[{"data":1,"prerenderedAt":2146},["ShallowReactive",2],{"public-task-19":3,"public-task-topics-uk":40},{"id":4,"topic_id":5,"code":6,"title":7,"locale":8,"uk_question_id":9,"slug":10,"seo_title":11,"seo_description":12,"seo_text":13,"description":14,"approx_time_min":15,"content":16,"updated_at":39},19,37,"SOM-6565","Колона з консоллю","uk",null,"kolona-z-konsolliu","Колона з консоллю: позацентровий стиск","Визначте поздовжні сили, згинальний момент і нормальні напруження в перерізах колони з консоллю при позацентровому стиску.","Задача присвячена розрахунку колони з консоллю при позацентровому стиску. Необхідно визначити поздовжні сили в заданих перерізах, згинальний момент від прикладених навантажень і нормальні напруження на гранях колони. Завдання допомагає відпрацювати визначення внутрішніх силових факторів та розрахунок напружень при спільній дії осьової сили і згинального моменту.","",0,[17,20,24,27,30,33,36],{"type":18,"html":19},"html","\u003Csvg xmlns=\"http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002F2000\u002Fsvg\" version=\"1.1\" width=\"400\" height=\"650\">\n\u003Cimage xlink:href=\"\u002Fapi\u002Fimg\u002Fquestions\u002F19\u002Fcolumn.jpg\" preserveAspectRatio=\"none\" x=\"0\" y=\"0\" width=\"289\" height=\"644\">\u003C\u002Fimage>\n \u003Ctext x=\"95\" y=\"256\" style=\"font-size: 18px;\">300\u003C\u002Ftext>\n \u003Ctext x=\"145\" y=\"256\" style=\"font-size: 18px;\">600\u003C\u002Ftext>\n \u003Ctext x=\"217\" y=\"100\" style=\"font-size: 18px;\">300\u003C\u002Ftext>\n \u003Ctext x=\"107\" y=\"388\" style=\"font-size: 18px;\">400\u003C\u002Ftext>\n \u003Ctext x=\"135\" y=\"43\" style=\"font-size: 20px;\">500кН\u003C\u002Ftext>\n \u003Ctext x=\"183\" y=\"193\" style=\"font-size: 20px;\">400кН\u003C\u002Ftext>\n\u003C\u002Fsvg>\n\u003Cbr\u002F>\n\nДля заданої колони визначити значення напружень в перерізі 1-1 та перерізі 2-2.\n\u003Cbr\u002F>\n\nРозміри вказані в мм. Сили прикладені посередині відповідних площадок.",{"type":21,"html":22,"name":23},"number","Значення поздовжньої сили у перерізі 1-1, кН (із урахуванням знаку)","ans1",{"type":21,"html":25,"name":26},"Значення поздовжньої сили у перерізі 2-2, кН (із урахуванням знаку)","ans2",{"type":21,"html":28,"name":29},"Значення згинаючого моменту відносно осі згину в перерізі 2-2, кНм (по модулю)","ans3",{"type":21,"html":31,"name":32},"Значення нормальних напружень у перерізі 1-1, МПа (із урахуванням знаку)","ans4",{"type":21,"html":34,"name":35},"Значення нормальних напружень на лівій грані колони (переріз 2-2), МПа","ans5",{"type":21,"html":37,"name":38},"Значення нормальних напружень на правій грані колони (переріз 2-2), МПа","ans6","2026-08-08 18:17:35",[41,59,65,70,75,80,85,90,99,140,761,1732,2128,2136],{"id":42,"parent_id":9,"code":9,"slug":43,"name":44,"seo_title":9,"seo_description":9,"seo_text":9,"content":45,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":43,"children":48},385,"testova-storinka","Тестова сторінка","\u003Ch2>Test\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>{{chunk:threejs-typical-cross-sections}}\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>{{chunk:column-buckling-four-end-conditions-animated}}\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>{{chunk:moving-black-square}}\u003C\u002Fp>","draft","public",[49],{"id":50,"parent_id":42,"code":9,"slug":51,"name":52,"seo_title":53,"seo_description":54,"seo_text":55,"content":56,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":51,"children":58},409,"test2","тест2","Шестерні та зубчасті передачі: види, формули й розрахунок","Будова і принцип роботи зубчастих передач: модуль, діаметри, передатне число, сили в зачепленні, види шестерень та приклад розрахунку.","Шестерні та зубчасті передачі застосовують для передавання обертального руху, зміни частоти обертання і крутного моменту. У матеріалі розглянуто будову зубчастого зачеплення, основні геометричні параметри коліс, модуль зубців, ділильний діаметр, міжосьову відстань і передатне число. Наведено формули для визначення колової, радіальної та осьової сил, пояснено особливості прямозубих, косозубих, конічних, черв’ячних, рейкових і планетарних передач. Приклад розрахунку показує, як за кількістю зубців і модулем знайти діаметри коліс, частоту обертання та зміну крутного моменту.","\u003Ch2>Шестерні та зубчасті передачі\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Зубчаста передача\u003C\u002Fstrong> — це механізм, який передає обертальний рух і крутний момент за допомогою послідовного зачеплення зубців двох коліс. Менше колесо зазвичай називають \u003Cstrong>шестернею\u003C\u002Fstrong>, а більше — \u003Cstrong>зубчастим колесом\u003C\u002Fstrong>. У практиці словом «шестерня» часто називають будь-яке зубчасте колесо.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>Зубчасті передачі застосовують у редукторах, коробках передач, верстатах, автомобілях, підйомних механізмах і приводах машин. Вони забезпечують точне передатне відношення, можуть передавати значні потужності та мають високий коефіцієнт корисної дії.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch3>Принцип роботи\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Ведуче колесо отримує обертання від двигуна. Його зубці тиснуть на зубці веденого колеса і змушують його обертатися. У зовнішньому зачепленні колеса обертаються у протилежних напрямках, а у внутрішньому — в одному напрямку.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>Профіль зубців найчастіше виконують за \u003Cstrong>евольвентою кола\u003C\u002Fstrong>. Такий профіль забезпечує практично постійне передатне відношення навіть за невеликих відхилень міжосьової відстані. Під час роботи контакт переміщується вздовж лінії зачеплення, а навантаження послідовно переходить від однієї пари зубців до іншої.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>{{chunk:gear-meshing-animation}}\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch3>Основні геометричні параметри\u003C\u002Fh3>\n\u003Cul>\n\u003Cli>\u003Cstrong>z\u003C\u002Fstrong> — кількість зубців;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>m\u003C\u002Fstrong> — модуль зубців, мм;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>d\u003C\u002Fstrong> — ділильний діаметр;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>d\u003Csub>a\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fstrong> — діаметр вершин зубців;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>d\u003Csub>f\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fstrong> — діаметр западин;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>b\u003C\u002Fstrong> — ширина зубчастого вінця;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>α\u003C\u002Fstrong> — кут зачеплення; для стандартних передач часто α = 20°;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>a\u003C\u002Fstrong> — міжосьова відстань.\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Ful>\n\n\u003Cp>\u003Cstrong>Модуль\u003C\u002Fstrong> визначає розмір зубця. Два колеса можуть правильно працювати в парі, якщо мають однаковий модуль і сумісний профіль зубців. Для прямозубого циліндричного колеса ділильний діаметр дорівнює:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(d=mz\\).\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>Для стандартного некоригованого зубчастого колеса:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(d_a=m(z+2)\\),\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(d_f\\approx m(z-2.5)\\).\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>Міжосьова відстань пари зовнішнього зачеплення:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(a=\\frac{d_1+d_2}{2}=\\frac{m(z_1+z_2)}{2}\\).\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>{{chunk:gear-geometry-static}}\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch3>Передатне число\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Передатне число показує, у скільки разів змінюється частота обертання:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(i=\\frac{\\omega_1}{\\omega_2}=\\frac{n_1}{n_2}=\\frac{z_2}{z_1}\\),\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>де індекс 1 відповідає ведучому колесу, а індекс 2 — веденому. Якщо \\(z_2>z_1\\), частота обертання зменшується, а крутний момент на веденому валу зростає. Така передача працює як редуктор. Якщо веденим є менше колесо, отримуємо підвищувальну передачу.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>Без урахування втрат потужність зберігається: \\(P=T\\omega\\). Тому зменшення кутової швидкості супроводжується збільшенням крутного моменту. З урахуванням коефіцієнта корисної дії:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(T_2=\\eta iT_1\\),\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>де \\(\\eta\\) — ККД передачі.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch3>Основні типи зубчастих передач\u003C\u002Fh3>\n\u003Cul class=\"gear-types\">\n\u003Cli>\u003Cstrong>Прямозуба циліндрична\u003C\u002Fstrong> — проста у виготовленні, працює між паралельними валами, але на великих швидкостях може створювати шум.\n\u003Cp>{{chunk:spur-gear-pair}}\u003C\u002Fp>\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Косозуба\u003C\u002Fstrong> — зубці входять у зачеплення поступово, тому робота плавніша. Водночас виникає осьова сила.\n\u003Cp>{{chunk:helical-gear-pair}}\u003C\u002Fp>\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Шевронна\u003C\u002Fstrong> — має зубці протилежного нахилу, завдяки чому осьові сили частково або повністю врівноважуються.\n\u003Cp>{{chunk:herringbone-gear-pair}}\u003C\u002Fp>\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Конічна\u003C\u002Fstrong> — передає рух між валами, осі яких перетинаються; часто кут між осями становить 90°.\n\u003Cp>{{chunk:bevel-gear-pair}}\u003C\u002Fp>\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Черв’ячна\u003C\u002Fstrong> — використовується для валів, осі яких не перетинаються. Дає велике передатне число в одному ступені, але має підвищене ковзання і нижчий ККД.\n\u003Cp>{{chunk:worm-gearbox-cutaway}}\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>{{chunk:worm-gear-designations}}\u003C\u002Fp>\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Рейкова\u003C\u002Fstrong> — перетворює обертальний рух колеса на поступальний рух рейки або навпаки.\n\u003Cp>{{chunk:rack-and-pinion}}\u003C\u002Fp>\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Планетарна\u003C\u002Fstrong> — містить центральне сонячне колесо, сателіти та коронне колесо. Відрізняється компактністю і значною навантажувальною здатністю.\n\u003Cp>{{chunk:planetary-gear-set}}\u003C\u002Fp>\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Ful>\n\n\u003Cp>{{chunk:threejs-gear-pair-interactive}}\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>{{chunk:threejs-bevel-gear-90}}\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch3>Сили в зачепленні\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Крутний момент передається коловою силою. Для прямозубої передачі:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(F_t=\\frac{2T}{d}\\),\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>де \\(T\\) — крутний момент на валу, а \\(d\\) — ділильний діаметр колеса.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>Радіальна складова, яка розсуває колеса і навантажує вали та підшипники:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(F_r=F_t\\tan\\alpha\\).\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>У косозубій передачі додатково виникає осьова сила:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(F_a=F_t\\tan\\beta\\),\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>де \\(\\beta\\) — кут нахилу зубців. Під час розрахунку вала та підшипників необхідно враховувати всі складові сили.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch3>Працездатність зубців\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Зубець працює одночасно на згин і контактне стискання. Колову силу можна уявити прикладеною до зубця як до короткої консолі: біля його основи виникають найбільші напруження згину. На робочих поверхнях зубців діють контактні напруження.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>Основні види пошкоджень:\u003C\u002Fp>\n\u003Cul>\n\u003Cli>злам зубця від перевантаження або втоми;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>викришування робочої поверхні внаслідок контактної втоми;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>заїдання через руйнування мастильної плівки;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>абразивне зношування;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>пластична деформація поверхні зубців.\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Ful>\n\n\u003Cp>Розрахунок закритих передач зазвичай виконують за контактною міцністю робочих поверхонь і перевіряють зубці на згин. Для відкритих тихохідних передач особливо важливі міцність на згин та стійкість проти зношування.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch3>Матеріали та термічна обробка\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Зубчасті колеса виготовляють зі сталей, чавунів, кольорових сплавів і полімерів. Сталеві колеса можуть проходити нормалізацію, поліпшення, цементацію, азотування або поверхневе гартування. Збільшення твердості робочої поверхні підвищує контактну міцність і зносостійкість. Полімерні колеса працюють тихо та мають малу масу, однак передають менші навантаження.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch3>Точність, зазор і мащення\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Між неробочими сторонами зубців залишають невеликий \u003Cstrong>бічний зазор\u003C\u002Fstrong>. Він потрібний для розміщення мастила, компенсації температурного розширення та похибок виготовлення. Надто малий зазор може спричинити заклинювання, а надто великий — удари, шум і втрату точності позиціювання.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>Мащення зменшує тертя, зношування і нагрівання, а також захищає поверхні від корозії. Спосіб мащення вибирають за швидкістю, потужністю та конструкцією передачі: застосовують пластичні мастила, занурення колеса в оливу або примусову циркуляцію.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch3>Приклад визначення параметрів\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Нехай ведуча шестерня має \\(z_1=20\\) зубців, ведене колесо — \\(z_2=60\\), а модуль \\(m=2\\) мм. Тоді:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(d_1=mz_1=40\\text{ мм}\\),\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(d_2=mz_2=120\\text{ мм}\\),\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(a=\\frac{40+120}{2}=80\\text{ мм}\\),\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(i=\\frac{60}{20}=3\\).\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>Якщо шестерня обертається з частотою \\(n_1=1500\\) об\u002Fхв, то без урахування ковзання:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\(n_2=\\frac{n_1}{i}=500\\text{ об\u002Fхв}\\).\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>Отже, ця пара зменшує частоту обертання утричі та приблизно утричі збільшує крутний момент; реальне збільшення буде дещо меншим через механічні втрати.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch3>Послідовність попереднього проєктування\u003C\u002Fh3>\n\u003Col>\n\u003Cli>Задати потужність, частоти обертання та режим роботи.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Визначити потрібне передатне число.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Вибрати тип передачі, матеріали та допустимі напруження.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Призначити кількість зубців і модуль.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Обчислити діаметри та міжосьову відстань.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Визначити сили в зачепленні.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Перевірити контактну міцність і міцність зубців на згин.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Розрахувати вали, підшипники, кріплення та систему мащення.\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Fol>\n\n\u003Cp>Наведені формули описують базову геометрію стандартної передачі. Під час детального проєктування враховують коригування профілю, коефіцієнт перекриття, точність виготовлення, динамічні навантаження, ресурс і вимоги відповідних стандартів.\u003C\u002Fp>",1,[],{"id":60,"parent_id":9,"code":9,"slug":61,"name":62,"seo_title":9,"seo_description":9,"seo_text":9,"content":9,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":63,"canonical":9,"noindex":57,"sort_order":15,"url_slug":61,"children":64},410,"mekhanika-ridyn-i-hidravlika","Механіка рідин і гідравліка","private",[],{"id":66,"parent_id":9,"code":9,"slug":67,"name":68,"seo_title":9,"seo_description":9,"seo_text":9,"content":9,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":63,"canonical":9,"noindex":57,"sort_order":15,"url_slug":67,"children":69},411,"termodynamika-i-teploperedacha","Термодинаміка і теплопередача",[],{"id":71,"parent_id":9,"code":9,"slug":72,"name":73,"seo_title":9,"seo_description":9,"seo_text":9,"content":9,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":63,"canonical":9,"noindex":57,"sort_order":15,"url_slug":72,"children":74},412,"teoriia-mekhanizmiv-i-mashyn","Теорія механізмів і машин",[],{"id":76,"parent_id":9,"code":9,"slug":77,"name":78,"seo_title":9,"seo_description":9,"seo_text":9,"content":9,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":63,"canonical":9,"noindex":57,"sort_order":15,"url_slug":77,"children":79},413,"mekhanichni-kolyvannia","Механічні коливання",[],{"id":81,"parent_id":9,"code":9,"slug":82,"name":83,"seo_title":9,"seo_description":9,"seo_text":9,"content":9,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":63,"canonical":9,"noindex":57,"sort_order":15,"url_slug":82,"children":84},414,"metod-skinchennykh-elementiv","Метод скінченних елементів",[],{"id":86,"parent_id":9,"code":9,"slug":87,"name":88,"seo_title":9,"seo_description":9,"seo_text":9,"content":9,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":63,"canonical":9,"noindex":57,"sort_order":15,"url_slug":87,"children":89},415,"mekhanika-gruntiv","Механіка ґрунтів",[],{"id":91,"parent_id":9,"code":9,"slug":92,"name":93,"seo_title":94,"seo_description":95,"seo_text":96,"content":9,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":92,"children":98},34,"test-shkilnykh-znan","Тест шкільних знань","Тест шкільних знань з фізики та математики","Перевірте свій рівень підготовки з базової фізики та геометрії перед вивченням механіки.","Успішне опанування опору матеріалів та механіки вимагає міцного фундаменту зі шкільних курсів фізики та геометрії. Цей онлайн-тест дозволяє швидко перевірити знання векторних величин, законів Ньютона, тригонометрії, обчислення площ та центрів ваги простих фігур перед початком вивчення інженерних дисциплін.","published",[],{"id":100,"parent_id":9,"code":9,"slug":101,"name":102,"seo_title":103,"seo_description":104,"seo_text":9,"content":105,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":101,"children":107},380,"detali-mashyn","Деталі машин","Деталі машин — з’єднання, передачі, вали, підшипники та муфти","Курс деталей машин: з’єднання, механічні передачі, вали й осі, підшипники, муфти та базові принципи розрахунку елементів машин на міцність і працездатність.","\u003Cp>«Деталі машин» — дисципліна про типові елементи та вузли машин, принципи їх роботи, вибір матеріалів і базові підходи до розрахунку міцності, жорсткості, довговічності та надійності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що вивчає дисципліна\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Під час проєктування машини складну конструкцію поділяють на типові елементи: з’єднання, передачі, вали й осі, опори та муфти. Для кожного елемента визначають навантаження, вибирають конструктивну схему й матеріал, а потім перевіряють працездатність.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні критерії працездатності\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Міцність\u003C\u002Fstrong> — здатність витримувати навантаження без руйнування.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Жорсткість\u003C\u002Fstrong> — здатність обмежувати деформації.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Зносостійкість\u003C\u002Fstrong> — здатність зберігати розміри й робочі поверхні під час тертя.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Довговічність\u003C\u002Fstrong> — здатність працювати заданий ресурс.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Надійність\u003C\u002Fstrong> — здатність виконувати функції протягом заданого часу.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Передавання потужності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У багатьох вузлах деталей машин ключовими величинами є потужність, крутний момент і кутова швидкість обертання.\u003C\u002Fp>{{chunk:dm-torque-power}}\u003Ch2>Структура курсу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Матеріал поділено на чотири розділи: з’єднання деталей машин; механічні передачі; вали та осі; підшипники та муфти. У дочірніх розділах розглядаються характерні конструкції, навантаження, критерії вибору та базові розрахункові залежності.\u003C\u002Fp>",3,[108,116,124,132],{"id":109,"parent_id":100,"code":9,"slug":110,"name":111,"seo_title":112,"seo_description":113,"seo_text":9,"content":114,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":110,"children":115},381,"ziednannia-detalei-mashyn","З’єднання деталей машин","З’єднання деталей машин — різьбові, зварні, шпонкові та шліцьові","Основні з’єднання деталей машин: різьбові, зварні, заклепкові, шпонкові та шліцьові. Класифікація, передача навантаження й базові принципи розрахунку.","\u003Cp>\u003Cstrong>З’єднання деталей машин\u003C\u002Fstrong> забезпечують взаємне закріплення елементів, передавання сил і моментів та формування складальних одиниць. За можливістю розбирання без руйнування деталей з’єднання поділяють на \u003Cstrong>рознімні\u003C\u002Fstrong> та \u003Cstrong>нерознімні\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:machine-joint-types}}\n\u003Ch2>Рознімні з’єднання\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Рознімне з’єднання можна багаторазово складати й розбирати без руйнування основних деталей і з’єднувальних елементів.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch3>Різьбові\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>До них належать болтові, гвинтові та шпилькові з’єднання. Вони широко застосовуються завдяки технологічності, стандартизації та можливості створювати попереднє затягування.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch3>Шпонкові та шліцьові\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Такі з’єднання використовують для передавання крутного моменту між валом і маточиною. Шпонка працює як окремий елемент між деталями, а шліцьове з’єднання має кілька поздовжніх виступів і западин.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Нерознімні з’єднання\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Нерознімне з’єднання не можна розібрати без руйнування з’єднання або його елементів.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch3>Зварні\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Зварювання утворює нерознімне з’єднання шляхом місцевого формування металургійного зв’язку між деталями. Конструкцію шва вибирають відповідно до геометрії та навантаження.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch3>Заклепкові\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Заклепка проходить через отвори в деталях і після формування другої головки утримує їх разом. У сучасному машинобудуванні такі з’єднання застосовують рідше, але вони залишаються важливими для окремих конструкцій і матеріалів.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch3>Клейові\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Навантаження передається через шар клею між поверхнями деталей. Перевагами можуть бути рівномірніший розподіл напружень і можливість з’єднувати різнорідні матеріали.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Як обирають тип з’єднання\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Враховують характер і величину навантаження, потребу в розбиранні, матеріали деталей, технологію виготовлення, габарити, герметичність, вібрації, корозійне середовище та вартість.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Ключова ідея:\u003C\u002Fstrong> з’єднання є повноцінним елементом силового ланцюга машини, тому його конструкція та міцність мають відповідати роботі деталей, які воно з’єднує.\u003C\u002Fp>",[],{"id":117,"parent_id":100,"code":9,"slug":118,"name":119,"seo_title":120,"seo_description":121,"seo_text":9,"content":122,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":118,"children":123},382,"mekhanichni-peredachi","Механічні передачі","Механічні передачі — зубчасті, пасові, ланцюгові та черв’ячні","Механічні передачі в деталях машин: передаточне відношення, зубчасті, пасові, ланцюгові та черв’ячні передачі, їх призначення, переваги й вибір.","\u003Cp>\u003Cstrong>Механічна передача\u003C\u002Fstrong> — механізм, що передає механічний рух і потужність від ведучої ланки до веденої та, за потреби, змінює швидкість, крутний момент, напрям або характер руху.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Для чого потрібні передачі\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Робоча машина часто потребує інших параметрів руху, ніж ті, які безпосередньо створює двигун. Передача узгоджує двигун із виконавчим механізмом: може зменшувати або збільшувати частоту обертання, змінювати крутний момент, напрям обертання чи взаємне розташування валів.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Основні типи механічних передач\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Зубчасті\u003C\u002Fstrong> — передають рух безпосереднім зачепленням зубців коліс; застосовуються для паралельних, пересічних або мимобіжних осей залежно від типу передачі.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Черв’ячні\u003C\u002Fstrong> — використовують черв’як і черв’ячне колесо, зазвичай для мимобіжних осей.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Пасові\u003C\u002Fstrong> — передають рух гнучким пасом між шківами.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Ланцюгові\u003C\u002Fstrong> — використовують ланцюг і зірочки та забезпечують передачу без ковзання між ланцюгом і зірочками.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Фрикційні\u003C\u002Fstrong> — передають рух силами тертя між притиснутими поверхнями.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Передаточне відношення\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Однією з основних характеристик передачі є відношення кутових швидкостей або частот обертання ведучої та веденої ланок. Конкретна формула залежить від прийнятого означення та типу передачі.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Потужність і ККД\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У реальній передачі частина потужності втрачається через тертя, деформації, перемішування мастила та інші процеси. Тому потужність на виході менша за потужність на вході, а ефективність характеризують коефіцієнтом корисної дії.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Критерії вибору\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Тип передачі обирають з урахуванням потрібного передаточного відношення, потужності, швидкості, взаємного положення валів, точності, шуму, габаритів, умов змащування, ресурсу та вартості.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Ключова ідея:\u003C\u002Fstrong> механічна передача не створює потужність, а передає її та перетворює параметри руху відповідно до потреб машини.\u003C\u002Fp>",[],{"id":125,"parent_id":100,"code":9,"slug":126,"name":127,"seo_title":128,"seo_description":129,"seo_text":9,"content":130,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":126,"children":131},383,"valy-ta-osi","Вали та осі","Вали та осі — різниця, навантаження й розрахунок у деталях машин","Чим відрізняються вали та осі, які навантаження вони сприймають і як виконують базові перевірки міцності, жорсткості та витривалості в деталях машин.","\u003Cp>\u003Cstrong>Вал\u003C\u002Fstrong> — деталь, що обертається, підтримує встановлені на ній елементи та зазвичай передає крутний момент. \u003Cstrong>Вісь\u003C\u002Fstrong> переважно підтримує обертові деталі й не призначена для передавання крутного моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навантаження валів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На вал можуть одночасно діяти крутний момент, згинальні моменти від сил у передачах, осьові сили та власна вага деталей. Тому розрахункова схема часто є просторовою, а небезпечні перерізи визначають за поєднанням згину й кручення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Конструктивні елементи\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Цапфи\u003C\u002Fstrong> — ділянки, якими вал спирається на підшипники.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Посадочні поверхні\u003C\u002Fstrong> — місця встановлення коліс, шківів, зірочок і муфт.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Галтелі\u003C\u002Fstrong> — плавні переходи між діаметрами, що зменшують концентрацію напружень.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Шпонкові пази та шліци\u003C\u002Fstrong> — елементи для передавання моменту між валом і маточиною.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Етапи розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити сили та моменти від приєднаних деталей.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Скласти розрахункову схему й знайти реакції опор.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Побудувати розподіл згинальних і крутних моментів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Оцінити потрібні діаметри за умовами міцності.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити жорсткість, утомну міцність і конструктивні концентратори напружень.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Крутний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо відомі потужність привода та швидкість обертання, крутний момент можна визначити через їхній зв’язок:\u003C\u002Fp>{{chunk:dm-torque-power}}\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Проміжний вал редуктора несе зубчасті колеса. Сили в зачепленні створюють згин, передавана потужність — кручення, а підшипники формують опорні реакції. Розташування коліс і опор істотно впливає на максимальний згинальний момент.\u003C\u002Fp>",[],{"id":133,"parent_id":100,"code":9,"slug":134,"name":135,"seo_title":136,"seo_description":137,"seo_text":9,"content":138,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":134,"children":139},384,"pidshypnyky-ta-mufty","Підшипники та муфти","Підшипники та муфти — призначення, типи й критерії вибору","Основи підшипників і муфт у деталях машин: опори валів, підшипники кочення та ковзання, з’єднання валів муфтами й головні критерії вибору.","\u003Cp>\u003Cstrong>Підшипники\u003C\u002Fstrong> підтримують вали й осі, сприймають навантаження та забезпечують їхній відносний рух із малими втратами. \u003Cstrong>Муфти\u003C\u002Fstrong> з’єднують вали для передавання крутного моменту й можуть виконувати додаткові функції — компенсувати неспіввісність, пом’якшувати удари або захищати привід від перевантаження.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Підшипники ковзання\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У підшипнику ковзання поверхня цапфи вала переміщується відносно поверхні вкладиша. Працездатність значною мірою залежить від тертя, мастила, матеріалів пари тертя, тиску та швидкості ковзання.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Підшипники кочення\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У підшипниках кочення між внутрішнім і зовнішнім кільцями розташовані тіла кочення — кульки або ролики. За напрямом навантаження підшипники можуть бути радіальними, упорними або радіально-упорними.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Основні елементи підшипника кочення\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\u003Cli>внутрішнє кільце;\u003C\u002Fli>\u003Cli>зовнішнє кільце;\u003C\u002Fli>\u003Cli>тіла кочення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>сепаратор.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Муфти\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Муфти встановлюють між валами або між валом і іншою обертовою деталлю. Вони передають крутний момент і залежно від конструкції можуть бути жорсткими, компенсуючими, пружними, керованими або запобіжними.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Жорсткі та компенсуючі муфти\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Жорстка муфта\u003C\u002Fstrong> вимагає точного взаємного положення валів і практично не компенсує їхню неспіввісність. \u003Cstrong>Компенсуюча\u003C\u002Fstrong> конструкція допускає певні радіальні, кутові або осьові зміщення залежно від типу муфти.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Пружні та запобіжні муфти\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Пружні елементи можуть зменшувати ударні й коливальні навантаження. Запобіжні муфти обмежують переданий момент або роз’єднують кінематичний ланцюг при перевантаженні.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Вибір\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Підшипники вибирають з урахуванням величини й напряму навантаження, частоти обертання, ресурсу, жорсткості, точності та умов змащування. Для муфт важливі переданий момент, швидкість, неспіввісність валів, динаміка приводу та умови монтажу.\u003C\u002Fp>",[],{"id":141,"parent_id":9,"code":9,"slug":142,"name":143,"seo_title":144,"seo_description":145,"seo_text":146,"content":147,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":142,"children":149},40,"teoretychna-mekhanika","Теоретична механіка","Теоретична механіка — Статика, Кінематика, Динаміка","Базовий курс теоретичної механіки для студентів інженерних спеціальностей.","Теоретична механіка є базовою фізико-математичною дисципліною про закони механічного руху та рівноваги матеріальних тіл. Курс розділено на три класичні частини: Статику (рівновага сил), Кінематику (геометрія руху без урахування мас) та Динаміку (рух під дією сил). Подано основні аксіоми та теореми.","\u003Cp>\u003Cstrong>Теоретична механіка\u003C\u002Fstrong> — фундаментальна інженерна дисципліна, що вивчає загальні закони механічного руху та рівноваги матеріальних тіл. Вона формує математичну основу для подальшого вивчення опору матеріалів, теорії механізмів і машин, динаміки машин, будівельної механіки та інших інженерних дисциплін.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:theoretical-mechanics-branches}}\n\u003Ch2>Що вивчає теоретична механіка\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У межах курсу реальні тіла та механічні системи замінюють розрахунковими моделями: матеріальною точкою, абсолютно твердим тілом або системою матеріальних точок. Це дозволяє виділити основні закономірності руху й рівноваги та описати їх математично.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Курс складається з трьох основних розділів: \u003Cstrong>статики, кінематики та динаміки\u003C\u002Fstrong>. Вони вивчаються послідовно — від сил і рівноваги до опису руху та встановлення причин цього руху.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Статика\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Статика\u003C\u002Fstrong> вивчає системи сил та умови рівноваги матеріальних тіл. У цьому розділі розглядаються сила та її проєкції, момент сили, пара сил, зведення систем сил, в’язі та реакції в’язей, рівновага плоских і просторових систем, розподілені навантаження, центр ваги та тертя.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Основна практична мета статики — навчитися будувати розрахункову схему, правильно показувати зовнішні сили й реакції опор та складати незалежні рівняння рівноваги.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Кінематика\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Кінематика\u003C\u002Fstrong> описує механічний рух без аналізу сил, що його спричиняють. Основними характеристиками є положення, траєкторія, швидкість, прискорення, кутова швидкість і кутове прискорення.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Розділ охоплює кінематику матеріальної точки, поступальний та обертальний рух твердого тіла, плоскопаралельний рух, складний рух точки, прискорення Коріоліса, сферичний і загальний рух вільного твердого тіла.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Динаміка\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Динаміка\u003C\u002Fstrong> встановлює зв’язок між рухом тіл та силами, що його викликають. Тут використовуються закони Ньютона, диференціальні рівняння руху, теореми про кількість руху, кінетичний момент і кінетичну енергію, а також закони збереження.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Для механічних систем розглядаються рух центра мас, загальні теореми динаміки, принцип Даламбера, можливі переміщення, загальне рівняння динаміки та рівняння Лагранжа другого роду. Завершує курс вступ до малих коливань системи з одним ступенем вільності.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Як працювати з курсом\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Рекомендується проходити матеріал у порядку \u003Cstrong>Статика → Кінематика → Динаміка\u003C\u002Fstrong>. У кожній темі спочатку розберіть фізичний зміст понять і припущення моделі, потім основні рівняння та алгоритм їх застосування. Після цього переходьте до задач — саме розв’язування задач формує навичку вибору правильної механічної моделі та методу розрахунку.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Позначення та одиниці\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У формулах використовуються загальноприйняті векторні й скалярні позначення механіки. Якщо не зазначено інше, фізичні величини слід подавати в узгодженій системі одиниць, переважно SI: довжина — у метрах, час — у секундах, маса — у кілограмах, сила — у ньютонах, момент сили — у Н·м.\u003C\u002Fp>",4,[150,349,527],{"id":151,"parent_id":141,"code":9,"slug":152,"name":153,"seo_title":154,"seo_description":155,"seo_text":156,"content":157,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":152,"children":158},133,"statyka","Статика","Статика — сили, моменти та рівновага | Теормех","Статика в теоретичній механіці: сили, моменти, в’язі та умови рівноваги. Коротка теорія, формули й практичні задачі для студентів.","Статика — розділ теоретичної механіки, що вивчає умови рівноваги тіл під дією сил. Тут зібрано теорію про сили та їх проекції, моменти, в’язі й реакції, системи сил та рівняння рівноваги, а також практичні задачі для закріплення методів розрахунку.","\u003Cp>Статика вивчає умови рівноваги матеріальних тіл під дією сил. У цьому розділі послідовно розглядаються сили та їх проєкції, моменти, в’язі й реакції, системи сил і рівняння рівноваги.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>Під час розрахунку реальний об’єкт замінюють розрахунковою схемою: тіло звільняють від в’язей, а їх дію показують відповідними реакціями. Після вибору системи координат усі сили проєктують на осі та визначають їх моменти відносно зручної точки.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Cp>Рівновага не означає відсутність сил. Сили можуть діяти одночасно, але їх рівнодійна та сумарний момент мають дорівнювати нулю. Тому правильно складена схема вільного тіла є головною передумовою правильного розв’язання задачі.\u003C\u002Fp>\n\n{{chunk:statics-equilibrium-overview}}",[159,225,279,313],{"id":160,"parent_id":151,"code":9,"slug":161,"name":162,"seo_title":163,"seo_description":164,"seo_text":165,"content":166,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":161,"children":167},270,"osnovy-syl-i-momentiv","Основи сил і моментів","Основи сил і моментів у статиці","Сила, проєкції, моменти, пари сил, рівнодійна та зведення систем сил у теоретичній механіці.","Базовий блок статики про сили, їх проєкції та моменти, пари сил, додавання сил і зведення системи сил до заданого центра.","\u003Cp>\u003Cstrong>Основи сил і моментів\u003C\u002Fstrong> — вступний блок статики, у якому формуються способи математичного опису дії сил на тверде тіло. Сила розглядається як вектор, тому для розрахунків важливі її модуль, напрям, точка прикладання та проєкції на координатні осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сили та їх еквівалентні перетворення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кілька сил можуть утворювати систему сил. Для спрощення розрахунку систему замінюють еквівалентною — рівнодійною або головним вектором і головним моментом відносно вибраного центра. Такі перетворення не повинні змінювати механічну дію системи на тверде тіло.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент і пара сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Обертальну дію сили характеризує її момент. Пара сил має нульову рівнодійну, але створює чистий момент. Розуміння сил, моментів і правил зведення є основою для подальшого складання рівнянь рівноваги.\u003C\u002Fp>",[168,177,187,196,205,215],{"id":169,"parent_id":160,"code":9,"slug":170,"name":171,"seo_title":172,"seo_description":173,"seo_text":174,"content":175,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":170,"children":176},167,"osnovni-poniattia-statyky-syla-ta-systema-syl","Основні поняття статики. Сила та система сил","Сила та система сил у статиці — основні поняття","Що таке сила, система сил, рівнодійна та зрівноважена система. Базові поняття статики для подальшого вивчення моментів і рівноваги тіл.","Вступна тема зі статики пояснює поняття сили та системи сил, їх механічний зміст і базову термінологію. Матеріал готує до вивчення проекцій, моментів, рівнодійної та умов рівноваги твердого тіла.","\u003Cp>\u003Cstrong>Статика\u003C\u002Fstrong> — розділ теоретичної механіки, у якому вивчають умови рівноваги тіл під дією сил. Головна мета статики — навчитися замінювати складну систему сил простішою еквівалентною системою та встановлювати, коли тіло перебуває в рівновазі.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Сила\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Сила\u003C\u002Fstrong> — векторна фізична величина, що характеризує механічну взаємодію тіл. Дія сили визначається трьома основними характеристиками:\u003C\u002Fp>\n\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>модулем\u003C\u002Fstrong> сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>напрямом\u003C\u002Fstrong> дії;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>точкою прикладання\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch3>Як задають силу\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Силу зображають напрямленим відрізком — вектором. Початок вектора відповідає точці прикладання, напрям стрілки показує напрям дії сили, а довжина вектора в обраному масштабі характеризує її модуль.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:force-vector-characteristics}}\n\u003Cp>Пряма, вздовж якої напрямлена сила, називається \u003Cstrong>лінією дії сили\u003C\u002Fstrong>. У системі SI одиницею сили є \u003Cstrong>ньютон (Н)\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Система сил\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Системою сил\u003C\u002Fstrong> називають сукупність сил, що одночасно діють на тіло.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Залежно від розташування ліній дії розрізняють:\u003C\u002Fp>\n\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>колінеарні сили\u003C\u002Fstrong> — діють уздовж однієї прямої;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>збіжні сили\u003C\u002Fstrong> — їхні лінії дії перетинаються в одній точці;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>паралельні сили\u003C\u002Fstrong> — мають паралельні лінії дії;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>довільну плоску систему сил\u003C\u002Fstrong> — сили лежать в одній площині, але їхні лінії дії можуть мати довільне розташування;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>просторову систему сил\u003C\u002Fstrong> — сили не обмежені однією площиною.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n{{chunk:coplanar-force-system-types}}\n\u003Ch2>Еквівалентні системи сил\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Дві системи сил називають \u003Cstrong>еквівалентними\u003C\u002Fstrong>, якщо вони чинять на тверде тіло однакову механічну дію. У розрахунках складну систему сил часто замінюють простішою еквівалентною системою.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Рівнодійна\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Якщо систему сил можна замінити однією силою, яка має таку саму механічну дію, цю силу називають \u003Cstrong>рівнодійною\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Для двох сил, що діють уздовж однієї прямої в одному напрямі, модуль рівнодійної дорівнює сумі модулів сил. Якщо сили напрямлені протилежно — модуль рівнодійної дорівнює модулю їх різниці, а напрям збігається з напрямом більшої сили.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Рівновага\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Система сил називається \u003Cstrong>зрівноваженою\u003C\u002Fstrong>, якщо під її дією тіло не набуває прискорення. Для найпростішого випадку двох сил рівновага можлива, якщо сили:\u003C\u002Fp>\n\u003Cul>\u003Cli>рівні за модулем;\u003C\u002Fli>\u003Cli>протилежно напрямлені;\u003C\u002Fli>\u003Cli>діють уздовж однієї прямої.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>На тіло діють дві сили вздовж однієї прямої: 80 Н праворуч і 50 Н ліворуч. Рівнодійна має модуль 30 Н і напрямлена праворуч. Отже, система не є зрівноваженою.\u003C\u002Fp>",[],{"id":178,"parent_id":160,"code":9,"slug":179,"name":180,"seo_title":181,"seo_description":182,"seo_text":183,"content":184,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":179,"children":186},43,"proektsiyi-sil","Проекції сил","Проекції сил на осі координат — Статика","Правила знаходження проекцій сил на декартові осі у теоретичній механіці.","Проекція сили на вісь — це скалярна величина, яка дорівнює добутку модуля сили на косинус кута між вектором сили та додатним напрямком осі. У розділі детально розглянуто правила знаків при проектуванні сил на прямокутні осі X, Y, Z та складання рівнянь рівноваги сил у статиці.","\u003Cp>\u003Cstrong>Проекція сили на вісь\u003C\u002Fstrong> — це алгебраїчна величина, що дорівнює добутку модуля сили на косинус кута між напрямком сили та додатним напрямком осі.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Для сили \\(\\vec F\\), яка утворює з додатним напрямком осі \\(x\\) кут \\(\\alpha\\):\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[F_x = F\\cos\\alpha.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Знак проекції визначається напрямком сили відносно осі: якщо складова сили спрямована в додатний бік осі, проекція додатна; якщо у від’ємний — від’ємна. Якщо сила перпендикулярна до осі, її проекція на цю вісь дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Аналогічно визначають проекції на інші координатні осі. У просторовій системі координат силу можна подати через три ортогональні складові:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\vec F = F_x\\vec i + F_y\\vec j + F_z\\vec k.\\]\u003C\u002Fp>\n{{chunk:force-projections-spatial-components}}\n\u003Cp>Проекція рівнодійної системи сил на будь-яку вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій усіх сил системи на цю вісь:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[R_x = \\sum_i F_{ix}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Це правило дає змогу замінити геометричне додавання векторів алгебраїчним додаванням їхніх проекцій.\u003C\u002Fp>",2,[],{"id":188,"parent_id":160,"code":9,"slug":189,"name":190,"seo_title":191,"seo_description":192,"seo_text":193,"content":194,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":189,"children":195},139,"moment-syly-vidnosno-tochky-ta-osi","Момент сили відносно точки та осі","Момент сили відносно точки та осі — формули і задачі","Момент сили у статиці: плече сили, знак моменту, формули відносно точки та осі, координатний спосіб обчислення, приклади й задачі.","Момент сили — одна з основних величин статики, що характеризує здатність сили обертати тіло. У темі розглянуто момент сили відносно точки та осі, плече сили, правило знаків, векторне означення, координатне обчислення та зв’язок із рівняннями рівноваги. Матеріал підготовлено як теоретичну основу для розв’язування задач зі статики.","\u003Cp>\u003Cstrong>Момент сили\u003C\u002Fstrong> характеризує обертальну дію сили. Він залежить не лише від модуля сили, а й від положення її лінії дії відносно вибраної точки або осі.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Момент сили відносно точки\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Нехай сила \u003Cstrong>F\u003C\u002Fstrong> прикладена в точці A, а O — точка, відносно якої визначаємо момент. Проведемо радіус-вектор \u003Cstrong>r\u003C\u002Fstrong> від O до A. Момент сили відносно точки O визначають векторним добутком, а для модуля отримуємо основну практичну формулу.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:brief-svg-139-moment-point-axis}}\n{{chunk:moment-syly-vidnosno-tochky}}\n\u003Cp>Тут \u003Cstrong>d\u003C\u002Fstrong> — плече сили, тобто найкоротша (перпендикулярна) відстань від точки O до лінії дії сили.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch3>Напрям моменту\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Вектор моменту перпендикулярний до площини, у якій лежать \u003Cstrong>r\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>F\u003C\u002Fstrong>. Його напрям визначають за правилом правої руки: якщо пальці правої руки закручуються від \u003Cstrong>r\u003C\u002Fstrong> до \u003Cstrong>F\u003C\u002Fstrong>, великий палець показує напрям вектора моменту.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Момент сили відносно осі\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Момент сили відносно осі дорівнює проєкції вектора моменту відносно будь-якої точки цієї осі на напрям осі.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:brief-threejs-139-moment-axis}}\n{{chunk:moment-syly-vidnosno-osi}}\n\u003Cp>Знак моменту відносно осі визначають відповідно до додатного напряму осі та правила правої руки.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Практичний алгоритм\u003C\u002Fh2>\n{{chunk:alhorytm-moment-syly}}\n\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\u003Cli>Використовувати відстань від точки до точки прикладання сили замість перпендикулярної відстані до \u003Cstrong>лінії дії\u003C\u002Fstrong> сили.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Плутати момент відносно точки (вектор) і момент відносно осі (скалярну проєкцію).\u003C\u002Fli>\u003Cli>Не враховувати знак моменту або напрям осі.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":197,"parent_id":160,"code":9,"slug":198,"name":199,"seo_title":200,"seo_description":201,"seo_text":202,"content":203,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":198,"children":204},168,"para-syl-moment-pary","Пара сил. Момент пари","Пара сил і момент пари — формула M = Fd та властивості","Що таке пара сил у статиці: момент пари M = Fd, напрям, властивості, еквівалентність пар і правила додавання моментів.","Тема розглядає пару сил як систему двох рівних паралельних і протилежно напрямлених сил. Пояснюється момент пари, його властивості та застосування під час перетворення систем сил.","\u003Cp>\u003Cstrong>Пара сил\u003C\u002Fstrong> — це система двох паралельних сил, які рівні за модулем, протилежні за напрямком і не лежать на одній прямій.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Рівнодійна пари сил дорівнює нулю, тому пара не створює поступального ефекту. Її дія на тверде тіло зводиться до обертання.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:force-couple-interactive-moment}}\n\u003Ch2>Момент пари сил\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Момент пари визначають як добуток модуля однієї із сил на плече пари:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[M=F d,\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>де \\(F\\) — модуль кожної сили; \\(d\\) — найкоротша відстань між лініями дії сил, тобто \u003Cstrong>плече пари\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Знак моменту визначають за напрямком обертання, який створює пара. У плоскій задачі зазвичай момент проти годинникової стрілки вважають додатним, а за годинниковою — від’ємним.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Властивості пари сил\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Момент пари не залежить від вибору точки\u003C\u002Fstrong>, відносно якої обчислюють моменти сил.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Пару сил можна переносити в будь-яке місце площини її дії, не змінюючи механічного ефекту на абсолютно тверде тіло.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Дві пари еквівалентні, якщо їхні моменти однакові за модулем і напрямком.