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У найпростішій пружній моделі вважають, що втрата потенціальної енергії падаючого вантажу переходить у потенціальну енергію деформації конструкції. Якщо вантаж $P$ падає з висоти $h$, а максимальна додаткова деформація після контакту дорівнює $\\delta$, то робота сили ваги на шляху $h+\\delta$ прирівнюється до максимальної енергії пружної деформації.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для лінійної системи зі статичною податливістю $\\delta_{\\mathrm{st}}\u002FP$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$P(h+\\delta)=\\frac{1}{2}\\frac{P}{\\delta_{\\mathrm{st}}}\\delta^2.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Розв’язання цього квадратного рівняння приводить до коефіцієнта динамічності.\u003C\u002Fp>{{chunk:impact-dynamic-factor}}\u003Ch2>Статичне переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>$\\delta_{\\mathrm{st}}$ — переміщення точки удару в напрямку сили, яке виникло б при статичному прикладанні сили $P$. Його знаходять звичайними методами опору матеріалів: для осьового стержня, балки, пружини або іншої лінійно-пружної системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Раптове прикладання сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сила $P$ миттєво прикладається без падіння з висоти та без початкової швидкості, у наведеній ідеалізованій моделі $h=0$ і $K_d=2$. Отже, максимальні пружні переміщення та напруження удвічі перевищують відповідні статичні значення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай вантаж падає з висоти $h=20$ мм, а статичне переміщення конструкції від його ваги становить $\\delta_{\\mathrm{st}}=0{,}5$ мм. Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$K_d=1+\\sqrt{1+\\frac{2\\cdot20}{0{,}5}}=1+\\sqrt{81}=10.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо статичне напруження від сили ваги становить 25 МПа, і система залишається лінійною, оцінка максимального ударного напруження дає $\\sigma_{\\mathrm{dyn}}=250$ МПа.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Горизонтальний удар і задана швидкість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коли початкова енергія задається кінетичною енергією $mv^2\u002F2$, а не висотою падіння, енергетичне рівняння записують безпосередньо через цю енергію. Конкретний результат залежить від маси $m$ ударника, швидкості $v$, податливості конструкції та прийнятої моделі контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити силу ваги або початкову кінетичну енергію ударника.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти статичне переміщення точки удару від відповідної статичної сили.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Записати баланс енергії для прийнятої моделі.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити максимальне переміщення або $K_d$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Через лінійну пропорційність знайти максимальні внутрішні сили й напруження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити, чи залишаються напруження в області, де пружна модель є прийнятною.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Обмеження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реальний удар може супроводжуватися пластичними деформаціями, місцевим контактним зминанням, відскоком, демпфуванням і хвильовими процесами. У таких випадках проста енергетична формула може завищувати або занижувати реальний максимум і потрібна детальніша динамічна модель.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1255,"parent_id":1226,"code":1256,"slug":1257,"name":1258,"seo_title":1259,"seo_description":1260,"seo_text":1261,"content":1262,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":1255,"url_slug":1257,"children":1263},32,"32","vtoma-materialiv-mezha-vytryvalosti","Втома матеріалів та межа витривалості","Втома матеріалів та межа витривалості — Діаграма Велера","Оцінка міцності при циклічно змінних напруженнях. Концентрація напружень.","Багаторазове повторення змінних напружень призводить до втомного руйнування деталі при напруженнях, значно менших за границю міцності. На сторінці розглянуто характеристики циклів напружень, межу витривалості, криві втоми Велера, вплив концентраторів напружень (галтелей, отворів, канавок) та абсолютних розмірів деталі на її втомну міцність.","\u003Cp>\u003Cstrong>Втома матеріалу\u003C\u002Fstrong> — процес накопичення пошкодження під дією багаторазово змінних напружень, який може завершитися зародженням і поширенням тріщини та руйнуванням деталі. Втомне руйнування можливе при максимальних напруженнях, нижчих за статичну границю міцності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Параметри циклу\u003C\u002Fh2>{{chunk:fatigue-cycle-parameters}}\u003Cp>Амплітуда визначає інтенсивність циклічної складової, а середнє напруження зміщує весь цикл у зону розтягу або стиску. Тому два цикли з однаковою амплітудою, але різним $\\sigma_m$, можуть мати різну втомну небезпеку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Крива Велера\u003C\u002Fh2>{{chunk:fatigue-sn-curve-endurance}}\u003Cp>Для побудови $S$–$N$ кривої серії зразків випробовують при різних рівнях циклічного напруження та фіксують число циклів до руйнування $N$. Число циклів часто відкладають у логарифмічному масштабі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межа витривалості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для матеріалів із вираженою межею витривалості при заданому типі циклу можна виділити рівень напруження, нижче якого лабораторний зразок витримує прийняту в методиці велику базу циклів без втомного руйнування. Для багатьох кольорових сплавів та інших матеріалів чіткої горизонтальної асимптоти немає, тому задають втомну міцність на конкретній базі $N$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Концентрація напружень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Отвори, різьби, шпонкові пази, канавки та різкі переходи перерізу створюють локальні максимуми напружень і сприяють зародженню втомних тріщин. У втомному розрахунку геометричний коефіцієнт концентрації не завжди безпосередньо дорівнює ефективному коефіцієнту зниження витривалості: враховується також чутливість матеріалу до надрізу.