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Кілька пар сил можна замінити однією парою, момент якої дорівнює алгебраїчній сумі моментів заданих пар.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Вектор моменту пари\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У просторі момент пари є вектором \\(\\vec M\\), перпендикулярним до площини дії сил. Його напрям визначають за правилом правого гвинта.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>На відміну від моменту окремої сили відносно точки, вектор моменту пари є \u003Cstrong>вільним вектором\u003C\u002Fstrong>: його можна переносити паралельно самому собі.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Якщо дві сили по \\(F=100\\,\\text{Н}\\) утворюють пару з плечем \\(d=0{,}2\\,\\text{м}\\), то модуль моменту пари:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[M=100\\cdot0{,}2=20\\,\\text{Н}\\cdot\\text{м}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Якщо збільшити плече вдвічі та одночасно зменшити сили вдвічі, момент пари залишиться незмінним.\u003C\u002Fp>",[],{"id":206,"parent_id":160,"code":9,"slug":207,"name":208,"seo_title":209,"seo_description":210,"seo_text":211,"content":212,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":207,"children":214},169,"dodavannia-syl-rivnodiina-systemy-syl","Додавання сил. Рівнодійна системи сил","Додавання сил і рівнодійна — геометричний та аналітичний методи","Як додавати сили та знаходити рівнодійну системи сил: правило паралелограма, векторна сума, проекції на осі та аналітичний розрахунок.","Тема пояснює додавання сил та поняття рівнодійної системи сил. Розглядаються геометричний і аналітичний підходи, необхідні для подальшого зведення систем сил і складання умов рівноваги.","\u003Cp>Якщо на тіло діють кілька сил, їх часто замінюють однією еквівалентною силою — \u003Cstrong>рівнодійною\u003C\u002Fstrong>. Для двох сил, прикладених в одній точці, найпростіше це зробити за правилом паралелограма.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:force-addition-parallelogram}}\n\u003Ch2>Правило паралелограма\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Нехай у точці O прикладені дві сили \u003Cstrong>F\u003Csub>1\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>F\u003Csub>2\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fstrong>. Будуємо паралелограм, сторонами якого є вектори цих сил. Діагональ паралелограма, проведена з точки O, є рівнодійною:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>R = F\u003Csub>1\u003C\u002Fsub> + F\u003Csub>2\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Якщо кут між силами дорівнює α, модуль рівнодійної можна знайти за теоремою косинусів:\u003C\u002Fp>\n{{chunk:resultant-two-forces}}\n\u003Ch2>Правило трикутника\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Другу силу можна паралельно перенести так, щоб її початок збігся з кінцем першої сили. Тоді рівнодійна — це вектор, проведений від початку першої сили до кінця другої.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Правило трикутника дає той самий результат, що й правило паралелограма.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Важливі окремі випадки\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>α = 0°\u003C\u002Fstrong>: сили напрямлені однаково, тому R = F\u003Csub>1\u003C\u002Fsub> + F\u003Csub>2\u003C\u002Fsub>.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>α = 180°\u003C\u002Fstrong>: сили напрямлені протилежно, тому модуль рівнодійної дорівнює |F\u003Csub>1\u003C\u002Fsub> − F\u003Csub>2\u003C\u002Fsub>|.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>α = 90°\u003C\u002Fstrong>: сили взаємно перпендикулярні, тому модуль рівнодійної знаходять за теоремою Піфагора.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Додавання кількох сил\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для системи з багатьох сил правило трикутника застосовують послідовно: до першої сили додають другу, до отриманої суми — третю і так далі. Геометрично утворюється \u003Cstrong>силовий многокутник\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>У розрахунках зручніше додавати не самі вектори, а їхні проекції на координатні осі.\u003C\u002Fp>",5,[],{"id":216,"parent_id":160,"code":9,"slug":217,"name":218,"seo_title":219,"seo_description":220,"seo_text":221,"content":222,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":217,"children":224},170,"zvedennia-systemy-syl-do-zadanoho-tsentra","Зведення системи сил до заданого центра","Зведення системи сил до точки — головний вектор і головний момент","Як звести довільну систему сил до заданої точки: обчислити головний вектор R і головний момент M та використати їх для аналізу рівноваги.","Тема пояснює зведення довільної системи сил до заданого центра. Вводяться головний вектор і головний момент системи, що використовуються для аналізу еквівалентності систем сил та рівноваги.","\u003Cp>Довільну систему сил часто потрібно замінити простішою еквівалентною системою. Основний прийом статики — \u003Cstrong>зведення системи сил до заданого центра\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Перенесення сили в іншу точку\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Якщо силу перенести паралельно самій собі з точки A в точку O, механічна дія на тверде тіло зміниться. Щоб зберегти еквівалентність, разом із перенесеною силою потрібно додати пару сил, момент якої дорівнює моменту початкової сили відносно точки O.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Отже, одну силу можна перенести в іншу точку, якщо додати відповідний момент.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:force-system-reduction}}\n\u003Ch2>Головний вектор і головний момент\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Нехай на тіло діють сили \u003Cstrong>F\u003Csub>1\u003C\u002Fsub>, F\u003Csub>2\u003C\u002Fsub>, ..., F\u003Csub>n\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fstrong>. Після перенесення всіх сил у вибраний центр O отримуємо:\u003C\u002Fp>\n\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>головний вектор\u003C\u002Fstrong> системи сил — векторну суму всіх сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>головний момент\u003C\u002Fstrong> відносно центра O — суму моментів усіх сил відносно цієї точки.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n{{chunk:holovnyi-vektor-systemy-syl}}\n{{chunk:holovnyi-moment-systemy-syl}}\n\u003Cp>Таким чином, довільна система сил у загальному випадку еквівалентна силі \u003Cstrong>R\u003C\u002Fstrong>, прикладеній у центрі O, та моменту \u003Cstrong>M\u003Csub>O\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Залежність від вибору центра\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Головний вектор \u003Cstrong>R\u003C\u002Fstrong> не залежить від вибору центра зведення, оскільки він визначається лише сумою сил. Головний момент \u003Cstrong>M\u003Csub>O\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fstrong>, навпаки, у загальному випадку залежить від положення точки O.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Окремі випадки\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\u003Cli>Якщо \u003Cstrong>R = 0\u003C\u002Fstrong>, а \u003Cstrong>M\u003Csub>O\u003C\u002Fsub> ≠ 0\u003C\u002Fstrong>, система зводиться до пари сил.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Якщо \u003Cstrong>R ≠ 0\u003C\u002Fstrong> і головний момент можна усунути відповідним вибором точки, система зводиться до однієї рівнодійної.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Якщо \u003Cstrong>R = 0\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>M\u003Csub>O\u003C\u002Fsub> = 0\u003C\u002Fstrong>, система сил зрівноважена.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Практичний алгоритм\u003C\u002Fh2>\n\u003Col>\u003Cli>Вибрати центр зведення O.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти проекції всіх сил і обчислити головний вектор.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти моменти всіх сил відносно O.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити головний момент.\u003C\u002Fli>\u003Cli>За значеннями \u003Cstrong>R\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>M\u003Csub>O\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fstrong> визначити найпростіший еквівалент системи.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>",6,[],{"id":226,"parent_id":151,"code":9,"slug":227,"name":228,"seo_title":229,"seo_description":230,"seo_text":231,"content":232,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":227,"children":233},271,"rivnovaha-ploskykh-system","Рівновага плоских систем","Рівновага плоских систем сил","Умови рівноваги, в’язі, реакції, системи тіл і розподілені навантаження у плоских задачах статики.","Розділ об’єднує методи розрахунку рівноваги плоских систем сил, визначення реакцій в’язей, аналіз систем тіл і заміну розподілених навантажень рівнодійними.","\u003Cp>\u003Cstrong>Рівновага плоских систем\u003C\u002Fstrong> охоплює задачі, у яких сили діють в одній площині. Центральна ідея розділу — перехід від реальної конструкції до розрахункової схеми та визначення умов, за яких тверде тіло або система тіл не набуває прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>В’язі та реакції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Опори, шарніри, нитки та інші в’язі обмежують можливі переміщення тіла. У розрахунковій схемі їх дію замінюють реакціями, напрям і кількість невідомих компонент яких визначаються типом в’язі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння рівноваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для довільної плоскої системи сил використовують умови нульової суми проєкцій сил та нульової суми моментів. Для системи кількох тіл окремі елементи можна розглядати послідовно, враховуючи сили взаємодії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розподілені навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Навантаження, розподілені вздовж довжини або поверхні, у задачах рівноваги часто замінюють еквівалентною рівнодійною, положення якої визначається законом розподілу навантаження.\u003C\u002Fp>",[234,243,252,261,270],{"id":235,"parent_id":226,"code":9,"slug":236,"name":237,"seo_title":238,"seo_description":239,"seo_text":240,"content":241,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":236,"children":242},171,"umovy-rivnovahy-ploskoi-systemy-syl","Умови рівноваги плоскої системи сил","Рівновага плоскої системи сил — рівняння ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0","Основні рівняння рівноваги плоскої системи сил: суми проекцій на осі та моментів, вибір точки моментів і визначення невідомих реакцій.","Тема систематизує умови рівноваги плоскої системи сил. Розглядаються рівняння проекцій сил і моментів та їх застосування для визначення невідомих сил і реакцій у задачах статики.","\u003Cp>\u003Cstrong>Рівновага плоскої системи сил\u003C\u002Fstrong> означає, що головний вектор системи та її головний момент дорівнюють нулю. Для твердого тіла на площині це дає три незалежні скалярні рівняння, за допомогою яких визначають невідомі сили та реакції в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основна форма рівнянь рівноваги\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-planar-equilibrium-equations}}\u003Cp>Перші два рівняння виключають поступальну дію системи вздовж координатних осей, а третє — її обертальну дію. Якщо всі три умови виконані, тіло не має тенденції до поступального або обертального руху під дією розглянутих сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір координатних осей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Осі $x$ і $y$ можна обирати довільно, але зручний вибір значно спрощує обчислення. Часто одну вісь спрямовують уздовж похилої поверхні, стрижня або напряму кількох відомих сил. Після вибору осей потрібно послідовно дотримуватися знаків проекцій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір точки для моментів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Точку $O$ доцільно вибирати так, щоб через неї проходили лінії дії однієї або кількох невідомих реакцій. Їх моменти відносно цієї точки тоді дорівнюють нулю, і рівняння містить менше невідомих.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Еквівалентні форми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для довільної плоскої системи сил замість двох рівнянь проекцій і одного рівняння моментів можна використовувати інші незалежні набори рівнянь. Наприклад, можливі два рівняння моментів відносно різних точок і одне рівняння проекцій, якщо вибрані рівняння залишаються незалежними. У задачах важливо не лише мати три записи, а й уникати їх геометричної залежності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Окремі системи сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для збіжної плоскої системи всі лінії дії проходять через одну точку, тому рівновага визначається двома незалежними умовами $\\sum F_x=0$ і $\\sum F_y=0$. Для системи паралельних сил зазвичай достатньо рівняння проекцій уздовж напряму сил та одного незалежного рівняння моментів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На тіло діють горизонтальні сили 8 кН праворуч і невідома сила $P$ ліворуч, а вертикальні сили 5 кН вгору і 5 кН вниз. Із $\\sum F_x=0$ отримуємо $8-P=0$, звідки $P=8$ кН. Вертикальна умова вже виконується. Для повної рівноваги потрібно також перевірити $\\sum M_O=0$, оскільки навіть за нульової суми сил система може створювати пару.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розв’язування\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>відокремити тіло або систему тіл, що розглядається;\u003C\u002Fli>\u003Cli>показати всі активні сили та реакції в’язей;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обрати координатні осі й правило знаків моментів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>записати проекції сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обрати зручну точку для рівняння моментів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>скласти незалежні рівняння рівноваги та знайти невідомі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>перевірити знаки, одиниці й фізичний зміст результату.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>пропускати одну з реакцій опори;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати знак сили зі знаком її проекції;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати неправильне плече сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати задані моменти пар сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>складати залежні рівняння замість незалежних.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":244,"parent_id":226,"code":9,"slug":245,"name":246,"seo_title":247,"seo_description":248,"seo_text":249,"content":250,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":245,"children":251},172,"viazi-ta-reaktsii-viazei","В’язі та реакції в’язей","В’язі та реакції опор у статиці — шарнір, ролик, защемлення","Як визначати реакції в’язей у статиці: роликові й шарнірні опори, защемлення, нитки та гладкі контакти для правильної розрахункової схеми.","Тема розглядає механічні в’язі та сили реакцій, якими їх замінюють у розрахунковій схемі. Пояснюються типові опори, шарніри, нитки й контакти та напрямки відповідних реакцій.","\u003Cp>\u003Cstrong>В’язі\u003C\u002Fstrong> — це тіла або пристрої, які обмежують можливі переміщення розглядуваного тіла. У задачах статики дію в’язі замінюють її \u003Cstrong>реакцією\u003C\u002Fstrong>, після чого тіло розглядають як вільне під дією заданих сил і реакцій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип звільнення від в’язей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Щоб скласти рівняння рівноваги, тіло уявно звільняють від в’язей. Кожну вилучену в’язь замінюють силою реакції або системою сил і моментів, які відтворюють її механічну дію. Напрям і кількість невідомих складових визначаються тим, які переміщення ця в’язь забороняє.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові в’язі на площині\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-constraint-reactions}}\n{{chunk:constraint-reaction-types}}\u003Ch2>Гладкий контакт\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для ідеально гладкої поверхні тертям нехтують. Реакція контакту напрямлена по спільній нормалі до поверхонь у точці контакту. Якщо поверхня плоска, напрям реакції відомий наперед, а невідомим залишається її модуль.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нитки, троси та двосилові стрижні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ідеальна гнучка нитка або трос передає лише розтягувальне зусилля, тому сила натягу напрямлена вздовж нитки. Прямий стрижень, на який діють сили лише у двох шарнірах на його кінцях, є двосиловим елементом: кінцеві сили лежать на одній прямій уздовж осі стрижня, мають однакові модулі й протилежні напрями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Шарнірні опори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Шарнірно-рухома опора в плоскій моделі створює одну реакцію в напрямі, в якому вона забороняє переміщення. Шарнірно-нерухома опора забороняє два незалежні поступальні переміщення, тому її реакцію зазвичай подають двома невідомими складовими $R_x$ і $R_y$. Ідеальний шарнір не передає реактивного моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Жорстке защемлення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Защемлення на площині забороняє два поступальні переміщення та поворот. Тому його дія замінюється двома складовими реакції $R_x$, $R_y$ і реактивним моментом $M$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Схема вільного тіла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після звільнення від в’язей будують схему вільного тіла. На ній потрібно показати всі задані сили, прикладені моменти, вагу тіла, якщо вона враховується, та всі реакції в’язей. Саме до цієї схеми застосовують рівняння рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Балка на шарнірно-нерухомій опорі $A$ і шарнірно-рухомій опорі $B$ у типовій плоскій схемі має три невідомі реакції: $A_x$, $A_y$ та $B_y$, якщо реакція рухомої опори вертикальна. Це відповідає трьом незалежним рівнянням рівноваги плоского твердого тіла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>залишати опору на схемі й одночасно показувати її реакції;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати реактивний момент до ідеального шарніра;\u003C\u002Fli>\u003Cli>задавати довільний напрям реакції гладкої поверхні замість нормалі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що трос може передавати стиск;\u003C\u002Fli>\u003Cli>пропускати одну зі складових реакції защемлення.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":253,"parent_id":226,"code":9,"slug":254,"name":255,"seo_title":256,"seo_description":257,"seo_text":258,"content":259,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":254,"children":260},173,"rivnovaha-tverdoho-tila-na-ploshchyni","Рівновага твердого тіла на площині","Рівновага твердого тіла на площині — реакції опор крок за кроком","Як розв’язувати задачі рівноваги твердого тіла на площині: побудова схеми вільного тіла, реакції опор, ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0.","Тема присвячена практичному застосуванню рівнянь статики до твердого тіла на площині. Розглядаються побудова розрахункової схеми, заміна в’язей реакціями та визначення невідомих сил.","\u003Cp>У практичних задачах статики \u003Cstrong>рівновагу твердого тіла на площині\u003C\u002Fstrong> досліджують за схемою вільного тіла. Реальні опори й контакти замінюють реакціями, після чого до ізольованого тіла застосовують рівняння рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Схема вільного тіла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Схема вільного тіла повинна містити лише тіло, яке аналізують, та всі зовнішні сили й моменти, що на нього діють. В’язі на схемі не залишають: замість них показують відповідні реакції. Внутрішні сили самого ізольованого тіла на такій схемі не наносять.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-planar-rigid-body-procedure}}\u003Ch2>Статична визначуваність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для одного абсолютно твердого тіла під дією довільної плоскої системи сил доступні три незалежні рівняння рівноваги. Якщо після правильної заміни в’язей маємо не більше трьох незалежних невідомих реакцій і рівнянь достатньо для їх однозначного визначення, задача може бути статично визначуваною. Надлишок невідомих реакцій зазвичай потребує додаткових співвідношень деформацій і виходить за межі статики абсолютно твердого тіла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зручний порядок рівнянь\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Часто найвигідніше почати з рівняння моментів відносно точки, де перетинаються лінії дії кількох невідомих реакцій. Так ці реакції одразу виключаються з рівняння. Після знаходження однієї невідомої використовують рівняння проекцій для решти.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад: проста балка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Балка довжиною 6 м спирається на шарнір у точці $A$ та рухому опору в точці $B$. Посередині діє вертикальна сила $P=12$ кН униз. Для вертикального навантаження $A_x=0$. Із моментів відносно $A$: $B_y\\cdot6-12\\cdot3=0$, тому $B_y=6$ кН. Із $\\sum F_y=0$ отримуємо $A_y+B_y-12=0$, звідки $A_y=6$ кН.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що означає від’ємна реакція\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Напрям невідомої реакції на початку розрахунку можна припустити довільно. Якщо отримане значення від’ємне, це не є помилкою саме по собі: фактичний напрям реакції протилежний до прийнятого на схемі. Водночас результат потрібно перевірити на відповідність фізичній моделі контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка розв’язку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після обчислення реакцій варто повторно перевірити суми проекцій і моментів, бажано взявши момент відносно іншої точки. Так можна виявити помилки у знаках, плечах сил або арифметиці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>будувати рівняння без попередньої схеми вільного тіла;\u003C\u002Fli>\u003Cli>неправильно моделювати реакцію опори;\u003C\u002Fli>\u003Cli>включати до рівнянь сили, які діють на інше тіло;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати момент пари сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>підміняти плече сили відстанню до точки її прикладання без перевірки перпендикулярності.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":262,"parent_id":226,"code":9,"slug":263,"name":264,"seo_title":265,"seo_description":266,"seo_text":267,"content":268,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":263,"children":269},174,"rivnovaha-systemy-til-metod-rozchlenuvannia","Рівновага системи тіл. Метод розчленування системи","Рівновага системи тіл і метод розчленування системи","Рівновага системи тіл у статиці та метод розчленування системи: окремі схеми тіл, сили взаємодії й рівняння рівноваги.","Тема пояснює рівновагу системи твердих тіл і метод розчленування системи, за яким рівновагу кожного тіла розглядають окремо. Розглядаються зовнішні та внутрішні сили, реакції внутрішніх шарнірів і двосилові елементи.","\u003Cp>\u003Cstrong>Система тіл\u003C\u002Fstrong> складається з кількох тіл, з’єднаних шарнірами, контактами, стрижнями або іншими в’язями. Для визначення не лише зовнішніх реакцій, а й сил взаємодії між частинами систему часто потрібно розчленувати та розглянути рівновагу кожного тіла окремо.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зовнішні та внутрішні сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для всієї системи сили взаємодії між її тілами є внутрішніми. Вони входять попарно й при розгляді системи як одного цілого взаємно компенсуються. Реакції зовнішніх опор і задані навантаження є зовнішніми силами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Метод розчленування\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-system-of-bodies-procedure}}\u003Ch2>Сили у внутрішньому шарнірі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У плоскій моделі ідеальний внутрішній шарнір може передавати дві складові сили, але не передає момент. Якщо на першому тілі в шарнірі прийнято сили $H_x$ і $H_y$, то на другому тілі діють сили $-H_x$ і $-H_y$. Ці сили не слід одночасно включати до схеми всієї системи як зовнішні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навіщо спочатку розглядати всю систему\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рівняння рівноваги всієї конструкції часто дозволяють знайти частину зовнішніх реакцій без введення внутрішніх сил. Після цього розчленування дає додаткові рівняння для визначення реакцій у шарнірах та інших з’єднаннях. Такий порядок зазвичай зменшує кількість невідомих у кожному рівнянні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад: дві балки з внутрішнім шарніром\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай дві балки $AC$ і $CB$ з’єднані внутрішнім шарніром $C$ та мають зовнішні опори в $A$ і $B$. Після аналізу всієї системи її можна розділити в точці $C$. На балку $AC$ у шарнірі діють $C_x$ і $C_y$, а на балку $CB$ — рівні за модулем сили $-C_x$ і $-C_y$. Для кожної балки окремо складають власні рівняння рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Двосилові елементи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо окреме пряме тіло з’єднане шарнірами лише у двох точках і не має інших навантажень, воно є двосиловим елементом. Сили на його кінцях повинні бути колінеарними, рівними за модулем і протилежними за напрямом. Це дозволяє замість двох невідомих складових використовувати одну невідому осьову силу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після розв’язання потрібно перевірити, що сили взаємодії на парних схемах мають однакові модулі й протилежні напрями. Також корисно підставити знайдені зовнішні реакції назад у рівняння рівноваги всієї системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати внутрішні сили зовнішніми при аналізі всієї системи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>показувати однаковий напрям сили шарніра на обох відокремлених тілах;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати реактивний момент в ідеальному внутрішньому шарнірі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не використовувати властивість двосилового елемента;\u003C\u002Fli>\u003Cli>складати рівняння для частини конструкції без повної схеми вільного тіла.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":271,"parent_id":226,"code":9,"slug":272,"name":273,"seo_title":274,"seo_description":275,"seo_text":276,"content":277,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":272,"children":278},175,"rozpodilene-navantazhennia-ta-ioho-rivnodiina","Розподілене навантаження та його рівнодійна","Розподілене навантаження — як знайти рівнодійну та точку прикладання","Як замінити розподілене навантаження рівнодійною: площа епюри інтенсивності та положення центра для рівномірного, трикутного й трапецієподібного навантаження.","Тема розглядає розподілені навантаження та їх заміну еквівалентною зосередженою силою. Пояснюється визначення величини рівнодійної та положення точки її прикладання для типових законів розподілу.","\u003Cp>\u003Cstrong>Розподілене навантаження\u003C\u002Fstrong> діє не в одній точці, а безперервно вздовж певної довжини або по поверхні. У задачах статики для балки таке навантаження зазвичай описують інтенсивністю \\(q\\), тобто силою на одиницю довжини, наприклад Н\u002Fм або кН\u002Fм.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Розподіленим навантаженням можна моделювати власну вагу елемента, тиск уздовж балки або велику кількість близько розташованих сил, які зручніше замінити одним неперервним навантаженням.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Види розподіленого навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Інтенсивність навантаження може бути сталою або змінюватися вздовж елемента. Найчастіше зустрічаються:\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Рівномірно розподілене навантаження:\u003C\u002Fstrong> інтенсивність стала на всій завантаженій ділянці. Його епюра має форму прямокутника.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Трикутне навантаження:\u003C\u002Fstrong> інтенсивність лінійно змінюється від нуля до максимального значення або навпаки.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Трапецієподібне навантаження:\u003C\u002Fstrong> інтенсивність лінійно змінюється між двома ненульовими значеннями.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Довільне нерівномірне навантаження:\u003C\u002Fstrong> інтенсивність змінюється за деяким законом \\(q(x)\\), а епюра може бути криволінійною.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>У рівняннях рівноваги розподілене навантаження часто замінюють однією \u003Cstrong>еквівалентною зосередженою силою\u003C\u002Fstrong> — його рівнодійною. Така заміна має зберігати і сумарну силу, і її момент.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівномірно розподілене навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Почнемо з найпростішого випадку. Якщо стала інтенсивність \\(q\\) діє на довжині \\(L\\), рівнодійна дорівнює\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[R=qL.\\]\u003C\u002Fp>\u003Cp>Вона прикладена посередині завантаженої ділянки:\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[x_R=\\frac{L}{2}.\\]\u003C\u002Fp>\u003Cp>Це легко побачити з прямокутної епюри: її площа дорівнює \\(qL\\), а центр ваги розташований посередині.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Трикутне навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо інтенсивність лінійно змінюється від нуля до \\(q_{max}\\), епюра має форму трикутника. Рівнодійна дорівнює площі цього трикутника:\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[R=\\frac{q_{max}L}{2}.\\]\u003C\u002Fp>\u003Cp>Лінія дії рівнодійної проходить через центр ваги трикутника: на відстані \\(2L\u002F3\\) від кінця з нульовою інтенсивністю або \\(L\u002F3\\) від кінця з максимальною інтенсивністю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Трапецієподібне навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Трапецієподібне навантаження найпростіше розкласти на дві знайомі частини: рівномірне прямокутне навантаження та трикутне. Для кожної частини визначають власну рівнодійну і прикладають її в центрі ваги відповідної фігури, після чого сили об'єднують з урахуванням їхніх моментів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Загальне правило: площа та центр ваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У всіх попередніх випадках працює одне геометричне правило: \u003Cstrong>величина рівнодійної дорівнює площі епюри розподіленого навантаження\u003C\u002Fstrong>, а її лінія дії проходить через \u003Cstrong>центр ваги цієї площі\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>{{chunk:distributed-load-resultant-builder}}\u003Cp>Для прямокутної, трикутної та складеної з простих фігур епюри цього правила зазвичай достатньо — інтегрування не потрібне.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Довільне нерівномірне навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо інтенсивність змінюється за довільним законом \\(q(x)\\), те саме правило площі та центра ваги записують у загальному математичному вигляді. Для навантаження на ділянці від \\(x=a\\) до \\(x=b\\):\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[R=\\int_a^b q(x)\\,dx.\\]\u003C\u002Fp>\u003Cp>Положення рівнодійної визначають з умови рівності моментів:\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[x_R=\\frac{\\int_a^b xq(x)\\,dx}{\\int_a^b q(x)\\,dx}.\\]\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, інтегральні формули — це не окремий новий метод, а узагальнення того самого правила площі та центра ваги, яке використовується для прямокутних, трикутних і трапецієподібних епюр.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навантаження, що змінює напрям\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо \\(q(x)\\) змінює напрям, додатні та від'ємні частини епюри враховують алгебраїчно відповідно до прийнятої системи знаків. Формула для \\(x_R\\) застосовна, коли \\(R\\ne0\\). Якщо сумарна рівнодійна дорівнює нулю, розподілена система може зводитися до чистого моменту.\u003C\u002Fp>",[],{"id":280,"parent_id":151,"code":9,"slug":281,"name":282,"seo_title":283,"seo_description":284,"seo_text":285,"content":286,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":281,"children":287},272,"prostorova-statyka","Просторова статика","Просторова статика та рівновага систем сил","Просторові системи сил, умови їх рівноваги, центр паралельних сил і центр ваги.","Розділ присвячено просторовим системам сил, рівнянням рівноваги у просторі та визначенню центра паралельних сил і центра ваги.","\u003Cp>\u003Cstrong>Просторова статика\u003C\u002Fstrong> узагальнює методи статики на тривимірні системи сил. Сили та моменти тут мають три компоненти, тому для повного опису рівноваги необхідно враховувати як поступальну, так і обертальну дію відносно трьох координатних осей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Просторова система сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Довільну систему сил у просторі можна характеризувати головним вектором і головним моментом відносно вибраного центра. Для рівноваги обидві ці величини повинні дорівнювати нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння рівноваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У загальному випадку отримують шість скалярних умов: три для проєкцій сил і три для моментів відносно координатних осей. Правильний вибір осей і точок для обчислення моментів часто суттєво спрощує розрахунок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Центр паралельних сил і центр ваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Окремий клас задач пов’язаний із системами паралельних сил. Їх результуюча проходить через центр паралельних сил; для сил тяжіння однорідного поля відповідне поняття приводить до центра ваги тіла.\u003C\u002Fp>",[288,297,305],{"id":289,"parent_id":280,"code":9,"slug":290,"name":291,"seo_title":292,"seo_description":293,"seo_text":294,"content":295,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":290,"children":296},176,"prostorova-systema-syl","Просторова система сил","Просторова система сил — теоретична механіка","Просторова система сил у статиці: проекції сил, моменти відносно осей, головний вектор і головний момент у тривимірних задачах.","Тема переносить основні поняття статики на просторові системи сил. Розглядаються складові сил у трьох вимірах, моменти та характеристики системи, потрібні для аналізу просторової рівноваги.","\u003Cp>\u003Cstrong>Просторова система сил\u003C\u002Fstrong> — система, у якій лінії дії сил не обмежені однією площиною. Для її аналітичного опису використовують три координатні осі, векторні моменти та правила векторного добутку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила у просторі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У декартовій системі координат силу записують як $\\vec F=F_x\\vec i+F_y\\vec j+F_z\\vec k$. Три проекції однозначно задають вектор сили, а їх знаки визначають напрями складових уздовж координатних осей.\u003C\u002Fp>{{chunk:statics-force-magnitude-3d}}\u003Ch2>Напрямні косинуси\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\alpha$, $\\beta$ і $\\gamma$ — кути між вектором сили та додатними напрямами осей $x$, $y$, $z$, то $F_x=F\\cos\\alpha$, $F_y=F\\cos\\beta$, $F_z=F\\cos\\gamma$. Для напрямних косинусів виконується тотожність $\\cos^2\\alpha+\\cos^2\\beta+\\cos^2\\gamma=1$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила вздовж заданої прямої\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сила напрямлена від точки $A(x_A,y_A,z_A)$ до точки $B(x_B,y_B,z_B)$, спочатку утворюють вектор $\\overrightarrow{AB}$. Після нормування отримують одиничний вектор $\\vec e_{AB}=\\overrightarrow{AB}\u002F|\\overrightarrow{AB}|$, а силу записують як $\\vec F=F\\vec e_{AB}$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент сили відносно точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Момент сили $\\vec F$, прикладеної в точці $A$, відносно точки $O$ визначається векторним добутком $\\vec M_O=\\vec r\\times\\vec F$, де $\\vec r=\\overrightarrow{OA}$. Вектор моменту перпендикулярний до площини, утвореної $\\vec r$ і $\\vec F$, а його напрям визначають правилом правої руки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент сили відносно осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Момент відносно координатної або довільної осі дорівнює проекції вектора моменту сили на цю вісь. Якщо $\\vec e$ — одиничний вектор осі, то $M_{axis}=\\vec e\\cdot(\\vec r\\times\\vec F)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головний вектор і головний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи просторових сил головний вектор дорівнює $\\vec R=\\sum\\vec F_i$, а головний момент відносно центра $O$ — $\\vec M_O=\\sum(\\vec r_i\\times\\vec F_i)+\\sum\\vec M_j$. У тривимірній задачі кожен із цих векторів має три координатні складові.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай сила має проекції $F_x=3$ кН, $F_y=4$ кН і $F_z=12$ кН. Її модуль становить $F=\\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13$ кН. Вектор сили можна записати як $\\vec F=(3\\vec i+4\\vec j+12\\vec k)$ кН.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>використовувати плоску схему знаків для просторового векторного моменту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не нормувати вектор між двома точками перед множенням на заданий модуль сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати момент відносно точки з його проекцією на вісь;\u003C\u002Fli>\u003Cli>міняти порядок множників у $\\vec r\\times\\vec F$, що змінює знак моменту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати одну з трьох складових сили або моменту.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":298,"parent_id":280,"code":9,"slug":299,"name":300,"seo_title":300,"seo_description":301,"seo_text":302,"content":303,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":299,"children":304},177,"umovy-rivnovahy-prostorovoi-systemy-syl","Умови рівноваги просторової системи сил","Рівняння рівноваги просторової системи сил: суми проекцій сил і моментів відносно координатних осей для тривимірних задач.","Тема систематизує умови рівноваги довільної просторової системи сил. Розглядаються рівняння для проекцій сил і моментів та їх використання для визначення реакцій і невідомих навантажень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Рівновага твердого тіла у просторі\u003C\u002Fstrong> вимагає одночасної відсутності поступальної та обертальної дії системи сил. У векторній формі це означає $\\sum\\vec F=0$ і $\\sum\\vec M_O=0$. Після проєктування на три координатні осі отримують шість скалярних умов.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Загальні рівняння рівноваги\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-spatial-equilibrium-equations}}\u003Cp>Для одного абсолютно твердого тіла ці шість незалежних рівнянь є основним інструментом визначення невідомих реакцій просторових опор і навантажень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Складові сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кожну просторову силу перед складанням рівнянь подають через компоненти $F_x$, $F_y$, $F_z$. Якщо напрям сили задано двома точками, спочатку визначають одиничний вектор її лінії дії, а потім множать його на модуль сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Складові моментів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Момент сили відносно точки $O$ обчислюють як $\\vec M_O=\\vec r\\times\\vec F$. Після цього вектор моменту розкладають на $M_x$, $M_y$, $M_z$. Прикладені пари сил також безпосередньо додають до відповідних складових сумарного моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір центра моментів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Як і в плоскій статиці, центр моментів можна вибирати з міркувань зручності. Якщо через точку проходять лінії дії кількох невідомих сил, їх моменти відносно цієї точки дорівнюють нулю. Проте в просторі потрібно уважно враховувати всі три складові векторного моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Реакції просторових в’язей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кількість невідомих реакцій визначається рухами, які забороняє в’язь. Наприклад, ідеалізоване жорстке просторове закріплення може передавати три складові сили та три складові моменту. Конкретну модель опори потрібно встановити до запису рівнянь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Спеціальні системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для просторової збіжної системи сил усі лінії дії проходять через одну точку, тому незалежними умовами є три рівняння проекцій сил. Для інших спеціальних систем кількість необхідних рівнянь може зменшуватися через їх геометричні властивості, але загальні шість рівнянь залишаються базовою формою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На точку діють сили з компонентами $\\vec F_1=(3,0,-4)$ кН, $\\vec F_2=(-3,5,0)$ кН і $\\vec F_3=(0,-5,4)$ кН. Суми всіх трьох проекцій дорівнюють нулю, тому ця збіжна система сил зрівноважена. Для довільної незбіжної системи додатково потрібно перевірити три рівняння моментів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розв’язування\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>побудувати просторову схему вільного тіла;\u003C\u002Fli>\u003Cli>замінити всі в’язі відповідними реакціями;\u003C\u002Fli>\u003Cli>подати сили через декартові компоненти;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обрати центр $O$ і визначити моменти сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>скласти рівняння $\\sum F_x=\\sum F_y=\\sum F_z=0$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>скласти рівняння $\\sum M_x=\\sum M_y=\\sum M_z=0$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>розв’язати систему та перевірити фізичний зміст знайдених реакцій.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>пропускати одну з трьох складових сили або моменту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>неправильно визначати напрям одиничного вектора сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати момент сили відносно точки з моментом відносно осі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>порушувати порядок векторного добутку $\\vec r\\times\\vec F$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати шість рівнянь, не перевіривши правильність моделі просторових в’язей.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":306,"parent_id":280,"code":9,"slug":307,"name":308,"seo_title":308,"seo_description":309,"seo_text":310,"content":311,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":307,"children":312},178,"tsentr-paralelnykh-syl-i-tsentr-vahy","Центр паралельних сил і центр ваги","Центр паралельних сил і центр ваги: координати центра, симетрія та визначення положення центра ваги тіл і плоских фігур у статиці.","Тема пояснює поняття центра паралельних сил і центра ваги. Розглядаються способи визначення координат центра, використання симетрії та застосування до складених тіл і плоских фігур.","\u003Cp>\u003Cstrong>Центр паралельних сил\u003C\u002Fstrong> — точка, через яку проходить лінія дії рівнодійної системи паралельних сил при незмінному взаємному розташуванні точок їх прикладання. Поняття центра ваги є важливим фізичним застосуванням цієї ідеї.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Координати центра паралельних сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для паралельних сил $F_i$, напрямлених уздовж однієї осі, координати центра визначають із рівності моментів. Наприклад, $x_C=\\sum F_i x_i\u002F\\sum F_i$ і $y_C=\\sum F_i y_i\u002F\\sum F_i$, якщо знаменник не дорівнює нулю. Сили протилежних напрямів враховують зі знаками.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Центр ваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сили тяжіння окремих частинок тіла практично паралельні в однорідному полі тяжіння. Точка прикладання їх рівнодійної називається \u003Cstrong>центром ваги\u003C\u002Fstrong>. Для однорідного тіла центр ваги збігається з центром мас, а для однорідної тонкої пластини — з геометричним центром її площі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Складені плоскі фігури\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-composite-area-centroid}}\u003Cp>Цей спосіб особливо зручний для перерізів, які можна розбити на прямокутники, трикутники, круги та інші прості області. Отвори та вирізи враховують зі знаком мінус.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Використання симетрії\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо однорідна фігура має вісь симетрії, її центр лежить на цій осі. За наявності двох осей симетрії центр знаходиться в точці їх перетину. Симетрія часто дозволяє визначити одну або обидві координати без обчислень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Фігура складається з двох прямокутників площами $A_1=6$ см² і $A_2=4$ см², центри яких мають координати $x_1=2$ см і $x_2=7$ см. Тоді $x_C=(6\\cdot2+4\\cdot7)\u002F(6+4)=4$ см.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>змішувати координати, відраховані від різних початків;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати вирізи як від’ємні площі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати центр ваги неоднорідного тіла з геометричним центром його об’єму;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати середнє арифметичне координат замість зваженого середнього.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":314,"parent_id":151,"code":9,"slug":315,"name":316,"seo_title":317,"seo_description":318,"seo_text":319,"content":320,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":315,"children":321},273,"tertia","Тертя","Тертя у статиці — ковзання, рівновага і кочення","Закони тертя ковзання, рівновага тіл з урахуванням тертя та тертя кочення.","Розділ охоплює сухе тертя ковзання, закони Кулона, умови рівноваги за наявності тертя та модель тертя кочення.","\u003Cp>\u003Cstrong>Тертя\u003C\u002Fstrong> враховує сили опору, що виникають у зоні контакту тіл і перешкоджають їх відносному ковзанню або коченню. На відміну від ідеалізованих гладких контактів, реальні опори можуть передавати дотичні сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Тертя ковзання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сила сухого тертя спрямована проти тенденції відносного ковзання. У стані спокою її значення пристосовується до прикладеного навантаження до певної граничної величини, пов’язаної з нормальною реакцією та коефіцієнтом тертя.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівновага з тертям\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У задачах рівноваги напрям сили тертя визначають за можливим напрямом руху. Важливо розрізняти звичайний стан рівноваги та граничний стан, коли тіло перебуває на межі ковзання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Тертя кочення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Опір коченню пов’язаний із деформаціями контактуючих тіл та зміщенням результуючої контактної реакції. Його модель відрізняється від закону сухого тертя ковзання.\u003C\u002Fp>",[322,331,340],{"id":323,"parent_id":314,"code":9,"slug":324,"name":325,"seo_title":326,"seo_description":327,"seo_text":328,"content":329,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":324,"children":330},179,"tertia-kovzannia-zakony-kulona","Тертя ковзання. Закони Кулона","Тертя ковзання — сила тертя, коефіцієнт μ і закони Кулона","Формули сухого тертя ковзання: Fтр ≤ μN, граничне тертя, коефіцієнт μ, кут і конус тертя та закони Кулона для задач статики.","Тема розглядає сухе тертя ковзання та закони Кулона. Вводяться сила й коефіцієнт тертя, граничний стан, кут і конус тертя, необхідні для аналізу рівноваги тіл із шорсткими контактами.","\u003Cp\r\n  >\u003Cstrong>Сухе тертя ковзання\u003C\u002Fstrong> виникає в зоні контакту двох шорстких тіл і протидіє їх\r\n  відносному ковзанню або тенденції до нього. У найпростішій моделі Кулона дотичну силу тертя\r\n  пов’язують із нормальною реакцією контакту.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Сила тертя у стані спокою\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Поки тіло не ковзає, сила тертя пристосовується до зовнішнього навантаження в межах, необхідних\r\n  для рівноваги. Тому запис $F_{fr}=\\mu N$ не можна автоматично застосовувати до будь-якого стану\r\n  спокою.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Граничне тертя\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-coulomb-friction-limit}}\u003Cp\r\n  >Рівність виконується у граничному стані, коли тіло перебуває на межі ковзання. Напрям сили тертя\r\n  протилежний можливому напряму відносного руху.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Коефіцієнт тертя\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Коефіцієнт сухого тертя $\\mu$ є безрозмірною характеристикою контактної пари в межах прийнятої\r\n  моделі. Його значення залежить від матеріалів і стану поверхонь. У простій моделі Кулона граничну\r\n  силу тертя вважають пропорційною нормальній реакції.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Кут тертя\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Повна реакція шорсткої поверхні є векторною сумою нормальної реакції $N$ та сили тертя. У\r\n  граничному стані вона відхиляється від нормалі на кут тертя $\\varphi$, для якого\r\n  $\\tan\\varphi=\\mu$.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Конус тертя\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >У просторовій задачі можливий напрям граничної повної реакції утворює поверхню конуса навколо\r\n  нормалі до контакту. Якщо результуюча контактна реакція лежить усередині конуса тертя, контакт\r\n  може залишатися без ковзання; на поверхні конуса відповідає граничному стану.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Брусок притиснутий до горизонтальної поверхні нормальною силою $N=500$ Н, а коефіцієнт тертя\r\n  $\\mu=0{,}30$. Максимальна сила статичного тертя становить $F_{fr,max}=0{,}30\\cdot500=150$ Н. Якщо\r\n  горизонтальна зовнішня сила дорівнює 80 Н і інших горизонтальних сил немає, сила тертя у стані\r\n  рівноваги дорівнює 80 Н, а не 150 Н.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cul\r\n  >\u003Cli>завжди приймати $F_{fr}=\\mu N$ замість нерівності для статичного тертя;\u003C\u002Fli\r\n  >\u003Cli>задавати напрям тертя без аналізу можливого ковзання;\u003C\u002Fli\r\n  >\u003Cli>плутати нормальну реакцію з повною реакцією шорсткого контакту;\u003C\u002Fli\r\n  >\u003Cli>використовувати коефіцієнт тертя як величину з одиницями;\u003C\u002Fli\r\n  >\u003Cli\r\n    >не перевіряти, чи знайдена з рівнянь рівноваги сила тертя не перевищує граничне значення.\u003C\u002Fli\r\n  >\u003C\u002Ful\r\n>\r\n",[],{"id":332,"parent_id":314,"code":9,"slug":333,"name":334,"seo_title":335,"seo_description":336,"seo_text":337,"content":338,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":333,"children":339},180,"rivnovaha-za-naiavnosti-tertia","Рівновага за наявності тертя","Рівновага з тертям — як розв’язувати задачі статики","Як розв’язувати задачі рівноваги тіл із сухим тертям: визначити напрям сили тертя, перевірити Fтр ≤ μN і граничний стан та скласти рівняння рівноваги.","Тема присвячена розв’язуванню задач рівноваги за наявності сухого тертя. Пояснюються вибір напряму сили тертя, перевірка граничної умови та спільне використання законів тертя й рівнянь статики.","\u003Cp>У задачах \u003Cstrong>рівноваги за наявності тертя\u003C\u002Fstrong> звичайні рівняння статики доповнюють умовами сухого тертя. Головна відмінність від гладкого контакту полягає в тому, що реакція шорсткої поверхні має нормальну та дотичну складові.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Схема вільного тіла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реакцію шорсткого контакту зручно розкласти на нормальну реакцію $N$ і силу тертя $F_{fr}$. Нормальна складова перпендикулярна до поверхні, а сила тертя лежить у дотичному напрямі й протидіє можливому відносному ковзанню.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Послідовність перевірки\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-friction-equilibrium-check}}\u003Ch2>Похила площина\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тіла на похилій площині вага розкладається на складову вздовж площини $G\\sin\\alpha$ і нормальну складову $G\\cos\\alpha$. Якщо інших сил немає, для спокою потрібно $G\\sin\\alpha\\le\\mu G\\cos\\alpha$, тобто $\\tan\\alpha\\le\\mu$. Граничний кут відповідає куту тертя.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напрям сили тертя\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Напрям тертя визначають не за фактичним рухом, якого в задачі рівноваги немає, а за тенденцією до відносного ковзання без тертя. Якщо початкове припущення напряму виявилося протилежним, розраховане значення сили тертя буде від’ємним.