\u003C\u002Fp>{{chunk:fatigue-strength-factors}}\u003Ch2>Середнє напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При ненульовому $\\sigma_m$ допустиму амплітуду оцінюють за експериментальними або нормативними діаграмами. Поширеними навчальними апроксимаціями є лінії Гудмана і Содерберга та парабола Гербера. Вибір залежності має відповідати матеріалу та прийнятій методиці.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Наприклад, лінійне співвідношення Гудмана для розтягувального середнього напруження часто записують як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{\\sigma_a}{\\sigma_{-1}}+\\frac{\\sigma_m}{\\sigma_u}\\le\\frac{1}{n},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\sigma_a$ — амплітуда циклу; $\\sigma_m$ — середнє напруження; $\\sigma_{-1}$ — базова межа витривалості при симетричному циклі для відповідних умов; $\\sigma_u$ — границя міцності; $n$ — прийнятий коефіцієнт запасу. Для реальної деталі базову витривалість коригують згідно з методикою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типовий розвиток втомного руйнування\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Локалізація циклічної пластичності або пошкодження в небезпечній зоні.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Зародження малої тріщини, часто біля поверхні або концентратора.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Поступове поширення тріщини протягом багатьох циклів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Фінальне швидке руйнування залишкового перерізу, коли він уже не може передавати навантаження.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Алгоритм перевірки\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити $\\sigma_{\\max}$ і $\\sigma_{\\min}$ у небезпечній точці.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити $\\sigma_a$, $\\sigma_m$ та $R$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити базову втомну характеристику матеріалу для потрібної довговічності й типу циклу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Врахувати концентрацію, стан поверхні, масштаб, температуру та середовище.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Врахувати вплив середнього напруження за прийнятим критерієм.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити запас втомної міцності або допустимий ресурс.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Зауваження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Втомний розрахунок істотно залежить від експериментальних даних і прийнятого стандарту. Для змінної амплітуди, багатовісного навантаження, низькоциклової втоми та росту тріщин потрібні спеціальні моделі, що виходять за межі базового $S$–$N$ підходу.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1265,"parent_id":39,"code":1266,"slug":1267,"name":1268,"seo_title":1269,"seo_description":1270,"seo_text":1271,"content":1272,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":780,"url_slug":1267,"children":1273},89,"contact-stresses","kontaktni-napruzhennia","Контактні напруження","Контактні напруження — основи розрахунку","Основи контактних напружень в опорі матеріалів: поняття контактної взаємодії, характер розподілу напружень і базові підходи до інженерного розрахунку.","Тема знайомить із поняттям контактних напружень в опорі матеріалів, умовами їх виникнення та особливостями розподілу в зоні контакту. Матеріал призначений для базового розуміння контактної взаємодії деталей і підготовки до інженерних розрахунків.","\u003Cp>\u003Cstrong>Контактні напруження\u003C\u002Fstrong> виникають у локальній області взаємодії двох тіл, через яку передається сила. Через малу площу контакту локальні напруження можуть бути значно більшими за номінальні напруження в інших частинах деталей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Геометрія контакту\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Без навантаження гладкі криволінійні поверхні можуть торкатися в точці або вздовж лінії. Після прикладання сили через пружні деформації виникає скінченна пляма або смуга контакту. Її форма визначається локальними кривизнами поверхонь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорія Герца\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Класична теорія Герца описує локальний пружний контакт гладких тіл за малих деформацій і малої контактної області. Матеріальні властивості двох тіл зручно об'єднувати через приведений модуль, а геометрію — через приведену кривизну.\u003C\u002Fp>{{chunk:hertz-reduced-elastic-modulus}}{{chunk:hertz-reduced-radius}}\u003Ch2>Контактний тиск\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тиск у герцівській контактній області розподілений нерівномірно: він максимальний поблизу центра і зменшується до нуля на межі ідеалізованої плями або смуги.\u003C\u002Fp>{{chunk:hertz-pressure-distribution}}\u003Ch2>Точковий і лінійний контакт\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для осесиметричного контакту сферичних поверхонь утворюється кругова пляма; для довгих паралельних циліндрів — вузька контактна смуга. Розміри області контакту зростають зі збільшенням сили та податливості матеріалів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напруження під поверхнею\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Контактний тиск формує просторовий напружений стан у прилеглому об'ємі матеріалу. Максимальні дотичні або еквівалентні напруження можуть виникати не на самій поверхні, а на певній глибині, що важливо для втомного викришування та інших контактних пошкоджень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контактна міцність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для деталей машин недостатньо лише визначити максимальний тиск. Необхідно враховувати повторюваність навантаження, твердість і структуру матеріалу, шорсткість, мастило, перекіс, залишкові напруження та інші експлуатаційні фактори.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-contact-calculation-algorithm}}\u003Cp>Дочірні теми послідовно розглядають геометрію контакту, теорію Герца, контакт сфер і циліндрів, підповерхневий напружений стан та контактну міцність деталей машин.\u003C\u002Fp>",[1274,1284,1294,1303,1313,1323],{"id":1275,"parent_id":1265,"code":1276,"slug":1277,"name":1278,"seo_title":1279,"seo_description":1280,"seo_text":1281,"content":1282,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":769,"url_slug":1277,"children":1283},90,"contact-geometry","vydy-ta-heometriia-kontaktu","Контакт двох тіл. Види та геометрія контакту","Види та геометрія контакту двох тіл","Точковий, лінійний і поверхневий контакт тіл: геометрія контактної зони, кривизна поверхонь та основні параметри для подальшого розрахунку.","Підтема пояснює основні види контакту двох тіл та геометричні характеристики контактної зони. Розглядаються точковий, лінійний і поверхневий контакт, форма та кривизна поверхонь і параметри, потрібні для подальшого аналізу контактних напружень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Контакт двох тіл\u003C\u002Fstrong> виникає, коли навантаження передається через малу область дотику. До прикладання сили ідеалізований контакт може бути точковим, лінійним або поверхневим, але через пружну деформацію точка чи лінія перетворюється на скінченну контактну площадку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні види контакту\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Точковий контакт\u003C\u002Fstrong> — характерний для куль, сферичних поверхонь і деяких пар криволінійних тіл.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Лінійний контакт\u003C\u002Fstrong> — типовий для паралельних циліндрів, роликів і коліс в ідеалізованій постановці.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Поверхневий контакт\u003C\u002Fstrong> — виникає, коли тіла вже мають значну спільну площу дотику; класична локальна теорія Герца для такого випадку не завжди є відповідною моделлю.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Локальна геометрія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У зоні контакту гладкі поверхні описують через локальні радіуси кривизни. Для двох сферичних поверхонь з радіусами $R_1$ і $R_2$ зручно використовувати зведений радіус:\u003C\u002Fp>{{chunk:hertz-reduced-radius}}\u003Cp>Якщо одна поверхня плоска, відповідний радіус можна вважати нескінченним, тому її кривизна дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пружні властивості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Деформація контактної зони залежить від модулів Юнга та коефіцієнтів Пуассона обох тіл. Їх спільний вплив описують зведеним модулем $E^*$.\u003C\u002Fp>{{chunk:hertz-reduced-elastic-modulus}}\u003Ch2>Розподіл тиску\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У герцівській моделі тиск по контактній площадці нерівномірний: він найбільший у центральній області й зменшується до нуля на межі контакту. Для кругової площадки:\u003C\u002Fp>{{chunk:hertz-pressure-distribution}}\u003Ch2>Що визначає розмір контакту\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розміри контактної площадки залежать від нормальної сили $F$, локальної кривизни поверхонь і пружних властивостей матеріалів. Зі збільшенням $F$ контактна область зростає, але одночасно зростають і характерні контактні напруження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі ідеалізації\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Класична теорія Герца передбачає гладкі пружні поверхні, малі деформації та контактну область, малу порівняно з характерними розмірами тіл і радіусами кривизни. Тертя, пластичність, шорсткість, покриття, крайові ефекти та близькість меж можуть істотно змінювати реальний контакт.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1285,"parent_id":1265,"code":1286,"slug":1287,"name":1288,"seo_title":1289,"seo_description":1290,"seo_text":1291,"content":1292,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":1100,"url_slug":1287,"children":1293},91,"hertz-contact-theory","teoriia-hertsa","Теорія Герца. Основні припущення та формули","Теорія Герца для контактних напружень","Теорія Герца для пружного контакту тіл: основні припущення, область застосування, контактний тиск і параметри, необхідні для інженерного розрахунку.","Підтема присвячена теорії Герца як базовій моделі пружного контакту тіл. Розглядаються її припущення, область застосовності, розподіл контактного тиску та параметри матеріалів і геометрії, що визначають контактні напруження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Теорія Герца\u003C\u002Fstrong> описує локальний пружний контакт гладких криволінійних тіл. Вона дозволяє визначити розміри контактної площадки, розподіл контактного тиску та характерні напруження в зоні контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні припущення\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>матеріали тіл однорідні, ізотропні та лінійно-пружні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>деформації малі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>контактна область мала порівняно з характерними розмірами тіл і локальними радіусами кривизни;\u003C\u002Fli>\u003Cli>поверхні гладкі, а класична нормальна контактна задача розглядається без істотного впливу тертя;\u003C\u002Fli>\u003Cli>напруження в зоні контакту не повинні спричиняти значну пластичну деформацію, якщо використовується суто пружна модель.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Зведений модуль пружності\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-reduced-elastic-modulus}}\u003Ch2>Зведений радіус\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-reduced-radius}}\u003Ch2>Точковий сферичний контакт\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для осесиметричного контакту сферичних поверхонь радіус кругової площадки:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$a=\\left(\\frac{3FR^*}{4E^*}\\right)^{1\u002F3}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Максимальний контактний тиск:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p_0=\\frac{3F}{2\\pi a^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Розподіл тиску:\u003C\u002Fp>{{chunk:hertz-pressure-distribution}}\u003Ch2>Лінійний контакт\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для паралельних циліндрів контактна область наближено має форму вузької прямокутної смуги. Формули для півширини $b$ та максимального тиску $p_0$ використовують навантаження на одиницю довжини $F'=F\u002FL$.\u003C\u002Fp>{{chunk:hertz-cylinder-line-contact}}\u003Ch2>Послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-contact-calculation-algorithm}}\u003Ch2>Обмеження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Теорія Герца не описує безпосередньо значну пластичність, грубу шорсткість, адгезію, складне тертя, тонкі покриття або контакт поблизу геометричних країв. Для таких задач потрібні модифіковані контактні моделі або чисельний аналіз.