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Гранична рівновага\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коли в умові сказано, що тіло перебуває на межі руху, починає ковзати або потрібно знайти мінімальну чи максимальну силу перед початком руху, зазвичай розглядають граничний стан $|F_{fr}|=\\mu N$. Для звичайної рівноваги слід використовувати нерівність.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Брусок вагою 1 кН лежить на горизонтальній поверхні з $\\mu=0{,}25$. Горизонтальна сила 180 Н потребує сили тертя 180 Н. Оскільки $F_{fr,max}=0{,}25\\cdot1000=250$ Н, рівновага можлива. Якщо горизонтальна сила зросте до 300 Н, статичне тертя вже не може забезпечити спокій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>відразу підставляти $F_{fr}=\\mu N$ без ознаки граничного стану;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не перевіряти отриману силу тертя за нерівністю;\u003C\u002Fli>\u003Cli>напрямляти тертя разом із тенденцією ковзання, а не проти неї;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати зміну нормальної реакції через похилі зовнішні сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати модель сухого тертя там, де умова задачі задає іншу модель контакту.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":341,"parent_id":314,"code":9,"slug":342,"name":343,"seo_title":344,"seo_description":345,"seo_text":346,"content":347,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":342,"children":348},181,"tertia-kochennia","Тертя кочення","Тертя кочення — статика","Тертя кочення у теоретичній механіці: природа опору коченню, момент опору та умови рівноваги коліс і циліндричних тіл.","Тема пояснює опір коченню та його відмінність від тертя ковзання. Розглядається момент опору коченню та використання відповідної моделі в задачах рівноваги коліс і циліндричних тіл.","\u003Cp>\u003Cstrong>Опір коченню\u003C\u002Fstrong> виникає під час кочення колеса, циліндра або іншого округлого тіла по реальній поверхні. На відміну від ідеального точкового контакту, контактна зона деформується, тому результуюча нормальна реакція може бути зміщена відносно геометричної вертикалі через центр тіла й створювати момент, що протидіє коченню.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Модель моменту опору\u003C\u002Fh2>{{chunk:statics-rolling-resistance-moment}}\u003Cp>Коефіцієнт $\\delta$ у цій моделі має одиниці довжини, наприклад метри або міліметри. Це принципова відмінність від безрозмірного коефіцієнта тертя ковзання $\\mu$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для абсолютно твердого колеса на абсолютно твердій поверхні ідеалізований опір коченню відсутній. У реальному контакті деформації колеса та опорної поверхні, гістерезис матеріалу й інші втрати створюють опір. У простій статичній моделі ці ефекти замінюють моментом опору або еквівалентним зміщенням нормальної реакції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Умова початку кочення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо зовнішні сили створюють відносно центра колеса рушійний момент, кочення починається тоді, коли цей момент перевищує максимально доступний момент опору коченню за прийнятою моделлю. При цьому окремо потрібно перевіряти умову відсутності ковзання в контакті, якщо в задачі враховується сухе тертя.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кочення і ковзання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Опір коченню та тертя ковзання — різні явища. Тертя в контакті може бути необхідним для кочення без проковзування, тоді як опір коченню описує втрати, що перешкоджають самому перекочуванню. Тому коефіцієнти $\\mu$ і $\\delta$ не можна взаємозамінювати.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для колеса з нормальною реакцією $N=2$ кН і коефіцієнтом опору коченню $\\delta=5$ мм маємо $M_{rr}=2000\\cdot0{,}005=10$ Н·м. Зовнішній рушійний момент має подолати цей опір, щоб за спрощеною моделлю почалося кочення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати $\\delta$ безрозмірним коефіцієнтом;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати опір коченню з силою тертя ковзання $\\mu N$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не переводити міліметри в метри при обчисленні моменту в Н·м;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати можливість ковзання при аналізі кочення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати просту модель $M_{rr}=N\\delta$ без урахування того, яка саме модель задана в умові задачі.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":350,"parent_id":141,"code":9,"slug":351,"name":352,"seo_title":353,"seo_description":354,"seo_text":355,"content":356,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":351,"children":357},134,"kinematyka","Кінематика","Кінематика — рух, швидкість і прискорення | Теормех","Кінематика в теоретичній механіці: положення, траєкторія, швидкість і прискорення точки та твердого тіла. Теорія, формули й задачі.","Кінематика вивчає геометричні характеристики механічного руху без аналізу сил, що його спричиняють. Розділ охоплює способи задання руху, траєкторію, швидкість і прискорення точки, а також основні види руху твердого тіла. Теорія доповнюється практичними задачами.","\u003Cp>Кінематика описує механічний рух без розгляду причин, які його викликають. Основні величини розділу — положення, переміщення, траєкторія, швидкість і прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Матеріал орієнтований на розв’язування задач: від визначення параметрів руху точки до аналізу поступального, обертального та плоскопаралельного руху твердого тіла.\u003C\u002Fp>",[358,402,445,477,503],{"id":359,"parent_id":350,"code":9,"slug":360,"name":361,"seo_title":362,"seo_description":363,"seo_text":364,"content":365,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":360,"children":366},278,"kinematyka-materialnoi-tochky","Кінематика матеріальної точки","Кінематика матеріальної точки — рух, швидкість і прискорення","Основи кінематики матеріальної точки: способи задання руху, траєкторія, швидкість, прискорення та типові окремі випадки руху.","Розділ об’єднує основні методи опису руху матеріальної точки, визначення її швидкості та прискорення і типові окремі випадки руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кінематика матеріальної точки\u003C\u002Fstrong> вивчає способи опису руху точки незалежно від причин, що цей рух викликають. Основне завдання — за заданим законом руху визначати положення точки, її траєкторію, швидкість і прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Задання руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рух можна описувати координатним, векторним або природним способом. Вибір способу залежить від геометрії задачі та від того, які характеристики руху потрібно знайти.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкість і прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Швидкість характеризує зміну положення точки в часі та напрямлена по дотичній до траєкторії. Прискорення характеризує зміну вектора швидкості й може бути розкладене на компоненти, пов’язані зі зміною модуля та напряму швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові закони руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Прямолінійний, рівномірний, рівноприскорений і криволінійний рух є базовими моделями, на яких відпрацьовуються зв’язки між координатою, швидкістю та прискоренням.\u003C\u002Fp>",[367,376,385,394],{"id":368,"parent_id":359,"code":9,"slug":369,"name":370,"seo_title":371,"seo_description":372,"seo_text":373,"content":374,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":369,"children":375},197,"kinematyka-tochky-sposoby-zadannia-rukhu","Кінематика точки. Способи задання руху","Кінематика точки та способи задання руху","Кінематика матеріальної точки: векторний, координатний і природний способи задання руху, траєкторія та закон руху.","Тема вводить кінематику точки та основні способи задання її руху: векторний, координатний і природний. Розглядаються закон руху, траєкторія та перехід між описами.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кінематика точки\u003C\u002Fstrong> описує рух матеріальної точки без аналізу сил, що його спричиняють. Основне завдання — встановити положення точки як функцію часу, її траєкторію, швидкість і прискорення відносно вибраної системи відліку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Система відліку та закон руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для опису руху задають тіло відліку, пов’язану з ним систему координат і спосіб вимірювання часу. Закон руху повинен дозволяти визначити положення точки в будь-який момент часу в межах розглядуваного інтервалу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні способи задання руху\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-particle-motion-description}}\u003Ch2>Векторний спосіб\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Радіус-вектор $\\vec r(t)$ сполучає початок координат із рухомою точкою. Сукупність кінців $\\vec r(t)$ при зміні часу утворює траєкторію. У декартовому базисі $\\vec r=x\\vec i+y\\vec j+z\\vec k$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Координатний спосіб\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рівняння $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$ називають кінематичними рівняннями руху. Щоб отримати рівняння траєкторії, параметр часу виключають із цих залежностей. Для плоского руху достатньо двох координат.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Природний спосіб\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо форма траєкторії вже відома, вибирають початок відліку дугової координати $O_1$, додатний напрям уздовж кривої та задають закон $s=s(t)$. Знак $s$ характеризує положення відносно початку відліку, а знак $\\dot s$ — напрям руху вздовж траєкторії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Траєкторія, шлях і переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Траєкторія\u003C\u002Fstrong> — геометричне місце послідовних положень точки. \u003Cstrong>Шлях\u003C\u002Fstrong> — довжина пройденої ділянки траєкторії, тому він не зменшується під час руху. \u003Cstrong>Переміщення\u003C\u002Fstrong> — вектор від початкового положення до кінцевого; його модуль загалом не дорівнює пройденому шляху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай плоский рух задано $x=2t$, $y=t^2$ у метрах. Виключаючи час із $t=x\u002F2$, одержуємо траєкторію $y=x^2\u002F4$ — параболу. Параметричні рівняння одночасно задають і положення точки на цій траєкторії в кожний момент.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати закон руху з рівнянням траєкторії;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати шлях модулем переміщення для довільного криволінійного руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>виключати час, втрачаючи інформацію про напрям або допустимий інтервал руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати природний спосіб без заданої траєкторії та напряму відліку $s$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":377,"parent_id":359,"code":9,"slug":378,"name":379,"seo_title":380,"seo_description":381,"seo_text":382,"content":383,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":378,"children":384},198,"shvydkist-tochky","Швидкість точки","Швидкість точки — формули v = dr\u002Fdt та проекції швидкості","Як знайти швидкість матеріальної точки: вектор v = dr\u002Fdt, декартові проекції, модуль і напрям швидкості та формула v = ds\u002Fdt для траєкторії.","Тема пояснює визначення швидкості матеріальної точки за векторним, координатним і природним способами задання руху та геометричний зміст вектора швидкості.","\u003Cp>\u003Cstrong>Швидкість точки\u003C\u002Fstrong> характеризує швидкість зміни її положення та напрям руху в даний момент. Середня швидкість описує зміну положення за скінченний проміжок часу, а миттєва швидкість визначається граничним переходом і є похідною радіус-вектора за часом.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вектор швидкості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для $\\vec r=\\vec r(t)$ миттєва швидкість дорівнює $\\vec v=d\\vec r\u002Fdt$. Вектор $\\vec v$ напрямлений по дотичній до траєкторії в бік руху точки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Координатний спосіб\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-particle-velocity-cartesian}}\u003Cp>Знаки $v_x$, $v_y$, $v_z$ показують, у якому напрямі змінюються відповідні координати. Нульова окрема проекція не означає, що точка нерухома.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Природний спосіб\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо положення задане дуговою координатою $s=s(t)$, алгебраїчна швидкість уздовж траєкторії дорівнює $v_s=ds\u002Fdt$. Векторно $\\vec v=(ds\u002Fdt)\\vec\\tau$, де $\\vec\\tau$ — одиничний дотичний вектор у додатному напрямі відліку $s$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Середня і миттєва швидкість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Середня векторна швидкість на інтервалі $\\Delta t$ дорівнює $\\Delta\\vec r\u002F\\Delta t$. Вона залежить від переміщення, а не від довжини пройденої траєкторії. При $\\Delta t\\to0$ середня швидкість переходить у миттєву.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для руху $x=3t^2$, $y=4t$ маємо $v_x=6t$, $v_y=4$. При $t=1$ с модуль швидкості $v=\\sqrt{6^2+4^2}=\\sqrt{52}\\approx7{,}21$ м\u002Fс. Напрям швидкості збігається з дотичною до траєкторії в цій точці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зупинка та зміна напряму\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Точка миттєво нерухома, якщо весь вектор швидкості дорівнює нулю. У прямолінійному русі зміна знака алгебраїчної швидкості означає зміну напряму руху; сам момент $v=0$ потрібно аналізувати разом із законом руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати середню швидкість із відношенням пройденого шляху до часу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обчислювати модуль швидкості як суму модулів її проекцій;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати знаки проекцій при визначенні напряму;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що $v_x=0$ означає повну зупинку точки.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":386,"parent_id":359,"code":9,"slug":387,"name":388,"seo_title":389,"seo_description":390,"seo_text":391,"content":392,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":387,"children":393},199,"pryskorennia-tochky","Прискорення точки","Прискорення точки — дотичне й нормальне прискорення, формули","Як знайти прискорення матеріальної точки: a = dv\u002Fdt, декартові проекції, дотична складова aτ і нормальна an = v²\u002Fρ при криволінійному русі.","Тема розглядає прискорення точки як похідну швидкості, його декартові проекції, а також дотичну й нормальну складові при криволінійному русі.","\u003Cp>\u003Cstrong>Прискорення точки\u003C\u002Fstrong> характеризує швидкість зміни вектора швидкості. Воно може виникати як через зміну модуля швидкості, так і через зміну її напряму.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вектор прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Миттєве прискорення визначають як $\\vec a=d\\vec v\u002Fdt=d^2\\vec r\u002Fdt^2$. На відміну від швидкості, вектор прискорення загалом не є дотичним до траєкторії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Координатні та природні складові\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-particle-acceleration-components}}\u003Ch2>Дотичне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Складова $a_\\tau=dv\u002Fdt$ описує зміну модуля швидкості. Якщо $a_\\tau>0$ у напрямі руху, швидкість за модулем зростає; якщо дотична складова протилежна швидкості — модуль швидкості зменшується.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нормальне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Складова $a_n=v^2\u002F\\rho$ зумовлена зміною напряму швидкості. Вона завжди напрямлена до центра кривизни траєкторії та дорівнює нулю для прямолінійного руху, де радіус кривизни формально прямує до нескінченності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Повне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Оскільки дотична та нормальна складові взаємно перпендикулярні, модуль повного прискорення дорівнює $a=\\sqrt{a_\\tau^2+a_n^2}$. Напрям визначається векторною сумою $\\vec a=a_\\tau\\vec\\tau+a_n\\vec n$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Точка рухається по колу радіуса $\\rho=2$ м зі швидкістю 6 м\u002Fс, яка в даний момент зростає зі швидкістю 3 м\u002Fс². Тоді $a_\\tau=3$ м\u002Fс², $a_n=6^2\u002F2=18$ м\u002Fс², а $a=\\sqrt{3^2+18^2}\\approx18{,}25$ м\u002Fс².\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати прискорення нульовим лише тому, що модуль швидкості сталий;\u003C\u002Fli>\u003Cli>напрямляти нормальне прискорення вздовж дотичної;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати радіус кривизни траєкторії з відстанню до довільного центра координат;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати $a_\\tau$ і $a_n$ алгебраїчно при визначенні модуля повного прискорення.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":395,"parent_id":359,"code":9,"slug":396,"name":397,"seo_title":397,"seo_description":398,"seo_text":399,"content":400,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":396,"children":401},200,"okremi-vypadky-rukhu-tochky","Окремі випадки руху точки","Рівномірний і рівнозмінний прямолінійний рух точки, рух по колу та основні кінематичні залежності.","Тема систематизує типові закони руху точки: рівномірний, рівнозмінний прямолінійний рух і рух по колу, з основними залежностями між координатою, швидкістю та прискоренням.","\u003Cp>Багато задач кінематики зводяться до кількох \u003Cstrong>типових законів руху точки\u003C\u002Fstrong>. Їх корисно розрізняти за формою траєкторії та характером зміни швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівномірний прямолінійний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо точка рухається вздовж прямої зі сталою алгебраїчною швидкістю $v$, її координата змінюється за законом $s=s_0+vt$. Прискорення дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівнозмінний прямолінійний рух\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-uniformly-accelerated-motion}}\u003Cp>Якщо $a$ і $v_0$ мають однакові знаки, модуль швидкості спочатку зростає. За протилежних знаків точка може сповільнитися до зупинки, а потім змінити напрям руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вільне падіння як окремий випадок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо нехтувати опором повітря та зміною прискорення тяжіння з висотою, вертикальний рух поблизу поверхні Землі є рівнозмінним із прискоренням $\\vec g$, напрямленим униз. Знаки у формулах залежать від вибраного додатного напряму вертикальної осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівномірний рух по колу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При сталому модулі швидкості $v$ уздовж кола радіуса $R$ дотичне прискорення дорівнює нулю, але нормальне прискорення не зникає: $a_n=v^2\u002FR$. Воно напрямлене до центра кола, тому вектор швидкості постійно змінює напрям.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нерівномірний рух по колу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо модуль швидкості змінюється, точка має одночасно дотичне прискорення $a_\\tau=dv\u002Fdt$ і нормальне $a_n=v^2\u002FR$. Повне прискорення є їх векторною сумою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Автомобіль рухається прямолінійно з $v_0=5$ м\u002Fс і сталим прискоренням $a=2$ м\u002Fс². Через 4 с його швидкість становить $v=5+2\\cdot4=13$ м\u002Fс, а переміщення від початкового положення — $5\\cdot4+2\\cdot4^2\u002F2=36$ м.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>застосовувати формули сталого прискорення, коли $a$ залежить від часу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати прискорення нульовим при рівномірному русі по колу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>підставляти $g$ без узгодження його знака з напрямом осі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати координату $s$ з пройденим шляхом, якщо точка змінює напрям.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":403,"parent_id":350,"code":9,"slug":404,"name":405,"seo_title":406,"seo_description":407,"seo_text":408,"content":409,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":404,"children":410},279,"naiprostishi-rukhy-tverdoho-tila","Найпростіші рухи твердого тіла","Поступальний та обертальний рух твердого тіла","Поступальний рух, обертання навколо нерухомої осі, швидкості й прискорення точок та передачі обертання.","Розділ охоплює поступальний рух твердого тіла, обертання навколо нерухомої осі, кінематику його точок і передачі обертального руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Найпростіші рухи твердого тіла\u003C\u002Fstrong> — поступальний рух та обертання навколо нерухомої осі. Вони є базовими моделями кінематики твердого тіла й використовуються як складові більш загальних видів руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поступальний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При поступальному русі будь-яка пряма, жорстко зв’язана з тілом, залишається паралельною своєму початковому положенню. Усі точки тіла в кожний момент мають однакові вектори швидкості та прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Обертання навколо нерухомої осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Положення тіла визначається кутом повороту. Його похідні за часом задають кутову швидкість і кутове прискорення, а лінійні швидкості та прискорення точок залежать від їх відстані до осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Передача обертання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У механізмах обертальний рух передається між ланками через зубчасті, пасові, фрикційні та інші передачі. Кінематичні співвідношення пов’язують кутові швидкості елементів через геометричні параметри передачі.\u003C\u002Fp>",[411,419,427,436],{"id":412,"parent_id":403,"code":9,"slug":413,"name":414,"seo_title":414,"seo_description":415,"seo_text":416,"content":417,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":413,"children":418},201,"postupalnyi-rukh-tverdoho-tila","Поступальний рух твердого тіла","Поступальний рух абсолютно твердого тіла: траєкторії, швидкості та прискорення точок тіла й основні властивості руху.","Тема пояснює поступальний рух твердого тіла та доводить, що в кожний момент усі його точки мають однакові вектори швидкості й прискорення.","\u003Cp>\u003Cstrong>Поступальний рух твердого тіла\u003C\u002Fstrong> — рух, за якого будь-яка пряма, жорстко зв’язана з тілом, залишається паралельною своєму початковому положенню. Тіло при цьому не обертається відносно вибраної системи відліку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основна властивість\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-rigid-body-translation}}\u003Cp>Отже, для кінематичного аналізу поступального руху достатньо дослідити рух однієї довільної точки тіла. Результати для її швидкості та прискорення в той самий момент справедливі для всіх інших точок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Траєкторії точок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай $\\vec r_B=\\vec r_A+\\vec r_{AB}$, де $\\vec r_{AB}$ — сталий вектор, оскільки тіло абсолютно тверде й не змінює орієнтації. Тому траєкторія точки $B$ є траєкторією точки $A$, перенесеною на сталий вектор $\\vec r_{AB}$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Диференціюючи співвідношення положень за часом, отримуємо $\\vec v_B=\\vec v_A$, бо $d\\vec r_{AB}\u002Fdt=0$. Усі точки тіла мають однакові вектори швидкості в кожний момент, хоча їхні траєкторії розташовані в різних місцях простору.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Повторне диференціювання дає $\\vec a_B=\\vec a_A$. Отже, поступальний рух твердого тіла кінематично еквівалентний руху однієї точки щодо визначення швидкості та прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поступальний рух не обов’язково прямолінійний\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Термін «поступальний» описує незмінність орієнтації тіла, а не форму траєкторії. Наприклад, кабіна оглядового колеса за відповідної підвіски може рухатися поступально по криволінійній траєкторії, залишаючись вертикально орієнтованою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо одна точка платформи має в певний момент швидкість $\\vec v=(2\\vec i+3\\vec j)$ м\u002Fс і платформа рухається поступально, кожна інша її точка має в цей самий момент той самий вектор швидкості. Аналогічно збігаються їхні прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати поступальний рух обов’язково прямолінійним;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати поступальний рух із рухом без прискорення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>приписувати різним точкам поступально рухомого тіла різні кутові швидкості;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що однакові траєкторії точок повинні геометрично збігатися.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":420,"parent_id":403,"code":9,"slug":421,"name":422,"seo_title":422,"seo_description":423,"seo_text":424,"content":425,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":421,"children":426},202,"obertannia-tverdoho-tila-navkolo-nerukhomoi-osi","Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі","Кут повороту, кутова швидкість і кутове прискорення твердого тіла при обертанні навколо нерухомої осі.","Тема розглядає закон обертання твердого тіла навколо нерухомої осі, кутову швидкість, кутове прискорення та кінематичні характеристики точок тіла.","\u003Cp>\u003Cstrong>Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі\u003C\u002Fstrong> — рух, за якого дві точки тіла, а отже й пряма, що проходить через них, залишаються нерухомими. Цю пряму називають віссю обертання. Усі інші точки тіла рухаються по колах із центрами на осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон обертання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Положення тіла визначається кутом повороту $\\varphi=\\varphi(t)$. Додатний напрям відліку кута задають наперед; разом із ним визначають знаки кутової швидкості та кутового прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кутова швидкість і кутове прискорення\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-angular-velocity-acceleration}}\u003Cp>У SI кут вимірюють у радіанах. Кутова швидкість має розмірність рад\u002Fс, а кутове прискорення — рад\u002Fс²; радіан є безрозмірною похідною одиницею, але його позначення корисне для фізичного змісту величин.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Векторний опис\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вектор $\\vec\\omega$ напрямлений уздовж осі обертання за правилом правого гвинта. Вектор $\\vec\\varepsilon=d\\vec\\omega\u002Fdt$ при нерухомій осі також лежить уздовж цієї осі; його напрям відносно $\\vec\\omega$ показує, чи зростає модуль кутової швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівномірне обертання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\omega=const$, то $\\varepsilon=0$ і $\\varphi=\\varphi_0+\\omega t$. За один повний оберт зміна кута за модулем дорівнює $2\\pi$ рад.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівнозмінне обертання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\varepsilon=const$, то $\\omega=\\omega_0+\\varepsilon t$, а $\\varphi=\\varphi_0+\\omega_0t+\\varepsilon t^2\u002F2$. Ці залежності аналогічні формулам рівнозмінного прямолінійного руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Період і частота\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для рівномірного обертання період $T$ — час одного оберту, а частота $f=1\u002FT$ — кількість обертів за одиницю часу. Кутова швидкість пов’язана з ними співвідношенням $\\omega=2\\pi\u002FT=2\\pi f$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Диск обертається рівномірно з частотою $f=5$ Гц. Його кутова швидкість $\\omega=2\\pi f=10\\pi\\approx31{,}4$ рад\u002Fс. За 2 с диск здійснить 10 повних обертів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати кутову швидкість із лінійною швидкістю точки тіла;\u003C\u002Fli>\u003Cli>підставляти кут у градусах у формули, розраховані на радіани;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати знак $\\omega$ або $\\varepsilon$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що точки на осі обертання мають ненульову лінійну швидкість.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":428,"parent_id":403,"code":9,"slug":429,"name":430,"seo_title":431,"seo_description":432,"seo_text":433,"content":434,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":429,"children":435},203,"shvydkosti-pryskorennia-tochok-pry-obertanni","Швидкості та прискорення точок тіла при обертанні","Швидкість і прискорення при обертанні — v = ωr, aτ і an","Формули для точок твердого тіла при обертанні навколо осі: лінійна швидкість v = ωr, дотичне прискорення aτ = εr і нормальне an = ω²r.","Тема пов’язує кутову швидкість і кутове прискорення тіла з лінійною швидкістю, дотичним, нормальним і повним прискоренням його точок.","\u003Cp>Під час \u003Cstrong>обертання твердого тіла навколо нерухомої осі\u003C\u002Fstrong> всі точки тіла мають однакові кутову швидкість $\\omega$ і кутове прискорення $\\varepsilon$, але їхні лінійні швидкості та прискорення залежать від відстані до осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінійна швидкість\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-fixed-axis-point-velocity}}\u003Cp>Чим далі точка розташована від осі, тим більший модуль її швидкості за однакової $\\omega$. Точки безпосередньо на осі мають $r=0$ і залишаються нерухомими.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Векторна формула швидкості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки з радіус-вектором $\\vec r$ від осі до точки швидкість можна подати як $\\vec v=\\vec\\omega\\times\\vec r$. Ця формула автоматично задає дотичний напрям швидкості за правилом векторного добутку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Дотичне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Зміна модуля швидкості зумовлює дотичну складову $a_\\tau=\\varepsilon r$. Вона напрямлена по дотичній до кола; її напрям залежить від знака кутового прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нормальне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Через зміну напряму швидкості виникає нормальна складова $a_n=\\omega^2r=v^2\u002Fr$, напрямлена від точки до осі обертання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Повне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Дотична та нормальна складові взаємно перпендикулярні, тому $a=\\sqrt{a_\\tau^2+a_n^2}=r\\sqrt{\\varepsilon^2+\\omega^4}$. У векторній формі $\\vec a=\\vec\\varepsilon\\times\\vec r+\\vec\\omega\\times(\\vec\\omega\\times\\vec r)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Точка диска розташована на відстані $r=0{,}20$ м від осі. При $\\omega=10$ рад\u002Fс і $\\varepsilon=4$ рад\u002Fс² маємо $v=2$ м\u002Fс, $a_\\tau=0{,}8$ м\u002Fс², $a_n=20$ м\u002Fс² і $a\\approx20{,}02$ м\u002Fс².\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>використовувати відстань до центра тіла замість найкоротшої відстані до осі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати $a_\\tau=\\varepsilon r$ з $a_n=\\omega^2r$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що за сталої $\\omega$ прискорення точки дорівнює нулю;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати дотичне та нормальне прискорення алгебраїчно замість векторного додавання.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":437,"parent_id":403,"code":9,"slug":438,"name":439,"seo_title":440,"seo_description":441,"seo_text":442,"content":443,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":438,"children":444},204,"peredachi-obertalnoho-rukhu","Передачі обертального руху","Передачі обертального руху в кінематиці","Кінематичні співвідношення для зубчастих, пасових і фрикційних передач: кутові швидкості, радіуси та передаточне відношення.","Тема розглядає передачу обертального руху між тілами без проковзування та зв’язок кутових швидкостей, радіусів і передаточного відношення.","\u003Cp>\u003Cstrong>Передачі обертального руху\u003C\u002Fstrong> передають рух від ведучої ланки до веденої. У кінематиці основна задача — встановити співвідношення між кутовими швидкостями, частотами обертання та геометричними параметрами ланок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Умова відсутності проковзування\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-rotation-transmission-ratio}}\u003Cp>Рівність дотичних швидкостей у контакті є основою розрахунку простих фрикційних, пасових і зубчастих передач у кінематичній ідеалізації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фрикційні колеса\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для двох зовнішньо дотичних коліс без проковзування $|\\omega_1|r_1=|\\omega_2|r_2$. Вони обертаються у протилежних напрямах. При внутрішньому контакті напрями обертання однакові.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пасова передача\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для відкритої пасової передачі без проковзування швидкість паса однакова на обох шківах, тому $\\omega_1r_1=\\omega_2r_2$ за модулями. Відкритий пас дає однаковий напрям обертання шківів, перехресний — протилежний.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зубчаста передача\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для зовнішньої пари зубчастих коліс $|\\omega_1|\u002F|\\omega_2|=z_2\u002Fz_1$, де $z_1$ і $z_2$ — числа зубців. Зовнішнє зачеплення змінює напрям обертання; внутрішнє зачеплення зберігає його.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Передаточне відношення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Передаточне відношення потрібно завжди читати разом із прийнятим означенням. Тут використано $i=\\omega_1\u002F\\omega_2$, де ланка 1 — ведуча, а 2 — ведена. Якщо потрібен лише модуль, знак напряму розглядають окремо.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Багатоступенева передача\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для послідовних ступенів загальне передаточне відношення дорівнює добутку передаточних відношень окремих ступенів. Напрям вихідного обертання визначають за кількістю зовнішніх зачеплень або перехресних пасових ступенів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ведуча шестірня має $z_1=20$ зубців і обертається з $\\omega_1=60$ рад\u002Fс. Ведена має $z_2=60$. Тоді $|\\omega_2|=60\\cdot20\u002F60=20$ рад\u002Fс, а напрям для зовнішнього зачеплення протилежний.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати відношення радіусів $r_2\u002Fr_1$ з $r_1\u002Fr_2$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не вказувати, яка ланка ведуча при визначенні $i$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати напрям обертання при зовнішньому зачепленні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати умову рівності швидкостей, якщо в задачі явно задане проковзування;\u003C\u002Fli>\u003Cli>для багатоступеневої передачі враховувати лише одну пару коліс.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":446,"parent_id":350,"code":9,"slug":447,"name":448,"seo_title":449,"seo_description":450,"seo_text":451,"content":452,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":447,"children":453},281,"ploskoparalelnyi-rukh","Плоскопаралельний рух","Плоскопаралельний рух твердого тіла","Плоскопаралельний рух, швидкості та прискорення точок твердого тіла.","Розділ присвячено плоскопаралельному руху твердого тіла та методам визначення швидкостей і прискорень його точок.","\u003Cp>\u003Cstrong>Плоскопаралельний рух твердого тіла\u003C\u002Fstrong> — рух, за якого всі точки тіла переміщуються у площинах, паралельних деякій нерухомій площині. Такий рух характерний для багатьох плоских механізмів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розклад руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Плоскопаралельний рух можна подати як поступальний рух разом із обертанням навколо осі, перпендикулярної до площини руху. Вибір точки-полюса не змінює фізичного руху, але може спростити обчислення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкості точок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Швидкість довільної точки визначається через швидкість полюса та відносну швидкість, спричинену обертанням тіла. Для аналізу швидкостей також застосовують миттєвий центр швидкостей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Прискорення точок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Прискорення точки складається з прискорення полюса та дотичної й нормальної складових, пов’язаних з обертанням. На відміну від задач на швидкості, миттєвий центр швидкостей не є універсальним центром для обчислення прискорень.\u003C\u002Fp>",[454,461,469],{"id":455,"parent_id":446,"code":9,"slug":456,"name":449,"seo_title":449,"seo_description":457,"seo_text":458,"content":459,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":456,"children":460},205,"ploskoparalelnyi-rukh-tverdoho-tila","Плоскопаралельний рух твердого тіла: розклад на поступальний та обертальний рух, рівняння руху плоскої фігури.","Тема вводить плоскопаралельний рух твердого тіла та його подання як суми поступального руху полюса й обертання тіла навколо полюса.","\u003Cp>\u003Cstrong>Плоскопаралельний рух твердого тіла\u003C\u002Fstrong> — рух, за якого всі точки тіла переміщуються в площинах, паралельних деякій нерухомій площині. Для його дослідження достатньо розглядати рух плоскої фігури — перерізу тіла площиною, паралельною площині руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінематичний розклад\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-plane-motion-decomposition}}\u003Cp>Вибір полюса довільний. Поступальна складова залежить від обраного полюса, але кутова швидкість і кутове прискорення плоскої фігури в даний момент не залежать від цього вибору.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння руху плоскої фігури\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Три функції $x_A=x_A(t)$, $y_A=y_A(t)$ і $\\varphi=\\varphi(t)$ повністю визначають положення фігури в площині. Перші дві описують рух полюса, третя — зміну орієнтації тіла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поступальна й обертальна складові\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Уявний розклад руху на поступальний і обертальний не означає, що тіло фізично виконує ці рухи послідовно. Це кінематичний спосіб опису одного реального руху: полюс переміщується, а фігура одночасно змінює орієнтацію.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кутові характеристики\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кутова швидкість $\\omega=\\dot\\varphi$, а кутове прискорення $\\varepsilon=\\ddot\\varphi$. Для плоского руху їхні вектори перпендикулярні до площини руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Окремі випадки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\omega=0$ протягом усього інтервалу, рух стає поступальним. Якщо полюс нерухомий, маємо обертання навколо нерухомої осі, перпендикулярної до площини руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Колесо, що котиться по прямій, здійснює плоскопаралельний рух: його центр переміщується поступально, а саме колесо одночасно обертається. Рух довільної точки обода визначається поєднанням цих двох складових.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати полюс фізичною нерухомою точкою тіла;\u003C\u002Fli>\u003Cli>припускати, що $\\omega$ залежить від вибору полюса;\u003C\u002Fli>\u003Cli>описувати положення плоскої фігури лише координатами однієї точки без кута $\\varphi$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати плоскопаралельний рух із чистим поступальним рухом.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":462,"parent_id":446,"code":9,"slug":463,"name":464,"seo_title":464,"seo_description":465,"seo_text":466,"content":467,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":463,"children":468},206,"shvydkosti-tochok-pry-ploskoparalelnomu-rusi","Швидкості точок при плоскопаралельному русі","Теорема про швидкості точок плоскої фігури, миттєвий центр швидкостей і визначення швидкостей точок твердого тіла.","Тема розглядає визначення швидкостей точок тіла при плоскопаралельному русі за допомогою полюса, кутової швидкості та миттєвого центра швидкостей.","\u003Cp>Для \u003Cstrong>плоскопаралельного руху\u003C\u002Fstrong> швидкості різних точок твердого тіла загалом відрізняються. Їх пов’язує теорема про швидкості точок плоскої фігури.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема про швидкості\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-plane-motion-velocity-theorem}}\u003Cp>Вибираючи точку $A$ з відомою швидкістю як полюс, можна визначити швидкість будь-якої іншої точки $B$. Вектор $\\vec\\omega\\times\\vec r_{B\u002FA}$ завжди перпендикулярний до $AB$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Проекції швидкостей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Оскільки відносна швидкість $\\vec v_{B\u002FA}$ перпендикулярна до $AB$, проекції швидкостей двох точок твердого тіла на пряму, що їх сполучає, однакові. Ця властивість часто дозволяє швидко знаходити невідомі компоненти без повної векторної побудови.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Миттєвий центр швидкостей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Миттєвий центр швидкостей (МЦШ)\u003C\u002Fstrong> — точка площини, швидкість якої в даний момент дорівнює нулю. Якщо МЦШ існує в скінченній точці $P$, рух фігури в цей момент за швидкостями еквівалентний миттєвому обертанню навколо $P$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Визначення МЦШ\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо відомі напрями швидкостей двох точок, через кожну з них проводять пряму, перпендикулярну до відповідної швидкості. Точка перетину цих прямих є МЦШ, якщо вони перетинаються в скінченній точці. Для чистого поступального руху МЦШ розглядають як точку на нескінченності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкість через МЦШ\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки $A$ при відомому МЦШ $P$ модуль швидкості $v_A=|\\omega|PA$. Тому $v_A\u002Fv_B=PA\u002FPB$. Напрями швидкостей перпендикулярні до прямих $PA$ і $PB$ та узгоджені з одним напрямом миттєвого обертання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кочення без проковзування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для колеса, що котиться без проковзування по нерухомій поверхні, точка контакту має нульову миттєву швидкість і є МЦШ. Звідси для центра колеса $v_C=\\omega R$ за модулями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо МЦШ плоскої ланки лежить у точці $P$, $PA=0{,}2$ м, $PB=0{,}5$ м, а $v_A=1$ м\u002Fс, то $|\\omega|=1\u002F0{,}2=5$ рад\u002Fс і $v_B=5\\cdot0{,}5=2{,}5$ м\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати МЦШ нерухомою матеріальною точкою тіла на скінченному інтервалі часу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>будувати МЦШ уздовж напрямів швидкостей замість перпендикулярів до них;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати відношення $v_A\u002Fv_B=PA\u002FPB$ без спільного МЦШ;\u003C\u002Fli>\u003Cli>припускати нульову швидкість точки контакту при коченні з проковзуванням.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":470,"parent_id":446,"code":9,"slug":471,"name":472,"seo_title":472,"seo_description":473,"seo_text":474,"content":475,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":471,"children":476},207,"pryskorennia-tochok-pry-ploskoparalelnomu-rusi","Прискорення точок при плоскопаралельному русі","Теорема про прискорення точок плоскої фігури: переносна, дотична та нормальна складові при плоскопаралельному русі.","Тема пояснює визначення прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі через прискорення полюса, кутову швидкість і кутове прискорення.","\u003Cp>У \u003Cstrong>плоскопаралельному русі\u003C\u002Fstrong> прискорення різних точок твердого тіла пов’язані прискоренням вибраного полюса, кутовою швидкістю та кутовим прискоренням фігури.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема про прискорення\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-plane-motion-acceleration-theorem}}\u003Cp>На відміну від задачі швидкостей, відносне прискорення має дві складові: дотичну через зміну кутової швидкості та нормальну через зміну напряму відносної швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Дотична складова\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вектор $\\vec a^\\tau_{B\u002FA}=\\vec\\varepsilon\\times\\vec r_{B\u002FA}$ перпендикулярний до $AB$. Його модуль дорівнює $|\\varepsilon|AB$, а напрям визначають за знаком кутового прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нормальна складова\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вектор $\\vec a^n_{B\u002FA}=\\vec\\omega\\times(\\vec\\omega\\times\\vec r_{B\u002FA})$ напрямлений від точки $B$ до полюса $A$ і має модуль $\\omega^2AB$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір полюса\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Полюс доцільно вибирати в точці, прискорення якої відоме або легко визначається з умов в’язей. Кутові величини $\\omega$ і $\\varepsilon$ не залежать від вибору полюса.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Миттєвий центр прискорень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У деяких випадках існує точка плоскої фігури з нульовим прискоренням, але її не слід ототожнювати з миттєвим центром швидкостей. Нульова швидкість точки в даний момент не означає нульового прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кочення без проковзування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Точка контакту колеса з нерухомою поверхнею має нульову швидкість у момент контакту, але загалом має ненульове прискорення. Тому використовувати її як «нерухомий центр» для прискорень так само, як МЦШ для швидкостей, не можна.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для ланки $AB=0{,}4$ м при $\\omega=5$ рад\u002Fс і $\\varepsilon=3$ рад\u002Fс² відносні складові прискорення точки $B$ відносно $A$ мають модулі $a^\\tau_{B\u002FA}=1{,}2$ м\u002Fс² і $a^n_{B\u002FA}=10$ м\u002Fс². Їх потрібно векторно додати до $\\vec a_A$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>враховувати лише дотичну або лише нормальну складову;\u003C\u002Fli>\u003Cli>напрямляти нормальну складову від полюса до точки;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати МЦШ точкою з нульовим прискоренням;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати модулі складових замість векторів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати різні значення $\\omega$ чи $\\varepsilon$ для різних точок одного твердого тіла.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":478,"parent_id":350,"code":9,"slug":479,"name":480,"seo_title":480,"seo_description":481,"seo_text":482,"content":483,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":479,"children":484},282,"skladnyi-rukh-materialnoi-tochky","Складний рух матеріальної точки","Відносний, переносний і абсолютний рух точки, додавання прискорень та прискорення Коріоліса.","Розділ охоплює складний рух матеріальної точки, теореми додавання швидкостей і прискорень та прискорення Коріоліса.","\u003Cp>\u003Cstrong>Складний рух матеріальної точки\u003C\u002Fstrong> розглядають, коли точка рухається відносно системи відліку, яка сама переміщується відносно іншої системи. Такий підхід дозволяє розділити рух на відносну, переносну та абсолютну складові.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Додавання швидкостей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Абсолютна швидкість точки визначається як векторна сума її відносної та переносної швидкостей. Це співвідношення є основою кінематичного аналізу рухомих напрямних і механізмів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Додавання прискорень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для прискорень структура складніша: крім відносного та переносного прискорень, при обертанні рухомої системи виникає прискорення Коріоліса. Воно залежить від кутової швидкості переносного руху та відносної швидкості точки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір систем відліку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ключовим етапом розв’язування є чітке визначення нерухомої та рухомої систем відліку й правильне віднесення кожної кінематичної величини до відповідного виду руху.\u003C\u002Fp>",[485,494],{"id":486,"parent_id":478,"code":9,"slug":487,"name":488,"seo_title":489,"seo_description":490,"seo_text":491,"content":492,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":487,"children":493},208,"skladnyi-rukh-tochky","Складний рух точки","Складний рух точки в кінематиці","Абсолютний, відносний і переносний рух точки. Теорема додавання швидкостей у складному русі.","Тема вводить абсолютний, відносний і переносний рух точки та показує, як визначати абсолютну швидкість через відносну й переносну складові.","\u003Cp>\u003Cstrong>Складний рух точки\u003C\u002Fstrong> розглядають, коли точка рухається відносно системи відліку, яка сама рухається відносно іншої, умовно нерухомої системи. Такий опис дає змогу розділити рух на абсолютну, відносну та переносну складові.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Три види руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Абсолютний рух\u003C\u002Fstrong> — рух точки відносно нерухомої системи відліку. \u003Cstrong>Відносний рух\u003C\u002Fstrong> — рух точки відносно рухомої системи. \u003Cstrong>Переносний рух\u003C\u002Fstrong> — рух тієї точки рухомої системи, з якою в даний момент збігається розглядувана точка.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Додавання швидкостей\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-relative-motion-velocity-addition}}\u003Cp>Це векторне співвідношення, тому модулі швидкостей загалом не можна просто додавати алгебраїчно. Потрібно враховувати їхні напрями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Переносна швидкість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо рухома система здійснює лише поступальний рух, усі її точки мають однакову переносну швидкість. Якщо система також обертається, для точки з радіус-вектором $\\vec r$ від вибраного полюса $O'$ переносна швидкість має вигляд $\\vec v_e=\\vec v_{O'}+\\vec\\omega_e\\times\\vec r$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Відносна швидкість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Відносну швидкість визначають так, ніби спостерігач рухається разом із рухомою системою координат. Наприклад, для повзуна в пазу, закріпленому на рухомій ланці, відносна швидкість напрямлена вздовж паза.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Геометричне додавання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рівняння $\\vec v_a=\\vec v_r+\\vec v_e$ зручно розв’язувати в проекціях на осі або побудовою трикутника швидкостей. Вибір способу залежить від того, які напрями та модулі задані.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Людина рухається вздовж вагона зі швидкістю 1,5 м\u002Fс відносно вагона, а вагон рухається по прямій зі швидкістю 12 м\u002Fс у тому самому напрямі. Абсолютна швидкість людини дорівнює 13,5 м\u002Fс. Якщо людина йде у протилежний бік, за тієї самої домовленості про знак абсолютна швидкість становить 10,5 м\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати відносну та переносну швидкості;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати модулі швидкостей без урахування напрямів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>для обертової рухомої системи брати переносну швидкість лише як швидкість її початку координат;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не вказувати, відносно якої системи визначена кожна швидкість.