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1295,"parent_id":1265,"code":1296,"slug":1297,"name":1298,"seo_title":1298,"seo_description":1299,"seo_text":1300,"content":1301,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":1226,"url_slug":1297,"children":1302},92,"sphere-contact","kontakt-kul-ta-sferychnykh-poverkhon","Контакт куль і сферичних поверхонь","Розрахунок пружного контакту куль і сферичних поверхонь: форма та розміри плями контакту, контактний тиск і параметри для оцінювання міцності.","Підтема розглядає контакт куль і сферичних поверхонь у межах пружної контактної моделі. Основна увага приділяється формі та розмірам плями контакту, максимальному контактному тиску та впливу навантаження, геометрії й властивостей матеріалів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Контакт куль і сферичних поверхонь\u003C\u002Fstrong> у класичній теорії Герца приводить до кругової контактної площадки радіуса $a$, якщо локальна геометрія та навантаження є осесиметричними.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зведені характеристики\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-reduced-elastic-modulus}}{{chunk:hertz-reduced-radius}}\u003Ch2>Радіус контактної площадки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для нормальної сили $F$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$a=\\left(\\frac{3FR^*}{4E^*}\\right)^{1\u002F3}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, розмір контакту зростає зі збільшенням сили та зменшенням жорсткості матеріалів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контактний тиск\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-pressure-distribution}}\u003Cp>Максимальний тиск $p_0$ виникає в центрі контактної площадки, а на її межі $p(a)=0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Куля на плоскій поверхні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для контакту кулі радіуса $R$ з площиною $R^*=R$, оскільки радіус кривизни площини нескінченний. Якщо матеріали кулі та площини різні, $E^*$ визначають за властивостями обох тіл.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай сталева куля радіуса $R=10$ мм притискається до плоскої сталевої поверхні силою $F=1000$ Н. Для однакових матеріалів з $E=210$ ГПа та $\\nu=0{,}3$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$E^*=\\left[2\\frac{1-0{,}3^2}{210000}\\right]^{-1}\\approx115385\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Оскільки $R^*=10$ мм:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$a=\\left(\\frac{3\\cdot1000\\cdot10}{4\\cdot115385}\\right)^{1\u002F3}\\approx0{,}402\\ \\text{мм}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p_0=\\frac{3\\cdot1000}{2\\pi\\cdot0{,}402^2}\\approx2{,}96\\cdot10^3\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Приклад показує, що навіть помірна сила може створювати дуже високий локальний контактний тиск через малу площу контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зауваження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо розраховані напруження приводять до значної пластичної деформації, припущення пружної теорії Герца порушуються. Також окремої уваги потребують шорсткість, покриття, тертя та повторне циклічне навантаження.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1304,"parent_id":1265,"code":1305,"slug":1306,"name":1307,"seo_title":1308,"seo_description":1309,"seo_text":1310,"content":1311,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":44,"url_slug":1306,"children":1312},93,"cylinder-roller-contact","kontakt-tsylindriv-ta-rolikiv","Контакт циліндрів і роликів","Контакт циліндрів і роликів — розрахунок","Лінійний контакт циліндрів і роликів: ширина контактної смуги, розподіл тиску та вплив навантаження, геометрії й властивостей матеріалів.","Підтема пояснює розрахункову модель контакту циліндрів і роликів. Розглядаються утворення контактної смуги, нерівномірний розподіл тиску, максимальний контактний тиск та основні фактори, що визначають контактні напруження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Контакт циліндрів і роликів\u003C\u002Fstrong> у класичній постановці Герца є лінійним контактом. Після пружної деформації ідеальна лінія дотику перетворюється на вузьку контактну смугу повної ширини $2b$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навантаження на одиницю довжини\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо повна нормальна сила дорівнює $F$, а довжина контакту $L$, вводять:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$F'=\\frac{F}{L}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Саме $F'$ входить у класичні формули нескінченно довгого або достатньо довгого лінійного контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зведені характеристики\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-reduced-elastic-modulus}}{{chunk:hertz-reduced-radius}}\u003Ch2>Ширина контактної смуги\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-cylinder-line-contact}}\u003Ch2>Розподіл тиску\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У межах $-b\\le x\\le b$ тиск змінюється за напівеліптичним законом:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p(x)=p_0\\sqrt{1-\\frac{x^2}{b^2}}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У центрі смуги $p=p_0$, а на краях $p(\\pm b)=0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Два сталеві ролики з однаковими радіусами $R_1=R_2=50$ мм контактують по довжині $L=20$ мм під силою $F=10$ кН. Для сталі приймемо $E=210$ ГПа, $\\nu=0{,}3$.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Навантаження на одиницю довжини:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$F'=\\frac{10000}{20}=500\\ \\text{Н\u002Fмм}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для однакових матеріалів:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$E^*\\approx115385\\ \\text{МПа},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>а для двох однакових опуклих циліндрів:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$R^*=\\frac{R}{2}=25\\ \\text{мм}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$b=\\sqrt{\\frac{4\\cdot500\\cdot25}{\\pi\\cdot115385}}\\approx0{,}372\\ \\text{мм},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p_0=\\frac{2\\cdot500}{\\pi\\cdot0{,}372}\\approx856\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Крайові ефекти\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реальні ролики мають скінченну довжину. Біля торців розподіл тиску може відрізнятися від ідеальної двовимірної моделі та створювати крайові концентрації. Профілювання роликів часто застосовують саме для зменшення таких піків.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Лінійний герцівський контакт використовують як базову модель для роликових підшипників, коліс, кулачкових пар та інших деталей із локально близькою до циліндричної геометрією.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1314,"parent_id":1265,"code":1315,"slug":1316,"name":1317,"seo_title":1317,"seo_description":1318,"seo_text":1319,"content":1320,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":1321,"url_slug":1316,"children":1322},94,"subsurface-contact-stress","napruzhenyi-stan-pid-kontaktnoiu-poverkhneiu","Напружений стан під контактною поверхнею","Напруження під зоною контакту: нормальні й дотичні компоненти, зміна з глибиною та визначення небезпечної області для оцінювання контактної міцності.","Підтема розглядає просторовий напружений стан, що формується під контактною поверхнею. Пояснюється зміна нормальних і дотичних напружень із глибиною та значення підповерхневої області для оцінювання контактної міцності й можливого пошкодження матеріалу.","\u003Cp>Контактний тиск діє лише на поверхні, але створює \u003Cstrong>просторовий напружений стан\u003C\u002Fstrong> у приповерхневому об’ємі матеріалу. Для оцінки контактної міцності важливо знати не тільки максимальний поверхневий тиск $p_0$, а й характер підповерхневих головних та дотичних напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стиск під контактною площадкою\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Безпосередньо під навантаженою областю переважають стискальні нормальні напруження. Їх величина зменшується з глибиною та віддаленням від центра контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У симетричних контактних задачах на осі симетрії дотичні компоненти в певних площинах можуть дорівнювати нулю, тому нормальні компоненти там збігаються з головними напрямами. Загалом для повної оцінки потрібно визначати тривимірний тензор напружень і його головні значення $\\sigma_1$, $\\sigma_2$, $\\sigma_3$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Максимальне дотичне напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За відомими головними напруженнями абсолютне максимальне дотичне напруження в точці:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau_{\\max}=\\frac{\\sigma_1-\\sigma_3}{2},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>якщо $\\sigma_1\\ge\\sigma_2\\ge\\sigma_3$. У герцівському контакті максимум дотичного напруження часто розташований не на самій поверхні, а на певній глибині під нею.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому це важливо\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Повторне проходження контактного навантаження створює циклічний підповерхневий напружений стан. У підшипниках, зубчастих передачах і роликових парах це може спричиняти зародження підповерхневих втомних тріщин та викришування поверхні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вплив тертя\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Класична нормальна задача Герца не враховує істотних тангенціальних контактних сил. За наявності тертя, ковзання або тягового зусилля до нормального контактного стану додаються дотичні напруження, які можуть зміщувати небезпечну точку ближче до поверхні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Оцінка міцності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Залежно від матеріалу й механізму пошкодження аналізують $p_0$, головні напруження, $\\tau_{\\max}$, еквівалентне напруження або спеціальну контактно-втомну характеристику. Не слід автоматично прирівнювати максимальний контактний тиск до одновісного напруження при звичайному розтягу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чисельний аналіз\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для складної геометрії, крайових ефектів, покриттів, тертя або пластичності підповерхневий стан часто визначають методом скінченних елементів чи спеціалізованими контактними моделями.\u003C\u002Fp>",50,[],{"id":1324,"parent_id":1265,"code":1325,"slug":1326,"name":1327,"seo_title":1327,"seo_description":1328,"seo_text":1329,"content":1330,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":1331,"url_slug":1326,"children":1332},95,"contact-strength-machine-elements","kontaktna-mitsnist-detalei-mashyn","Контактна міцність деталей машин","Оцінювання контактної міцності деталей машин: допустимі напруження, перевірка міцності та застосування для підшипників, роликів і передач.","Підтема узагальнює застосування теорії контактних напружень до оцінювання міцності деталей машин. Розглядаються допустимі контактні напруження, принцип перевірочного розрахунку та типові приклади для підшипників, роликів і зубчастих передач.","\u003Cp>\u003Cstrong>Контактна міцність\u003C\u002Fstrong> — здатність поверхонь деталей витримувати локальні контактні напруження та багаторазове перекочування або ковзання без недопустимого зминання, викришування, тріщиноутворення чи іншого контактного пошкодження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контактне напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У машинобудівних розрахунках характерний максимальний герцівський тиск часто позначають як контактне напруження $\\sigma_H$ або $p_H$. Конкретне визначення залежить від стандарту та типу деталі.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Умову міцності записують у загальному вигляді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_H\\le[\\sigma_H]$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>або\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p_H\\le[p_H].$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що впливає на контактну міцність\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>нормальна контактна сила $F$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>радіуси кривизни контактуючих поверхонь $R_1$, $R_2$ та зведена кривизна;\u003C\u002Fli>\u003Cli>модулі Юнга $E_1$, $E_2$ і коефіцієнти Пуассона $\\nu_1$, $\\nu_2$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>твердість і термічна обробка поверхневих шарів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>кількість циклів навантаження $N$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>якість поверхні, мастило, температура та забруднення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ковзання, тертя, перекіс і крайові концентрації.