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":495,"parent_id":478,"code":9,"slug":496,"name":497,"seo_title":498,"seo_description":499,"seo_text":500,"content":501,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":496,"children":502},209,"dodavannia-pryskoren-pryskorennia-koriolisa","Додавання прискорень. Прискорення Коріоліса","Прискорення Коріоліса — формула та теорема додавання прискорень","Як знайти абсолютне прискорення у складному русі: відносна, переносна й коріолісова складові та формула aC = 2ω × vrel.","Тема розглядає теорему додавання прискорень у складному русі точки та фізичний і геометричний зміст прискорення Коріоліса.","\u003Cp>У складному русі точки при обертанні рухомої системи відліку абсолютне прискорення не зводиться лише до суми відносного та переносного. З’являється додаткова складова — \u003Cstrong>прискорення Коріоліса\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема додавання прискорень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки, що рухається відносно рухомої системи відліку, абсолютне прискорення записують як $\\vec a_a=\\vec a_r+\\vec a_e+\\vec a_C$, де $\\vec a_r$ — відносне, $\\vec a_e$ — переносне, а $\\vec a_C$ — коріолісове прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Прискорення Коріоліса\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-coriolis-acceleration}}\u003Ch2>Коли Коріолісове прискорення дорівнює нулю\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Складова $\\vec a_C$ зникає, якщо рухома система не обертається ($\\omega_e=0$), якщо точка не рухається відносно неї ($v_r=0$), або якщо $\\vec v_r$ паралельна чи антипаралельна $\\vec\\omega_e$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Переносне прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для рухомої системи з полюсом $O'$ переносне прискорення точки, що миттєво збігається з рухомою точкою, містить прискорення полюса, дотичну та доцентрову складові обертального руху: $\\vec a_e=\\vec a_{O'}+\\vec\\varepsilon_e\\times\\vec r+\\vec\\omega_e\\times(\\vec\\omega_e\\times\\vec r)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напрям Коріолісового прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Напрям $\\vec a_C$ визначають як напрям $2\\vec\\omega_e\\times\\vec v_r$. У плоских задачах зручно спочатку встановити напрям $\\vec\\omega_e$ за правилом правої руки, а потім виконати векторний добуток із $\\vec v_r$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо диск обертається з $\\omega_e=4$ рад\u002Fс, а повзун рухається по радіальному пазу зі швидкістю $v_r=0{,}5$ м\u002Fс, то $\\theta=90^\\circ$ і $a_C=2\\cdot4\\cdot0{,}5=4$ м\u002Fс². Напрям лежить у площині диска та перпендикулярний до радіального напряму відносної швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>забувати множник 2 у формулі Коріоліса;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати абсолютну швидкість замість відносної $\\vec v_r$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>додавати прискорення як скаляри без урахування напрямів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>включати Коріолісову складову при чисто поступальному русі рухомої системи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначати напрям без урахування порядку векторного добутку $\\vec\\omega_e\\times\\vec v_r$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":504,"parent_id":350,"code":9,"slug":505,"name":506,"seo_title":506,"seo_description":507,"seo_text":508,"content":509,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":505,"children":510},283,"prostorovyi-rukh-tverdoho-tila","Просторовий рух твердого тіла","Сферичний та загальний рух вільного твердого тіла у просторі.","Розділ об’єднує сферичний рух твердого тіла та загальний рух вільного твердого тіла у тривимірному просторі.","\u003Cp>\u003Cstrong>Просторовий рух твердого тіла\u003C\u002Fstrong> охоплює рухи, які не можна звести лише до плоскої кінематики. Орієнтація тіла змінюється у тривимірному просторі, тому кутова швидкість і кутове прискорення розглядаються як вектори.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сферичний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При сферичному русі одна точка тіла залишається нерухомою, а інші точки рухаються по поверхнях сфер із центром у цій точці. Миттєвий рух можна характеризувати обертанням навколо миттєвої осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Загальний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Загальний рух вільного твердого тіла можна подати як поступальний рух вибраного полюса та обертальний рух тіла відносно цього полюса. Такий розклад є просторовим аналогом ідеї, що використовується для плоскопаралельного руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінематичні характеристики\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Швидкості й прискорення точок визначаються з урахуванням поступальної складової, кутової швидкості та кутового прискорення тіла. Векторний запис дозволяє застосовувати єдиний підхід незалежно від орієнтації тіла.\u003C\u002Fp>",[511,519],{"id":512,"parent_id":504,"code":9,"slug":513,"name":514,"seo_title":514,"seo_description":515,"seo_text":516,"content":517,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":513,"children":518},210,"sferychnyi-rukh-tverdoho-tila","Сферичний рух твердого тіла","Сферичний рух твердого тіла з нерухомою точкою: кутова швидкість, миттєва вісь обертання та швидкості точок.","Тема знайомить зі сферичним рухом твердого тіла, що має одну нерухому точку, та з поняттями миттєвої осі й вектора кутової швидкості.","\u003Cp>\u003Cstrong>Сферичний рух твердого тіла\u003C\u002Fstrong> — просторовий рух, за якого одна точка тіла залишається нерухомою. Усі інші точки рухаються по поверхнях сфер із центром у цій нерухомій точці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Геометрія сферичного руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай точка $O$ тіла нерухома. Відстань $OP$ до будь-якої точки $P$ тіла стала, тому траєкторія $P$ лежить на сфері радіуса $OP$. На відміну від обертання навколо нерухомої осі, напрям миттєвої осі при сферичному русі загалом змінюється з часом.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Миттєва кутова швидкість\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-spherical-motion-velocity}}\u003Cp>Вектор $\\vec\\omega$ характеризує миттєве обертання тіла. Пряма через нерухому точку $O$, напрямлена вздовж $\\vec\\omega$, є миттєвою віссю обертання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкості точок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Модуль швидкості точки $P$ дорівнює $v_P=\\omega r_\\perp$, де $r_\\perp$ — найкоротша відстань від точки до миттєвої осі. Тому точки на самій миттєвій осі в цей момент мають нульові швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зміна миттєвої осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Миттєва вісь не є загалом постійною матеріальною прямою тіла. У процесі руху її положення змінюється як у тілі, так і в нерухомому просторі. Саме це відрізняє загальний сферичний рух від простого обертання навколо нерухомої осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кутове прискорення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кутове прискорення визначається як $\\vec\\varepsilon=d\\vec\\omega\u002Fdt$ у нерухомій системі відліку. Оскільки може змінюватися не лише модуль, а й напрям $\\vec\\omega$, вектори $\\vec\\varepsilon$ і $\\vec\\omega$ загалом не паралельні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо в певний момент $\\omega=6$ рад\u002Fс, а точка розташована на перпендикулярній відстані 0,15 м від миттєвої осі, її швидкість має модуль $v=6\\cdot0{,}15=0{,}9$ м\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати миттєву вісь незмінною протягом усього сферичного руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати повну відстань $OP$ замість перпендикулярної відстані до миттєвої осі у формулі $v=\\omega r_\\perp$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>припускати, що $\\vec\\varepsilon$ завжди паралельне $\\vec\\omega$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати сферичний рух із рухом точки по сферичній поверхні.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":520,"parent_id":504,"code":9,"slug":521,"name":522,"seo_title":522,"seo_description":523,"seo_text":524,"content":525,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":521,"children":526},211,"zahalnyi-rukh-vilnoho-tverdoho-tila","Загальний рух вільного твердого тіла","Загальний просторовий рух твердого тіла: поступальна й обертальна складові, швидкості та прискорення точок.","Тема завершує кінематику твердого тіла загальним випадком просторового руху, який подають через рух полюса та обертання навколо нього.","\u003Cp>\u003Cstrong>Загальний рух вільного твердого тіла\u003C\u002Fstrong> — найзагальніший випадок кінематики твердого тіла, коли воно не має нерухомої точки або нерухомої осі. Такий рух можна подати як поступальний рух довільно вибраного полюса та одночасний сферичний рух тіла відносно цього полюса.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розклад загального руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Положення тіла визначається положенням вибраного полюса $A$ і орієнтацією тіла відносно нерухомої системи координат. Вибір полюса впливає на поступальну складову опису, але миттєва кутова швидкість $\\vec\\omega$ тіла не залежить від вибору полюса.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкість довільної точки\u003C\u002Fh2>{{chunk:kinematics-general-rigid-body-velocity}}\u003Cp>Це співвідношення є просторовим узагальненням теореми про швидкості точок плоскої фігури.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Прискорення довільної точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для двох точок $A$ і $B$ одного твердого тіла:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec a_B=\\vec a_A+\\vec\\varepsilon\\times\\vec r_{B\u002FA}+\\vec\\omega\\times(\\vec\\omega\\times\\vec r_{B\u002FA}).$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Друга складова пов’язана з кутовим прискоренням, третя — з миттєвою кутовою швидкістю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір полюса\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Полюс вибирають для зручності розрахунку — часто це центр мас, точка з відомим рухом або геометрично характерна точка механізму. Фізичний рух тіла від вибору полюса не змінюється.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зв’язок з окремими видами руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\vec\\omega=0$, загальний рух зводиться до поступального. Якщо полюс нерухомий, отримуємо сферичний рух. Плоскопаралельний рух є спеціальним випадком, коли траєкторії точок лежать у паралельних площинах, а $\\vec\\omega$ має сталий напрям, перпендикулярний до цих площин.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Миттєвий гвинтовий рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У загальному просторовому випадку поле швидкостей твердого тіла можна інтерпретувати через миттєвий гвинтовий рух: обертання навколо певної миттєвої осі поєднується з поступальною складовою вздовж неї. Це узагальнює поняття миттєвої осі обертання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо полюс $A$ має швидкість $\\vec v_A$, а положення точки $B$ відносно нього відоме, швидкість $B$ визначають додаванням $\\vec v_A$ до $\\vec\\omega\\times\\vec r_{B\u002FA}$. Навіть якщо $A$ миттєво нерухомий, інші точки можуть мати ненульові швидкості через обертальну складову.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати загальний рух просто поступальним рухом центра мас;\u003C\u002Fli>\u003Cli>забувати обертальну складову $\\vec\\omega\\times\\vec r_{B\u002FA}$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>припускати, що $\\vec\\omega$ залежить від вибору полюса;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати плоскі скалярні правила напрямів без повного просторового векторного аналізу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати миттєвий гвинтовий опис із траєкторією конкретної матеріальної точки.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":528,"parent_id":141,"code":9,"slug":529,"name":530,"seo_title":531,"seo_description":532,"seo_text":533,"content":534,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":529,"children":535},135,"dynamika","Динаміка","Динаміка — закони руху та задачі | Теормех","Динаміка в теоретичній механіці: закони руху, сили, робота, енергія та імпульс. Основні формули, пояснення й практичні задачі.","Динаміка вивчає механічний рух тіл з урахуванням сил і мас. Розділ охоплює основні закони динаміки, диференціальні рівняння руху, роботу та потужність, кінетичну енергію, імпульс і загальні теореми динаміки. Теоретичні положення закріплюються задачами.","\u003Cp>Динаміка встановлює зв’язок між рухом матеріальних тіл і силами, що діють на них. Тут кінематичні характеристики поєднуються з масою, силами та законами механіки.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Розділ побудовано з орієнтацією на задачі: визначення сил і параметрів руху, застосування рівнянь динаміки, теорем про енергію, імпульс та інші практичні методи.\u003C\u002Fp>",[536,581,644,707],{"id":537,"parent_id":528,"code":9,"slug":538,"name":539,"seo_title":540,"seo_description":541,"seo_text":542,"content":543,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":538,"children":544},289,"dynamika-materialnoi-tochky","Динаміка матеріальної точки","Динаміка матеріальної точки — закони Ньютона та рівняння руху","Основи динаміки матеріальної точки: закони Ньютона, рівняння F = ma, пряма й обернена задачі та рух під дією типових сил.","Розділ охоплює основні закони динаміки матеріальної точки, рівняння руху, постановку основних задач і рух під дією типових сил.","\u003Cp>\u003Cstrong>Динаміка матеріальної точки\u003C\u002Fstrong> встановлює зв’язок між рухом точки та силами, що на неї діють. На відміну від кінематики, тут прискорення розглядається як наслідок силової взаємодії відповідно до законів Ньютона.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закони Ньютона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Основою розділу є принцип інерції, зв’язок результуючої сили з прискоренням та закон рівності дії і протидії. Для матеріальної точки сталої маси рівняння руху записують у векторній формі та проєктують на зручні осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Диференціальні рівняння руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сили відомі як функції положення, швидкості або часу, другий закон Ньютона приводить до диференціальних рівнянь. Їх розв’язок разом із початковими умовами визначає закон руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пряма й обернена задачі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У прямій задачі за заданим рухом визначають сили або їх результуючу; в оберненій — за відомими силами та початковими умовами знаходять рух. Типові моделі включають дію сили тяжіння, пружності та опору.\u003C\u002Fp>",[545,554,563,572],{"id":546,"parent_id":537,"code":9,"slug":547,"name":548,"seo_title":549,"seo_description":550,"seo_text":551,"content":552,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":547,"children":553},227,"osnovni-zakony-dynamiky-zakony-niutona","Основні закони динаміки. Закони Ньютона","Закони Ньютона — 1, 2 і 3 закони та рівняння F = ma","Три закони Ньютона в динаміці: інерціальні системи відліку, маса й сила, основне рівняння руху F = ma та принцип дії і протидії.","Тема вводить основні поняття динаміки, інерціальні системи відліку, масу, силу та три закони Ньютона як основу рівнянь руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Динаміка\u003C\u002Fstrong> вивчає рух матеріальних тіл з урахуванням причин, що цей рух викликають. Основою класичної динаміки є закони Ньютона, які встановлюють зв’язок між силами, масою та прискоренням.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Матеріальна точка та інерціальна система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Матеріальною точкою називають модель тіла, розмірами якого в умовах задачі можна знехтувати. Закони Ньютона в стандартній формі застосовують в інерціальних системах відліку — системах, відносно яких вільна матеріальна точка зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перший закон Ньютона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо рівнодійна сил, прикладених до матеріальної точки, дорівнює нулю, її швидкість в інерціальній системі залишається сталою: $\\sum\\vec F=0\\Rightarrow\\vec v=const$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Другий закон Ньютона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки сталої маси основне рівняння динаміки має вигляд:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\vec a=\\sum_i\\vec F_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Прискорення має напрям рівнодійної сили, а його модуль прямо пропорційний силі та обернено пропорційний масі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Третій закон Ньютона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сили взаємодії двох тіл рівні за модулем, протилежні за напрямом і діють на різні тіла: $\\vec F_{12}=-\\vec F_{21}$. Тому їх не можна взаємно скорочувати на діаграмі сил одного тіла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Маса та сила\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Маса характеризує інертність тіла. У SI масу вимірюють у кілограмах, силу — у ньютонах: $1\\,\\text{Н}=1\\,\\text{кг}\\cdot\\text{м}\u002F\\text{с}^2$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм застосування другого закону\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>виділити тіло або матеріальну точку;\u003C\u002Fli>\u003Cli>показати всі зовнішні сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вибрати систему координат;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначити прискорення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>записати $m\\vec a=\\sum\\vec F$ та спроєктувати на осі.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо на тіло масою 5 кг уздовж осі $x$ діє рівнодійна сила 20 Н, то $a_x=20\u002F5=4$ м\u002Fс².\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>змішувати сили, прикладені до різних тіл;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що для руху обов’язково потрібна ненульова рівнодійна;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати масу з вагою;\u003C\u002Fli>\u003Cli>записувати рівняння рівноваги $\\sum\\vec F=0$ для точки з ненульовим прискоренням.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":555,"parent_id":537,"code":9,"slug":556,"name":557,"seo_title":558,"seo_description":559,"seo_text":560,"content":561,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":556,"children":562},228,"dyferentsialni-rivniannia-rukhu-materialnoi-tochky","Диференціальні рівняння руху матеріальної точки","Рівняння руху матеріальної точки — F = ma у координатах","Як записати диференціальні рівняння руху матеріальної точки у векторній, декартовій та природній формах на основі рівняння F = ma.","Тема розглядає основне рівняння динаміки матеріальної точки та його запис у декартових і природних координатах.","\u003Cp>Диференціальні рівняння руху поєднують кінематику точки із силами, що на неї діють. Для матеріальної точки сталої маси вони безпосередньо випливають із другого закону Ньютона.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Векторне рівняння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Основне рівняння руху:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\frac{d^2\\vec r}{dt^2}=\\sum_i\\vec F_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо сили залежать від положення, швидкості або часу, права частина може мати вигляд $\\vec F(\\vec r,\\vec v,t)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння в декартових координатах\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Проєктування на нерухомі осі дає систему:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\ddot x=\\sum F_x,\\qquad m\\ddot y=\\sum F_y,\\qquad m\\ddot z=\\sum F_z.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Це система диференціальних рівнянь другого порядку відносно координат точки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Природні координати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для руху по відомій траєкторії зручно проєктувати рівняння на дотичну та головну нормаль:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\frac{dv}{dt}=\\sum F_\\tau,\\qquad m\\frac{v^2}{\\rho}=\\sum F_n,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\rho$ — радіус кривини траєкторії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Початкові умови\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для однозначного визначення руху зазвичай задають початкове положення та початкову швидкість, наприклад $x(t_0)=x_0$ і $\\dot x(t_0)=v_{0x}$. Сталі інтегрування визначають саме з цих умов.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір координат\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Систему координат варто узгоджувати з геометрією руху й напрямами сил. Для прямолінійного руху достатньо однієї осі; для руху по кривій часто ефективні природні координати.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для вертикального падіння без опору повітря, якщо вісь $y$ спрямована вгору, маємо $m\\ddot y=-mg$, тобто $\\ddot y=-g$. Після двох інтегрувань і використання початкових умов отримують закон руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати знак проєкції сили з модулем сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати реакції в’язей;\u003C\u002Fli>\u003Cli>інтегрувати рівняння без використання початкових умов;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати $v^2\u002F\\rho$ як повне прискорення замість нормальної складової.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":564,"parent_id":537,"code":9,"slug":565,"name":566,"seo_title":567,"seo_description":568,"seo_text":569,"content":570,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":565,"children":571},229,"dvi-osnovni-zadachi-dynamiky-materialnoi-tochky","Дві основні задачі динаміки матеріальної точки","Пряма й обернена задачі динаміки — як знаходити рух і сили","Як розв’язувати дві основні задачі динаміки точки: визначати сили за заданим рухом або знаходити закон руху за відомими силами й початковими умовами.","Тема пояснює пряму й обернену задачі динаміки матеріальної точки та послідовність їх розв’язування.","\u003Cp>У динаміці матеріальної точки розрізняють дві основні постановки задач. Вони використовують те саме рівняння $m\\vec a=\\sum\\vec F$, але відрізняються тим, які величини задані та які потрібно знайти.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перша задача динаміки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За відомим законом руху точки, її масою та частиною сил визначають невідомі сили. Спочатку з $\\vec r(t)$ знаходять швидкість і прискорення, а потім із рівнянь динаміки — шукані сили або реакції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Друга задача динаміки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За відомими силами, масою та початковими умовами визначають закон руху. Для цього складають диференціальні рівняння, інтегрують їх і знаходять сталі інтегрування з початкових умов.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перша задача: алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>записати заданий закон руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>двічі продиференціювати координати та знайти прискорення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>побудувати схему сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>записати проєкції $m\\vec a=\\sum\\vec F$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначити невідомі сили.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Друга задача: алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>виділити матеріальну точку та показати сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вибрати координати;\u003C\u002Fli>\u003Cli>скласти диференціальні рівняння руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>інтегрувати їх;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використати початкові умови;\u003C\u002Fli>\u003Cli>перевірити отриманий закон руху та розмірності.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Приклад першої задачі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо рух уздовж осі задано $x=2t^2$ м для точки масою 3 кг, то $a_x=4$ м\u002Fс², а необхідна рівнодійна вздовж осі становить $F_x=ma_x=12$ Н.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад другої задачі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо на точку маси $m$ діє стала сила $F$ уздовж осі, то $\\ddot x=F\u002Fm$. За початкових умов $x(0)=x_0$, $\\dot x(0)=v_0$ отримуємо $x=x_0+v_0t+Ft^2\u002F(2m)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>не розрізняти, що є заданим у першій і другій задачах;\u003C\u002Fli>\u003Cli>забувати початкові умови у другій задачі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначати силу за швидкістю замість прискорення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не включати невідомі реакції в рівняння руху.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":573,"parent_id":537,"code":9,"slug":574,"name":575,"seo_title":576,"seo_description":577,"seo_text":578,"content":579,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":574,"children":580},230,"rukh-materialnoi-tochky-pid-diieiu-typovykh-syl","Рух матеріальної точки під дією типових сил","Рух точки під дією сили тяжіння, пружності, тертя й опору","Як описати рух матеріальної точки під дією типових сил: тяжіння, сили пружності, сухого тертя та опору середовища, і скласти рівняння руху.","Тема розглядає моделі руху матеріальної точки під дією типових сил: тяжіння, пружності, сухого тертя та опору середовища.","\u003Cp>У задачах динаміки часто повторюються типові моделі сил. Правильний запис цих сил і вибір напрямів дають змогу швидко скласти диференціальне рівняння руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила тяжіння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поблизу поверхні Землі силу тяжіння приймають сталою: $\\vec F_g=m\\vec g$. Якщо опором повітря нехтувати, вертикальний рух має сталу прискореність $g$, напрямлену вниз.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила пружності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для лінійної пружини в межах моделі Гука відновлювальна сила пропорційна деформації та напрямлена проти неї:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$F_s=-kx.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>За відсутності інших змінних сил рівняння $m\\ddot x+kx=0$ описує вільні гармонічні коливання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сухе тертя ковзання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У простій моделі Кулона модуль сили тертя ковзання дорівнює $F_f=\\mu N$, а напрям протилежний відносній швидкості ковзання. Знак проєкції сили потрібно визначати за фактичним напрямом руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Опір середовища\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При невеликих швидкостях часто використовують лінійну модель $\\vec R=-c\\vec v$. В інших умовах застосовують квадратичну залежність, у якій модуль опору пропорційний $v^2$. Конкретну модель має задавати умова задачі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рух по похилій площині\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо вісь спрямувати вздовж площини під кутом $\\alpha$ до горизонту, складова сили тяжіння вздовж неї має модуль $mg\\sin\\alpha$, а нормальна складова — $mg\\cos\\alpha$. За відсутності інших нормальних сил $N=mg\\cos\\alpha$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тіло ковзає вниз по похилій площині з коефіцієнтом тертя $\\mu$. Якщо додатний напрям вибрано вниз уздовж площини, то $ma=mg\\sin\\alpha-\\mu mg\\cos\\alpha$, звідки $a=g(\\sin\\alpha-\\mu\\cos\\alpha)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>автоматично спрямовувати силу тертя проти осі, а не проти ковзання;\u003C\u002Fli>\u003Cli>записувати силу пружності без відновлювального напряму;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати $N=mg$ для будь-якої геометрії руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>змішувати лінійну та квадратичну моделі опору середовища.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":582,"parent_id":528,"code":9,"slug":583,"name":584,"seo_title":585,"seo_description":586,"seo_text":587,"content":588,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":583,"children":589},290,"zahalni-teoremy-dynamiky-materialnoi-tochky","Загальні теореми динаміки матеріальної точки","Загальні теореми динаміки точки — імпульс, робота та енергія","Імпульс і момент кількості руху, робота, кінетична й потенціальна енергія та закони збереження для матеріальної точки — основні формули й методи.","Розділ об’єднує енергетичні та імпульсні методи динаміки матеріальної точки: кількість руху, момент кількості руху, роботу, енергію та закони збереження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Загальні теореми динаміки матеріальної точки\u003C\u002Fstrong> дають альтернативу безпосередньому інтегруванню диференціальних рівнянь руху. Вони пов’язують зміну характеристик руху з імпульсом сил, їх моментами та роботою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Імпульсний підхід\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кількість руху характеризує поступальний рух точки. Теорема про її зміну пов’язує зміну кількості руху за певний проміжок часу з імпульсом результуючої сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент кількості руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для аналізу руху відносно точки або осі використовують момент кількості руху. Його зміна визначається моментом діючих сил відносно того самого центра або осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота та енергія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Теорема про зміну кінетичної енергії пов’язує зміну швидкості через роботу сил і часто дозволяє виключити час із розрахунку. Для потенціальних сил вводять потенціальну енергію, а за відповідних умов застосовують закон збереження механічної енергії.\u003C\u002Fp>",[590,599,608,617,626,635],{"id":591,"parent_id":582,"code":9,"slug":592,"name":593,"seo_title":594,"seo_description":595,"seo_text":596,"content":597,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":592,"children":598},231,"kilkist-rukhu-tochky-impuls-syly","Кількість руху точки. Імпульс сили","Імпульс сили та кількість руху — формули й теорема","Формули кількості руху p = mv та імпульсу сили J = ∫Fdt, теорема про зміну імпульсу матеріальної точки й застосування в задачах динаміки.","Тема вводить кількість руху матеріальної точки, імпульс сили та інтегральну форму теореми про зміну кількості руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кількість руху матеріальної точки\u003C\u002Fstrong> (лінійний імпульс) — векторна міра механічного руху, що визначається добутком маси точки на її швидкість.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кількість руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки сталої маси:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec p=m\\vec v.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Вектор $\\vec p$ має той самий напрям, що й швидкість. Одиниця SI — кг·м\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Імпульс сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Імпульс сили за проміжок часу від $t_1$ до $t_2$ визначається:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec J=\\int_{t_1}^{t_2}\\vec F\\,dt.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для сталої сили $\\vec J=\\vec F\\Delta t$. Імпульс характеризує дію сили протягом певного часу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема про зміну кількості руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Із другого закону Ньютона для сталої маси випливає $d\\vec p\u002Fdt=\\sum\\vec F$. Після інтегрування:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec p_2-\\vec p_1=\\int_{t_1}^{t_2}\\sum\\vec F\\,dt.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, зміна кількості руху дорівнює імпульсу рівнодійної сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Проєкції на осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Векторну теорему можна застосовувати окремо за координатними напрямами: $mv_{2x}-mv_{1x}=\\int\\sum F_xdt$ і аналогічно для інших осей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Коли метод зручний\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Імпульсний підхід особливо ефективний, коли потрібно пов’язати швидкості у два моменти часу, а детальний закон руху між ними не потрібний. Він також корисний для короткочасних великих сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На тіло масою 2 кг, яке спочатку має швидкість 3 м\u002Fс уздовж осі $x$, протягом 0,5 с діє стала сила 8 Н у тому самому напрямі. Імпульс сили дорівнює 4 Н·с, тому $2v_2-2\\cdot3=4$ і $v_2=5$ м\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати кількість руху $m\\vec v$ з кінетичною енергією;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати векторний характер імпульсу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати $F\\Delta t$ для змінної сили без обґрунтування;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не включати всі сили до сумарного імпульсу.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":600,"parent_id":582,"code":9,"slug":601,"name":602,"seo_title":603,"seo_description":604,"seo_text":605,"content":606,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":601,"children":607},232,"moment-kilkosti-rukhu-tochky","Момент кількості руху точки","Момент кількості руху точки — формула та теорема зміни","Як обчислити момент кількості руху матеріальної точки відносно центра й осі та застосувати теорему, що пов’язує його зміну з моментом сили.","Тема розглядає момент кількості руху матеріальної точки, кінетичний момент і зв’язок його зміни з моментом сили.","\u003Cp>\u003Cstrong>Момент кількості руху\u003C\u002Fstrong> характеризує обертальну складову руху матеріальної точки відносно вибраного центра або осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент кількості руху відносно центра\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки $M$ відносно центра $O$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec L_O=\\vec r\\times m\\vec v,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\vec r=\\overrightarrow{OM}$. Напрям $\\vec L_O$ визначають за правилом правої руки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Модуль\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Модуль моменту кількості руху дорівнює $L_O=mvr\\sin\\theta=mv h$, де $h$ — перпендикулярна відстань від центра $O$ до лінії швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент відносно осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Момент кількості руху відносно осі є проєкцією вектора $\\vec L_O$ на цю вісь. Для осі $z$: $L_z=(\\vec r\\times m\\vec v)\\cdot\\vec e_z$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема про зміну моменту кількості руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для нерухомого центра $O$ в інерціальній системі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{d\\vec L_O}{dt}=\\vec M_O,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\vec M_O=\\vec r\\times\\sum\\vec F$ — момент рівнодійної сил відносно $O$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон збереження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо момент рівнодійної зовнішніх сил відносно центра дорівнює нулю, то $\\vec L_O=const$. Аналогічно, якщо сума моментів сил відносно певної нерухомої осі дорівнює нулю, відповідна складова моменту кількості руху зберігається.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Точка масою 2 кг рухається зі швидкістю 4 м\u002Fс перпендикулярно до радіус-вектора довжиною 0,5 м. Тоді $L_O=mvr=2\\cdot4\\cdot0{,}5=4$ кг·м²\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати момент кількості руху з моментом сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>міняти порядок векторного добутку;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати повну відстань $r$ замість плеча $h$, коли вектори не перпендикулярні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати закон збереження без перевірки зовнішнього моменту.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":609,"parent_id":582,"code":9,"slug":610,"name":611,"seo_title":612,"seo_description":613,"seo_text":614,"content":615,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":610,"children":616},233,"robota-syly-potuzhnist","Робота сили. Потужність","Робота сили та потужність — формули A = ∫F·dr і P = F·v","Як обчислити роботу сили та потужність у динаміці: A = ∫F·dr, робота сталої сили й типових сил, миттєва потужність P = F·v та знаки роботи.","Тема охоплює роботу сили на переміщенні, потужність, знаки роботи та обчислення роботи типових сил.","\u003Cp>\u003Cstrong>Робота сили\u003C\u002Fstrong> характеризує дію сили на переміщенні, а \u003Cstrong>потужність\u003C\u002Fstrong> — швидкість виконання роботи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Елементарна робота\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На нескінченно малому переміщенні $d\\vec r$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$dA=\\vec F\\cdot d\\vec r=F\\,ds\\cos\\alpha,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\alpha$ — кут між силою та напрямом переміщення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота на скінченному переміщенні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Від точки 1 до точки 2:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$A_{1\\to2}=\\int_1^2\\vec F\\cdot d\\vec r.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для сталої сили на прямолінійному переміщенні $s$: $A=Fs\\cos\\alpha$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Знак роботи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Робота додатна при гострому куті між силою і переміщенням, від’ємна при тупому та дорівнює нулю, якщо сила перпендикулярна до миттєвого переміщення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота сили тяжіння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поблизу поверхні Землі робота сили тяжіння залежить лише від зміни висоти: $A_g=mg(h_1-h_2)$. При русі вниз вона додатна, при русі вгору — від’ємна.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота сили пружності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для пружини з $F_x=-kx$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$A_s=\\frac{kx_1^2}{2}-\\frac{kx_2^2}{2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Потужність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Миттєва потужність сили:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$P=\\frac{dA}{dt}=\\vec F\\cdot\\vec v.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Одиниця SI — ват: $1\\,\\text{Вт}=1\\,\\text{Дж}\u002F\\text{с}$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Стала сила 50 Н переміщує точку на 3 м у своєму напрямі. Робота дорівнює 150 Дж. Якщо це переміщення відбулося за 5 с із рівномірною середньою швидкістю виконання роботи, середня потужність становить 30 Вт.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>використовувати $Fs$ без урахування кута;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати роботу з потужністю;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати роботу завжди додатною;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати середню потужність замість миттєвої $\\vec F\\cdot\\vec v$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":618,"parent_id":582,"code":9,"slug":619,"name":620,"seo_title":621,"seo_description":622,"seo_text":623,"content":624,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":619,"children":625},234,"kinetychna-enerhiia-tochky-teorema-pro-zminu","Кінетична енергія точки. Теорема про зміну кінетичної енергії","Кінетична енергія точки — формула mv²\u002F2 і теорема про зміну","Кінетична енергія матеріальної точки T = mv²\u002F2 та теорема T2 − T1 = A: як пов’язати зміну швидкості з роботою сил у задачах динаміки.","Тема пояснює кінетичну енергію матеріальної точки та застосування теореми про її зміну для розв’язування задач динаміки.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кінетична енергія\u003C\u002Fstrong> — скалярна міра механічного руху матеріальної точки. На відміну від кількості руху, вона не залежить від напряму швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінетична енергія точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для матеріальної точки маси $m$ зі швидкістю $v$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T=\\frac{mv^2}{2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Кінетична енергія невід’ємна і в SI вимірюється в джоулях.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Диференціальна форма теореми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Із $m\\vec a=\\sum\\vec F$ та $d\\vec r=\\vec vdt$ випливає:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$dT=\\sum\\vec F\\cdot d\\vec r=\\sum dA.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тобто елементарна зміна кінетичної енергії дорівнює сумі елементарних робіт сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтегральна форма\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Між положеннями 1 і 2:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T_2-T_1=\\sum A_{1\\to2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Це теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної точки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Переваги енергетичного методу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Метод безпосередньо пов’язує швидкості та положення й часто дозволяє не визначати час руху. Реакції ідеальних нерухомих в’язей, перпендикулярні до переміщення, роботи не виконують і можуть не входити до енергетичного рівняння.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Знак роботи та зміна швидкості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Додатна сумарна робота збільшує кінетичну енергію, від’ємна — зменшує. Проте теорема визначає зміну модуля швидкості через $v^2$, а не напрям вектора швидкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тіло масою 2 кг починає рух зі спокою, а сумарна робота сил на деякому переміщенні становить 36 Дж. Тоді $mv^2\u002F2=36$, звідки $v=6$ м\u002Fс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>приписувати кінетичній енергії знак напряму швидкості;\u003C\u002Fli>\u003Cli>враховувати лише одну силу замість сумарної роботи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати теорему про зміну кінетичної енергії із законом збереження механічної енергії;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати енергетичне рівняння для безпосереднього визначення напряму швидкості.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":627,"parent_id":582,"code":9,"slug":628,"name":629,"seo_title":630,"seo_description":631,"seo_text":632,"content":633,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":628,"children":634},235,"potentsialne-sylove-pole-potentsialna-enerhiia","Потенціальне силове поле. Потенціальна енергія","Потенціальна енергія — консервативні сили та зв’язок з роботою","Що таке потенціальне силове поле й консервативні сили, як потенціальна енергія пов’язана з роботою та як записують зміну енергії.","Тема вводить потенціальне силове поле, консервативні сили й потенціальну енергію та пояснює їх зв’язок із роботою сили.","\u003Cp>\u003Cstrong>Потенціальним силовим полем\u003C\u002Fstrong> називають поле, в якому робота сил між двома положеннями не залежить від траєкторії руху, а визначається лише початковим і кінцевим положеннями. Такі сили називають консервативними.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Потенціальна енергія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для консервативної сили вводять потенціальну енергію $\\Pi$, таку що робота сили при переході з положення 1 у положення 2 дорівнює:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$A_{1\\to2}=\\Pi_1-\\Pi_2=-\\Delta\\Pi.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Нульовий рівень потенціальної енергії вибирають довільно; фізичне значення мають її різниці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила і потенціальна енергія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У просторовому випадку консервативна сила пов’язана з потенціальною енергією співвідношенням $\\vec F=-\\nabla\\Pi$. В одновимірному русі це дає $F_x=-d\\Pi\u002Fdx$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поле тяжіння поблизу Землі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо вісь висоти $h$ спрямована вгору, потенціальну енергію сили тяжіння можна записати як $\\Pi_g=mgh+C$. При виборі нульового рівня на $h=0$ маємо $\\Pi_g=mgh$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пружна сила\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для лінійної пружини $F_x=-kx$, тому потенціальна енергія деформації:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\Pi_s=\\frac{kx^2}{2}+C.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>При $x=0$ зазвичай вибирають $\\Pi_s=0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ознаки консервативної сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для консервативної сили робота по будь-якому замкненому контуру дорівнює нулю. Сухе тертя ковзання та більшість моделей опору середовища не є консервативними: їх робота залежить від пройденого шляху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тіло масою 3 кг опускається на 2 м. Зміна потенціальної енергії тяжіння дорівнює $\\Delta\\Pi=-3g\\cdot2$, а робота сили тяжіння — $A_g=6g\\approx58{,}9$ Дж при $g=9{,}81$ м\u002Fс².\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати роботу консервативної сили зі зміною потенціальної енергії: між ними протилежні знаки;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати абсолютне значення потенціальної енергії однозначним без вибору нульового рівня;\u003C\u002Fli>\u003Cli>приписувати потенціальну енергію сухому тертю;\u003C\u002Fli>\u003Cli>забувати знак мінус у $\\vec F=-\\nabla\\Pi$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":636,"parent_id":582,"code":9,"slug":637,"name":638,"seo_title":639,"seo_description":640,"seo_text":641,"content":642,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":637,"children":643},236,"zakon-zberezhennia-mekhanichnoi-enerhii","Закон збереження механічної енергії","Закон збереження механічної енергії — формула T + Π = const","Коли виконується закон збереження механічної енергії: сума кінетичної T і потенціальної Π енергій, консервативні сили та енергетичний баланс.","Тема розглядає умови збереження механічної енергії та використання енергетичного балансу в задачах динаміки.","\u003Cp>\u003Cstrong>Механічна енергія\u003C\u002Fstrong> системи визначається як сума її кінетичної та потенціальної енергій: $E=T+\\Pi$. Для системи, на яку діють лише консервативні сили, ця сума залишається сталою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон збереження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо робота всіх неконсервативних сил дорівнює нулю, то:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T_1+\\Pi_1=T_2+\\Pi_2=const.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Кінетична й потенціальна енергії можуть переходити одна в одну, але їх сума не змінюється.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Енергетичний баланс\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У загальнішому випадку зміна механічної енергії дорівнює роботі неконсервативних сил:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$E_2-E_1=A_{nc}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Наприклад, від’ємна робота сухого тертя зменшує механічну енергію.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Гравітаційна система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки в однорідному полі тяжіння без опору $mv^2\u002F2+mgh=const$. Зменшення висоти супроводжується збільшенням кінетичної енергії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пружна система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для маси, зв’язаної з ідеальною пружиною, за відсутності втрат $mv^2\u002F2+kx^2\u002F2=const$. У крайніх положеннях швидкість може дорівнювати нулю, а пружна потенціальна енергія — бути максимальною.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір рівня потенціальної енергії\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Закон збереження не залежить від вибору нульового рівня $\\Pi$, якщо один і той самий рівень використано в усіх станах задачі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тіло падає зі спокою без опору з висоти 5 м. Вибравши $\\Pi=0$ внизу, маємо $mgh=mv^2\u002F2$, тому $v=\\sqrt{2gh}\\approx9{,}90$ м\u002Fс при $g=9{,}81$ м\u002Fс².\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>застосовувати закон збереження механічної енергії при наявності неврахованої роботи тертя;\u003C\u002Fli>\u003Cli>змішувати різні нульові рівні потенціальної енергії;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати окремо $T$ і $\\Pi$ сталими;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати збереження механічної енергії зі збереженням повної енергії фізичної системи.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":645,"parent_id":528,"code":9,"slug":646,"name":647,"seo_title":648,"seo_description":649,"seo_text":650,"content":651,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":646,"children":652},291,"dynamika-mekhanichnoi-systemy","Динаміка механічної системи","Динаміка механічної системи — центр мас, імпульс і енергія","Основні теореми динаміки механічної системи: рух центра мас, кількість руху, кінетичний момент і кінетична енергія системи.","Розділ охоплює динаміку систем матеріальних точок: центр мас, теореми про кількість руху, кінетичний момент і кінетичну енергію.","\u003Cp>\u003Cstrong>Динаміка механічної системи\u003C\u002Fstrong> поширює закони динаміки з однієї матеріальної точки на систему взаємодіючих точок або тверде тіло. Замість аналізу руху кожної частинки окремо часто використовують інтегральні характеристики всієї системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Центр мас\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Положення центра мас визначається розподілом маси. Теорема про рух центра мас показує, що його рух визначається головним вектором зовнішніх сил; внутрішні сили не змінюють рух центра мас системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кількість руху та кінетичний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сумарна кількість руху характеризує поступальну складову руху системи, а кінетичний момент — її обертальну характеристику відносно точки або осі. Теореми про їх зміну пов’язують ці величини із зовнішніми силами та моментами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінетична енергія системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кінетична енергія дорівнює сумі кінетичних енергій усіх точок системи. Теорема про її зміну враховує роботу сил і є одним із найзручніших енергетичних методів аналізу складних механічних систем.\u003C\u002Fp>",[653,662,671,680,689,698],{"id":654,"parent_id":645,"code":9,"slug":655,"name":656,"seo_title":657,"seo_description":658,"seo_text":659,"content":660,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":655,"children":661},237,"dynamika-mekhanichnoi-systemy-tsentr-mas","Динаміка механічної системи. Центр мас","Центр мас механічної системи — формула та рівняння руху","Що таке центр мас механічної системи, як його визначити за масами точок і як зовнішні сили визначають рух центра мас системи.","Тема вводить механічну систему, класифікацію сил і центр мас та готує до загальних теорем динаміки системи.","\u003Cp>\u003Cstrong>Механічна система\u003C\u002Fstrong> — сукупність матеріальних точок або тіл, рух яких розглядають спільно. Перехід від однієї точки до системи дає змогу сформулювати загальні теореми динаміки для центра мас, кількості руху, кінетичного моменту та енергії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Маса системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з $n$ матеріальних точок загальна маса:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M=\\sum_{i=1}^{n}m_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У класичній механіці замкненої системи масу вважають сталою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зовнішні та внутрішні сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Зовнішні сили\u003C\u002Fstrong> діють на точки системи з боку тіл, які до системи не входять. \u003Cstrong>Внутрішні сили\u003C\u002Fstrong> — сили взаємодії між точками або тілами самої системи. Класифікація залежить від того, яку сукупність тіл обрано системою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Властивості внутрішніх сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За третім законом Ньютона внутрішні сили попарно рівні й протилежні. Тому їх головний вектор дорівнює нулю. Для центральних парних взаємодій також дорівнює нулю сумарний момент внутрішніх сил відносно довільного центра.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Центр мас\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Положення центра мас $C$ визначається:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec r_C=\\frac{1}{M}\\sum_{i=1}^{n}m_i\\vec r_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У декартових координатах $x_C=\\sum m_ix_i\u002FM$, $y_C=\\sum m_iy_i\u002FM$, $z_C=\\sum m_iz_i\u002FM$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкість і прискорення центра мас\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для сталої маси системи диференціювання дає $\\vec v_C=(1\u002FM)\\sum m_i\\vec v_i$ та $\\vec a_C=(1\u002FM)\\sum m_i\\vec a_i$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Суцільне тіло\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для неперервного розподілу маси суми замінюють інтегралами: $\\vec r_C=(1\u002FM)\\int\\vec r\\,dm$. За наявності симетрії центр мас часто лежить на осі, площині або в центрі симетрії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Дві точки масами 2 кг і 3 кг лежать на осі $x$ у координатах 0 м і 5 м. Тоді $x_C=(2\\cdot0+3\\cdot5)\u002F5=3$ м.