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Контактна втома\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При повторному перекочуванні підповерхневі напруження циклічно змінюються. З часом це може спричинити утворення тріщин та викришування — пітинг. Тому для підшипників і зубчастих передач контактна міцність тісно пов’язана з втомною довговічністю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пластичне зминання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо локальні напруження достатньо великі, пружна герцівська модель перестає бути адекватною через пластичну деформацію поверхневого шару. У такій ситуації перевірка лише за пружним $p_0$ не описує повністю реальний стан контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типова послідовність перевірки\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-contact-calculation-algorithm}}\u003Ch2>Підшипники кочення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для підшипників реальну довговічність зазвичай визначають не прямим порівнянням $p_0$ з одним допустимим напруженням, а спеціальними стандартизованими залежностями через динамічну вантажопідйомність, еквівалентне навантаження та потрібний ресурс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зубчасті передачі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для зубців контактні напруження виникають у зоні дотику профілів. Інженерні стандарти вводять коефіцієнти геометрії, розподілу навантаження, динаміки, матеріалу та довговічності, тому практична формула відрізняється від найпростішого контакту двох циліндрів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Висновок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Теорія Герца дає фундаментальну локальну оцінку контактного тиску, але остаточна перевірка деталі повинна враховувати механізм пошкодження, циклічність і вимоги відповідного стандарту.\u003C\u002Fp>",60,[],{"id":1334,"parent_id":9,"code":9,"slug":1335,"name":1336,"seo_title":1337,"seo_description":1338,"seo_text":1339,"content":9,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":97,"url_slug":1335,"children":1340},41,"budivelna-mekhanika","Будівельна механіка","Будівельна механіка — Розрахунок споруд та конструкцій","Основи будівельної механіки: розрахунок ферм, балок, рам на міцність і стійкість.","Будівельна механіка розробляє методи розрахунку несучих систем споруд (балок, ферм, арка, рам, сіток) на міцність, жорсткість, стійкість та динамічні впливи. У розділі описано метод сил та метод переміщень для розв'язання складних статично невизначуваних будівельних конструкцій.",[1341,1350],{"id":1342,"parent_id":1334,"code":9,"slug":1343,"name":1344,"seo_title":1345,"seo_description":1346,"seo_text":1347,"content":1348,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":38,"url_slug":1343,"children":1349},42,"fermy","Ферми","Розрахунок ферм | Метод вузлів і метод перерізів","Розрахунок плоских ферм: реакції опор, нульові стержні, метод вирізання вузлів, метод наскрізних перерізів, знаки розтягу і стиску та перевірка зусиль.","Розрахунок ферм зводиться до визначення реакцій опор і поздовжніх сил у стержнях шарнірно-стержневої системи. Матеріал пояснює припущення ідеальної плоскої ферми, статичну визначуваність, нульові стержні, метод вузлів, метод перерізів (Риттера), знаки розтягу й стиску та основні перевірки результатів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Ферма\u003C\u002Fstrong> — це стрижнева система, у якій прямолінійні стержні з'єднані у вузлах і за прийнятої ідеалізації працюють переважно на осьовий розтяг або стиск. Розрахунок плоскої ферми полягає у визначенні реакцій опор та поздовжніх сил у її стержнях.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розрахункова модель ідеальної ферми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Класичний статичний розрахунок ґрунтується на кількох припущеннях:\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>вузли вважають ідеальними шарнірами;\u003C\u002Fli>\u003Cli>зовнішні сили та реакції прикладені у вузлах;\u003C\u002Fli>\u003Cli>осі стержнів проходять через центри вузлів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>власну вагу стержнів або нехтують, або приводять до вузлових сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>кожний стержень є двосиловим елементом і передає лише поздовжню силу $N$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>За цих умов у стержнях ідеальної ферми немає згинальних моментів і поперечних сил. У реальній конструкції жорсткість вузлів, позавузлове навантаження та ексцентриситети можуть створювати додаткові згинальні ефекти.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Статична визначуваність плоскої ферми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для простої плоскої ферми з $m$ стержнями, $j$ вузлами та $r$ зовнішніми реакціями необхідну умову статичної визначуваності записують як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m+r=2j.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для звичайної ферми з трьома незалежними реакціями це дає $m=2j-3$. Ця рівність сама по собі не гарантує геометричної незмінності: невдала конфігурація стержнів може утворювати механізм навіть за правильного підрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Загальний порядок розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>\u003Cstrong>Перевірте схему.\u003C\u002Fstrong> Визначте вузли, стержні, опори, геометрію та зовнішні навантаження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Знайдіть реакції опор.\u003C\u002Fstrong> Розгляньте всю ферму як одне тверде тіло та використайте $\\sum F_x=0$, $\\sum F_y=0$, $\\sum M=0$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Знайдіть нульові стержні.\u003C\u002Fstrong> Це часто істотно скорочує подальші обчислення.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Виберіть метод.\u003C\u002Fstrong> Для послідовного визначення багатьох стержневих сил зручний метод вузлів; для кількох конкретних стержнів — метод перерізів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Дотримуйтеся одного правила знаків.\u003C\u002Fstrong> Зручно спочатку вважати невідому силу розтягувальною; від'ємний результат тоді означає стиск.