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вважати поділ сил на внутрішні й зовнішні абсолютним, незалежним від вибору системи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>знаходити центр мас як просте середнє координат для нерівних мас;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати центр мас із геометричним центром неоднорідного тіла;\u003C\u002Fli>\u003Cli>робити висновок, що внутрішні сили взагалі не впливають на рух частин системи.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":663,"parent_id":645,"code":9,"slug":664,"name":665,"seo_title":666,"seo_description":667,"seo_text":668,"content":669,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":664,"children":670},238,"teorema-pro-rukh-tsentra-mas-systemy","Теорема про рух центра мас системи","Теорема про рух центра мас — рівняння M·aC = ΣFзовн","Як рухається центр мас механічної системи: рівняння M·aC = ΣFзовн, роль зовнішніх сил і наслідки для замкнених систем.","Тема розглядає теорему про рух центра мас і зв’язок прискорення центра мас із головним вектором зовнішніх сил.","\u003Cp>\u003Cstrong>Теорема про рух центра мас\u003C\u002Fstrong> дозволяє описати поступальний рух механічної системи одним рівнянням, у якому внутрішні сили не входять явно.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Виведення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожної точки системи $m_i\\vec a_i=\\vec F_i^{e}+\\vec F_i^{i}$. Після підсумовування за всіма точками внутрішні сили взаємно компенсуються, а $\\sum m_i\\vec a_i=M\\vec a_C$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основне рівняння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Отже:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M\\vec a_C=\\sum\\vec F^{e}=\\vec R^{e},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\vec R^{e}$ — головний вектор зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Проєкції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У декартових координатах:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M\\ddot x_C=\\sum F_x^{e},\\qquad M\\ddot y_C=\\sum F_y^{e},\\qquad M\\ddot z_C=\\sum F_z^{e}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Ці рівняння мають ту саму форму, що й рівняння руху матеріальної точки маси $M$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Наслідок при нульовій рівнодійній\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\sum\\vec F^{e}=0$, то $\\vec a_C=0$ і $\\vec v_C=const$. Центр мас або перебуває в спокої, або рухається рівномірно прямолінійно.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Збереження координати центра мас\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сума проєкцій зовнішніх сил лише на одну вісь, наприклад $x$, дорівнює нулю, то $v_{Cx}=const$. Якщо додатково $v_{Cx}(0)=0$, координата $x_C$ залишається сталою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Внутрішні сили можуть суттєво змінювати взаємне положення частин системи, але не можуть самі по собі змінити рух центра мас замкненої системи. Саме тому переміщення частин усередині ізольованої системи супроводжується компенсуючим рухом інших частин.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На систему масою 10 кг діє горизонтальна зовнішня рівнодійна 30 Н. Незалежно від внутрішніх взаємодій $a_C=30\u002F10=3$ м\u002Fс² у напрямі сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>включати внутрішні сили до правої частини рівняння центра мас після їх попарного підсумовування;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що $\\sum\\vec F^e=0$ означає нерухомий центр мас, а не сталу його швидкість;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати теорему до окремої частини системи, не перекласифікувавши сили на зовнішні та внутрішні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ототожнювати рух центра мас із рухом кожної точки системи.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":672,"parent_id":645,"code":9,"slug":673,"name":674,"seo_title":675,"seo_description":676,"seo_text":677,"content":678,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":673,"children":679},239,"teorema-pro-zminu-kilkosti-rukhu-systemy","Теорема про зміну кількості руху механічної системи","Імпульс механічної системи — теорема та закон збереження","Кількість руху механічної системи, імпульс зовнішніх сил, теорема про зміну імпульсу та умови закону збереження кількості руху.","Тема розглядає теорему про зміну кількості руху механічної системи та умови його збереження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кількість руху механічної системи\u003C\u002Fstrong> дорівнює векторній сумі кількостей руху всіх її матеріальних точок. Теорема про її зміну дає змогу описувати поступальну складову руху системи через дію лише зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кількість руху системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з $n$ точок:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec Q=\\sum_{i=1}^{n}m_i\\vec v_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Оскільки $\\vec v_C=(1\u002FM)\\sum m_i\\vec v_i$, маємо важливе співвідношення:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec Q=M\\vec v_C.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Диференціальна форма теореми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Підсумовуючи рівняння руху всіх точок системи та враховуючи взаємне компенсування внутрішніх сил, отримуємо:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{d\\vec Q}{dt}=\\sum\\vec F^{e}=\\vec R^{e}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Швидкість зміни кількості руху системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтегральна форма\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За проміжок часу від $t_1$ до $t_2$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec Q_2-\\vec Q_1=\\int_{t_1}^{t_2}\\sum\\vec F^{e}\\,dt.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, зміна кількості руху системи дорівнює сумарному імпульсу зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон збереження кількості руху\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\sum\\vec F^{e}=0$, то $\\vec Q=const$. Якщо нульовою є лише сума проєкцій зовнішніх сил на певну вісь, зберігається відповідна проєкція кількості руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Внутрішні сили можуть змінювати швидкості окремих частин системи, але не змінюють її сумарну кількість руху. Саме це лежить в основі аналізу віддачі, розділення тіл та багатьох задач ударної взаємодії за малим зовнішнім імпульсом.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Два тіла масами 2 кг і 3 кг рухаються вздовж однієї осі зі швидкостями 4 м\u002Fс і -1 м\u002Fс. Кількість руху системи: $Q_x=2\\cdot4+3\\cdot(-1)=5$ кг·м\u002Fс. Якщо зовнішній імпульс уздовж осі дорівнює нулю, це значення зберігається.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>додавати модулі кількостей руху замість їх векторних проєкцій;\u003C\u002Fli>\u003Cli>включати внутрішні сили до сумарного зовнішнього імпульсу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати, що збереження $\\vec Q$ означає незмінність швидкості кожної точки;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати закон збереження без перевірки зовнішнього імпульсу.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":681,"parent_id":645,"code":9,"slug":682,"name":683,"seo_title":684,"seo_description":685,"seo_text":686,"content":687,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":682,"children":688},240,"teorema-pro-zminu-kinetychnoho-momentu-systemy","Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи","Кінетичний момент системи — теорема та закон збереження","Як визначають кінетичний момент механічної системи відносно центра й осі, як він змінюється під дією зовнішніх моментів і коли зберігається.","Тема розглядає теорему про зміну кінетичного моменту механічної системи та умови збереження моменту кількості руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кінетичний момент механічної системи\u003C\u002Fstrong> (момент кількості руху системи) характеризує обертальну складову її руху відносно вибраного центра або осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінетичний момент відносно центра\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Відносно нерухомого центра $O$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec K_O=\\sum_{i=1}^{n}\\vec r_i\\times m_i\\vec v_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Відносно осі використовують проєкцію цього вектора на відповідну вісь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема про зміну кінетичного моменту\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для нерухомого центра $O$ в інерціальній системі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{d\\vec K_O}{dt}=\\sum\\vec M_O^{e}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Похідна кінетичного моменту системи за часом дорівнює головному моменту зовнішніх сил відносно того самого центра.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому внутрішні сили не входять\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для центральних парних внутрішніх сил моменти сил взаємодії взаємно компенсуються. Тому в рівнянні для всієї системи залишається лише сумарний момент зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема відносно осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Проєктуючи векторне рівняння на нерухому вісь $z$, отримуємо:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{dK_z}{dt}=\\sum M_z^{e}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон збереження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\sum\\vec M_O^{e}=0$, то $\\vec K_O=const$. Якщо нульовою є лише сума моментів зовнішніх сил відносно певної осі, зберігається відповідна складова кінетичного моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Обертання твердого тіла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для твердого тіла, що обертається навколо нерухомої головної осі $z$, маємо $K_z=I_z\\omega$. Тоді рівняння набуває форми $I_z\\dot\\omega=\\sum M_z^{e}$ за сталого $I_z$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо тверде тіло має $I_z=2$ кг·м² і обертається з $\\omega=5$ рад\u002Fс, то $K_z=10$ кг·м²\u002Fс. За нульового зовнішнього моменту відносно осі це значення зберігається.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати кінетичний момент із моментом сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>брати моменти сил відносно одного центра, а кінетичний момент — відносно іншого;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати $K_z=I_z\\omega$ без перевірки умов руху та вибору осі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>стверджувати збереження всього вектора, якщо нульовою є лише одна проєкція зовнішнього моменту.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":690,"parent_id":645,"code":9,"slug":691,"name":692,"seo_title":693,"seo_description":694,"seo_text":695,"content":696,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":691,"children":697},241,"kinetychna-enerhiia-mekhanichnoi-systemy","Кінетична енергія механічної системи","Кінетична енергія механічної системи — формули для руху тіла","Формули кінетичної енергії механічної системи й твердого тіла при поступальному русі, обертанні навколо осі та плоскопаралельному русі.","Тема розглядає кінетичну енергію механічної системи та формули для основних видів руху твердого тіла.","\u003Cp\r\n  >\u003Cstrong>Кінетична енергія механічної системи\u003C\u002Fstrong> дорівнює сумі кінетичних енергій усіх її\r\n  матеріальних точок. Це скалярна величина, тому енергії окремих частин додаються алгебраїчно.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Загальне визначення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з $n$ точок:\u003C\u002Fp\r\n>\u003Cp>$$T=\\sum_{i=1}^{n}\\frac{m_iv_i^2}{2}.$$\u003C\u002Fp\r\n>\u003Cp>Кінетична енергія системи невід’ємна та вимірюється в джоулях.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема Кеніга\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Кінетичну енергію системи можна подати як суму енергії поступального руху центра мас і енергії\r\n  руху відносно центра мас:\u003C\u002Fp\r\n>\u003Cp>$$T=\\frac{Mv_C^2}{2}+T_C.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Цей розклад особливо корисний для твердого тіла.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Поступальний рух твердого тіла\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp>При поступальному русі всі точки тіла мають однакову швидкість, тому:\u003C\u002Fp\r\n>\u003Cp>$$T=\\frac{Mv_C^2}{2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Обертання навколо нерухомої осі\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp>Якщо тіло обертається з кутовою швидкістю $\\omega$ навколо нерухомої осі $z$, то:\u003C\u002Fp\r\n>\u003Cp>$$T=\\frac{I_z\\omega^2}{2},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $I_z$ — момент інерції тіла відносно осі обертання.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Плоскопаралельний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для плоского руху твердого тіла:\u003C\u002Fp\r\n>\u003Cp>$$T=\\frac{Mv_C^2}{2}+\\frac{I_C\\omega^2}{2},$$\u003C\u002Fp\r\n>\u003Cp>де $I_C$ — момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас, перпендикулярної до площини руху.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Диск масою 4 кг має швидкість центра мас 3 м\u002Fс, момент інерції відносно центральної осі 0,5 кг·м²\r\n  і кутову швидкість 4 рад\u002Fс. Тоді $T=4\\cdot3^2\u002F2+0{,}5\\cdot4^2\u002F2=18+4=22$ Дж.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cul\r\n  >\u003Cli>використовувати лише поступальну складову для тіла, яке одночасно обертається;\u003C\u002Fli\r\n  >\u003Cli>підставляти момент інерції відносно неправильної осі;\u003C\u002Fli\r\n  >\u003Cli>додавати швидкості замість кінетичних енергій;\u003C\u002Fli\r\n  >\u003Cli\r\n    >забувати, що при чистому поступальному русі відносна кінетична енергія дорівнює нулю.\u003C\u002Fli\r\n  >\u003C\u002Ful\r\n>\r\n",[],{"id":699,"parent_id":645,"code":9,"slug":700,"name":701,"seo_title":702,"seo_description":703,"seo_text":704,"content":705,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":700,"children":706},242,"teorema-pro-zminu-kinetychnoi-enerhii-systemy","Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи","Теорема про зміну кінетичної енергії системи — робота сил","Як застосовувати теорему T2 − T1 = A до механічної системи: зміна кінетичної енергії, робота зовнішніх і внутрішніх сил та розрахунок руху.","Тема пояснює теорему про зміну кінетичної енергії механічної системи та роль роботи зовнішніх і внутрішніх сил.","\u003Cp>\u003Cstrong>Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи\u003C\u002Fstrong> пов’язує зміну її кінетичної енергії з роботою сил, що діють на точки системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Диференціальна форма\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожної точки елементарна зміна кінетичної енергії дорівнює елементарній роботі прикладених сил. Після підсумовування за системою:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$dT=\\sum dA^{e}+\\sum dA^{i},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де верхні індекси $e$ та $i$ позначають зовнішні й внутрішні сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтегральна форма\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Між положеннями 1 і 2:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T_2-T_1=\\sum A_{1\\to2}^{e}+\\sum A_{1\\to2}^{i}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>На відміну від теорем про кількість руху та кінетичний момент, робота внутрішніх сил у загальному випадку не дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні сили у твердому тілі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для абсолютно твердого тіла ідеальні внутрішні сили попарно не виконують сумарної роботи, оскільки відстані між точками тіла незмінні. Для деформівної системи внутрішні сили можуть виконувати роботу, пов’язану зі зміною внутрішньої або потенціальної енергії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ідеальні в’язі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реакції ідеальних нерухомих в’язей часто не виконують роботи, якщо точка прикладання не переміщується в напрямі реакції. Це дозволяє виключити невідомі реакції з енергетичного рівняння.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Застосування до твердого тіла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Спочатку обчислюють $T_1$ і $T_2$ за видом руху — поступальним, обертальним або плоским — а потім прирівнюють їх різницю до сумарної роботи сил і пар сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота моменту при обертанні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для моменту $M_z$, що діє при обертанні навколо нерухомої осі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$A=\\int_{\\varphi_1}^{\\varphi_2}M_z\\,d\\varphi.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для сталого моменту $A=M_z(\\varphi_2-\\varphi_1)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тіло починає рух зі спокою, а сумарна робота зовнішніх і внутрішніх сил дорівнює 50 Дж. Тоді його кінетична енергія в кінцевому стані становить 50 Дж. Подальше визначення швидкостей залежить від виду руху та розподілу маси.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>автоматично відкидати роботу всіх внутрішніх сил для будь-якої механічної системи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати неправильний вираз кінетичної енергії для заданого виду руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>включати реакції, які роботи не виконують, або навпаки пропускати реакції рухомих в’язей;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати роботу моменту сили з самим моментом.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":708,"parent_id":528,"code":9,"slug":709,"name":710,"seo_title":711,"seo_description":712,"seo_text":713,"content":714,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":709,"children":715},292,"analitychna-mekhanika-ta-kolyvannia","Аналітична механіка та коливання","Аналітична механіка — Даламбер, віртуальна робота й рівняння Лагранжа","Основи аналітичної механіки: принцип Даламбера, можливі переміщення та віртуальна робота, рівняння Лагранжа другого роду й малі коливання.","Розділ об’єднує основи аналітичної механіки — принцип Даламбера, віртуальну роботу, рівняння Лагранжа — та вступ до малих коливань.","\u003Cp>\u003Cstrong>Аналітична механіка та коливання\u003C\u002Fstrong> об’єднує методи, що дозволяють описувати рух складних систем через в’язі, можливі переміщення та узагальнені координати. Ці підходи особливо корисні, коли пряме застосування рівнянь Ньютона приводить до великої кількості невідомих реакцій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип Даламбера\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Введення сил інерції дозволяє подати рівняння динаміки у формі, подібній до умов рівноваги. Це не перетворює задачу на статичну, а лише створює зручну математичну форму для подальшого аналізу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Можливі переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для систем з ідеальними в’язями віртуальна робота реакцій дорівнює нулю. Поєднання цієї властивості з принципом Даламбера приводить до загального рівняння динаміки й дозволяє усувати реакції в’язей із рівнянь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння Лагранжа\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Перехід до незалежних узагальнених координат дає рівняння Лагранжа другого роду — систематичний інструмент побудови рівнянь руху багатьох механічних систем.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Малі коливання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поблизу положення стійкої рівноваги рух часто можна лінеаризувати. Для системи з одним ступенем вільності це приводить до класичних моделей вільних, затухаючих і вимушених коливань та поняття резонансу.\u003C\u002Fp>",[716,725,734,743,752],{"id":717,"parent_id":708,"code":9,"slug":718,"name":719,"seo_title":720,"seo_description":721,"seo_text":722,"content":723,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":718,"children":724},243,"pryntsyp-dalambera","Принцип Даламбера для матеріальної точки та системи","Принцип Даламбера — сила інерції та рівняння динаміки","Як застосовувати принцип Даламбера до матеріальної точки й механічної системи: сила інерції Fін = −ma та зведення рівнянь руху до формальної рівноваги.","Тема розглядає введення сил інерції та зведення задач динаміки до формально статичних рівнянь за принципом Даламбера.","\u003Cp>\u003Cstrong>Принцип Даламбера\u003C\u002Fstrong> дає змогу формально подати рівняння динаміки у вигляді рівнянь рівноваги, якщо до активних сил і реакцій в’язей додати сили інерції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила інерції матеріальної точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точки маси $m$ з прискоренням $\\vec a$ вводять силу інерції:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec F^{in}=-m\\vec a.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Це розрахункова величина, а не додаткова фізична взаємодія з іншим тілом.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип Даламбера для точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рівняння $m\\vec a=\\sum\\vec F$ можна переписати як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum\\vec F+\\vec F^{in}=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отримана форма нагадує умову статичної рівноваги, хоча точка може рухатися з прискоренням.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Механічна система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожної точки системи вводять $\\vec F_i^{in}=-m_i\\vec a_i$. Тоді сили, реакції в’язей і сили інерції утворюють формально зрівноважену систему в сенсі принципу Даламбера.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головний вектор сил інерції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи сталої маси:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec R^{in}=\\sum\\vec F_i^{in}=-M\\vec a_C.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, головний вектор сил інерції визначається прискоренням центра мас.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головний момент сил інерції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Відносно вибраного центра $O$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\vec M_O^{in}=\\sum\\vec r_i\\times\\vec F_i^{in}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Разом із головним вектором він використовується при дослідженні динаміки твердих тіл і визначенні реакцій опор.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичне застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Метод зручний, коли потрібно знайти реакції в’язей у системі з відомим рухом. Після введення сил інерції можна використовувати структуру рівнянь, подібну до статики, але обов’язково з правильними інерційними членами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тіло масою 5 кг рухається поступально з прискоренням 3 м\u002Fс² вправо. Сила інерції має модуль 15 Н і напрямлена вліво. У рівняння Даламбера вона входить разом із реальними зовнішніми силами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>трактувати силу інерції як звичайну силу взаємодії;\u003C\u002Fli>\u003Cli>спрямовувати $\\vec F^{in}$ у напрямі прискорення замість протилежного;\u003C\u002Fli>\u003Cli>забувати моменти сил інерції для обертального руху;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати статичні рівняння без введення всіх необхідних інерційних членів.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":726,"parent_id":708,"code":9,"slug":727,"name":728,"seo_title":729,"seo_description":730,"seo_text":731,"content":732,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":727,"children":733},244,"mozhlyvi-peremishchennia-pryntsyp-mozhlyvykh-peremishchen","Можливі переміщення. Принцип можливих переміщень","Принцип можливих переміщень — віртуальна робота та умова рівноваги","Що таке можливі переміщення й ідеальні в’язі та як принцип віртуальної роботи використовують для запису умови рівноваги механічної системи.","Тема вводить можливі переміщення, ідеальні в’язі та принцип можливих переміщень як основу аналітичної механіки.","\u003Cp>\u003Cstrong>Можливе (віртуальне) переміщення\u003C\u002Fstrong> — нескінченно мале уявне переміщення системи, сумісне з накладеними в’язями в даний момент часу. Принцип можливих переміщень дозволяє записувати умови рівноваги без явного визначення реакцій ідеальних в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Можливі переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для точок системи можливі переміщення позначають $\\delta\\vec r_i$. Вони повинні задовольняти геометричним обмеженням в’язей, але не є фактичними переміщеннями за час $dt$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Віртуальна робота\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Елементарна віртуальна робота сил:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\delta A=\\sum_i\\vec F_i\\cdot\\delta\\vec r_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для силових пар додають відповідні члени $M\\,\\delta\\varphi$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ідеальні в’язі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>В’язі називають ідеальними, якщо сумарна віртуальна робота їх реакцій на будь-якому допустимому можливому переміщенні дорівнює нулю. Тоді реакції можна не включати до рівняння віртуальної роботи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип можливих переміщень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для рівноваги системи з ідеальними в’язями необхідно і, за звичайних умов стаціонарних в’язей, достатньо, щоб:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum_i\\vec F_i^{a}\\cdot\\delta\\vec r_i=0$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>для всіх допустимих можливих переміщень, де $\\vec F_i^{a}$ — активні сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Узагальнені координати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо положення системи задається незалежними координатами $q_j$, то $\\delta\\vec r_i=\\sum_j(\\partial\\vec r_i\u002F\\partial q_j)\\delta q_j$. Віртуальну роботу можна подати як $\\delta A=\\sum_jQ_j\\delta q_j$, де $Q_j$ — узагальнені сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевага методу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Метод особливо ефективний для механізмів із багатьма реакціями в’язей: якщо в’язі ідеальні, ці реакції автоматично виключаються з рівняння.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для важеля, що може обертатися навколо нерухомої осі, допустиме переміщення описується малим поворотом $\\delta\\varphi$. Умова $\\delta A=0$ приводить до рівності алгебраїчної суми моментів активних сил відносно осі нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати можливе переміщення з фактичним переміщенням за час $dt$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вибирати переміщення, несумісне з в’язями;\u003C\u002Fli>\u003Cli>відкидати роботу реакцій неідеальних в’язей;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати $\\delta$ звичайним диференціалом за часом.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":735,"parent_id":708,"code":9,"slug":736,"name":737,"seo_title":738,"seo_description":739,"seo_text":740,"content":741,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":736,"children":742},245,"zahalne-rivniannia-dynamiky","Загальне рівняння динаміки","Загальне рівняння динаміки — принцип Даламбера і віртуальна робота","Як отримують загальне рівняння динаміки механічної системи з ідеальними в’язями, поєднуючи принцип Даламбера з принципом можливих переміщень.","Тема розглядає загальне рівняння динаміки для систем з ідеальними в’язями як поєднання принципу Даламбера і принципу можливих переміщень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Загальне рівняння динаміки\u003C\u002Fstrong> поєднує принцип Даламбера з принципом можливих переміщень. Воно дозволяє складати рівняння руху систем з ідеальними в’язями без явного введення реакцій цих в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вихідна ідея\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За принципом Даламбера до активних сил і реакцій в’язей додають сили інерції $\\vec F_i^{in}=-m_i\\vec a_i$. Для формально зрівноваженої системи застосовують принцип можливих переміщень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Загальне рівняння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з ідеальними в’язями:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum_i(\\vec F_i^{a}-m_i\\vec a_i)\\cdot\\delta\\vec r_i=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Реакції ідеальних в’язей не входять до рівняння, оскільки їх сумарна віртуальна робота дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рівняння не означає, що система перебуває у статичній рівновазі. Інерційні члени враховують реальне прискорення точок, а віртуальні переміщення використовуються як математичний засіб усунення реакцій в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Через узагальнені координати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо система має $s$ ступенів вільності та координати $q_j$, то допустимі переміщення можна подати через незалежні $\\delta q_j$. Після групування коефіцієнтів при кожному $\\delta q_j$ отримують $s$ незалежних рівнянь руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Переваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Загальне рівняння динаміки особливо корисне для систем із геометричними в’язями, де пряме застосування законів Ньютона породжує багато невідомих реакцій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зв’язок із рівняннями Лагранжа\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Перехід до незалежних узагальнених координат і вираження інерційних членів через кінетичну енергію приводять до рівнянь Лагранжа другого роду.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з одним ступенем вільності всі допустимі $\\delta\\vec r_i$ виражають через одне $\\delta q$. Після підстановки загальне рівняння набуває вигляду $B(q,\\dot q,\\ddot q,t)\\delta q=0$. Оскільки $\\delta q$ довільне, $B=0$ є рівнянням руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>додавати реакції ідеальних в’язей, не використовуючи їх нульову віртуальну роботу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати сили інерції звичайними активними силами;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати залежні варіації координат як незалежні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати загальне рівняння динаміки з умовою статичної рівноваги.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":744,"parent_id":708,"code":9,"slug":745,"name":746,"seo_title":747,"seo_description":748,"seo_text":749,"content":750,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":745,"children":751},246,"rivniannia-lahranzha-druhoho-rodu","Рівняння Лагранжа другого роду","Рівняння Лагранжа другого роду — формула та узагальнені координати","Рівняння Лагранжа другого роду для механічних систем: узагальнені координати q, швидкості, узагальнені сили та складання рівнянь руху.","Тема вводить узагальнені координати й сили та рівняння Лагранжа другого роду як універсальний метод складання рівнянь руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Рівняння Лагранжа другого роду\u003C\u002Fstrong> дають систематичний спосіб отримати рівняння руху механічної системи через незалежні узагальнені координати, не вводячи явно реакції ідеальних в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Узагальнені координати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо система має $s$ ступенів вільності, її конфігурацію можна задати незалежними координатами $q_1,\\ldots,q_s$. Це можуть бути лінійні переміщення, кути або інші параметри, що однозначно визначають положення системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Узагальнені швидкості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Похідні $\\dot q_j$ називають узагальненими швидкостями. Кінетична енергія системи записується як функція $T(q_j,\\dot q_j,t)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Узагальнені сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Віртуальна робота активних сил подається у вигляді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\delta A=\\sum_{j=1}^{s}Q_j\\delta q_j,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $Q_j$ — узагальнена сила, що відповідає координаті $q_j$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння Лагранжа\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з ідеальними в’язями:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{d}{dt}\\left(\\frac{\\partial T}{\\partial\\dot q_j}\\right)-\\frac{\\partial T}{\\partial q_j}=Q_j,\\qquad j=1,\\ldots,s.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Кількість незалежних рівнянь дорівнює числу ступенів вільності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Консервативні сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сили мають потенціальну енергію $\\Pi(q,t)$, то $Q_j=-\\partial\\Pi\u002F\\partial q_j$ для відповідної консервативної частини. Вводячи функцію Лагранжа $L=T-\\Pi$, рівняння можна записати як $d(\\partial L\u002F\\partial\\dot q_j)\u002Fdt-\\partial L\u002F\\partial q_j=Q_j^{nc}$, де $Q_j^{nc}$ — неконсервативні узагальнені сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розв’язування\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>визначити число ступенів вільності;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вибрати незалежні $q_j$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>виразити положення та швидкості частин системи через $q_j,\\dot q_j$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обчислити $T$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначити $Q_j$ або $\\Pi$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>скласти по одному рівнянню Лагранжа для кожної координати.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для вантажу маси $m$ на горизонтальній пружині з координатою $x$: $T=m\\dot x^2\u002F2$, $\\Pi=kx^2\u002F2$. Тоді рівняння Лагранжа дає $m\\ddot x+kx=0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вибирати залежні координати як незалежні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати узагальнену силу зі звичайною силою в ньютонах — для кутової координати вона має розмірність моменту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>пропускати залежність кінетичної енергії від координат;\u003C\u002Fli>\u003Cli>подвійно враховувати консервативну силу і через $\\Pi$, і через $Q_j$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":753,"parent_id":708,"code":9,"slug":754,"name":755,"seo_title":756,"seo_description":757,"seo_text":758,"content":759,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":754,"children":760},247,"mali-kolyvannia-systemy-z-odnym-stupenem-vilnosti","Малі коливання системи з одним ступенем вільності","Малі коливання системи з одним ступенем вільності — частота й резонанс","Вільні та вимушені коливання системи з одним ступенем вільності: рівняння руху, власна частота, амплітуда та умова резонансу.","Тема розглядає лінеаризовані вільні та вимушені коливання системи з одним ступенем вільності, власну частоту та резонанс.","\u003Cp>\u003Cstrong>Малі коливання\u003C\u002Fstrong> виникають поблизу положення стійкої рівноваги, коли відхилення достатньо малі, щоб рівняння руху можна було лінеаризувати. Для системи з одним ступенем вільності рух описується однією узагальненою координатою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вільні коливання без опору\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Стандартне лінійне рівняння має вигляд:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\ddot x+kx=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Власна кругова частота:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\omega_n=\\sqrt{\\frac{k}{m}},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>а період $T=2\\pi\u002F\\omega_n$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон вільних коливань\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розв’язок можна записати як $x=C_1\\cos\\omega_nt+C_2\\sin\\omega_nt$ або $x=A\\cos(\\omega_nt+\\varphi)$. Амплітуда та початкова фаза визначаються початковими умовами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>В’язке демпфування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При лінійному опорі $c\\dot x$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\ddot x+c\\dot x+kx=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Характер руху залежить від співвідношення демпфування та критичного значення. При слабкому демпфуванні система здійснює затухаючі коливання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вимушені коливання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для гармонічної зовнішньої сили $F_0\\cos\\Omega t$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\ddot x+c\\dot x+kx=F_0\\cos\\Omega t.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Усталена відповідь має частоту збудження $\\Omega$, а її амплітуда залежить від частотного відношення та демпфування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Резонанс\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У недемпфованій ідеалізованій системі при $\\Omega=\\omega_n$ гармонічне збудження приводить до резонансного зростання амплітуди. За наявності демпфування амплітуда залишається скінченною, а максимум частотної характеристики зміщується залежно від демпфування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінеаризація поблизу рівноваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для загальної системи координату відлічують від положення стійкої рівноваги та залишають члени першого порядку за малим відхиленням. У результаті отримують рівняння типу $m_{eq}\\ddot q+c_{eq}\\dot q+k_{eq}q=Q(t)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи $m=2$ кг, $k=50$ Н\u002Fм без демпфування власна частота $\\omega_n=\\sqrt{50\u002F2}=5$ рад\u002Fс, а період $T=2\\pi\u002F5\\approx1{,}26$ с.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати кругову частоту в рад\u002Fс зі звичайною частотою $f=\\omega\u002F(2\\pi)$ у герцах;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати лінійну модель малих коливань при великих відхиленнях без перевірки;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати демпфування при оцінюванні резонансної амплітуди реальної системи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати фізичну масу $m$ замість еквівалентної інерції для складного механізму без виведення.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],{"id":57,"parent_id":9,"code":762,"slug":763,"name":764,"seo_title":765,"seo_description":766,"seo_text":767,"content":768,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":763,"children":769},"1","opir-materialiv","Опір матеріалів","Опір матеріалів — приклади задач, формули та схеми","Вивчайте опір матеріалів онлайн: покрокові приклади задач, формули міцності та наочні схеми для студентів і викладачів.","Опір матеріалів є фундаментальною інженерною дисципліною, що вивчає методи розрахунку елементів конструкцій та деталей машин на міцність, жорсткість і стійкість. У цьому розділі розглянуто базові поняття навантажень, внутрішніх сил, напружень і деформацій. Ви опануєте класичні гіпотези та допущення, такі як суцільність, ізотропність матеріалу та гіпотеза плоских перерізів Бернуллі. Наш онлайн-курс містить детальні теоретичні матеріали, графічні пояснення, розбір типових екзаменаційних задач і підказки для самостійного виконання розрахунково-графічних робіт (РГР).","\u003Cp>\u003Cstrong>Опір матеріалів\u003C\u002Fstrong> — інженерна дисципліна про міцність, жорсткість і стійкість елементів конструкцій та деталей машин під дією навантажень. Її основне завдання — пов’язати зовнішні сили з внутрішніми зусиллями, напруженнями та деформаціями і на цій основі виконати безпечний та раціональний розрахунок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що вивчає опір матеріалів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реальні елементи конструкцій деформуються під навантаженням. Тому недостатньо лише визначити реакції опор і умови рівноваги: потрібно встановити внутрішні силові фактори, оцінити напружений і деформований стан та перевірити, чи не буде перевищено допустимі межі.\u003C\u002Fp>\u003Cp>У курсі розглядаються стержні, вали, балки, тонкостінні оболонки та інші типові елементи. Основні види роботи — розтяг і стиск, зсув, кручення, згин та їх комбінації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Три основні умови працездатності\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Міцність\u003C\u002Fstrong> — здатність елемента витримувати навантаження без руйнування або недопустимого пластичного деформування.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Жорсткість\u003C\u002Fstrong> — здатність обмежувати переміщення і деформації заданими допустимими значеннями.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Стійкість\u003C\u002Fstrong> — здатність зберігати початкову форму рівноваги та не втрачати її при досягненні критичного навантаження.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Базова схема інженерного розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Задати розрахункову схему, геометрію, матеріал, опори та навантаження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити реакції та внутрішні силові фактори методом перерізів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити напруження і деформації за моделлю відповідного виду навантаження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити небезпечний переріз або критичний стан.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити міцність, жорсткість і, коли необхідно, стійкість.\u003C\u002Fli>\u003Cli>За результатами перевірки підібрати або скоригувати розміри елемента.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Основні поняття\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Напруження\u003C\u002Fstrong> характеризує інтенсивність внутрішніх сил у матеріалі, а \u003Cstrong>деформація\u003C\u002Fstrong> — зміну розмірів і форми. Для простого осьового навантаження середнє нормальне напруження визначають як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma=\\frac{N}{A},$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>$\\sigma$\u003C\u002Fstrong> — середнє нормальне напруження;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$N$\u003C\u002Fstrong> — поздовжня сила;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$A$\u003C\u002Fstrong> — площа поперечного перерізу.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>В області лінійно-пружної роботи матеріалу нормальні напруження і поздовжні деформації пов’язує закон Гука:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma=E\\varepsilon,$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>$\\sigma$\u003C\u002Fstrong> — нормальне напруження;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$E$\u003C\u002Fstrong> — модуль Юнга;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$\\varepsilon$\u003C\u002Fstrong> — поздовжня відносна деформація.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>Ці прості співвідношення є відправною точкою; для згину, кручення, складного напруженого стану, стійкості та контактної взаємодії застосовуються відповідні спеціалізовані моделі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Структура курсу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Матеріал побудовано від базових до складніших моделей: розтяг і стиск; зсув і зріз; кручення; напружений та деформований стан; геометричні характеристики перерізів; згин і переміщення балок; складний опір; енергетичні методи; стійкість стиснутих стержнів; динамічне й циклічне навантаження; розрахунок оболонок і контактні напруження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі застосовності моделей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Формули опору матеріалів базуються на певних припущеннях щодо геометрії, властивостей матеріалу, характеру деформацій і навантаження. Перед використанням формули потрібно перевірити її умови застосовності. Особливо це важливо для пластичності, локальних концентрацій напружень, великих деформацій, контактних задач і втрати стійкості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Як працювати з розділом\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожної теми доцільно послідовно засвоїти фізичну модель, систему знаків, основні рівняння, одиниці вимірювання та алгоритм розрахунку. Після цього формули варто закріплювати на типових інженерних прикладах і перевіряти результат за розмірністю, порядком величини та фізичним змістом.\u003C\u002Fp>",[770,906,1040,1058,1123,1186,1246,1305,1343,1373,1464,1482,1521,1593,1603],{"id":771,"parent_id":57,"code":772,"slug":773,"name":774,"seo_title":775,"seo_description":776,"seo_text":777,"content":778,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":773,"children":779},141,"1.0","osnovni-poniattia-ta-vydy-deformatsii","Основні поняття та види деформацій","Основні поняття та види деформацій — опір матеріалів","Що вивчає опір матеріалів: деформація, переміщення, міцність, жорсткість, стійкість, пружні й пластичні деформації та їх основні види.","Вступна тема до опору матеріалів пояснює, що вивчає дисципліна та навіщо інженеру розрізняти міцність, жорсткість і стійкість. Розглянуто поняття деформації та переміщення, відмінність пружної деформації від пластичної, а також основні види деформування стержневих елементів: розтяг, стиск, зсув, кручення і згин. Матеріал створює понятійну основу для подальшого вивчення напружень, внутрішніх сил і розрахункових моделей.","\u003Cp\r\n  >\u003Cstrong>Опір матеріалів\u003C\u002Fstrong> вивчає поведінку деформівних елементів конструкцій під\r\n  навантаженням. Перед переходом до розтягу, стиску, кручення чи згину важливо сформувати спільну\r\n  систему понять: що є деформацією, як моделюють матеріал і конструкцію та за якими критеріями\r\n  оцінюють працездатність.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Cp\r\n  >Цей вступний розділ послідовно розглядає предмет і завдання опору матеріалів; деформації та\r\n  переміщення; пружну й пластичну поведінку; основні види деформування; міцність, жорсткість і\r\n  стійкість; ізотропію, анізотропію та ортотропію; композитні матеріали; основні гіпотези й\r\n  інженерні ідеалізації.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Ключові поняття\u003C\u002Fh2>{{chunk:som-basic-concepts}}\u003Ch2>Карта основних видів деформування\u003C\u002Fh2\r\n>{{chunk:som-deformation-classification}}\u003Cp\r\n  >Мета цього розділу — не дати всі спеціальні формули, а пояснити мову й припущення, на яких\r\n  побудовані наступні розділи курсу. Детальні рівняння та методи розрахунку вводяться там, де\r\n  розглядається відповідний вид навантаження або механічна властивість.\u003C\u002Fp\r\n>\r\n",[780,790,800,810,820,830,840,851,862,873,884,895],{"id":781,"parent_id":771,"code":782,"slug":783,"name":784,"seo_title":785,"seo_description":786,"seo_text":787,"content":788,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":783,"children":789},143,"1.0.1","predmet-i-zavdannia-oporu-materialiv","Предмет і завдання опору матеріалів","Що вивчає опір матеріалів — предмет, задачі та розрахункова схема","Що вивчає опір матеріалів і які задачі він розв’язує: від реальної конструкції та навантажень до внутрішніх сил, напружень, деформацій і перевірок.","Тема пояснює предмет опору матеріалів, основні інженерні задачі та логіку переходу від реальної конструкції до розрахункової схеми. Розглянуто зв’язок зовнішніх навантажень із внутрішніми силами, напруженнями, деформаціями та перевірками працездатності.","\u003Cp>Опір матеріалів — наука про інженерні методи розрахунку елементів конструкцій на міцність, жорсткість і стійкість. Вона пов’язує зовнішнє навантаження з внутрішніми силовими факторами, напруженнями, деформаціями та переміщеннями.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Що вивчає опір матеріалів\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Об’єктом розрахунку є не вся конструкція в усіх її деталях, а її \u003Cstrong>розрахункова схема\u003C\u002Fstrong> — спрощена модель, у якій зберігають геометрію, навантаження, опори та властивості матеріалу, істотні для поставленої задачі.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:som-analysis-workflow}}\n\u003Ch2>Три основні вимоги\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Міцність\u003C\u002Fstrong> — здатність елемента не руйнуватися і не переходити в недопустимий стан під дією навантаження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Жорсткість\u003C\u002Fstrong> — здатність обмежувати деформації та переміщення допустимими значеннями.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Стійкість\u003C\u002Fstrong> — здатність зберігати задану форму рівноваги та не переходити раптово до іншої форми під дією навантаження.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Типова послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>\n\u003Col>\u003Cli>Ідеалізують реальний об’єкт і будують розрахункову схему.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Задають зовнішні навантаження та визначають реакції опор.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Методом перерізів знаходять внутрішні силові фактори.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначають напруження, деформації та переміщення.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевіряють умови міцності, жорсткості й, коли це необхідно, стійкості.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\n\u003Ch2>Місце дисципліни в інженерному розрахунку\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Статика допомагає встановити зовнішні реакції та рівновагу, а опір матеріалів дає змогу оцінити поведінку самого деформівного елемента. Для цього реальні тіла замінюють моделями матеріалу й елемента конструкції та застосовують прийняті гіпотези й ідеалізації.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Ключова ідея:\u003C\u002Fstrong> інженерний розрахунок має забезпечити працездатність конструкції при раціональному використанні матеріалу, а його точність визначається не лише формулами, а й коректністю розрахункової схеми та вихідних припущень.\u003C\u002Fp>",[],{"id":791,"parent_id":771,"code":792,"slug":793,"name":794,"seo_title":795,"seo_description":796,"seo_text":797,"content":798,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":793,"children":799},144,"1.0.2","deformatsiia-ta-peremishchennia","Деформація та переміщення","Деформація і переміщення — у чому різниця в опорі матеріалів","Чим деформація відрізняється від переміщення: абсолютна та відносна зміна розмірів, поступальний і обертальний рух та припущення малих деформацій.","Тема розмежовує переміщення тіла і його деформацію, пояснює абсолютні та відносні зміни розмірів і вводить поняття малих деформацій, яке використовується в базових моделях опору матеріалів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Переміщення\u003C\u002Fstrong> описує зміну положення точки тіла, а \u003Cstrong>деформація\u003C\u002Fstrong> — зміну форми або розмірів тіла, тобто відносного положення його точок. Ці поняття пов’язані, але не тотожні: тіло може переміщуватися як ціле без деформування.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Переміщення точки\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для малої деформації положення точки зручно описувати вектором переміщення \u003Cem>u\u003C\u002Fem>. Його компоненти показують, наскільки точка змістилася вздовж координатних осей. Переміщення має розмірність довжини.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:deformation-displacement-measures}}\n\u003Ch2>Абсолютна та відносна деформація\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для стержня початкової довжини \u003Cem>L\u003C\u002Fem> зміна довжини \u003Cem>ΔL\u003C\u002Fem> називається \u003Cstrong>абсолютним подовженням\u003C\u002Fstrong> або вкороченням. Безрозмірною мірою поздовжньої деформації є\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>ε = ΔL \u002F L.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>За розтягу ε>0, за стиску ε<0 за прийнятої знакової угоди.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Кутова деформація\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Зміна прямого кута між двома матеріальними напрямами характеризує деформацію зсуву. Для малих деформацій її описують кутом зсуву γ, який вимірюють у радіанах і в розрахунках вважають безрозмірним.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Малі деформації\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У класичному опорі матеріалів часто припускають, що деформації та повороти достатньо малі. Тоді геометричні зміни конструкції можна враховувати лінійно, а рівняння рівноваги в багатьох задачах записувати для початкової геометрії.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Важливо:\u003C\u002Fstrong> переміщення характеризує рух конкретної точки, тоді як деформація характеризує зміну відстаней і кутів між сусідніми точками матеріалу.\u003C\u002Fp>",[],{"id":801,"parent_id":771,"code":802,"slug":803,"name":804,"seo_title":805,"seo_description":806,"seo_text":807,"content":808,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":803,"children":809},145,"1.0.3","pruzhni-ta-plastychni-deformatsii","Пружні та пластичні деформації","Пружна і пластична деформація — різниця та поведінка після розвантаження","Чим відрізняються пружна й пластична деформації: відновлення форми після розвантаження, залишкова деформація та межі лінійно-пружної моделі.","Тема пояснює оборотні пружні та незворотні пластичні деформації, процес навантаження і розвантаження та роль пружної моделі в опорі матеріалів.","\u003Cp>За характером відновлення після розвантаження деформації поділяють на \u003Cstrong>пружні\u003C\u002Fstrong> та \u003Cstrong>пластичні\u003C\u002Fstrong>. Це розрізнення визначає, чи повернеться елемент до початкових розмірів після зняття навантаження.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Пружна деформація\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Пружна деформація зникає після повного зняття навантаження. У межах лінійно-пружної роботи матеріалу напруження та деформації пропорційні, а після розвантаження тіло повертається до початкового стану.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Пластична деформація\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Пластична деформація не зникає повністю після розвантаження. Якщо навантаження вивело матеріал за межі суто пружної роботи, після зняття сили залишається залишкова деформація.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:elastic-plastic-loading-path}}\n\u003Ch2>Розкладання повної деформації\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У простій одновісній постановці повну деформацію зручно уявляти як суму пружної та пластичної складових:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>ε = ε\u003Csub>e\u003C\u002Fsub> + ε\u003Csub>p\u003C\u002Fsub>.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Під час розвантаження пружна складова ε\u003Csub>e\u003C\u002Fsub> відновлюється, а пластична ε\u003Csub>p\u003C\u002Fsub> залишається.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Чому межа між ними важлива\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У більшості конструкцій нормальна експлуатація передбачає роботу без небажаних залишкових деформацій. Водночас пластична поведінка матеріалу може бути істотною для оцінки граничних станів, формування деталей та перерозподілу напружень.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Час і температура\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для деяких матеріалів деформація залежить не лише від рівня навантаження, а й від часу та температури. Тоді можуть проявлятися повзучість, релаксація напружень і в’язкопружна поведінка, які потребують окремих моделей.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Ключова відмінність:\u003C\u002Fstrong> пружна частина деформації оборотна, пластична — залишкова після повного розвантаження.\u003C\u002Fp>",[],{"id":811,"parent_id":771,"code":812,"slug":813,"name":814,"seo_title":815,"seo_description":816,"seo_text":817,"content":818,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":813,"children":819},146,"1.0.4","osnovni-vydy-deformuvannia","Основні види деформування","Основні види деформування: розтяг, стиск, зсув, кручення, згин","Огляд основних видів деформування елементів конструкцій: розтягу, стиску, зсуву, кручення, згину та комбінованого навантаження.","Оглядова тема систематизує основні види деформування стержневих елементів: розтяг, стиск, зсув, кручення та згин. Пояснено, що в реальних конструкціях ці види можуть поєднуватися.","\u003Cp>Вид деформування визначається тим, як зовнішнє навантаження змінює форму та розміри елемента і які внутрішні силові фактори виникають у його поперечних перерізах.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:threejs-rod-deformation-types}}\n\u003Ch2>Розтяг і стиск\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>За центрального осьового навантаження в поперечному перерізі стержня переважає поздовжня сила \u003Cem>N\u003C\u002Fem>. При розтягу стержень видовжується, при стиску — вкорочується. Основними є нормальні напруження та поздовжні деформації.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Зсув\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Зсув пов’язаний із дією сил, які прагнуть змістити сусідні частини тіла одна відносно одної. У перерізі виникає поперечна сила, а характерними є дотичні напруження та кутова деформація.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Кручення\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Кручення виникає, коли на стержень діють моменти відносно його поздовжньої осі. У поперечних перерізах виникає крутний момент \u003Cem>T\u003C\u002Fem>, а поперечні перерізи повертаються один відносно одного. Для круглих валів основними є дотичні напруження.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Згин\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Згин спричиняється поперечними силами та\u002Fабо моментами, через які вісь стержня викривляється. У перерізі істотними є згинальний момент \u003Cem>M\u003C\u002Fem> і, за наявності поперечного навантаження, поперечна сила.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Складне деформування\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У реальних конструкціях кілька видів деформування часто діють одночасно: наприклад, згин із крученням або позацентровий розтяг\u002Fстиск. Тоді напружений стан визначають за сумісною дією відповідних внутрішніх силових факторів.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Практичне правило:\u003C\u002Fstrong> вид деформування встановлюють не лише за виглядом зовнішнього навантаження, а насамперед за внутрішніми силовими факторами в розглянутому перерізі.\u003C\u002Fp>",[],{"id":821,"parent_id":771,"code":822,"slug":823,"name":824,"seo_title":825,"seo_description":826,"seo_text":827,"content":828,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":823,"children":829},147,"1.0.5","mitsnist-zhorstkist-stiikist","Міцність, жорсткість і стійкість","Міцність, жорсткість і стійкість — у чому різниця?","Чим відрізняються міцність, жорсткість і стійкість конструкції, які граничні стани вони описують і чому кожен критерій потрібно перевіряти окремо.","Тема пояснює відмінність між міцністю, жорсткістю та стійкістю. Показано, чому конструкція може бути достатньо міцною, але непридатною через надмірні переміщення або втрату стійкості.","\u003Cp>\u003Cstrong>Міцність, жорсткість і стійкість\u003C\u002Fstrong> — три різні вимоги до працездатності конструкції. Виконання однієї з них не гарантує виконання інших, тому в інженерному розрахунку їх перевіряють окремо.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:strength-stiffness-stability-comparison}}\n\u003Ch2>Міцність\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Міцність характеризує здатність елемента витримувати навантаження без руйнування або іншого недопустимого стану матеріалу. Перевірка міцності пов’язує розрахункові напруження чи силові фактори з допустимими або граничними значеннями, прийнятими для матеріалу й конструкції.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Жорсткість\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Жорсткість характеризує опір деформуванню. Навіть достатньо міцний елемент може бути непридатним до експлуатації, якщо його прогини, кути повороту, подовження або інші переміщення надто великі.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Стійкість\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Стійкість характеризує здатність системи зберігати задану форму рівноваги. Типовий приклад — довгий стиснутий стержень, який може раптово викривитися при досягненні критичного навантаження, хоча напруження матеріалу ще не відповідають руйнуванню.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Чому потрібні три перевірки\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\u003Cli>Короткий масивний елемент може бути жорстким, але недостатньо міцним.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Тонка балка може мати достатню міцність, але надмірний прогин.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Гнучкий стиснутий стержень може втратити стійкість раніше, ніж буде вичерпана міцність матеріалу.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Висновок:\u003C\u002Fstrong> працездатна конструкція має одночасно задовольняти всі критерії, які є істотними для її схеми навантаження та умов експлуатації.\u003C\u002Fp>",[],{"id":831,"parent_id":771,"code":832,"slug":833,"name":834,"seo_title":835,"seo_description":836,"seo_text":837,"content":838,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":833,"children":839},148,"1.0.6","modeli-ta-vlastyvosti-materialiv","Основні властивості та моделі матеріалів","Моделі матеріалів: однорідність, ізотропія та анізотропія","Однорідні й неоднорідні, ізотропні, анізотропні та ортотропні матеріали, а також лінійні й нелінійні моделі поведінки.","Тема вводить основні ідеалізації матеріалу в опорі матеріалів: однорідність, неоднорідність, ізотропію, анізотропію та ортотропію. Пояснено різницю між лінійними й нелінійними, пружними й пружнопластичними моделями.","\u003Cp>У механіці деформівного твердого тіла реальний матеріал замінюють \u003Cstrong>механічною моделлю\u003C\u002Fstrong> — ідеалізованим законом, який пов’язує напруження, деформації та, за потреби, історію навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні властивості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Пружність\u003C\u002Fstrong> — здатність матеріалу відновлювати початкову форму після зняття навантаження. \u003Cstrong>Пластичність\u003C\u002Fstrong> — здатність набувати залишкових деформацій без руйнування. \u003Cstrong>Жорсткість\u003C\u002Fstrong> характеризує опір пружній деформації та пов’язана з модулями пружності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінійно-пружна модель\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У найпростішій моделі для одновісного стану виконується закон Гука:\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[\\sigma=E\\varepsilon,\\]\u003C\u002Fp>\u003Cp>де \\(E\\) — модуль Юнга. Після розвантаження матеріал повертається до початкового стану.\u003C\u002Fp>{{chunk:material-model-stress-strain-response}}\u003Ch2>Нелінійно-пружна модель\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо залежність між \\(\\sigma\\) та \\(\\varepsilon\\) нелінійна, але після повного розвантаження залишкова деформація відсутня, поведінку називають нелінійно-пружною.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пружнопластична модель\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У пружнопластичній моделі до досягнення межі текучості деформація є пружною. Після початку пластичного деформування частина деформації зберігається після розвантаження.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для ідеально пружнопластичної моделі після досягнення \\(\\sigma_y\\) подальше пластичне деформування в ідеалізованій постановці відбувається без збільшення напруження. Моделі зі зміцненням враховують зростання опору пластичній деформації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Коефіцієнт Пуассона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За одновісного розтягу або стиску поздовжня деформація супроводжується поперечною. У межах лінійної пружності коефіцієнт Пуассона визначають як\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[\\nu=-\\frac{\\varepsilon_{\\perp}}{\\varepsilon_{\\parallel}}.\\]\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навіщо потрібні моделі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вибір моделі залежить від рівня навантаження та мети розрахунку. Для малих пружних деформацій часто достатньо лінійної моделі. Для аналізу залишкових деформацій, формозміни після текучості або граничних станів потрібні моделі пластичності.\u003C\u002Fp>",[],{"id":841,"parent_id":771,"code":842,"slug":843,"name":844,"seo_title":845,"seo_description":846,"seo_text":847,"content":848,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":849,"url_slug":843,"children":850},149,"1.0.7","kompozytni-materialy","Композитні матеріали","Композитні матеріали — матриця, армування, анізотропія та види","Що таке композитні матеріали: матриця й армування, волокнисті, шаруваті та сендвіч-композити, анізотропія і залежність міцності від напряму.","Вступ до композитних матеріалів для курсу опору матеріалів: роль матриці та армування, основні типи композитів, анізотропія та залежність жорсткості й міцності від напрямку навантаження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Композитний матеріал\u003C\u002Fstrong> складається щонайменше з двох компонентів із різними властивостями, які працюють разом як єдина система. Найчастіше виділяють \u003Cstrong>матрицю\u003C\u002Fstrong> та \u003Cstrong>армувальний компонент\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Матриця та армування\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Матриця зв’язує компоненти, передає навантаження між ними, захищає армування та формує геометрію виробу. Армування підвищує потрібні механічні характеристики — наприклад, жорсткість або міцність у заданому напрямі.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:composite-material-architectures}}\n\u003Ch2>Основні типи композитів\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Волокнисті\u003C\u002Fstrong> — містять довгі або короткі волокна в матриці.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Шаруваті\u003C\u002Fstrong> — утворені шарами з різними напрямами армування або властивостями.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Дисперсно-зміцнені\u003C\u002Fstrong> — містять дрібні частинки другої фази.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Сендвіч-конструкції\u003C\u002Fstrong> — мають тонкі міцні обшивки та легкий заповнювач.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Анізотропія\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Властивості композиту часто залежать від напряму. Наприклад, односпрямований волокнистий композит зазвичай має значно вищу жорсткість уздовж волокон, ніж поперек них. Тому для композитів важливо задавати не лише властивості матеріалу, а й орієнтацію армування.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Шаруваті композити\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У ламінатах окремі шари можуть мати різні кути орієнтації волокон. Комбінація шарів дає змогу керувати жорсткістю та міцністю конструкції в різних напрямах.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Особливості розрахунку\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для ізотропного матеріалу в найпростішій лінійно-пружній моделі достатньо двох незалежних пружних констант. Для ортотропних і загалом анізотропних матеріалів потрібна більша кількість характеристик, пов’язаних із напрямами матеріалу.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>У розрахунках композитів також важливі механізми руйнування: розрив волокон, руйнування матриці, відшарування між шарами та втрата зчеплення між компонентами.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Ключова ідея:\u003C\u002Fstrong> у композиті механічні властивості визначаються не лише матеріалами компонентів, а й їхньою геометрією, часткою, орієнтацією та взаємодією.\u003C\u002Fp>",7,[],{"id":852,"parent_id":771,"code":853,"slug":854,"name":855,"seo_title":856,"seo_description":857,"seo_text":858,"content":859,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":860,"url_slug":854,"children":861},150,"1.0.8","hipotezy-ta-idealizatsii","Гіпотези та ідеалізації опору матеріалів","Гіпотези опору матеріалів — малі деформації та принцип Сен-Венана","Основні гіпотези й ідеалізації опору матеріалів: суцільне середовище, малі деформації, стержнева модель, принцип Сен-Венана та межі їх застосування.","Тема пояснює, навіщо в опорі матеріалів використовують ідеалізації та припущення. Розглянуто модель суцільного середовища, малі деформації, стержневі розрахункові схеми та інженерний зміст принципу Сен-Венана.","\u003Cp>Інженерний розрахунок завжди базується на \u003Cstrong>ідеалізації\u003C\u002Fstrong> реальної конструкції. Ми спрощуємо геометрію, властивості матеріалу, навантаження та закріплення так, щоб модель залишалася достатньо точною для поставленої задачі.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Принцип Сен-Венана\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Принцип Сен-Венана стверджує: якщо два способи прикладання навантаження є статично еквівалентними, то на достатній відстані від області прикладання різниця між створеними ними напруженими станами стає малою.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:saint-venant-local-effect}}\n\u003Cp>Поблизу місця прикладання сили, контакту, отвору або іншої локальної особливості розподіл напружень може суттєво відрізнятися від спрощеної моделі. Тому принцип не слід використовувати для оцінки локальних концентрацій напружень.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Навіщо потрібні ідеалізації\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Без спрощень навіть проста деталь може вимагати складної тривимірної моделі. У курсі опору матеріалів реальні елементи замінюють стержнями, балками, валами, пластинами або іншими моделями, для яких можна отримати інженерні залежності.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Типові припущення\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Суцільність\u003C\u002Fstrong> — матеріал розглядають як неперервне середовище, не враховуючи атомну будову.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Однорідність\u003C\u002Fstrong> — властивості вважають однаковими в усіх точках моделі, якщо не задано інше.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Ізотропність\u003C\u002Fstrong> — властивості не залежать від напряму; це припущення не застосовне до всіх матеріалів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Лінійна пружність\u003C\u002Fstrong> — напруження пропорційні деформаціям у межах прийнятого діапазону.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Малі деформації\u003C\u002Fstrong> — зміни геометрії достатньо малі, щоб у багатьох задачах рівновагу записувати для початкової схеми.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Ідеалізація навантажень і опор\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Розподілене контактне навантаження іноді замінюють зосередженою силою, реальне з’єднання — шарніром або защемленням, а складну геометрію — стержневою моделлю. Такі заміни допустимі лише тоді, коли вони не спотворюють ті ефекти, які потрібно визначити.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Інженерне правило:\u003C\u002Fstrong> модель має бути настільки простою, наскільки можливо, і настільки детальною, наскільки необхідно для потрібної точності.\u003C\u002Fp>",8,[],{"id":863,"parent_id":771,"code":864,"slug":865,"name":866,"seo_title":867,"seo_description":868,"seo_text":869,"content":870,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":871,"url_slug":865,"children":872},159,"1.0.9","navantazhennia-ta-opory","Навантаження та опори","Навантаження та опори — сили, реакції й розрахункова схема","Види навантажень і опор в опорі матеріалів: зосереджені та розподілені сили, моменти, реакції опор і побудова схеми вільного тіла.","Вступна тема пояснює, як в опорі матеріалів задають зовнішні дії та закріплення. Розглянуто зосереджені сили й моменти, розподілені та об’ємні навантаження, статичні й динамічні дії, а також роль опорних реакцій у розрахунковій схемі.","\u003Cp>Розрахунок елемента конструкції починається з правильної \u003Cstrong>розрахункової схеми\u003C\u002Fstrong>: потрібно показати зовнішні навантаження, опори та їх реакції, а також геометрію, істотну для рівноваги й деформування.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Зовнішні навантаження\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>За способом прикладання навантаження поділяють на:\u003C\u002Fp>\n\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>зосереджені сили\u003C\u002Fstrong> — ідеалізована дія на малій ділянці, яку в моделі представляють силою \u003Cem>F\u003C\u002Fem>;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>зосереджені моменти\u003C\u002Fstrong> — пара сил, дію якої представляють моментом \u003Cem>M\u003C\u002Fem>;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>розподілені навантаження\u003C\u002Fstrong> — діють уздовж довжини, поверхні або об’єму;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>об’ємні сили\u003C\u002Fstrong> — діють на кожну частинку об’єму, наприклад сила тяжіння.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Статичні та динамічні навантаження\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Статичним\u003C\u002Fstrong> називають навантаження, яке змінюється достатньо повільно, щоб інерційними ефектами можна було знехтувати. \u003Cstrong>Динамічне\u003C\u002Fstrong> навантаження змінюється в часі так, що інерція стає істотною.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Опори та реакції\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Опора обмежує певні переміщення або повороти елемента. У розрахунковій схемі дію опори замінюють \u003Cstrong>реакціями\u003C\u002Fstrong>, напрям і кількість яких відповідають забороненим ступеням вільності.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:constraint-reaction-types}}\n\u003Ch2>Типові плоскі опори\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Рухома шарнірна опора\u003C\u002Fstrong> створює одну реакцію в напрямі, перпендикулярному до опорної поверхні.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Нерухома шарнірна опора\u003C\u002Fstrong> у плоскій задачі створює дві складові реакції, але не передає реактивного моменту.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Защемлення\u003C\u002Fstrong> у плоскій задачі створює дві складові сили реакції та реактивний момент.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Схема вільного тіла\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Щоб визначити реакції, елемент подумки звільняють від опор і замінюють кожну в’язь відповідними реакціями. Після цього для отриманої схеми вільного тіла записують рівняння рівноваги.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Розподілене навантаження\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для рівномірного навантаження інтенсивності \u003Cem>q\u003C\u002Fem> на ділянці довжини \u003Cem>L\u003C\u002Fem> рівнодійна дорівнює \u003Cem>qL\u003C\u002Fem> і прикладена в середині навантаженої ділянки. Для нерівномірного розподілу положення рівнодійної визначається геометрією епюри навантаження.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Ключова навичка:\u003C\u002Fstrong> перед записом рівнянь потрібно правильно визначити, які зовнішні сили та реакції діють на вибране тіло.\u003C\u002Fp>",9,[],{"id":874,"parent_id":771,"code":875,"slug":876,"name":877,"seo_title":878,"seo_description":879,"seo_text":880,"content":881,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":882,"url_slug":876,"children":883},160,"1.0.10","rozrakhunkovi-elementy-konstruktsii","Розрахункові елементи конструкцій","Розрахункові елементи конструкцій: стержні, балки, вали, пластини й оболонки","Основні розрахункові елементи опору матеріалів: стержень, брус, балка, вал, колона, пластина, оболонка та масивне тіло.","Тема знайомить з основними геометричними моделями елементів конструкцій в опорі матеріалів: стержнями, балками, валами, колонами, пластинами, оболонками та масивними тілами. Пояснено роль осі та поперечного перерізу.","\u003Cp>У розрахунках реальні деталі замінюють простішими \u003Cstrong>моделями елементів конструкцій\u003C\u002Fstrong>. Тип моделі визначається співвідношенням геометричних розмірів, формою та характером навантаження.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:structural-element-idealizations}}\n\u003Ch2>Стержень\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Стержень\u003C\u002Fstrong> — елемент, у якого один розмір, довжина, значно більший за характерні розміри поперечного перерізу. Лінію, що проходить через центри ваги поперечних перерізів, називають віссю стержня.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Балка\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Балка\u003C\u002Fstrong> — стержневий елемент, який переважно працює на згин під дією поперечних навантажень і моментів. У перерізах балки виникають згинальні моменти та поперечні сили, а в загальному випадку можуть бути й інші силові фактори.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Вал\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Вал\u003C\u002Fstrong> — стержневий елемент, основним навантаженням якого є крутний момент. Вали передають обертальний рух і потужність, тому для них особливо важливі розрахунки на кручення.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Колона\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Колона\u003C\u002Fstrong> — стержневий елемент, що переважно працює на стиск. Для довгих і гнучких колон поряд із міцністю особливо важлива перевірка стійкості.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Пластина\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Пластина\u003C\u002Fstrong> — тіло, у якого товщина значно менша за два інші розміри, а серединна поверхня є плоскою. Пластини можуть працювати на розтяг, стиск, згин або їх комбінацію.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Оболонка\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Оболонка\u003C\u002Fstrong> також має малу товщину порівняно з іншими розмірами, але її серединна поверхня є криволінійною. Приклади — резервуари, труби великого діаметра, куполи та корпусні конструкції.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Масивне тіло\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Якщо всі три розміри тіла мають один порядок, його не можна коректно звести до стержня, пластини чи оболонки. Такі об’єкти розглядають як просторові масивні тіла.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Важливо:\u003C\u002Fstrong> одна й та сама реальна деталь може моделюватися по-різному залежно від того, які ефекти потрібно дослідити і яка точність необхідна.\u003C\u002Fp>",10,[],{"id":885,"parent_id":771,"code":886,"slug":887,"name":888,"seo_title":889,"seo_description":890,"seo_text":891,"content":892,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":893,"url_slug":887,"children":894},161,"1.0.11","zovnishni-ta-vnutrishni-syly-metod-pereriziv","Зовнішні та внутрішні сили. Метод перерізів","Метод перерізів — як знайти внутрішні сили N, Q, M і T","Метод перерізів крок за кроком: як розсікти елемент, скласти рівняння рівноваги та визначити поздовжню силу N, поперечну Q, моменти M і T.","Тема пояснює фундаментальний метод перерізів: як після уявного розсікання тіла дія відкинутої частини замінюється внутрішніми силовими факторами. Введено поздовжню силу N, поперечні сили Q, крутний момент T і згинальні моменти M.","\u003Cp>\u003Cstrong>Метод перерізів\u003C\u002Fstrong> — основний спосіб визначення внутрішніх силових факторів у елементах конструкцій. Його ідея полягає в тому, щоб подумки розсікти тіло й замінити дію відкинутої частини силами та моментами, прикладеними в перерізі.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Послідовність методу\u003C\u002Fh2>\n\u003Col>\u003Cli>Вибрати переріз, у якому потрібно визначити внутрішні зусилля.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Подумки розсікти елемент цим перерізом.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Відкинути одну з частин.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Замінити дію відкинутої частини на залишену системою внутрішніх сил і моментів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Записати рівняння рівноваги для залишеної частини.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\n{{chunk:section-method-internal-resultants}}\n\u003Ch2>Внутрішні силові фактори\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У загальному просторовому випадку система внутрішніх сил у перерізі зводиться до сили та моменту. Їх розкладають на шість компонентів:\u003C\u002Fp>\n\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>N\u003C\u002Fstrong> — поздовжня сила;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Q\u003Csub>y\u003C\u002Fsub>, Q\u003Csub>z\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fstrong> — поперечні сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>T\u003C\u002Fstrong> — крутний момент;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>M\u003Csub>y\u003C\u002Fsub>, M\u003Csub>z\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fstrong> — згинальні моменти.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Поздовжня сила пов’язана з розтягом або стиском, поперечні сили — зі зсувом, крутний момент — із крученням, а згинальні моменти — зі згином.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Правила знаків\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для внутрішніх силових факторів потрібно послідовно використовувати прийняті в курсі правила знаків. Незалежно від конкретної конвенції, результати для протилежних частин розсіченого тіла мають задовольняти третій закон Ньютона: внутрішні сили та моменти на двох сторонах перерізу рівні за модулем і протилежні за напрямом.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Навіщо будують епюри\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Якщо внутрішній силовий фактор змінюється вздовж елемента, його значення подають графічно у вигляді \u003Cstrong>епюри\u003C\u002Fstrong>. Епюри N, Q, M і T показують небезпечні перерізи та є основою для подальшого визначення напружень і деформацій.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Ключова ідея:\u003C\u002Fstrong> метод перерізів перетворює невідомі внутрішні взаємодії на зовнішні сили та моменти для вибраної частини тіла, після чого їх можна знайти з рівнянь рівноваги.\u003C\u002Fp>",11,[],{"id":896,"parent_id":771,"code":897,"slug":898,"name":899,"seo_title":900,"seo_description":901,"seo_text":902,"content":903,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":904,"url_slug":898,"children":905},162,"1.0.12","napruzhennia-ta-deformatsii-v-tochtsi","Напруження та деформації в точці","Напруження і деформації в точці — σ, τ, ε та γ простими словами","Що таке напруження і деформації в точці: нормальні σ, дотичні τ, лінійні ε та кутові γ деформації, їх фізичний зміст і відмінності.","Тема вводить локальні характеристики напружено-деформованого стану: нормальні та дотичні напруження, лінійні та кутові деформації. Пояснено відмінність між внутрішнім силовим фактором у перерізі та напруженням у його точці.","\u003Cp>Внутрішні силові фактори описують сумарну взаємодію частин тіла через переріз. Щоб описати її \u003Cstrong>локально\u003C\u002Fstrong>, у конкретній точці матеріалу вводять поняття напруження. Зміну локальної геометрії характеризують деформаціями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вектор внутрішньої взаємодії на малій площадці можна розкласти на складову, перпендикулярну до площадки, та складову в її площині. Відповідно розрізняють \u003Cstrong>нормальне напруження $\\sigma$\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>дотичне напруження $\\tau$\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Напруження не слід ототожнювати із силою: сила або внутрішній силовий фактор є результуючою, тоді як напруження характеризує інтенсивність розподіленої внутрішньої взаємодії. Його розмірність — сила, поділена на площу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінійна деформація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Лінійна деформація $\\varepsilon$\u003C\u002Fstrong> характеризує відносну зміну довжини матеріального відрізка. Для одновимірного малого видовження стержня її середнє значення записують як $\\varepsilon=\\Delta l\u002Fl$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кутова деформація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Кутова деформація $\\gamma$\u003C\u002Fstrong> характеризує зміну початково прямого кута між матеріальними напрямками. Вона особливо важлива при зсуві та крученні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стан у точці\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Значення $\\sigma$, $\\tau$, $\\varepsilon$ і $\\gamma$ залежать від положення точки та орієнтації площадки або напрямку. Повний опис напруженого і деформованого стану є багатокомпонентним; його детально розглядають у спеціальних темах курсу. На вступному рівні важливо розрізняти глобальні силові фактори та локальні характеристики матеріалу.\u003C\u002Fp>",12,[],{"id":185,"parent_id":57,"code":907,"slug":908,"name":909,"seo_title":910,"seo_description":911,"seo_text":912,"content":913,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":908,"children":914},"2","roztyah-i-stysk","Розтяг і стиск","Розтяг і стиск — Теорія та розрахунки на міцність","Все про деформації розтягу та стиску стержнів: епюри поздовжніх сил, напруження та закон Гука.","Розтяг і стиск - найпростіший і один з найпоширеніших видів деформування стержня, при якому в його поперечних перерізах виникає лише один внутрішній силовий фактор - поздовжня сила N. У цьому розділі описано методику побудови епюр поздовжніх сил, розрахунок нормальних напружень та лінійних деформацій. Ви вивчите закон Гука при осьовому навантаженні, модуль пружності першого роду (модуль Юнга) та коефіцієнт Пуассона. Окрему увагу приділено умові міцності та підбору безпечних розмірів поперечного перерізу стержня.","\u003Cp>Розтяг і стиск — найпростіші види деформування стержня, коли зовнішні сили діють уздовж його поздовжньої осі. У поперечних перерізах виникає \u003Cstrong>поздовжня сила\u003C\u002Fstrong> \\(N\\), а основним напруженням є нормальне \\(\\sigma\\).\u003C\u002Fp>\u003Ch2>1. Від навантаження до поздовжньої сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розрахунок починають із розрахункової схеми та визначення реакцій. Далі методом перерізів знаходять \\(N\\) на кожній характерній ділянці стержня і будують епюру поздовжніх сил.\u003C\u002Fp>{{chunk:section-method-axial-force}}\u003Ch2>2. Від поздовжньої сили до напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для центрального розтягу або стиску призматичного стержня далеко від зон локального прикладання навантаження середнє нормальне напруження визначають через \\(N\\) і площу поперечного перерізу \\(A\\).\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-normal-stress}}\u003Ch2>3. Напруження і деформація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У межах лінійно-пружної роботи матеріалу нормальне напруження пов’язане з відносною лінійною деформацією законом Гука.\u003C\u002Fp>{{chunk:uniaxial-hooke-law}}\u003Ch2>4. Зміна довжини стержня\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для однорідної ділянки зі сталими \\(N\\), \\(E\\) та \\(A\\) закон Гука приводить до формули поздовжньої деформації. Для ступінчастого стержня деформації окремих ділянок сумують алгебраїчно.\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-bar-elongation}}\u003Ch2>5. Міцність і жорсткість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після визначення напружень і переміщень виконують дві різні перевірки: міцність обмежує напруження, а жорсткість — деформації або переміщення. У проєктній задачі ці умови використовують для підбору безпечного перерізу або допустимого навантаження.\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-strength-stiffness-check}}\u003Ch2>Розрахунковий маршрут\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Схема і навантаження → реакції → \\(N(x)\\) → епюра \\(N\\) → \\(\\sigma\\) → \\(\\varepsilon\\) → \\(\\Delta l\\) → перевірка міцності та жорсткості.\u003C\u002Fstrong> Після засвоєння цього маршруту переходять до механічних властивостей матеріалів, ступінчастих стержнів, температурних впливів і статично невизначуваних осьових систем.\u003C\u002Fp>",[915,924,1002,1011,1020,1030],{"id":106,"parent_id":185,"code":916,"slug":917,"name":918,"seo_title":919,"seo_description":920,"seo_text":921,"content":922,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":917,"children":923},"3","vnutrishni-zusyllya-ta-napruzhennya","Внутрішні зусилля та напруження в поперечних перерізах","Внутрішні зусилля в перерізі — метод перерізів та епюри","Як визначати внутрішні зусилля методом перерізів: правила знаків, поздовжня сила N, побудова епюр і зв’язок з напруженнями.","Для визначення внутрішніх факторів сил у будь-якому перерізі елемента застосовують метод перерізів (метод РОЗУ). У цьому розділі детально розглянуто правила знаків та алгоритми побудови епюр поздовжніх сил N, поперечних сил Q, згинальних моментів M та крутних моментів T. Також розкрито фізичну сутність поняття напруження як інтенсивності внутрішніх сил, їх поділ на нормальні та дотичні напруження. Наведені приклади допоможуть зрозуміти зв'язок між зовнішнім навантаженням та внутрішньою реакцією матеріалу.","\u003Cp>Епюра поздовжніх сил показує, як змінюється внутрішня сила \\(N\\) уздовж стержня. Її будують методом перерізів: у кожній характерній ділянці розсікають стержень і записують рівновагу однієї з частин.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:axial-section-method-normal-force}}\n\u003Cp>\u003Cstrong>Правило знаків:\u003C\u002Fstrong> розтяг вважають додатним (\\(N>0\\)), стиск — від’ємним (\\(N<0\\)). Стрибки на епюрі відповідають прикладеним зосередженим осьовим силам.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Для стержня з кількома ділянками алгоритм такий: визначити реакції опор, розбити стержень за точками прикладання сил, знайти \\(N\\) на кожній ділянці та відкласти отримані значення на епюрі.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:rod-tension-force-stress-diagrams}}",[],{"id":148,"parent_id":185,"code":925,"slug":926,"name":927,"seo_title":928,"seo_description":929,"seo_text":930,"content":931,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":926,"children":932},"4","mekhanichni-vlastyvosti-materialiv","Механічні властивості матеріалів","Механічні властивості матеріалів — Границя міцності та текучості","Діаграма розтягу матеріалів, закон Гука, модуль пружності, пластичність та крихкість.","Експериментальне дослідження механічних властивостей матеріалів є основою для їх правильного вибору в інженерній практиці. У цьому розділі аналізується стандартна діаграма розтягу маловуглецевої сталі, де детально розглянуті границі пропорційності, пружності, текучості та міцності (тимчасовий опір). Пояснено різницю між пластичними та крихкими матеріалами, поняття залишкової деформації, наклепу (зміцнення) та коефіцієнта запасу міцності. Також наведено методики визначення допустимих напружень при розрахунках.","\u003Cp>Механічні властивості матеріалу визначають, як він деформується та руйнується під дією навантаження. Для інженерних розрахунків особливо важливі \u003Cstrong>пружність, пластичність, міцність і жорсткість\u003C\u002Fstrong>. Ці характеристики визначають експериментально, зокрема під час випробування стандартного зразка на розтяг.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напруження та деформація під час випробування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За результатами випробування будують діаграму розтягу в координатах «напруження $\\sigma$ — відносна деформація $\\varepsilon$». Відносна поздовжня деформація характеризує зміну довжини відносно початкової: $\\varepsilon=\\Delta l\u002Fl_0$. Вона є безрозмірною.\u003C\u002Fp>{{chunk:uniaxial-hooke-law}}\u003Cp>Модуль Юнга \u003Cstrong>$E$\u003C\u002Fstrong> характеризує жорсткість матеріалу при розтягу та стиску: що більше $E$, то менша пружна деформація виникає за однакового напруження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Характерні ділянки діаграми розтягу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На початковій ділянці напруження приблизно пропорційне деформації. Після виходу за межі пружної роботи матеріалу можуть з’являтися незворотні, або пластичні, деформації. Для пластичного матеріалу на діаграмі виділяють характерні механічні характеристики:\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>границю пропорційності\u003C\u002Fstrong> — напруження, до якого залежність між $\\sigma$ та $\\varepsilon$ практично лінійна;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>границю пружності\u003C\u002Fstrong> — характеристику області, після розвантаження з якої залишкова деформація ще не перевищує прийнятого малого значення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>границю текучості\u003C\u002Fstrong> — напруження, пов’язане з розвитком значної пластичної деформації без відповідного істотного збільшення навантаження або визначене умовним методом;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>тимчасовий опір (границю міцності)\u003C\u002Fstrong> — максимальне умовне напруження на інженерній діаграмі розтягу.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Пружна і пластична деформація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Пружна деформація\u003C\u002Fstrong> зникає після зняття навантаження. \u003Cstrong>Пластична деформація\u003C\u002Fstrong> повністю не зникає: після розвантаження залишається залишкова зміна форми або розмірів. Здатність матеріалу накопичувати значну пластичну деформацію до руйнування називають пластичністю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пластичні та крихкі матеріали\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Пластичні матеріали перед руйнуванням зазвичай мають помітні залишкові деформації. Крихкі матеріали руйнуються при відносно малих пластичних деформаціях. Такий поділ важливий для вибору розрахункової характеристики міцності та коефіцієнта запасу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зміцнення та наклеп\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після пластичного деформування властивості матеріалу можуть змінюватися. Зокрема, при холодній пластичній деформації часто спостерігається \u003Cstrong>наклеп\u003C\u002Fstrong>: опір подальшій пластичній деформації зростає, тоді як запас пластичності може зменшуватися.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Допустимі напруження та запас міцності\u003C\u002Fh2>{{chunk:allowable-normal-stress}}\u003Cp>Коефіцієнт запасу враховує невизначеності навантаження, властивостей матеріалу, розрахункової моделі та умов експлуатації. Його значення не є універсальним і задається відповідною методикою або нормативними вимогами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай для матеріалу в пружній області \u003Cstrong>$E=200$ ГПа\u003C\u002Fstrong>, а відносна деформація становить \u003Cstrong>$\\varepsilon=0{,}001$\u003C\u002Fstrong>. Тоді за законом Гука:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma=E\\varepsilon=200\\cdot10^9\\cdot0{,}001=200\\cdot10^6\\ \\text{Па}=200\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо прийнята гранична характеристика матеріалу дорівнює 360 МПа, а коефіцієнт запасу $n=1{,}5$, то допустиме напруження становить $[\\sigma]=360\u002F1{,}5=240$ МПа. У наведеному прикладі 200 МПа не перевищує 240 МПа.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що потрібно вміти\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після опрацювання теми студент має розрізняти пружні й пластичні деформації, читати основні ділянки діаграми розтягу, пояснювати фізичний зміст модуля Юнга та характеристик міцності, застосовувати закон Гука в межах його застосовності й виконувати просту перевірку за допустимими напруженнями. Практичні задачі теми допомагають закріпити ці навички.\u003C\u002Fp>",[933,943,953,963,973,982,992],{"id":934,"parent_id":148,"code":935,"slug":936,"name":937,"seo_title":938,"seo_description":939,"seo_text":940,"content":941,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":936,"children":942},99,"4.4","dopustymi-napruzhennia-ta-koefitsiient-zapasu","Допустимі напруження та коефіцієнт запасу","Коефіцієнт запасу і допустиме напруження — формула та приклад","Як визначають допустиме напруження і коефіцієнт запасу міцності: вибір граничної характеристики, формула, перевірка міцності та простий приклад.","Тема присвячена методу розрахунку за допустимими напруженнями. Пояснюється вибір граничної характеристики матеріалу, фізичний зміст коефіцієнта запасу та перевірка умови міцності. Матеріал показує, чому запас залежить від навантаження, властивостей матеріалу, точності моделі та вимог до надійності.","\u003Cp>Реальну конструкцію не проєктують так, щоб робочі напруження безпосередньо досягали граничної характеристики матеріалу. Для створення запасу між робочим і небезпечним станом використовують \u003Cstrong>допустиме напруження\u003C\u002Fstrong> та \u003Cstrong>коефіцієнт запасу\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>{{chunk:allowable-normal-stress}}\u003Ch2>Вибір граничної характеристики\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Гранична характеристика залежить від матеріалу, виду навантаження та прийнятої методики. Для пластичних матеріалів при статичному навантаженні часто орієнтуються на границю текучості, тоді як для крихких матеріалів важливими є характеристики руйнування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що враховує запас\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коефіцієнт запасу компенсує невизначеність навантажень, розкид властивостей матеріалу, спрощення розрахункової моделі, відхилення геометрії, умови виготовлення й експлуатації. Його конкретне значення визначається нормативами або прийнятою методикою розрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\sigma_{\\mathrm{lim}}=360$ МПа та $n=1{,}5$, то $[\\sigma]=360\u002F1{,}5=240$ МПа. Розраховане робоче напруження за прийнятою моделлю не повинно перевищувати це значення.\u003C\u002Fp>",[],{"id":944,"parent_id":148,"code":945,"slug":946,"name":947,"seo_title":948,"seo_description":949,"seo_text":950,"content":951,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":946,"children":952},96,"4.1","diagrama-roztiahu-ta-kharakterni-tochky","Діаграма розтягу та її характерні точки","Діаграма розтягу матеріалу — характерні точки та ділянки","Діаграма розтягу: пружна й пластична області, границі пропорційності, текучості та міцності, шийка і руйнування зразка.","Тема пояснює інженерну діаграму розтягу та фізичний зміст її характерних ділянок і точок. Розглядаються границі пропорційності, пружності, текучості й міцності, розвиток пластичної деформації, утворення шийки та руйнування. Матеріал допомагає читати діаграму випробування на розтяг і використовувати механічні характеристики в інженерних розрахунках.","\u003Cp>Під час випробування на розтяг зразок поступово навантажують осьовою силою та реєструють його деформацію. Побудована за результатами \u003Cstrong>інженерна діаграма напруження–деформація\u003C\u002Fstrong> показує, коли матеріал працює пружно, коли починається незворотна деформація, як він зміцнюється під час пластичного деформування і як відбувається руйнування.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Звична діаграма з вираженою площадкою текучості характерна насамперед для \u003Cstrong>м'якої маловуглецевої сталі\u003C\u002Fstrong>. Її не слід сприймати як універсальну форму діаграми для всіх матеріалів.\u003C\u002Fp>{{chunk:visual-brief-tensile-steel-interactive-110}}\u003Ch2>Характерні ділянки діаграми розтягу маловуглецевої сталі\u003C\u002Fh2>\u003Ch3>1. Лінійно-пружна ділянка\u003C\u002Fh3>\u003Cp>На початку навантаження напруження приблизно пропорційне деформації:\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[\\sigma=E\\varepsilon.\\]\u003C\u002Fp>\u003Cp>Кутовий коефіцієнт цієї прямолінійної ділянки визначається модулем Юнга \\(E\\). Якщо зняти навантаження в межах пружної області, зразок практично повернеться до початкових розмірів.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>2. Границя пропорційності та границя пружності\u003C\u002Fh3>\u003Cp>\u003Cstrong>Границя пропорційності\u003C\u002Fstrong> відповідає завершенню майже лінійної залежності між напруженням і деформацією. \u003Cstrong>Границя пружності\u003C\u002Fstrong> — найбільше напруження, після зняття якого деформація залишається практично повністю оборотною. У реальному випробуванні ці значення можуть бути близькими й не завжди визначаються як чітко відокремлені точки.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>3. Текучість\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Для маловуглецевої сталі може спостерігатися верхня точка текучості, за якою напруження знижується до нижнього рівня текучості та формується коротка \u003Cstrong>площадка текучості\u003C\u002Fstrong>. На цій стадії деформація істотно зростає при відносно невеликій зміні інженерного напруження. Така поведінка характерна не для всіх матеріалів.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>4. Деформаційне зміцнення\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Після площадки текучості для подальшої пластичної деформації потрібне дедалі більше навантаження. Відбувається \u003Cstrong>деформаційне зміцнення\u003C\u002Fstrong>, і інженерне напруження знову зростає.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>5. Тимчасовий опір\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Максимальне інженерне напруження на діаграмі називають \u003Cstrong>тимчасовим опором\u003C\u002Fstrong> (границею міцності при розтягу):\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[\\sigma_u=\\frac{F_{max}}{A_0}.\\]\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тут \\(F_{max}\\) — найбільша сила під час випробування, а \\(A_0\\) — початкова площа поперечного перерізу зразка.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>6. Утворення шийки та руйнування\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Після досягнення максимальної сили деформація локалізується — утворюється \u003Cstrong>шийка\u003C\u002Fstrong>. Оскільки інженерне напруження обчислюють за початковою площею \\(A_0\\), на інженерній діаграмі після максимуму напруження зазвичай зменшується аж до руйнування. Цю спадну ділянку не слід плутати з поведінкою істинного напруження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Як відрізняються діаграми різних матеріалів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Діаграма маловуглецевої сталі — лише один характерний випадок. Форма кривої залежить від класу й складу матеріалу, термічної обробки, температури, швидкості деформування, геометрії зразка та умов випробування.\u003C\u002Fp>{{chunk:visual-brief-tensile-material-curves-110}}\u003Ch3>Алюмінієві сплави: плавний перехід до пластичності\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Для багатьох алюмінієвих сплавів немає чіткої верхньої та нижньої точки текучості й вираженої площадки текучості. Перехід від пружного до пластичного деформування відбувається плавно. Тому часто використовують \u003Cstrong>умовну границю текучості 0,2%\u003C\u002Fstrong>: пряму, паралельну початковій пружній ділянці, зміщують по осі деформацій на 0,002; її перетин із діаграмою визначає умовну границю текучості.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>Сірий чавун: крихке руйнування\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Сірий чавун при розтягу зазвичай руйнується після дуже малої пластичної деформації. Тому його діаграма не має довгої площадки текучості та розвиненої ділянки деформаційного зміцнення, характерних для пластичної сталі; виражене утворення шийки також зазвичай відсутнє. Для крихких матеріалів особливо важливі напруження руйнування та мала деформація перед руйнуванням.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>Пластичні полімери: великі деформації та нелінійність\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Пластичні полімери можуть поводитися зовсім інакше, ніж метали. Для них характерні значно менша початкова жорсткість, нелінійна поведінка, текучість із подальшою великою пластичною деформацією або витягуванням і, для деяких полімерів, подальше деформаційне зміцнення. Характерний масштаб деформацій у них може бути набагато більшим, ніж у конструкційних металів, тому накладати полімерні й металеві криві на одну вісь деформацій без пояснення масштабу некоректно.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Порівнюючи діаграми матеріалів, насамперед слід дивитися на їхні \u003Cstrong>якісні ознаки\u003C\u002Fstrong>: початкову жорсткість, наявність або відсутність вираженої текучості, здатність до пластичної деформації, зміцнення, утворення шийки та характер руйнування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інженерне значення діаграми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За діаграмою розтягу визначають або оцінюють пружну жорсткість, границю текучості чи умовну границю текучості, тимчасовий опір, пластичність і характер руйнування. Для реальних розрахунків числові характеристики слід брати з відповідних стандартів або перевірених результатів випробувань, а не зі схематичної навчальної діаграми.