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Перевірте рівновагу.\u003C\u002Fstrong> Для знайдених сил повинна виконуватися рівновага вузлів і всієї ферми.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Метод вирізання вузлів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У \u003Cstrong>методі вузлів\u003C\u002Fstrong> послідовно виділяють окремі шарнірні вузли. Оскільки всі сили у вузлі є збіжними, для плоскої задачі доступні два незалежні рівняння:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum F_x=0,\\qquad \\sum F_y=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тому розрахунок зазвичай починають із вузла, де після визначення опорних реакцій є не більше двох невідомих стержневих сил. Після їх знаходження переходять до сусіднього вузла, у якому кількість невідомих зменшилася.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Силу невідомого стержня зручно спрямовувати від вузла, тобто припускати розтяг. Якщо обчислене $N>0$, припущення підтверджується; якщо $N<0$, стержень фактично стиснутий.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Метод наскрізних перерізів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Метод перерізів\u003C\u002Fstrong>, або метод Риттера, дозволяє визначити сили в окремих стержнях без послідовного розрахунку всієї ферми. Уявним перерізом розсікають ферму через потрібні стержні, відкидають одну частину і складають рівняння рівноваги для іншої:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum F_x=0,\\qquad \\sum F_y=0,\\qquad \\sum M=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У плоскій статично визначуваній фермі найзручніше проводити переріз не більш ніж через три стержні з невідомими силами. Якщо лінії дії двох із них перетинаються в одній точці, рівняння моментів відносно цієї точки одразу виключає дві невідомі та дозволяє знайти силу в третьому стержні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нульові стержні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нульові стержні можна часто розпізнати без обчислень:\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два неколінеарні стержні, сили в обох дорівнюють нулю;\u003C\u002Fli>\u003Cli>якщо в ненавантаженому вузлі сходяться три стержні й два з них колінеарні, сила в третьому, неколінеарному стержні дорівнює нулю.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>Нульовий стержень не обов'язково є зайвим: він може забезпечувати геометричну незмінність, сприймати навантаження в іншій розрахунковій ситуації або стабілізувати конструкцію.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Метод вузлів чи метод перерізів?\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Метод вузлів доцільний, коли потрібні сили в більшості стержнів. Метод перерізів ефективніший, коли треба знайти сили лише в кількох стержнях, особливо розташованих далеко від опор. У практичному розрахунку обидва методи часто поєднують.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>прикладати розподілене навантаження безпосередньо до ідеального стержня замість приведення його до вузлових сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>починати метод вузлів із вузла, де більше двох невідомих;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати знак сили зі способом її початкового зображення на схемі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати геометрію похилих стержнів при розкладанні сил на складові;\u003C\u002Fli>\u003Cli>проводити переріз через надто багато невідомих стержнів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати умову $m+r=2j$ достатнім доказом геометричної незмінності.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Перевірка результату\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після розрахунку корисно перевірити рівновагу одного або кількох вузлів, які не використовувалися для первинного визначення сил. Для всієї ферми мають виконуватися глобальні рівняння рівноваги, а у кожному вузлі — баланс горизонтальних і вертикальних складових. Така перевірка добре виявляє помилки у знаках, кутах і реакціях опор.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1351,"parent_id":1334,"code":9,"slug":1352,"name":1353,"seo_title":1354,"seo_description":1355,"seo_text":1356,"content":1357,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":39,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":15,"url_slug":1352,"children":1358},36,"ramy","Рами","Розрахунок рам | Реакції опор та епюри N, Q, M","Розрахунок плоских рам: реакції опор, розрахункові схеми, поздовжні й поперечні сили, згинальні моменти, епюри N, Q, M та перевірки рівноваги.","Розрахунок рам охоплює визначення реакцій опор і внутрішніх зусиль у стрижнях рамної системи. Матеріал зосереджений на статично визначуваних плоских рамах: рівновазі всієї системи та окремих стрижнів, жорстких вузлах і внутрішніх шарнірах, побудові епюр N, Q, M, типових помилках і перевірках результатів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Розрахунок рам\u003C\u002Fstrong> полягає у визначенні реакцій опор та внутрішніх зусиль, що виникають у стрижнях рамної системи під дією навантаження. На відміну від ідеалізованої ферми, стрижень рами зазвичай сприймає не лише поздовжню силу, а й поперечну силу та згинальний момент. Нижче розглянуто практичний підхід до аналізу плоских рам із головним акцентом на статично визначувані системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що таке рама?\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рама — це стрижнева система, елементи якої з'єднані у вузлах. \u003Cstrong>Жорсткий вузол\u003C\u002Fstrong> передає між стрижнями сили та момент, тому згин є важливою складовою роботи рами. Внутрішній шарнір, навпаки, не передає згинальний момент і може бути використаний для поділу системи на частини під час складання рівнянь рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для плоскої рами в поперечному перерізі стрижня зазвичай визначають:\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>$N$\u003C\u002Fstrong> — поздовжню силу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$Q$\u003C\u002Fstrong> — поперечну силу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$M$\u003C\u002Fstrong> — згинальний момент.