\u003C\u002Fp>",[],{"id":954,"parent_id":148,"code":955,"slug":956,"name":957,"seo_title":958,"seo_description":959,"seo_text":960,"content":961,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":956,"children":962},97,"4.2","pruzhni-kharakterystyky-materialiv","Пружні характеристики матеріалів","Пружні характеристики матеріалів — E, G і коефіцієнт Пуассона","Модуль Юнга E, модуль зсуву G, коефіцієнт Пуассона ν та їх фізичний зміст у розрахунках пружного деформування матеріалів.","Тема систематизує основні пружні характеристики ізотропного матеріалу: модуль Юнга E, модуль зсуву G та коефіцієнт Пуассона ν. Пояснюється їх фізичний зміст, одиниці вимірювання та роль у законах пружного деформування. Наведено зв’язок між E, G і ν для лінійно-пружного ізотропного матеріалу.","\u003Cp>Пружні характеристики описують опір матеріалу оборотному деформуванню. Для лінійно-пружного ізотропного матеріалу основними характеристиками є модуль Юнга \u003Cstrong>$E$\u003C\u002Fstrong>, модуль зсуву \u003Cstrong>$G$\u003C\u002Fstrong> та коефіцієнт Пуассона \u003Cstrong>$\\nu$\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>{{chunk:uniaxial-hooke-law}}\u003Ch2>Коефіцієнт Пуассона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При одновісному розтягу разом із поздовжнім видовженням виникає поперечне звуження. Коефіцієнт Пуассона визначають як $\\nu=-\\varepsilon_{\\perp}\u002F\\varepsilon_{\\parallel}$, де $\\varepsilon_{\\perp}$ — поперечна, а $\\varepsilon_{\\parallel}$ — поздовжня відносна деформація.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Модуль зсуву\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Модуль зсуву $G$ характеризує жорсткість матеріалу при зсуві. Для лінійно-пружного ізотропного матеріалу пружні сталі пов’язані співвідношенням $G=E\u002F[2(1+\\nu)]$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інженерне застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>$E$ використовують у задачах розтягу, стиску та згину, $G$ — при зсуві й крученні, а $\\nu$ потрібний для опису взаємозв’язку поздовжніх і поперечних деформацій.\u003C\u002Fp>",[],{"id":964,"parent_id":148,"code":965,"slug":966,"name":967,"seo_title":968,"seo_description":969,"seo_text":970,"content":971,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":966,"children":972},98,"4.3","plastychnist-i-krykhkist-materialiv","Пластичність і крихкість матеріалів","Пластичність і крихкість матеріалів — деформація та руйнування","Пластичні й крихкі матеріали, залишкові деформації, відносне видовження і звуження та їх значення для оцінювання поведінки матеріалу.","Тема пояснює відмінності між пластичною та крихкою поведінкою матеріалів. Розглядаються залишкова деформація, відносне видовження та відносне звуження після руйнування, а також практичне значення пластичності для перерозподілу напружень і попередження раптового руйнування.","\u003Cp>\u003Cstrong>Пластичність\u003C\u002Fstrong> — здатність матеріалу набувати помітних незворотних деформацій до руйнування. \u003Cstrong>Крихка поведінка\u003C\u002Fstrong> характеризується руйнуванням при відносно малих пластичних деформаціях.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Показники пластичності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після випробування на розтяг пластичність часто характеризують відносним залишковим видовженням та відносним звуженням поперечного перерізу. Чим більші ці показники за однакових умов випробування, тим більшу пластичну деформацію зразок накопичив до руйнування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому це важливо\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Пластична деформація може забезпечувати локальний перерозподіл напружень і давати помітні ознаки перевантаження перед руйнуванням. Крихке руйнування часто розвивається з малою попередньою пластичною деформацією, тому потребує особливої уваги до дефектів, концентраторів напружень, температури та умов навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Не абсолютна класифікація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поведінка матеріалу залежить не лише від його назви або складу. Температура, швидкість деформування, напружений стан, геометрія зразка та середовище можуть змінювати характер руйнування.\u003C\u002Fp>",[],{"id":974,"parent_id":148,"code":9,"slug":975,"name":976,"seo_title":977,"seo_description":978,"seo_text":979,"content":980,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":975,"children":981},387,"повзучість-матеріалів","Повзучість матеріалів","Повзучість матеріалів: стадії, швидкість і релаксація","Повзучість матеріалів: три стадії кривої повзучості, швидкість деформації, вплив температури й напружень, довготривала міцність та релаксація.","Повзучість матеріалів — залежне від часу деформування під тривалим навантаженням. У темі розглянуто криву та три стадії повзучості, швидкість деформації, вплив температури й напружень, довготривалу міцність і релаксацію напружень.","\u003Cp\r\n  >\u003Cstrong>Повзучість\u003C\u002Fstrong> — це залежне від часу деформування матеріалу під дією тривалого\r\n  навантаження. На відміну від миттєвої пружної деформації, деформація повзучості розвивається\r\n  поступово навіть тоді, коли навантаження залишається сталим.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Коли повзучість стає важливою\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Інтенсивність повзучості залежить від матеріалу, температури, рівня напружень і тривалості\r\n  навантаження. Для металів особливо суттєвою вона стає за підвищених температур. Для полімерів та\r\n  деяких інших матеріалів часові деформації можуть бути помітними і за звичайних температур.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Випробування на повзучість\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Під час типового випробування зразок тривалий час витримують за заданих навантаження та\r\n  температури й реєструють деформацію $\\varepsilon$ як функцію часу $t$. Отриману залежність\r\n  називають \u003Cstrong>кривою повзучості\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp\r\n>{{chunk:creep-strain-time-curve}}\u003Ch2>Стадії повзучості\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Col\r\n  >\u003Cli>\u003Cstrong>Первинна повзучість.\u003C\u002Fstrong> Швидкість деформації з часом зменшується.\u003C\u002Fli\r\n  >\u003Cli\r\n    >\u003Cstrong>Вторинна, або усталена, повзучість.\u003C\u002Fstrong> Швидкість деформації приблизно стала.\u003C\u002Fli\r\n  >\u003Cli\r\n    >\u003Cstrong>Третинна повзучість.\u003C\u002Fstrong> Швидкість деформації зростає внаслідок накопичення\r\n    пошкоджень; стадія завершується руйнуванням.\u003C\u002Fli\r\n  >\u003C\u002Fol\r\n>\u003Cp>Швидкість повзучості характеризують похідною $\\dot{\\varepsilon}=d\\varepsilon\u002Fdt$.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Вплив температури та напруження\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Зі збільшенням температури та рівня напружень повзучість зазвичай прискорюється, а час до\r\n  руйнування скорочується.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Довготривала міцність\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >\u003Cstrong>Довготривала міцність\u003C\u002Fstrong> характеризує здатність матеріалу чинити опір руйнуванню\r\n  протягом заданого часу за певної температури. У довготривалих розрахунках потрібно також обмежити\r\n  накопичену деформацію та виключити руйнування впродовж заданого ресурсу.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Релаксація напружень\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >З повзучістю пов’язана \u003Cstrong>релаксація напружень\u003C\u002Fstrong>. Якщо загальну деформацію елемента\r\n  підтримувати сталою, напруження в матеріалі з часом може зменшуватися.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Інженерний приклад\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >\r\nТрубопроводи перегрітої пари на ТЕС роками працюють одночасно під дією високої температури та внутрішнього тиску. Тиск\r\nстворює в стінці труби механічні напруження, а висока температура робить повзучість металу суттєвою.\u003C\u002Fp>\r\n\u003Cp>\r\nНавіть якщо тиск і температура протягом певного режиму майже не змінюються, деформація металу продовжує поступово\r\nнакопичуватися. На ранньому етапі швидкість повзучості зменшується, потім протягом значної частини ресурсу залишається\r\nвідносно сталою. З часом у матеріалі можуть накопичуватися пошкодження, зокрема мікропорожнини та мікротріщини. Тоді\r\nпочинається третинна стадія: деформація прискорюється і зрештою може призвести до руйнування труби.\r\n\u003C\u002Fp>\u003Cp>\r\nТому для такого обладнання недостатньо перевірити лише умову миттєвої міцності $\\sigma \u003C [\\sigma]$. Інженер повинен\r\n    враховувати температуру, напруження і тривалість їх дії, оцінюючи довготривалу міцність та залишковий ресурс\r\n    матеріалу. Практичний висновок: деталь може витримувати задане навантаження сьогодні, але це ще не означає, що вона\r\n    безпечно витримуватиме його десятки тисяч годин за високої температури.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Що потрібно вміти\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Після опрацювання теми студент має пояснювати фізичний зміст повзучості, розрізняти три стадії\r\n  кривої повзучості, визначати швидкість повзучості, пояснювати вплив температури та напружень,\r\n  відрізняти повзучість від релаксації напружень і розуміти необхідність довготривалих\r\n  розрахунків.\u003C\u002Fp\r\n>\r\n",[],{"id":983,"parent_id":148,"code":984,"slug":985,"name":986,"seo_title":987,"seo_description":988,"seo_text":989,"content":990,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":985,"children":991},100,"4.5","naklep-i-povtorne-navantazhennia","Наклеп і повторне навантаження","Наклеп матеріалу — зміцнення, розвантаження і повторне навантаження","Як пластична деформація змінює матеріал: наклеп і зміцнення, залишкова деформація, пружне розвантаження, повторне навантаження та зниження пластичності.","Тема пояснює, як попередня пластична деформація впливає на подальше навантаження матеріалу. Розглядаються наклеп, зміцнення, залишкова деформація, пружне розвантаження та зміна запасу пластичності. Показано, чому історія навантаження може бути важливою для оцінювання механічної поведінки деталі.","\u003Cp>Після пластичного деформування матеріал може мати інші механічні характеристики, ніж у початковому стані. Тому при повторному навантаженні важливо враховувати \u003Cstrong>історію деформування\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Наклеп\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При холодній пластичній деформації багатьох металів спостерігається наклеп: опір подальшому пластичному деформуванню зростає. Одночасно запас пластичності зазвичай зменшується.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розвантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після розвантаження пружна складова деформації переважно зникає, а пластична складова залишається. Тому зразок не повертається повністю до початкових розмірів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Повторне навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При повторному навантаженні поведінка залежить від попередньої пластичної деформації, напряму навантаження, матеріалу та термічної історії. У простих навчальних моделях повторне навантаження після наклепу розглядають як приклад зміни межі початку подальшої пластичної деформації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичне значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ефект наклепу використовують у технологіях холодного деформування, але його потрібно враховувати там, де важлива пластичність і здатність деталі безпечно переносити подальші перевантаження.\u003C\u002Fp>",[],{"id":993,"parent_id":148,"code":994,"slug":995,"name":996,"seo_title":997,"seo_description":998,"seo_text":999,"content":1000,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":995,"children":1001},101,"4.6","vplyv-zovnishnikh-faktoriv-na-mekhanichni-vlastyvosti","Вплив зовнішніх факторів на механічні властивості","Що впливає на механічні властивості матеріалів — температура й дефекти","Як температура, швидкість деформування, концентратори й дефекти, стан поверхні, корозія та обробка впливають на міцність і пластичність матеріалів.","Тема пояснює, чому механічні характеристики не є незмінними константами для всіх умов експлуатації. Розглядається вплив високих і низьких температур, швидкості деформування, концентраторів напружень, дефектів, стану поверхні, корозійного середовища та технологічної обробки. Окремо пояснюються повзучість і схильність деяких матеріалів до крихкого руйнування за низьких температур.","\u003Cp>Механічні характеристики, отримані під час стандартного випробування, справедливі для визначених умов. У реальній конструкції температура, швидкість навантаження, стан поверхні, дефекти, середовище та технологічна історія можуть істотно змінювати поведінку матеріалу.\u003C\u002Fp>{{chunk:external-factors-mechanical-properties}}\u003Ch2>Температура\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Зі зміною температури можуть змінюватися модуль пружності, границя текучості, міцність, пластичність та характер руйнування. За високих температур і тривалого навантаження важливим стає явище \u003Cstrong>повзучості\u003C\u002Fstrong> — накопичення деформації з часом під дією сталого або майже сталого навантаження. За низьких температур деякі конструкційні матеріали стають менш пластичними та більш чутливими до крихкого руйнування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Швидкість деформування та характер навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Механічна відповідь матеріалу може залежати від швидкості деформування. Тому результати повільного статичного випробування не завжди безпосередньо описують поведінку при ударі. Циклічне навантаження також потребує окремого аналізу, оскільки руйнування від втоми може виникати при рівнях напружень, нижчих за статичну границю міцності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Концентратори, дефекти та розміри\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Отвори, різкі переходи перерізу, надрізи, тріщини та інші дефекти створюють локальні концентрації напружень. Вплив таких зон залежить від матеріалу, геометрії, напруженого стану та виду навантаження. Розмір деталі також може впливати на статистичну й технологічну ймовірність дефектів та на результати випробувань.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поверхня та середовище\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якість поверхні особливо важлива для деталей, що працюють при повторних навантаженнях. Риски й корозійні пошкодження можуть бути місцями зародження тріщин. Агресивне середовище здатне одночасно зменшувати ефективний переріз і змінювати механізм пошкодження матеріалу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Технологічна та термічна обробка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Холодне деформування, зварювання, механічна обробка та термічна обробка можуть змінювати структуру, твердість, міцність, пластичність і залишкові напруження. Тому для відповідального розрахунку потрібно використовувати характеристики, що відповідають фактичному стану матеріалу у готовій деталі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інженерний висновок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Довідкове значення механічної характеристики не слід автоматично переносити на будь-яку конструкцію. Потрібно перевірити температуру, тривалість і швидкість навантаження, середовище, стан поверхні, геометричні концентратори, технологію виготовлення та нормативні коефіцієнти для конкретної задачі.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1003,"parent_id":185,"code":9,"slug":1004,"name":1005,"seo_title":1006,"seo_description":1007,"seo_text":1008,"content":1009,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1004,"children":1010},44,"temperaturni-deformatsiyi","Температурні деформації та напруження","Температурні деформації та напруження — формули і розрахунок","Як розрахувати теплове видовження та температурні напруження: вільне розширення, закріплений стержень і статично невизначувані системи.","Зміна температури викликає теплове розширення або стиск матеріалів. У статично визначуваних системах це призводить лише до зміни розмірів, а у статично невизначуваних — виникають значні температурні напруження. Розділ присвячено розрахунку температурних напружень та урахуванню температурних впливів у будівельних нормах.","\u003Cp>Зміна температури спричиняє теплове розширення або скорочення матеріалу. Якщо стержень може вільно змінювати довжину, температурний вплив викликає деформацію без механічного напруження. Якщо переміщення обмежене опорами або іншими елементами конструкції, виникають \u003Cstrong>температурні напруження\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>{{chunk:thermal-expansion-free-restrained}}\u003Ch2>Вільна температурна деформація\u003C\u002Fh2>{{chunk:thermal-strain-elongation}}\u003Cp>Коефіцієнт $\\alpha$ залежить від матеріалу й температурного діапазону. У простих навчальних задачах його вважають сталим у межах заданої зміни температури.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Повністю закріплений стержень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розглянемо стержень, кінці якого не можуть переміщуватися вздовж осі. При нагріванні він прагнув би видовжитися, але закріплення перешкоджають цьому. Реакції опор створюють механічну деформацію, протилежну вільній температурній деформації.\u003C\u002Fp>{{chunk:fully-restrained-thermal-stress}}\u003Ch2>Часткове обмеження переміщень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У загальному випадку переміщення може бути не нульовим. Тоді температурну й силову складові враховують разом. Для ділянки стержня повна зміна довжини в лінійно-пружній моделі може бути записана як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\Delta l=\\frac{NL}{EA}+\\alpha\\Delta T\\,L.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Знак кожної складової визначають відповідно до прийнятого правила: розтяг і видовження — додатні, стиск і скорочення — від’ємні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сталевий стержень із $E=200$ ГПа та $\\alpha=12\\cdot10^{-6}\\ 1\u002F^{\\circ}\\mathrm{C}$ повністю закріплений і нагрівається на $\\Delta T=40\\ ^{\\circ}\\mathrm{C}$. За умови лінійно-пружної роботи:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_T=-200000\\cdot12\\cdot10^{-6}\\cdot40=-96\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, виникає стискальне температурне напруження 96 МПа за модулем.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інженерне значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Температурні напруження важливі в трубопроводах, рейках, довгих металевих конструкціях, деталях машин та елементах із різними коефіцієнтами теплового розширення. Для їх зменшення застосовують температурні шви, компенсатори та конструктивні рішення, що допускають необхідні переміщення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Спочатку визначають вільну температурну деформацію, потім аналізують кінематичні обмеження системи. Якщо система статично невизначувана, складають рівняння сумісності деформацій і разом із рівняннями рівноваги знаходять реакції та внутрішні сили.\u003C\u002Fp>",[],{"id":213,"parent_id":185,"code":1012,"slug":1013,"name":1014,"seo_title":1015,"seo_description":1016,"seo_text":1017,"content":1018,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1013,"children":1019},"5","statychno-nevyznachuvani-zadachi-osove-navantazhennya","Статично невизначувані задачі при осьовому навантаженні","Статично невизначувані стержні — розрахунок крок за кроком","Як розв’язувати статично невизначувані задачі при розтягу й стиску: рівняння рівноваги, сумісність деформацій, жорсткість EA\u002FL і температурні впливи.","Якщо кількість невідомих опорних реакцій або внутрішніх сил перевищує кількість можливих рівнянь статики, система є статично невизначуваною. Для її розв'язання складають додаткові рівняння сумісності деформацій, які відображають геометричні умови обмежувальних зв'язків. У даному розділі розглянуто ступені статичної невизначуваності, алгоритми розрахунку східчастих стержнів та шарнірно-стержньових систем при розтягу й стиску, а також аналіз монтажних напружень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Статично невизначуваною\u003C\u002Fstrong> називають систему, у якій кількість невідомих реакцій або внутрішніх сил перевищує кількість незалежних рівнянь статичної рівноваги. Для визначення всіх невідомих до рівнянь статики додають \u003Cstrong>рівняння сумісності деформацій\u003C\u002Fstrong>, що описують геометричні обмеження системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому рівнянь статики недостатньо\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У статично визначуваному осьовому стержні реакції можна знайти лише з умов рівноваги. Якщо ж стержень має додаткові закріплення або система складається з кількох взаємодіючих елементів, рівнянь рівноваги недостатньо. Тоді розподіл сил залежить також від жорсткостей $EA$ та геометрії елементів.\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-statically-indeterminate-compatibility}}\u003Ch2>Рівняння деформацій\u003C\u002Fh2>{{chunk:axial-bar-elongation}}\u003Cp>Для кількох ділянок переміщення визначають алгебраїчним сумуванням їх видовжень і скорочень. Якщо діють температурні зміни, до механічної деформації додають температурну складову.\u003C\u002Fp>{{chunk:thermal-strain-elongation}}\u003Ch2>Умова сумісності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Умова сумісності випливає з реальної геометрії та закріплень. Наприклад, якщо обидва кінці стержня нерухомі й відстань між опорами не змінюється, сумарна зміна його довжини дорівнює нулю: $\\sum_i\\Delta l_i=0$. В інших системах переміщення окремих вузлів можуть бути однаковими або пов’язаними геометричним співвідношенням.\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-static-indeterminacy-algorithm}}\u003Ch2>Простий приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай однорідний стержень довжини $L$ і площі $A$ закріплений між двома нерухомими опорами та навантажений осьовою силою в проміжній точці. Реакцій дві, а незалежне рівняння рівноваги вздовж осі одне, тому система один раз статично невизначувана. Друге рівняння отримують із умови, що сумарна зміна відстані між опорами дорівнює нулю. Деформації лівої та правої ділянок виражають через відповідні внутрішні сили та їх жорсткості $EA$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вплив жорсткості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У статично невизначуваних системах сили розподіляються між елементами залежно від їх жорсткості. Більш жорсткий елемент за однакової кінематичної умови зазвичай сприймає більшу частину навантаження. Тому зміна площі $A$, модуля $E$ або довжини $L$ може змінити реакції навіть за незмінного зовнішнього навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Монтажні та температурні впливи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Неточність виготовлення, початковий зазор, примусове складання або зміна температури можуть створювати внутрішні сили навіть без звичайного зовнішнього силового навантаження. Такі задачі розв’язують тим самим принципом: рівновага плюс сумісність повних деформацій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка результату\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після визначення реакцій необхідно перевірити рівняння рівноваги, виконання геометричної умови, знаки деформацій і одиниці. Потім знаходять напруження на кожній ділянці та виконують необхідну перевірку міцності.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1021,"parent_id":185,"code":1022,"slug":1023,"name":1024,"seo_title":1025,"seo_description":1026,"seo_text":1027,"content":1028,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":1023,"children":1029},102,"2.5","deformatsii-sterzhniv-pry-roztyahu-ta-stysku","Деформації стержнів при розтягу та стиску","Деформація стержня при розтягу і стиску — формула Δl = NL\u002F(EA)","Як розрахувати видовження або скорочення стержня за формулою Δl = NL\u002F(EA): осьова жорсткість, знак деформації та ступінчасті стержні.","Тема присвячена визначенню деформацій стержнів при центральному розтягу та стиску. Розглядаються абсолютна зміна довжини Δl, відносна деформація ε, фізичний зміст осьової жорсткості EA та формула Δl = NL\u002F(EA). Показано розрахунок ступінчастих стержнів і сумування деформацій ділянок із різними N, E, A та L.","\u003Cp>При центральному розтягу або стиску стержень змінює довжину вздовж своєї осі. Абсолютна поздовжня деформація позначається \\(\\Delta l\\), а відносна деформація — \\(\\varepsilon=\\Delta l\u002Fl\\). Для лінійно-пружної роботи однорідної ділянки використовують залежність \\(\\Delta l=NL\u002F(EA)\\).\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-bar-elongation}}\u003Cp>Знак деформації узгоджують зі знаком поздовжньої сили: розтяг і видовження вважають додатними, стиск і скорочення — від’ємними. Добуток \\(EA\\) характеризує осьову жорсткість: що він більший, то менша деформація за однакових \\(N\\) і \\(L\\).\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ступінчастий стержень\u003C\u002Fh2>{{chunk:stepped-axial-bar-segment-deformation}}\u003Cp>Якщо стержень складається з кількох ділянок із різними \\(N_i\\), \\(E_i\\), \\(A_i\\) або \\(l_i\\), повну зміну довжини визначають алгебраїчним сумуванням: \\(\\Delta l=\\sum_i N_i l_i\u002F(E_iA_i)\\).\u003C\u002Fp>\u003Cp>У розрахунках важливо спочатку визначити поздовжню силу на кожній ділянці, а вже потім обчислювати її внесок у загальне переміщення.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1031,"parent_id":185,"code":1032,"slug":1033,"name":1034,"seo_title":1035,"seo_description":1036,"seo_text":1037,"content":1038,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":1033,"children":1039},103,"2.6","rozrakhunok-na-mitsnist-i-zhorstkist-pry-roztyahu-ta-stysku","Розрахунок на міцність і жорсткість при розтягу та стиску","Розрахунок стержня на міцність і жорсткість — формули та приклад","Як перевірити стержень при розтягу або стиску: умови міцності й жорсткості, підбір площі перерізу, допустиме навантаження та приклад.","Тема систематизує основні типи інженерних розрахунків стержнів при центральному розтягу та стиску: перевірку міцності, проєктний підбір площі поперечного перерізу, визначення допустимого навантаження та перевірку жорсткості. Використовуються умови |σmax| ≤ [σ] та |Δl| ≤ [Δl], а також зв’язки σ = N\u002FA і Δl = NL\u002F(EA).","\u003Cp>Розрахунок стержня при осьовому навантаженні повинен показати, що конструкція не лише витримує прикладені сили, а й не деформується понад установлені межі. Тому розрізняють розрахунки на \u003Cstrong>міцність\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>жорсткість\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>{{chunk:axial-strength-stiffness-check}}\u003Ch2>Перевірочний розрахунок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо геометрія стержня й навантаження відомі, визначають поздовжню силу $N$, обчислюють напруження $\\sigma=N\u002FA$ та порівнюють найбільше за модулем значення з допустимим. Якщо умова міцності виконується, переріз задовольняє прийнятий критерій допустимих напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Проєктний розрахунок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коли навантаження й допустиме напруження відомі, але розміри перерізу потрібно підібрати, визначають необхідну площу $A_{\\mathrm{req}}\\ge |N|\u002F[\\sigma]$. Після цього вибирають реальний стандартний або конструктивно допустимий переріз із площею не меншою за розрахункову та повторно перевіряють його.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Допустиме навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для заданого перерізу граничне за прийнятою умовою робоче значення поздовжньої сили можна оцінити як $|N|\\le[\\sigma]A$. Якщо система має кілька ділянок, допустиме навантаження визначає найнебезпечніша ділянка з урахуванням залежності її внутрішньої сили від зовнішнього навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка жорсткості\u003C\u002Fh2>{{chunk:axial-bar-elongation}}\u003Cp>Навіть якщо напруження безпечні, надмірне видовження або скорочення може порушити роботу конструкції. Тому розраховане переміщення порівнюють із допустимим значенням, заданим умовами експлуатації або нормативними вимогами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад підбору площі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай стержень розтягується силою $N=60$ кН, а допустиме напруження становить $[\\sigma]=150$ МПа. У системі Н і мм:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$A_{\\mathrm{req}}=\\frac{60000}{150}=400\\ \\text{мм}^2.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, слід вибрати переріз із фактичною площею не меншою за 400 мм², а потім перевірити прийнятий переріз за фактичними характеристиками та, за потреби, за жорсткістю.\u003C\u002Fp>",[],{"id":882,"parent_id":57,"code":1041,"slug":1042,"name":1043,"seo_title":1044,"seo_description":1045,"seo_text":1046,"content":1047,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1042,"children":1048},"10","zsuv-i-zriz","Зсув і зріз","Зсув і зріз — дотичні напруження та розрахунок з’єднань","Чистий зсув, закон Гука, практичний зріз, одинарний і подвійний зріз, перевірка болтів, заклепок, штифтів і зварних швів.","Зсув і зріз вводять дотичні напруження, кутову деформацію та закон Гука при зсуві. Розглянуто чистий зсув, практичний одинарний і подвійний зріз, а також основні перевірки болтів, заклепок, штифтів і зварних з’єднань.","\u003Cp>\u003Cstrong>Зсув і зріз\u003C\u002Fstrong> охоплюють деформування матеріалу внаслідок взаємного зміщення сусідніх шарів та практичний розрахунок елементів з’єднань, які можуть бути зрізані поперечною силою. Основними величинами є дотичне напруження \\(\\tau\\), кутова деформація \\(\\gamma\\) і модуль зсуву \\(G\\).\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Чистий зсув\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>При чистому зсуві на взаємно перпендикулярних площадках діють парні дотичні напруження. Прямі кути елементарного об’єму змінюються, а його лінійні розміри в першому наближенні залишаються незмінними.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:shear-hooke-law}}\n\u003Ch2>Практичний зріз\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для болта, заклепки, штифта або іншого короткого з’єднувального елемента напруження по площині зрізу в навчальному розрахунку вважають рівномірними:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\tau_{avg}=\\frac{Q}{A_s}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Якщо одночасно працюють \\(n\\) однакових площин зрізу, загальна розрахункова площа дорівнює \\(nA_s\\). Тому потрібно розрізняти одинарний і подвійний зріз.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Що перевіряють у з’єднанні\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\n\u003Cli>міцність стержня болта, заклепки або штифта на зріз;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>зминання деталей у зоні контакту;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>міцність ослабленого перерізу з’єднуваної деталі;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>зріз або відрив матеріалу біля краю;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>міцність зварних швів, якщо з’єднання зварне.\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Межі моделі\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Формула середніх напружень описує практичний зріз, але не детальний нерівномірний розподіл напружень. Поперечний зсув у балках і формулу Журавського розглядають у розділі про згин.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Подальше вивчення\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Наступна тема присвячена чистому зсуву, одинарному й подвійному зрізу та розрахунку болтових, заклепкових і зварних з’єднань. Кручення винесено в окремий розділ того самого рівня.\u003C\u002Fp>",[1049],{"id":893,"parent_id":882,"code":1050,"slug":1051,"name":1052,"seo_title":1053,"seo_description":1054,"seo_text":1055,"content":1056,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1051,"children":1057},"11","chystyy-zsuv-ta-z-yednannya","Чистий зсув і розрахунок з’єднань","Чистий зсув — Розрахунок заклепочних та зварних з'єднань","Розрахунок з'єднань на зріз та зминання: заклепки, болти, зварні шви.","Чистий зсув — це такий напружений стан, при якому по двох взаємно перпендикулярних площадках діють лише дотичні напруження. Ця модель покладена в основу практичних розрахунків елементів кріплення та з'єднань. На сторінці розглянуто розрахунок заклепочних, болтових, шпонкових та зварних з'єднань на зріз і зминання. Подано інженерні методики визначення необхідної кількості заклепок або довжини зварного шва під дією зсувного навантаження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Чистий зсув\u003C\u002Fstrong> — напружений стан, за якого на взаємно перпендикулярних площадках діють лише дотичні напруження. Для елементарного паралелепіпеда вони утворюють взаємно зрівноважену систему парних дотичних напружень. Загальний вступ до зсуву та його зв’язку з крученням наведено в темі \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Fzsuv-ta-kruchennya\">«Зсув та кручення»\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Деформація чистого зсуву\u003C\u002Fh2>{{chunk:pure-shear-element-deformation}}{{chunk:shear-hooke-law}}\u003Cp>Кутова деформація $\\gamma$ характеризує зміну прямого кута між лініями матеріалу. У межах лінійно-пружної роботи $\\tau=G\\gamma$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зріз у болтах і заклепках\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для простої інженерної оцінки середнє дотичне напруження в площині зрізу визначають як відношення поперечної сили до сумарної площі зрізу. Якщо елемент працює у двох площинах зрізу, у розрахунку враховують обидві площі.\u003C\u002Fp>{{chunk:threejs-bolt-double-shear-three-plates}}\u003Ch2>Зминання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Окрім зрізу кріпильного елемента, перевіряють контактне зминання між болтом або заклепкою та стінкою отвору. Розрахункова площа зминання зазвичай пов’язана з діаметром кріпильного елемента та товщиною деталі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зварні з’єднання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У спрощених моделях кутових швів навантаження відносять до ефективної площі горла шва. Реальний розподіл напружень складніший, тому для проєктування застосовують нормативні методики та коефіцієнти.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зв’язок із крученням\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Дотичні напруження є також основними напруженнями при крученні круглого вала. На відміну від моделі середнього напруження в кріпленні, у валу $\\tau$ змінюється за радіусом. Цей розподіл і розрахунок міцності розглянуто в темі \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Fkruchennya-valiv\">«Кручення валів круглого та кільцевого перерізів»\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1059,"parent_id":57,"code":9,"slug":1060,"name":1061,"seo_title":1062,"seo_description":1063,"seo_text":1064,"content":1065,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1060,"children":1066},432,"kruchennia","Кручення","Кручення стержнів і валів — напруження, міцність та жорсткість","Крутний момент, епюри T, дотичні напруження, кут закручування, міцність і жорсткість круглих валів та огляд складніших перерізів.","Розділ охоплює внутрішній крутний момент, кручення круглих і кільцевих валів, розподіл дотичних напружень, кут закручування, передачу потужності та спеціальні випадки.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кручення\u003C\u002Fstrong> — вид навантаження стержня парами сил, моменти яких діють відносно його поздовжньої осі. У поперечних перерізах виникає крутний момент \\(T\\), а матеріал зазнає переважно деформації зсуву.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Внутрішній крутний момент\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Крутний момент у довільному перерізі визначають методом перерізів із рівняння рівноваги відсіченої частини. Уздовж вала будують епюру \\(T(x)\\), яка показує небезпечні ділянки та зміну знака моменту.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Круглі та кільцеві вали\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для круглого стержня поперечні перерізи залишаються плоскими та повертаються як жорсткі диски. Дотичні напруження змінюються лінійно за радіусом:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\tau(\\rho)=\\frac{T\\rho}{I_p},\\qquad \\tau_{max}=\\frac{T}{W_p}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Кут закручування призматичної ділянки:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\varphi=\\frac{TL}{GI_p}.\\]\u003C\u002Fp>\n{{chunk:circular-shaft-torsion}}\n\u003Ch2>Міцність і жорсткість\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Розмір вала вибирають за двома незалежними вимогами: \\(\\tau_{max}\\le[\\tau]\\) та \\(|\\varphi|\\le[\\varphi]\\). Виконання лише умови міцності не гарантує допустимого кута закручування.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Передача потужності\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для обертового вала потужність пов’язана з моментом і кутовою швидкістю:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[P=T\\omega.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Це дозволяє перейти від потужності й частоти обертання привода до розрахункового крутного моменту.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Спеціальні випадки\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\n\u003Cli>статично невизначувані системи з кількома ділянками та опорами;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>ступінчасті й складені вали;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>концентрація напружень біля канавок, галтелей та отворів;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>непружне кручення й залишкові напруження;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>гвинтові циліндричні пружини.\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Перерізи складнішої форми\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Формулу круглого вала не можна безпосередньо застосовувати до прямокутних, еліптичних та інших форм. Їх особливості узагальнено в окремому розділі \u003Ca href=\"\u002Fopir-materialiv\u002Fkruchennia-sterzhniv-nekruhloho-sutsilnoho-pererizu\">«Кручення стержнів некруглого суцільного перерізу»\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Депланація, вільне й стиснене кручення відкритих профілів, а також потік дотичних зусиль у замкнених профілях розглянуті в поглибленому розділі \u003Ca href=\"\u002Fopir-materialiv\u002Fkruchennia-tonkostinnykh-sterzhniv\">«Кручення тонкостінних стержнів»\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Розрахунковий маршрут\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Зовнішні моменти → реактивні моменти → епюра \\(T\\) → вибір теорії за формою перерізу → дотичні напруження → кут закручування → перевірка міцності та жорсткості.\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>",[1067,1076,1085,1095,1104,1113],{"id":1068,"parent_id":1059,"code":9,"slug":1069,"name":1070,"seo_title":1071,"seo_description":1072,"seo_text":1073,"content":1074,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1069,"children":1075},434,"krutnyi-moment-ta-epiury-krutnykh-momentiv","Крутний момент та епюри крутних моментів","Крутний момент і побудова епюр T","Визначення внутрішнього крутного моменту методом перерізів, правило знаків, стрибки та побудова епюри T вздовж вала.","Крутний момент визначають із рівноваги відсіченої частини вала. Наведено правило знаків, зв’язок із розподіленим крутним навантаженням і алгоритм побудови епюри T.","\u003Cp>\u003Cstrong>Крутний момент \\(T\\)\u003C\u002Fstrong> — внутрішній силовий фактор, що виникає в поперечному перерізі стержня при крученні. Його визначають методом перерізів із рівняння рівноваги відсіченої частини.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зовнішні та внутрішні моменти\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Зовнішній крутний момент створюють пара сил, двигун, муфта, шків або зубчасте колесо. Після уявного розрізу внутрішній момент \\(T\\) урівноважує алгебраїчну суму зовнішніх моментів з одного боку перерізу:\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[T(x)=-\\sum M_x.\\]\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Знаки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Напрям додатного моменту задають один раз і застосовують послідовно. Зручно користуватися правилом правого гвинта відносно поздовжньої осі. На протилежних гранях розрізу внутрішні моменти мають протилежні напрями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Епюра T\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На ділянці без розподіленого крутного навантаження \\(T\\) сталий. У точці прикладання зосередженого моменту епюра має стрибок на його величину. За наявності розподіленого моменту \\(m_t(x)\\):\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[\\frac{dT}{dx}=-m_t(x).\\]\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Позначити всі прикладені та реактивні моменти.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити невідомі реакції з рівняння \\(\\sum M_x=0\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>Розбити вал на ділянки.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Зробити переріз у межах кожної ділянки та знайти \\(T(x)\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>Побудувати епюру і перевірити її стрибки та загальну рівновагу.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>",[],{"id":904,"parent_id":1059,"code":1077,"slug":1078,"name":1079,"seo_title":1080,"seo_description":1081,"seo_text":1082,"content":1083,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1078,"children":1084},"12","kruchennya-valiv","Кручення валів круглого та кільцевого перерізів","Кручення валів — дотичні напруження, кут закручування і приклад","Кручення суцільних і порожнистих валів: крутний момент, полярний момент інерції, дотичні напруження, кут закручування та приклад розрахунку.","При крученні валів круглого та кільцевого перерізів діє гіпотеза плоских перерізів, згідно з якою поперечні перерізи залишаються плоскими та повертаються один відносно одного на певний кут. Розділ присвячено визначенню полярних моментів інерції та опору, побудові епюр крутних моментів і кутів закручування. Подано розрахунки на міцність за допустимими дотичними напруженнями та розрахунки на жорсткість за допустимим питомим кутом закручування.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кручення\u003C\u002Fstrong> — деформування стержня під дією моментів відносно його поздовжньої осі. Для круглих і кільцевих валів у межах класичної теорії кручення поперечні перерізи залишаються плоскими та повертаються один відносно одного. Поняття дотичних напружень і закон Гука при зсуві введено раніше в темі \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Fchystyy-zsuv-ta-z-yednannya\">«Чистий зсув та розрахунок з'єднань»\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>{{visualization:circular-shaft-torsion-animation}}\u003Ch2>Крутний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Внутрішній крутний момент \u003Cstrong>$T$\u003C\u002Fstrong> у перерізі визначають методом перерізів із рівняння рівноваги моментів відносно осі вала. Для ступінчастого або багатонавантаженого вала $T$ визначають окремо на кожній ділянці та будують епюру крутних моментів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Полярні характеристики перерізу\u003C\u002Fh2>{{chunk:circular-shaft-polar-properties}}\u003Cp>Полярний момент інерції $J_p$ характеризує геометричний опір перерізу кручення, а полярний момент опору $W_p$ зручно використовувати для визначення максимального дотичного напруження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Дотичні напруження\u003C\u002Fh2>{{chunk:circular-shaft-torsion}}\u003Cp>У суцільному круглому валу дотичне напруження змінюється лінійно за радіусом: на осі $\\tau=0$, а на зовнішній поверхні воно максимальне. Для кільцевого перерізу матеріал відсутній біля осі, тому при однаковій масі матеріалу порожнистий вал може використовувати матеріал ефективніше щодо кручення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розрахунок на міцність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У простій моделі допустимих напружень умова міцності має вигляд $|\\tau_{\\max}|\\le[\\tau]$. Для суцільного круглого вала це дозволяє підібрати діаметр за відомим $T$ і допустимим дотичним напруженням.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розрахунок на жорсткість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Надмірне закручування може порушувати точність роботи механізму навіть при безпечних напруженнях. Тому повний або питомий кут закручування порівнюють із допустимим значенням. Для кількох ділянок кути закручування додають алгебраїчно.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для суцільного вала діаметром $d=40$ мм при $T=500$ Н·м спочатку переводимо момент у Н·мм: $T=500\\,000$ Н·мм. Полярний момент опору:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$W_p=\\frac{\\pi40^3}{16}\\approx12566\\ \\text{мм}^3.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тоді $\\tau_{\\max}=500000\u002F12566\\approx39{,}8$ МПа.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо вихідними даними є потужність і частота обертання, спочатку визначають $T$ у темі \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Fperedacha-potuzhnosti-valamy\">«Передача потужності валами»\u003C\u002Fa>. Теорія кручення круглого дроту також лежить в основі розрахунку \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Frozrahunok-hvyntovykh-pruzhyn\">гвинтових пружин\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Наведені співвідношення стосуються насамперед круглих і кільцевих стержнів у лінійно-пружній області. Для некруглих перерізів розподіл напружень і деформацій при крученні має інший характер.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1086,"parent_id":1059,"code":1087,"slug":1088,"name":1089,"seo_title":1090,"seo_description":1091,"seo_text":1092,"content":1093,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1088,"children":1094},104,"10.4","peredacha-potuzhnosti-valamy","Передача потужності валами","Передача потужності валами — момент, потужність і оберти","Зв’язок потужності, крутного моменту та частоти обертання вала. Формули P = Tω і T ≈ 9550P\u002Fn та перехід до розрахунку на кручення.","Тема пояснює зв’язок між передаваною механічною потужністю, крутним моментом і частотою обертання вала. Розглядаються формули P = Tω та T ≈ 9550P\u002Fn, одиниці вимірювання й перехід від параметрів приводу до розрахункового крутного моменту. Після визначення моменту вал перевіряють на міцність за дотичними напруженнями та на жорсткість за кутом закручування.","\u003Cp>У приводах вал передає механічну енергію між двигуном, редуктором, муфтою та робочою машиною. Для розрахунку міцності вала потужність і частоту обертання потрібно перетворити на \u003Cstrong>крутний момент\u003C\u002Fstrong>. Після цього використовується теорія з теми \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Fkruchennya-valiv\">«Кручення валів круглого та кільцевого перерізів»\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>{{chunk:shaft-power-torque}}\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За однакової потужності зменшення частоти обертання приводить до збільшення крутного моменту. Саме тому після редуктора, який знижує оберти, момент на вихідному валу за ідеалізованої передачі зростає.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перехід до розрахунку вала\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після визначення $T$ його використовують у формулах кручення. Для круглого вала знаходять полярні характеристики перерізу, максимальні дотичні напруження та кут закручування. Формули й перевірки міцності та жорсткості зібрано в темі \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Fkruchennya-valiv\">про кручення валів\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>{{chunk:circular-shaft-torsion}}\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вал передає $P=15$ кВт при $n=1500$ об\u002Fхв. Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T\\approx\\frac{9550\\cdot15}{1500}=95{,}5\\ \\text{Н·м}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Це значення є базовим крутним моментом для подальшого розрахунку вала. У реальній машині додатково можуть враховувати ККД передачі, нерівномірність навантаження, пускові та динамічні режими.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Одиниці та типова помилка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У формулі з коефіцієнтом 9550 потужність потрібно підставляти саме в кВт, частоту — в об\u002Fхв, а результат отримують у Н·м. При використанні формули $P=T\\omega$ всі величини повинні бути записані в узгоджених одиницях SI.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пов’язані теми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для повторення фізичного змісту дотичних напружень див. \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Fzsuv-ta-kruchennya\">«Зсув та кручення»\u003C\u002Fa>. Як приклад застосування кручення не у валу, а в дроті витка, див. \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Frozrahunok-hvyntovykh-pruzhyn\">«Розрахунок гвинтових пружин»\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1096,"parent_id":1059,"code":9,"slug":1097,"name":1098,"seo_title":1099,"seo_description":1100,"seo_text":1101,"content":1102,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":1097,"children":1103},436,"rozrakhunok-valiv-na-mitsnist-i-zhorstkist","Розрахунок валів на міцність і жорсткість","Розрахунок валів при крученні на міцність і жорсткість","Умови міцності та жорсткості круглого вала, максимальні дотичні напруження, сумарний кут закручування і підбір діаметра.","Перевірка вала включає умову міцності за максимальними дотичними напруженнями та умову жорсткості за допустимим кутом закручування.","\u003Cp>Розрахунок вала при крученні включає окремі перевірки \u003Cstrong>міцності\u003C\u002Fstrong> за дотичними напруженнями та \u003Cstrong>жорсткості\u003C\u002Fstrong> за кутом закручування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Умова міцності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для круглого або кільцевого перерізу:\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[\\tau_{max}=\\frac{|T|}{W_p}\\le[\\tau].\\]\u003C\u002Fp>\u003Cp>Небезпечним є переріз із найбільшим відношенням \\(|T|\u002FW_p\\), а не обов’язково з найбільшим моментом.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Умова жорсткості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для ділянки зі сталими \\(T\\), \\(G\\) та \\(I_p\\):\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[\\varphi=\\frac{TL}{GI_p}.\\]\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для ступінчастого вала кути ділянок додають алгебраїчно:\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[\\varphi=\\sum_i\\frac{T_iL_i}{G_iI_{p,i}}.\\]\u003C\u002Fp>\u003Cp>Перевіряють повний кут між заданими перерізами або відносний кут закручування на одиницю довжини.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Проєктний розрахунок\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Побудувати епюру \\(T\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити \\(I_p\\) і \\(W_p\\) кожної ділянки.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти \\(\\tau_{max}\\) та перевірити міцність.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити кути закручування з урахуванням знаків.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити жорсткість.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Округлити розмір до стандартного і повторити обидві перевірки.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Практичні зауваження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для валів зі шпонковими пазами, галтелями чи отворами враховують концентрацію напружень. Для некруглих перерізів замість \\(I_p\\) використовують відповідну сталу кручення.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1105,"parent_id":1059,"code":9,"slug":1106,"name":1107,"seo_title":1108,"seo_description":1109,"seo_text":1110,"content":1111,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":1106,"children":1112},438,"statychno-nevyznachuvani-zadachi-na-kruchennia","Статично невизначувані задачі на кручення","Статично невизначувані задачі при крученні валів","Реактивні моменти, рівняння рівноваги, сумісність кутів закручування та розрахунок защемлених і складених валів.","Статично невизначувані задачі на кручення розв’язують спільно рівняннями рівноваги, фізичними залежностями та умовами сумісності кутів повороту.","\u003Cp>Система при крученні є \u003Cstrong>статично невизначуваною\u003C\u002Fstrong>, якщо рівняння рівноваги недостатньо для визначення всіх реактивних моментів. Додаткові рівняння отримують з умов сумісності кутів повороту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Три групи рівнянь\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>\u003Cstrong>Рівновага:\u003C\u002Fstrong> \\(\\sum M_x=0\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Фізичні співвідношення:\u003C\u002Fstrong> \\(d\\varphi\u002Fdx=T\u002F(GI_p)\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Сумісність:\u003C\u002Fstrong> задані перерізи мають однакові кути або нульовий відносний поворот.