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Статично визначувана рама\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У статично визначуваній плоскій рамі реакції та внутрішні зусилля можна знайти лише з рівнянь рівноваги. Для всієї системи використовують:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum F_x=0,\\qquad \\sum F_y=0,\\qquad \\sum M=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Після визначення зовнішніх реакцій рівняння рівноваги застосовують до окремих стрижнів або виділених частин рами. Зусилля, якими два з'єднані стрижні діють один на одного у спільному вузлі, мають однакові модулі та протилежні напрями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розрахунку рами\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>\u003Cstrong>Складіть розрахункову схему.\u003C\u002Fstrong> Визначте стрижні, жорсткі вузли, внутрішні шарніри, опори, розміри та зовнішні навантаження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Побудуйте схему вільного тіла всієї рами.\u003C\u002Fstrong> Замініть опори відповідними реакціями.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Визначте реакції опор.\u003C\u002Fstrong> Використайте рівняння рівноваги всієї системи; за наявності внутрішніх шарнірів використовуйте також умови рівноваги окремих частин.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Розділіть раму на стрижні або зручні частини.\u003C\u002Fstrong> Для кожної частини покажіть вузлові сили та моменти.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Визначте $N$, $Q$ і $M$.\u003C\u002Fstrong> Застосуйте метод перерізів або рівновагу окремого стрижня та дотримуйтеся однієї системи знаків.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Побудуйте епюри внутрішніх зусиль.\u003C\u002Fstrong> Покажіть розподіл поздовжньої сили, поперечної сили та згинального моменту вздовж стрижнів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Перевірте результат.\u003C\u002Fstrong> Переконайтеся у виконанні рівноваги всієї рами й кожного виділеного елемента, а також у взаємній рівновазі зусиль у вузлах.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Епюри N, Q і M у рамах\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Епюри будують уздовж локальної осі кожного стрижня. Це особливо важливо у вузлах повороту рами: глобальні горизонтальний і вертикальний напрями мають різний зміст відносно локальної поздовжньої та поперечної осей різних стрижнів.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо на ділянці немає розподіленого поздовжнього навантаження, $N$ між зосередженими поздовжніми силами є сталою. Характер зміни $Q$ визначається поперечним навантаженням, а епюра $M$ пов'язана з епюрою поперечної сили звичайними диференціальними залежностями згину. Зосереджені сили спричиняють стрибки відповідних силових факторів, а прикладена пара сил — стрибок епюри згинального моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Жорсткі вузли та внутрішні шарніри\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Жорсткий вузол \u003Cstrong>не означає\u003C\u002Fstrong>, що згинальний момент у ньому дорівнює нулю. Такий вузол передає між стрижнями кінцеві сили та моменти. В ідеальному внутрішньому шарнірі, навпаки, $M=0$, але шарнір може передавати складові сили. На схемах вільного тіла двох частин рами ці сили показують у протилежних напрямах.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки при розрахунку рам\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>помилково вважати кожен вузол шарніром і прирівнювати кінцеві моменти до нуля;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обмежуватися рівновагою всієї рами, коли для визначення внутрішніх зусиль потрібна рівновага окремих стрижнів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>змішувати глобальні осі $x$–$y$ з локальними поздовжнім і поперечним напрямами стрижня;\u003C\u002Fli>\u003Cli>змінювати прийняту систему знаків для $N$, $Q$ або $M$ під час розрахунку;\u003C\u002Fli>\u003Cli>забувати умову $M=0$ у внутрішньому шарнірі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>будувати епюри, кінцеві значення яких не відповідають знайденим вузловим зусиллям.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Статично визначувані та невизначувані рами\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для статично визначуваної рами достатньо рівнянь рівноваги. У \u003Cstrong>статично невизначуваній рамі\u003C\u002Fstrong> невідомих реакцій або внутрішніх зусиль більше, тому додатково використовують умови сумісності переміщень і жорсткісні характеристики елементів. До поширених підходів належать метод сил, метод переміщень та матричний метод жорсткості. Детальний розгляд цих методів виходить за межі цієї оглядової теми, але правильна рівновага системи та окремих стрижнів залишається їх основою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Переміщення в рамах\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після визначення внутрішніх зусиль переміщення та кути повороту можна знаходити енергетичними методами. Зокрема, для згину рами методом одиничного навантаження використовують інтеграл Мора:\u003C\u002Fp>{{chunk:mohr-integral-unit-load}}\u003Ch2>Перевірка розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Правильно виконаний розрахунок рами повинен задовольняти рівновагу всієї системи, рівновагу кожного окремого стрижня або виділеної частини, взаємну рівновагу кінцевих зусиль у вузлах, нульовий момент в ідеальних внутрішніх шарнірах і відповідність форми епюр прикладеним навантаженням. Такі перевірки допомагають знайти помилки у знаках ще до використання результатів у подальшому розрахунку міцності або жорсткості.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1360,"parent_id":9,"code":9,"slug":1361,"name":1362,"seo_title":1363,"seo_description":1364,"seo_text":1365,"content":9,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":38,"is_published":39,"status":40,"visibility":41,"canonical":9,"noindex":38,"sort_order":107,"url_slug":1361,"children":1366},39,"kompleksni-zavdannya","Комплексні завдання","Комплексні завдання з механіки та опору матеріалів","Збірник складних підсумкових задач з усіх розділів опору матеріалів.","У цьому розділі зібрано комплексні розрахункові задачі, які поєднують декілька видів деформацій та методів аналізу (наприклад, складний опір із розрахунком стійкості чи витривалості). Розв'язання таких задач сприяє глибокому розумінню дисципліни та готує до складання іспитів і виконання курсових проектів.",[],1787712521924]