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Вал, защемлений з двох боків\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо між опорами прикладено зовнішній момент, невідомі реакції \\(M_A\\) і \\(M_B\\) задовольняють рівновагу, але потрібне ще одне рівняння:\u003C\u002Fp>\u003Cp>\\[\\varphi_{AB}=\\sum_i\\frac{T_iL_i}{G_iI_{p,i}}=0.\\]\u003C\u002Fp>\u003Cp>Після визначення реакцій будують остаточну епюру \\(T\\) і виконують перевірки міцності та жорсткості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Складені вали\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для співвісних валів, жорстко з’єднаних між собою, їхні кути закручування однакові, а сумарний момент дорівнює сумі моментів, що сприймаються складовими. Розподіл залежить від крутильних жорсткостей \\(GJ\u002FL\\).\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Ввести невідомі реактивні моменти.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Записати рівняння рівноваги.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Виразити внутрішні моменти на всіх ділянках.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Записати умову сумісності поворотів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти реакції, побудувати епюру та виконати перевірки.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>",[],{"id":1114,"parent_id":1059,"code":1115,"slug":1116,"name":1117,"seo_title":1118,"seo_description":1119,"seo_text":1120,"content":1121,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":1116,"children":1122},13,"13","rozrahunok-hvyntovykh-pruzhyn","Розрахунок гвинтових пружин","Розрахунок гвинтової пружини — жорсткість, осадка і напруження","Як розрахувати циліндричну гвинтову пружину: жорсткість, осадка, дотичні напруження, діаметр дроту, кількість витків і поправка Валя.","Циліндричні гвинтові пружини малої кроковості є важливими деталями машин, що працюють на кручення витків під дією осьового навантаження. На цій сторінці подано інженерну теорію розрахунку витків пружини: обчислення крутного моменту, критерії врахування кривизни витка та додаткового зсуву, розрахунок максимальних дотичних напружень, а також визначення повної осадки пружини та кількості робочих витків для забезпечення необхідної жорсткості.","\u003Cp>\u003Cstrong>Циліндрична гвинтова пружина\u003C\u002Fstrong> перетворює осьову силу на переважно крутний момент у дроті витка. Завдяки цьому пружина може накопичувати пружну енергію та створювати значні осьові переміщення при відносно компактних розмірах. Базові співвідношення для дотичних напружень і кута закручування круглого стержня розглянуто в темі \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Fkruchennya-valiv\">«Кручення валів круглого та кільцевого перерізів»\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні геометричні параметри\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для розрахунку використовують діаметр дроту \u003Cstrong>$d$\u003C\u002Fstrong>, середній діаметр витка \u003Cstrong>$D$\u003C\u002Fstrong>, кількість робочих витків \u003Cstrong>$n$\u003C\u002Fstrong> та індекс пружини $C=D\u002Fd$. Кінцеві витки можуть виконувати конструктивну функцію і не завжди входять до числа робочих витків.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кручення дроту витка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Осьова сила $F$ створює в дроті основний крутний момент приблизно $T=FD\u002F2$. Тому базовий розрахунок пружини спирається на \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Fkruchennya-valiv\">теорію кручення круглого стержня\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>{{chunk:circular-shaft-polar-properties}}\u003Ch2>Осадка та жорсткість\u003C\u002Fh2>{{chunk:helical-spring-stiffness}}\u003Cp>З формули видно сильний вплив діаметра дроту: жорсткість пропорційна $d^4$. Водночас збільшення середнього діаметра $D$ або кількості робочих витків $n$ зменшує жорсткість.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Дотичні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Найпростіша модель кручення дає номінальне напруження від крутного моменту. У реальній гвинтовій пружині додатково діють прямий зсув і вплив кривизни дроту. Тому для точнішого визначення максимального напруження застосовують поправкові коефіцієнти, пов’язані з індексом пружини, наприклад коефіцієнт Валя в поширених інженерних моделях. Поняття чистого зсуву та модуль $G$ можна повторити в темі \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Fchystyy-zsuv-ta-z-yednannya\">«Чистий зсув та розрахунок з'єднань»\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Міцність і жорсткість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Проєктування пружини передбачає щонайменше дві перевірки: максимальні дотичні напруження не повинні перевищувати прийняте допустиме значення, а осьова деформація повинна забезпечувати потрібну характеристику сили та переміщення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад впливу геометрії\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо за незмінних $D$, $n$ і $G$ збільшити діаметр дроту в 1,2 раза, жорсткість у базовій моделі зміниться у $1{,}2^4\\approx2{,}07$ раза. Тобто відносно невелике збільшення $d$ може більш ніж удвічі підвищити жорсткість.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі простої моделі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Базові формули найкраще описують пружини з малим кутом підйому витка та пружною роботою матеріалу. У реальному проєктуванні також враховують кінцеві витки, контакт витків при стиску, втому, втрату стійкості довгих пружин, технологію виготовлення та нормативні вимоги.\u003C\u002Fp>",[],{"id":223,"parent_id":57,"code":1124,"slug":1125,"name":1126,"seo_title":1127,"seo_description":1128,"seo_text":1129,"content":1130,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":1125,"children":1131},"6","napruzhenyy-ta-deformovanyy-stan","Напружений та деформований стан","Напружений стан у точці — тензор, головні напруження і деформації","Плоский і просторовий напружений стан: компоненти тензора, головні площадки й напруження, деформації та перехід до оцінки міцності.","Напружений стан у точці матеріалу повністю характеризується тензором напружень і визначається сукупністю напружень, що діють по всіх довільно проведених площадках через цю точку. Розрізняють одновісний (лінійний), двовісний (плоский) та тривісний (об'ємний) напружені стани. На цій сторінці ви знайдете теоретичний аналіз компонентів напружень, правила їх трансформації при повороті координатних осей, а також методи визначення головних площадок і головних напружень, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю.","\u003Cp>\u003Cstrong>Напружений і деформований стан у точці\u003C\u002Fstrong> узагальнює поняття, уже знайомі з простих видів навантаження. Після розтягу і стиску студент знає нормальні напруження $\\sigma$ та лінійні деформації $\\varepsilon$, а після зсуву і кручення — дотичні напруження $\\tau$ та кутові деформації $\\gamma$. У цьому розділі вони розглядаються спільно як компоненти стану в точці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Від простої моделі до НДС\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Напруження в точці залежать від орієнтації площадки. Тому для складного навантаження недостатньо знати одне значення $\\sigma$ або $\\tau$: потрібно встановити сукупність компонентів і визначити, як вони змінюються при повороті площадки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навчальна послідовність\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Напружений стан у точці та компоненти напружень.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Плоский напружений стан і перетворення напружень.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Головні напруження, головні площадки та круг Мора.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Деформований стан у точці: лінійні та кутові деформації.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Узагальнений закон Гука для лінійно-пружного ізотропного матеріалу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Теорії міцності та перехід від складного стану до перевірки міцності.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Плоский і просторовий стан\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У тонких елементах, навантажених у своїй площині, часто застосовують модель \u003Cstrong>плоского напруженого стану\u003C\u002Fstrong>. Загальний просторовий стан описують нормальними компонентами $\\sigma_x$, $\\sigma_y$, $\\sigma_z$ і дотичними компонентами на координатних площадках.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Існують взаємно перпендикулярні головні площадки, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю. Нормальні напруження на них називають головними.\u003C\u002Fp>{{chunk:plane-stress-principal-stresses}}\u003Ch2>Деформований стан і закон Гука\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Деформації в точці описують лінійними деформаціями $\\varepsilon_x$, $\\varepsilon_y$, $\\varepsilon_z$ та кутовими деформаціями $\\gamma_{xy}$, $\\gamma_{yz}$, $\\gamma_{zx}$. Для лінійно-пружного ізотропного матеріалу напруження та деформації пов’язує узагальнений закон Гука.\u003C\u002Fp>{{chunk:generalized-hooke-3d}}\u003Ch2>Перехід до оцінки міцності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після визначення компонентів і головних напружень можна застосовувати критерії міцності. Саме тому теорії міцності завершують цей розділ і готують до задач складного опору.\u003C\u002Fp>",[1132,1141,1150,1159,1168,1177],{"id":1133,"parent_id":223,"code":9,"slug":1134,"name":1135,"seo_title":1136,"seo_description":1137,"seo_text":1138,"content":1139,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1134,"children":1140},406,"napruzhenyy-stan-u-tochtsi-komponenty-napruzhen","Напружений стан у точці. Компоненти напружень","Напружений стан у точці — нормальні та дотичні компоненти","Як описують напружений стан у точці: площадка, вектор напруження, нормальні σ і дотичні τ компоненти та тензор напружень.","Вступ до напруженого стану в точці після вивчення розтягу, зсуву та кручення: нормальні й дотичні компоненти напружень, їх залежність від орієнтації площадки та тензорне подання.","\u003Cp>Ця тема узагальнює вже знайомі з розтягу, зсуву та кручення нормальні й дотичні напруження. У довільній точці тіла напруження залежать не лише від положення точки, а й від орієнтації площадки, проведеної через неї.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напруження на площадці\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вектор напруження на площадці розкладають на нормальну складову $\\sigma$, перпендикулярну до площадки, та дотичну складову $\\tau$, що лежить у її площині.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Компоненти в декартовій системі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тривимірного стану використовують нормальні компоненти $\\sigma_x$, $\\sigma_y$, $\\sigma_z$ та дотичні компоненти $\\tau_{xy}$, $\\tau_{yx}$, $\\tau_{yz}$, $\\tau_{zy}$, $\\tau_{zx}$, $\\tau_{xz}$. За відсутності моментних напружень із рівноваги елементарного об’єму випливає симетрія парних дотичних компонентів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навіщо потрібен тензор напружень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Окремі значення $\\sigma$ і $\\tau$ на одній площадці ще не описують стан у точці повністю. Сукупність компонентів у трьох взаємно перпендикулярних площадках утворює тензор напружень, за яким можна визначити напруження на площадці іншої орієнтації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Подальший маршрут\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Спочатку розглядають плоский напружений стан і перетворення компонентів при повороті площадки. Після цього визначають головні напруження та максимальні дотичні напруження, а далі переходять до деформованого стану й критеріїв міцності.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1142,"parent_id":223,"code":9,"slug":1143,"name":1144,"seo_title":1145,"seo_description":1146,"seo_text":1147,"content":1148,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1143,"children":1149},407,"ploskyy-napruzhenyy-stan-peretvorennia-napruzhen","Плоский напружений стан. Перетворення напружень","Плоский напружений стан — перетворення σ і τ при повороті","Плоский напружений стан: σx, σy, τxy, напруження на похилій площадці та формули перетворення при повороті осей.","Плоский напружений стан і перетворення нормальних та дотичних напружень при зміні орієнтації площадки. Тема готує до визначення головних напружень і побудови круга Мора.","\u003Cp>\u003Cstrong>Плоский напружений стан\u003C\u002Fstrong> описують трьома незалежними компонентами: $\\sigma_x$, $\\sigma_y$ та $\\tau_{xy}$. Така модель застосовна, коли компоненти напружень, пов’язані з третім напрямком, можна вважати нульовими або малими порівняно з компонентами в площині.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навіщо повертати площадку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Значення нормального й дотичного напружень змінюються зі зміною орієнтації площадки. Тому відомі $\\sigma_x$, $\\sigma_y$ і $\\tau_{xy}$ дають змогу знайти напруження на похилій площадці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Формули перетворення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для повороту осей на кут $\\theta$ в одній із поширених систем знаків:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_{x'}=\\frac{\\sigma_x+\\sigma_y}{2}+\\frac{\\sigma_x-\\sigma_y}{2}\\cos2\\theta+\\tau_{xy}\\sin2\\theta,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau_{x'y'}=-\\frac{\\sigma_x-\\sigma_y}{2}\\sin2\\theta+\\tau_{xy}\\cos2\\theta.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Знаки дотичних компонентів і додатного кута повороту мають використовуватися послідовно відповідно до прийнятої в курсі конвенції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що залишається незмінним\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При повороті осей окремі компоненти змінюються, але фізичний напружений стан у точці не змінюється. Зокрема, сума нормальних напружень $\\sigma_x+\\sigma_y$ є інваріантною.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перехід до головних напружень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Серед усіх орієнтацій існують площадки, на яких дотичне напруження дорівнює нулю. Визначення цих площадок і відповідних головних напружень є наступним кроком аналізу.\u003C\u002Fp>",[],{"id":849,"parent_id":223,"code":1151,"slug":1152,"name":1153,"seo_title":1154,"seo_description":1155,"seo_text":1156,"content":1157,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1152,"children":1158},"7","holovni-napruzhennia-ta-kruh-mora","Головні напруження та круг Мора","Головні напруження та круг Мора — плоский напружений стан","Як визначити головні площадки, головні напруження та максимальні дотичні напруження аналітично і за допомогою круга Мора.","Визначення головних площадок, головних напружень і максимальних дотичних напружень для плоского напруженого стану. Круг Мора використовується як графічне подання результатів перетворення напружень.","\u003Cp>Після визначення напружень на довільно орієнтованій площадці можна знайти особливі напрямки, у яких нормальні й дотичні компоненти набувають екстремальних значень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головні площадки та головні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Головними\u003C\u002Fstrong> називають площадки, на яких дотичне напруження дорівнює нулю. Нормальні напруження на цих площадках називають головними напруженнями.\u003C\u002Fp>{{chunk:plane-stress-principal-stresses}}\u003Ch2>Круг Мора\u003C\u002Fh2>{{chunk:mohr-circle-plane-stress}}\u003Cp>Круг Мора є графічним поданням рівнянь перетворення напружень. Він дозволяє визначити головні напруження, максимальні дотичні напруження та напруження на площадці заданої орієнтації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Максимальні дотичні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У плоскому поданні радіус круга Мора дорівнює найбільшому дотичному напруженню серед площадок, нормалі яких лежать у площині $x$–$y$. Для повної тривимірної оцінки потрібно враховувати всі три головні напруження; абсолютне максимальне дотичне напруження дорівнює половині найбільшої різниці між ними.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай $\\sigma_x=80$ МПа, $\\sigma_y=20$ МПа, $\\tau_{xy}=30$ МПа. Середнє напруження $C=50$ МПа, а радіус:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$R=\\sqrt{30^2+30^2}\\approx42{,}43\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тоді $\\sigma_1\\approx92{,}43$ МПа, $\\sigma_2\\approx7{,}57$ МПа, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює приблизно 42,43 МПа.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сума головних напружень повинна дорівнювати $\\sigma_x+\\sigma_y$, а їх середнє — координаті центра круга Мора. Ці співвідношення зручні для контролю обчислень.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1160,"parent_id":223,"code":9,"slug":1161,"name":1162,"seo_title":1163,"seo_description":1164,"seo_text":1165,"content":1166,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":1161,"children":1167},408,"deformovanyy-stan-u-tochtsi","Деформований стан у точці","Деформований стан у точці — лінійні та кутові деформації","Як описують деформований стан у точці: εx, εy, εz, кутові деформації γ та зв’язок із напруженим станом.","Деформований стан у точці описують лінійними й кутовими деформаціями. Тема узагальнює ε і γ, вивчені при розтягу та зсуві, і готує до узагальненого закону Гука.","\u003Cp>\u003Cstrong>Деформований стан у точці\u003C\u002Fstrong> характеризує локальну зміну довжин і кутів між матеріальними напрямками. Він узагальнює лінійну деформацію $\\varepsilon$, знайому з розтягу та стиску, і кутову деформацію $\\gamma$, знайому зі зсуву та кручення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінійні деформації\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Компоненти $\\varepsilon_x$, $\\varepsilon_y$, $\\varepsilon_z$ характеризують відносну зміну довжини матеріальних відрізків, орієнтованих уздовж відповідних осей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кутові деформації\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Компоненти $\\gamma_{xy}$, $\\gamma_{yz}$, $\\gamma_{zx}$ характеризують зміну кутів між початково взаємно перпендикулярними матеріальними напрямками.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Деформація залежить від напрямку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Так само як напруження на площадці залежать від її орієнтації, лінійна деформація залежить від вибраного матеріального напрямку. Тому повний локальний опис потребує сукупності компонентів деформації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зв’язок із напруженнями\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сам по собі деформований стан не визначає напруження без моделі матеріалу. Для лінійно-пружного ізотропного матеріалу зв’язок між компонентами напружень і деформацій задає узагальнений закон Гука.\u003C\u002Fp>",[],{"id":871,"parent_id":223,"code":1169,"slug":1170,"name":1171,"seo_title":1172,"seo_description":1173,"seo_text":1174,"content":1175,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":1170,"children":1176},"9","uzahalnenyy-zakon-huka","Узагальнений закон Гука","Узагальнений закон Гука — формули для 3D напруженого стану","Узагальнений закон Гука для ізотропного матеріалу: зв’язок σ і ε у трьох напрямках, коефіцієнт Пуассона, об’ємна деформація та плоский стан.","Узагальнений закон Гука встановлює лінійну залежність між компонентами тензора деформацій та компонентами тензора напружень для ізотропного пружного тіла при тривісному напруженому стані. Розділ охоплює формули для обчислення відносних лінійних деформацій вздовж головних осей, кутових деформацій, а також об'ємної деформації та модуля об'ємного стиску. Подано приклади використання закону Гука для розрахунку тонкостінних резервуарів і труб під внутрішнім тиском.","\u003Cp>\u003Cstrong>Узагальнений закон Гука\u003C\u002Fstrong> описує зв’язок між компонентами напружень і деформацій у лінійно-пружному ізотропному матеріалі. На відміну від одновісної формули $\\sigma=E\\varepsilon$, він враховує одночасну дію нормальних напружень у трьох напрямках і дотичних напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вплив коефіцієнта Пуассона\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нормальне напруження в одному напрямку створює не лише поздовжню, а й поперечні деформації. Саме цей взаємний вплив описує коефіцієнт Пуассона $\\nu$.\u003C\u002Fp>{{chunk:generalized-hooke-3d}}\u003Ch2>Головні осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо систему координат зорієнтувати вздовж головних напрямків, дотичні напруження на головних площадках дорівнюють нулю. Тоді закон Гука для нормальних деформацій можна записати через $\\sigma_1$, $\\sigma_2$, $\\sigma_3$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\varepsilon_1=\\frac{1}{E}[\\sigma_1-\\nu(\\sigma_2+\\sigma_3)],$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>а два інші рівняння отримують циклічною перестановкою індексів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Об’ємна деформація\u003C\u002Fh2>{{chunk:volumetric-strain-bulk-modulus}}\u003Cp>Гідростатична складова напруженого стану пов’язана зі зміною об’єму, тоді як девіаторна складова — зі зміною форми. Це розділення важливе для розуміння енергетичних критеріїв міцності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Плоский напружений стан\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тонкої пластини часто приймають $\\sigma_z=0$. При цьому деформація $\\varepsilon_z$ загалом не дорівнює нулю: через ефект Пуассона напруження $\\sigma_x$ і $\\sigma_y$ викликають деформацію в напрямку товщини:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\varepsilon_z=-\\frac{\\nu}{E}(\\sigma_x+\\sigma_y).$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Це важлива відмінність між плоским напруженим і плоским деформованим станами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай $E=200$ ГПа, $\\nu=0{,}3$, $\\sigma_x=100$ МПа, $\\sigma_y=40$ МПа, $\\sigma_z=0$. Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\varepsilon_x=\\frac{100-0{,}3\\cdot40}{200000}=0{,}00044,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\varepsilon_y=\\frac{40-0{,}3\\cdot100}{200000}=0{,}00005,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\varepsilon_z=-\\frac{0{,}3(100+40)}{200000}=-0{,}00021.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Наведені співвідношення передбачають малі деформації, однорідний ізотропний матеріал і лінійно-пружну роботу. Для анізотропних матеріалів, пластичного деформування або великих деформацій потрібні інші визначальні співвідношення.\u003C\u002Fp>",[],{"id":860,"parent_id":223,"code":1178,"slug":1179,"name":1180,"seo_title":1181,"seo_description":1182,"seo_text":1183,"content":1184,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":1179,"children":1185},"8","teoriyi-mitsnosti","Теорії міцності (гіпотези граничних станів)","Теорії міцності — критерії Треска, Мізеса і Мора","Як оцінити міцність при складному напруженому стані: еквівалентні напруження за критеріями Треска, Мізеса та підходами Мора.","Теорії міцності (гіпотези граничних станів) дають змогу оцінити міцність матеріалу при складному напруженому стані шляхом зіставлення його з простим розтягом-стиском. У розділі детально розглядаються перша та друга теорії (історичні), третя теорія найбільших дотичних напружень (критерій Треска), четверта енергетична теорія (критерій Губера-Мізеса-Генкі) та теорія Мора для матеріалів з різним опором розтягу й стиску. Ви навчитеся обчислювати розрахункові (еквівалентні) напруження.","\u003Cp>При складному напруженому стані матеріал одночасно зазнає дії кількох компонентів напружень. \u003Cstrong>Теорії міцності\u003C\u002Fstrong>, або критерії граничного стану, зводять такий стан до певної еквівалентної характеристики, яку можна зіставити з результатами простішого випробування матеріалу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навіщо потрібне еквівалентне напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Одне головне напруження не завжди достатньо описує небезпеку складного стану. Для пластичних металів важливим є вплив різниць між головними напруженнями, тобто девіаторної складової напруженого стану. Тому широко застосовують критерії Треска та Губера–Мізеса–Генкі.\u003C\u002Fp>{{chunk:tresca-von-mises-criteria}}\u003Ch2>Критерій Треска\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Критерій найбільших дотичних напружень пов’язує початок пластичної течії з максимальною різницею головних напружень. Він простий для ручного розрахунку й зазвичай дає дещо консервативнішу оцінку, ніж критерій Мізеса для багатьох станів навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Критерій Губера–Мізеса–Генкі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Енергетичний критерій пов’язує початок текучості з енергією формозміни. Для пластичних ізотропних металів він широко використовується в інженерних розрахунках і чисельному аналізі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Плоский напружений стан\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\sigma_z=0$, критерій Мізеса можна записати через компоненти плоского стану:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_{\\mathrm{eq,VM}}=\\sqrt{\\sigma_x^2-\\sigma_x\\sigma_y+\\sigma_y^2+3\\tau_{xy}^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Ця форма дозволяє виконати оцінку без попереднього обчислення головних напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Матеріали з різним опором розтягу і стиску\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для крихких матеріалів або матеріалів, міцність яких суттєво відрізняється при розтягу та стиску, застосовують інші критерії, зокрема підходи типу Мора. Конкретна формула та допустимі характеристики повинні відповідати прийнятій нормативній або розрахунковій методиці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Історичні критерії\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У навчальних курсах також розглядають критерій найбільших нормальних напружень та критерій найбільших лінійних деформацій. Вони важливі для розуміння розвитку теорій міцності, але не є універсальними для сучасного розрахунку пластичних металів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для головних напружень $\\sigma_1=100$ МПа, $\\sigma_2=40$ МПа, $\\sigma_3=0$ критерій Треска дає $\\sigma_{\\mathrm{eq,T}}=100$ МПа. За Мізесом:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_{\\mathrm{eq,VM}}=\\sqrt{\\frac{60^2+40^2+100^2}{2}}\\approx87{,}2\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Вибір критерію повинен відповідати матеріалу, характеру руйнування та правилам конкретного розрахунку.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1187,"parent_id":57,"code":1188,"slug":1189,"name":1190,"seo_title":1191,"seo_description":1192,"seo_text":1193,"content":1194,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":1189,"children":1195},15,"15","heometrychni-kharakterystyky-pereriziv","Геометричні характеристики плоских перерізів","Геометричні характеристики перерізів — формули та розрахунок","Як знаходити центр ваги, статичні та осьові моменти інерції, полярний момент і моменти опору для простих та складених перерізів.","Геометричні характеристики визначають здатність поперечного перерізу елемента чинити опір різним видам деформацій незалежно від властивостей матеріалу. У цьому розділі вивчено статичні моменти площини, координати центра ваги, осьові, відцентрові та полярні моменти інерції. Подано формули паралельного переносу координатних осей, правила визначення головних осей і головних моментів інерції для складних складених перерізів (прокатної сталі: швелерів, двотаврів, кутників).","\u003Cp>\u003Cstrong>Геометричні характеристики плоского перерізу\u003C\u002Fstrong> описують розподіл площі відносно вибраних осей і точок. На відміну від механічних характеристик матеріалу, вони залежать лише від форми, розмірів та орієнтації перерізу. Ці величини потрібні для розрахунків згину, кручення, стійкості та складного опору.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Площа і центр ваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Площа $A$ визначає загальний розмір поперечного перерізу, а статичні моменти використовують для знаходження положення його центра ваги. Для складених перерізів центр ваги знаходять як зважене за площами середнє координат центрів простих частин.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-static-moments-centroid}}\u003Ch2>Моменти інерції площі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Осьові моменти інерції $I_x$ та $I_y$ характеризують розподіл площі відносно відповідних осей. Чим далі елементи площі розташовані від осі, тим більший їх внесок через квадрат відстані.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-second-moments}}\u003Ch2>Перенесення та поворот осей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо потрібна вісь паралельна відомій центральній осі, використовують теорему Штейнера. Якщо змінюється орієнтація осей, застосовують формули повороту, які дозволяють знайти головні центральні осі та головні моменти інерції.\u003C\u002Fp>{{chunk:parallel-axis-theorem}}\u003Ch2>Моменти опору\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У задачах згину використовують момент опору $W=I\u002Fy_{\\max}$, де $y_{\\max}$ — відстань від нейтральної осі до відповідного крайнього волокна. Для несиметричного перерізу моменти опору для верхнього та нижнього країв можуть відрізнятися.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові форми перерізів\u003C\u002Fh2>{{chunk:threejs-typical-cross-sections}}\u003Ch2>Прості та складені перерізи\u003C\u002Fh2>{{chunk:rectangle-circle-area-properties}}\u003Cp>Складні профілі розбивають на прямокутники, трикутники, круги або інші прості частини. Після знаходження спільного центра ваги характеристики кожної частини переносять до спільних осей і підсумовують.\u003C\u002Fp>{{chunk:composite-section-properties-algorithm}}\u003Ch2>Структура розділу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У дочірніх темах окремо розглядаються статичні моменти та центр ваги, моменти інерції, теорема Штейнера, поворот осей, головні характеристики та моменти опору. Такий поділ готує геометричну базу для подальшого вивчення напружень і деформацій при згині.\u003C\u002Fp>",[1196,1206,1216,1226,1236],{"id":1197,"parent_id":1187,"code":1198,"slug":1199,"name":1200,"seo_title":1201,"seo_description":1202,"seo_text":1203,"content":1204,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1199,"children":1205},105,"15.1","tsentr-vahy-ta-statychni-momenty-ploshchi","Центр ваги та статичні моменти площі","Центр ваги перерізу — статичні моменти площі та приклад","Як знайти центр ваги простого або складеного перерізу за статичними моментами площі Sx і Sy: формули, симетрія, отвори та приклад.","Тема пояснює статичні моменти площі та метод визначення координат центра ваги плоского перерізу. Розглядаються прості й складені фігури, алгебраїчне сумування площ, врахування отворів та використання симетрії. Матеріал є основою для подальшого визначення центральних моментів інерції.","\u003Cp>\u003Cstrong>Центр ваги площі\u003C\u002Fstrong> — геометрична точка, через яку проходять центральні осі перерізу. Його положення визначають за статичними моментами площі.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-static-moments-centroid}}\u003Ch2>Властивість центральних осей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Статичний момент усієї площі відносно осі, що проходить через її центр ваги, дорівнює нулю. Якщо фігура має вісь симетрії, центр ваги лежить на цій осі; за двох осей симетрії він розташований у точці їх перетину.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Складений переріз\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Складну фігуру розбивають на прості частини. Для кожної частини визначають $A_i$ та координати її власного центра ваги. Після цього використовують алгебраїчні суми $\\sum A_i x_i$ і $\\sum A_i y_i$. Отвори враховують як від’ємні площі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай два прямокутники мають площі $A_1=2000$ мм² і $A_2=1000$ мм², а координати їх центрів уздовж $y$ становлять 20 та 80 мм. Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$y_c=\\frac{2000\\cdot20+1000\\cdot80}{3000}=40\\ \\text{мм}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Не можна усереднювати координати центрів частин без урахування їх площ. Також важливо задавати всі координати від однієї базової осі та правильно враховувати знак площі отвору.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1207,"parent_id":1187,"code":1208,"slug":1209,"name":1210,"seo_title":1211,"seo_description":1212,"seo_text":1213,"content":1214,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1209,"children":1215},106,"15.2","osiovi-ta-poliarnyi-momenty-inertsii-ploshchi","Осьові та полярний моменти інерції площі","Моменти інерції площі — Ix, Iy, Jp і формули перерізів","Що таке осьові та полярний моменти інерції площі: Ix, Iy, Jp, одиниці вимірювання, геометричний зміст і формули для прямокутника та круга.","Тема вводить осьові моменти інерції Ix, Iy та полярний момент Jp як геометричні характеристики розподілу площі. Пояснюються інтегральні визначення, розмірність, вплив віддалення площі від осі та стандартні формули для прямокутних, круглих і кільцевих перерізів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Момент інерції площі\u003C\u002Fstrong> характеризує, як площа поперечного перерізу розподілена відносно вибраної осі. Він не є масовим моментом інерції та не залежить від густини матеріалу.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-second-moments}}\u003Ch2>Геометричний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Елементи площі, розташовані далеко від осі, дають значно більший внесок у $I$ через квадрат відстані. Саме тому профілі з матеріалом, винесеним до крайніх зон, можуть мати великий момент інерції при відносно невеликій площі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стандартні фігури\u003C\u002Fh2>{{chunk:rectangle-circle-area-properties}}\u003Ch2>Полярний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для двох взаємно перпендикулярних осей $x$ та $y$, що проходять через одну точку, $J_p=I_x+I_y$. Для круглого вала ця характеристика безпосередньо входить у класичні формули кручення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Одиниці\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо геометричні розміри задані в міліметрах, моменти інерції мають одиниці мм⁴. Через четвертий степінь навіть невелика зміна характерного розміру може суттєво змінити $I$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для прямокутника $b=40$ мм, $h=80$ мм відносно центральної осі $x$, паралельної $b$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_x=\\frac{40\\cdot80^3}{12}\\approx1{,}707\\cdot10^6\\ \\text{мм}^4.$$\u003C\u002Fp>",[],{"id":1217,"parent_id":1187,"code":1218,"slug":1219,"name":1220,"seo_title":1221,"seo_description":1222,"seo_text":1223,"content":1224,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1219,"children":1225},107,"15.3","teorema-shteinera-ta-skladeni-pererizy","Теорема Штейнера та складені перерізи","Теорема Штейнера — розрахунок складених перерізів крок за кроком","Як застосовувати теорему Штейнера для складених перерізів: знайти центр ваги, перенести моменти інерції, врахувати отвори та перевірити розрахунок.","Тема пояснює теорему Штейнера для перенесення моментів інерції між паралельними осями та її застосування до складених перерізів. Наведено послідовний алгоритм: розбиття на прості фігури, визначення центра ваги, перенесення власних моментів інерції та алгебраїчне сумування з урахуванням отворів.","\u003Cp>Для складених перерізів табличних формул окремих простих фігур недостатньо: їх моменти інерції спочатку потрібно привести до спільної осі. Для паралельного перенесення застосовують \u003Cstrong>теорему Штейнера\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>{{chunk:parallel-axis-theorem}}\u003Ch2>Чому спочатку потрібен центр ваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Центральні моменти інерції складеного перерізу визначають відносно осей, що проходять через центр ваги всього перерізу. Тому першим етапом є знаходження координат цього центра.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-static-moments-centroid}}\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>{{chunk:composite-section-properties-algorithm}}\u003Ch2>Отвори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Отвір можна трактувати як від’ємну частину: його площа, статичні моменти та перенесений момент інерції віднімаються від відповідних сум суцільних частин.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад структури розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для Т-подібного перерізу зручно виділити полицю та стінку як два прямокутники. Спочатку знаходять $y_c$ всього перерізу, потім для кожного прямокутника визначають власний центральний $I_x$ і додають $A_i a_i^2$, де $a_i$ — відстань між центром частини та спільною центральною віссю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контроль\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Перевірте, що всі відстані виміряні до тієї самої осі, одиниці узгоджені, а внесок $Aa^2$ не був помилково доданий до моменту інерції вже відносно потрібної осі.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1227,"parent_id":1187,"code":1228,"slug":1229,"name":1230,"seo_title":1231,"seo_description":1232,"seo_text":1233,"content":1234,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":1229,"children":1235},108,"15.4","vidtsentrovyi-moment-inertsii-ta-povorot-osei","Відцентровий момент інерції та поворот осей","Поворот осей і відцентровий момент інерції Ixy — формули","Формули перетворення Ix, Iy та Ixy при повороті координатних осей, інваріант Ix + Iy і умова визначення головних центральних осей.","Тема розглядає відцентровий момент інерції Ixy та залежність геометричних характеристик площі від орієнтації координатних осей. Наведено формули перетворення Ix, Iy, Ixy при повороті осей, інваріант Ix + Iy та умову визначення головних центральних осей.","\u003Cp>\u003Cstrong>Відцентровий момент інерції $I_{xy}$\u003C\u002Fstrong> характеризує спільний розподіл площі відносно двох взаємно перпендикулярних осей. На відміну від $I_x$ та $I_y$, він може бути додатним, від’ємним або дорівнювати нулю.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-second-moments}}\u003Ch2>Симетрія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо одна з центральних осей є віссю симетрії перерізу, відцентровий момент відносно цієї осі та перпендикулярної до неї центральної осі дорівнює нулю. Проте $I_{xy}=0$ саме по собі не означає, що переріз обов’язково має геометричну симетрію.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поворот осей\u003C\u002Fh2>{{chunk:area-inertia-axis-rotation}}\u003Cp>При повороті осей сума $I_x+I_y$ не змінюється. Це корисний інваріант для перевірки обчислень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головні осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Орієнтації, для яких $I_{xy}=0$ і $I_x$ та $I_y$ набувають екстремальних значень, називають головними осями інерції. Якщо вони проходять через центр ваги, це головні центральні осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичне значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для несиметричних перерізів визначення головних осей потрібне при косому згині та інших задачах, де напрям навантаження не збігається зі звичними геометричними осями.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1237,"parent_id":1187,"code":1238,"slug":1239,"name":1240,"seo_title":1241,"seo_description":1242,"seo_text":1243,"content":1244,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":1239,"children":1245},109,"15.5","holovni-osi-momenty-inertsii-ta-oporu","Головні осі, головні моменти інерції та моменти опору","Головні моменти інерції та момент опору — формули для згину","Як визначають головні осі й моменти інерції та момент опору W = I\u002Fymax для розрахунку нормальних напружень при згині.","Тема пояснює поняття головних центральних осей і головних моментів інерції, їх визначення для несиметричних перерізів та зв’язок із моментами опору. Розглядається формула W = I\u002Fymax, різні моменти опору для крайніх волокон несиметричного перерізу та використання характеристик у розрахунках згину.","\u003Cp>\u003Cstrong>Головні центральні осі\u003C\u002Fstrong> — це взаємно перпендикулярні осі через центр ваги перерізу, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти інерції набувають екстремальних значень.\u003C\u002Fp>{{chunk:area-inertia-axis-rotation}}\u003Ch2>Головні моменти інерції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для заданих центральних $I_x$, $I_y$ та $I_{xy}$ головні значення можна знайти як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_{1,2}=\\frac{I_x+I_y}{2}\\pm\\sqrt{\\left(\\frac{I_x-I_y}{2}\\right)^2+I_{xy}^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Більше значення позначають $I_1$, менше — $I_2$. Їх сума дорівнює $I_x+I_y$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент опору\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для згину відносно заданої нейтральної осі геометричний момент опору визначають як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$W=\\frac{I}{y_{\\max}}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Він має розмірність довжини в третьому степені, наприклад мм³, і безпосередньо входить у формулу максимального нормального напруження при чистому прямому згині: $|\\sigma_{\\max}|=|M|\u002FW$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Несиметричний переріз\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо нейтральна вісь не ділить висоту перерізу навпіл, відстані до крайніх волокон по різні боки різні. Тоді використовують окремі моменти опору $W_+=I\u002Fy_+$ та $W_-=I\u002Fy_-$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стандартні фігури\u003C\u002Fh2>{{chunk:rectangle-circle-area-properties}}\u003Ch2>Інженерний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Великий момент інерції зменшує кривизну балки при заданому згинальному моменті, а великий момент опору зменшує максимальне нормальне напруження. Саме тому розташування матеріалу відносно нейтральної осі є ключовим при формуванні ефективного перерізу балки.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1247,"parent_id":57,"code":1248,"slug":1249,"name":1250,"seo_title":1251,"seo_description":1252,"seo_text":1253,"content":1254,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":1249,"children":1255},14,"14","zhyn","Згин","Згин балок — Прямий та поперечний згин","Класична теорія згину балок: епюри згинальних моментів та поперечних сил.","Згин — це вид деформування, при якому відбувається викривлення осі стержня (балки) під дією зовнішніх навантажень. У розділі розглядаються чистий та поперечний згин, а також прямий згин балок симетричного перерізу. Подано теорію формування внутрішніх силових факторів: поперечної сили Q та згинального моменту M. Детально розкрито диференціальні співвідношення Журавського між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою та згинальним моментом.","\u003Cp>\u003Cstrong>Згин\u003C\u002Fstrong> — вид деформування стержня, за якого його поздовжня вісь викривляється під дією поперечних навантажень або прикладених моментів. До цього розділу студент уже знає геометричні характеристики перерізу, нормальні й дотичні напруження та основи НДС, тому згин об’єднує ці поняття в повний розрахунок балки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>1. Навантаження → $Q$ і $M$\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розрахунок починають з опорних реакцій. Далі методом перерізів визначають поперечну силу $Q(x)$ і згинальний момент $M(x)$ та будують їх епюри. Диференціальні залежності між інтенсивністю навантаження, $Q$ і $M$ використовують для аналізу форми епюр і перевірки результатів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>2. $M$ → нормальні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Згинальний момент створює нормальні напруження: частина перерізу працює на розтяг, а частина — на стиск. Між ними проходить нейтральна вісь, на якій нормальне напруження в класичній моделі прямого згину дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>{{chunk:bending-navier-stress}}\u003Ch2>3. $Q$ → дотичні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поперечна сила створює дотичні напруження, розподіл яких залежить від форми перерізу. Для їх визначення в класичній теорії балок застосовують формулу Журавського.\u003C\u002Fp>{{chunk:beam-shear-zhuravsky}}\u003Ch2>4. $M$ → кривизна → переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Під навантаженням вісь балки переходить у криву — зігнуту вісь. Основними кінематичними характеристиками є поперечний прогин $w$ та кут повороту перерізу $\\theta$, а опір викривленню характеризує згинальна жорсткість $EI$.\u003C\u002Fp>{{chunk:beam-curvature-moment}}\u003Ch2>5. Міцність і жорсткість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Небезпечні перерізи визначають за епюрами внутрішніх силових факторів. Після цього перевіряють напруження та окремо прогини й кути повороту. Безпечні напруження ще не гарантують достатньої жорсткості балки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розрахунковий маршрут\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Схема → реакції → $Q(x),M(x)$ → епюри → небезпечний переріз → нормальні й дотичні напруження → міцність → кривизна → прогини та кути повороту → жорсткість.\u003C\u002Fstrong>\u003C\u002Fp>\u003Cp>Дочірні теми послідовно охоплюють внутрішні сили та епюри, напруження, переміщення, диференціальне рівняння зігнутої осі та метод початкових параметрів. Геометричні характеристики $I$, $W$ і статичні моменти площі вивчаються безпосередньо перед згином в окремому розділі про плоскі перерізи.\u003C\u002Fp>",[1256,1266,1276],{"id":1257,"parent_id":1247,"code":1258,"slug":1259,"name":1260,"seo_title":1261,"seo_description":1262,"seo_text":1263,"content":1264,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":1259,"children":1265},16,"16","vnutrishni-saly-pry-zhyni","Внутрішні сили при згині","Внутрішні сили при згині — Правила знаків та побудова епюр","Побудова епюр Q та M для консольних та двоопорних балок.","Правильне визначення внутрішніх сил є першим і найважливішим етапом розрахунку балок на згин. У цьому розділі розглянуто застосування методу перерізів для знаходження поперечної сили Q та згинального моменту M у довільних перерізах. Детально пояснено загальноприйняті правила знаків для Q і M, алгоритми розбиття балок на ділянки, методику визначення критичних (екстремальних) перерізів та перевірку правильності побудованих епюр за допомогою диференціальних залежностей.","\u003Cp>При поперечному згині балки в її поперечних перерізах основними внутрішніми силовими факторами є \u003Cstrong>поперечна сила $Q$\u003C\u002Fstrong> та \u003Cstrong>згинальний момент $M$\u003C\u002Fstrong>. Їх визначають методом перерізів, а зміну вздовж балки зручно показувати графічно у вигляді епюр.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поперечна сила і згинальний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Поперечна сила $Q$\u003C\u002Fstrong> у перерізі характеризує результуючу внутрішніх дотичних сил, що діють у площині перерізу. \u003Cstrong>Згинальний момент $M$\u003C\u002Fstrong> характеризує дію внутрішніх нормальних сил, які спричиняють викривлення осі балки.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для визначення $Q$ і $M$ балку подумки розсікають у потрібному перерізі та розглядають рівновагу однієї з відсічених частин.\u003C\u002Fp>{{chunk:beam-qm-section-method}}\u003Ch2>Правила знаків\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При побудові епюр необхідно користуватися однією системою знаків упродовж усього розрахунку. Додатний згинальний момент зазвичай пов’язують із таким вигином балки, за якого розтягнуті нижні волокна, а стиснуті верхні. Знак поперечної сили визначають відповідно до прийнятого правила для відсіченої частини балки. Якщо після розв’язання рівняння отримано від’ємне значення, фактичний напрям внутрішнього фактора протилежний прийнятому.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Епюри $Q$ і $M$\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Епюра\u003C\u002Fstrong> — це графік зміни внутрішнього силового фактора вздовж осі балки. Перед побудовою епюр балку розбивають на ділянки. Межами є точки, де змінюється характер навантаження: опори, зосереджені сили та моменти, початок або кінець розподіленого навантаження.\u003C\u002Fp>{{chunk:beam-qm-differential-relations}}\u003Ch2>Характерні особливості епюр\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>зосереджена поперечна сила спричиняє стрибок на епюрі $Q$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>зосереджений момент спричиняє стрибок на епюрі $M$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>за відсутності розподіленого навантаження $Q$ на ділянці є сталою, а $M$ змінюється лінійно;\u003C\u002Fli>\u003Cli>при рівномірно розподіленому навантаженні $Q$ змінюється лінійно, а $M$ — за параболою;\u003C\u002Fli>\u003Cli>у точці, де $Q$ переходить через нуль, $M$ має локальний максимум або мінімум.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Короткий приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розглянемо консольну балку довжиною \u003Cstrong>$L$\u003C\u002Fstrong> із зосередженою силою \u003Cstrong>$F$\u003C\u002Fstrong> на вільному кінці. На всій довжині між силою та защемленням розподіленого навантаження немає, тому поперечна сила є сталою за модулем: $|Q|=F$. Згинальний момент змінюється лінійно від нуля на вільному кінці до максимального за модулем значення $|M|_{\\max}=FL$ у защемленні. Знаки $Q$ і $M$ залежать від прийнятої системи знаків.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після побудови епюр перевірте рівновагу балки, стрибки в точках прикладання зосереджених сил і моментів, характер ліній на кожній ділянці та відповідність між нахилом епюри $M$ і знаком $Q$. Така перевірка дозволяє швидко знайти більшість помилок у розрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичні навички\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після опрацювання теми студент має вміти знаходити опорні реакції, розбивати балку на розрахункові ділянки, складати функції $Q(x)$ і $M(x)$, знаходити характерні та екстремальні значення й будувати епюри. Ці навички закріплюються у практичних задачах теми.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1267,"parent_id":1247,"code":1268,"slug":1269,"name":1270,"seo_title":1271,"seo_description":1272,"seo_text":1273,"content":1274,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1269,"children":1275},17,"17","napruzhennya-pry-zhyni","Напруження при згині","Напруження при згині — Нормальні та дотичні напруження","Формула Нав'є та формула Журавського для розрахунку балок на міцність.","При поперечному згині в поперечних перерізах балки виникають як нормальні, так і дотичні напруження. На цій сторінці наведено вивід класичної формули Нав'є для обчислення нормальних напружень через згинальний момент та момент опору перерізу, а також формули Журавського для дотичних напружень. Розглянуто розподіл напружень по висоті прямокутних, двотаврових та круглих перерізів та умови перевірки міцності за небезпечними точками.","\u003Cp>При поперечному згині в перерізі балки одночасно можуть виникати \u003Cstrong>нормальні напруження\u003C\u002Fstrong> від згинального моменту $M$ та \u003Cstrong>дотичні напруження\u003C\u002Fstrong> від поперечної сили $Q$. Їх розподіл по перерізу різний, тому небезпечні точки для $\\sigma$ і $\\tau$ не обов’язково збігаються.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нормальні напруження\u003C\u002Fh2>{{chunk:bending-navier-stress}}\u003Cp>У класичній моделі прямого згину нейтральна вісь проходить через центр ваги перерізу та збігається з однією з його головних центральних осей. Нормальні напруження змінюються лінійно: на нейтральній осі $\\sigma_x=0$, а найбільші за модулем значення виникають у крайніх волокнах.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розрахунок за моментом опору\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для перевірки міцності зручно використовувати $|\\sigma_{\\max}|=|M|\u002FW$. Для несиметричного відносно нейтральної осі перерізу відстані до крайніх волокон можуть бути різними, тому окремо перевіряють розтягнуту та стиснуту сторони.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Дотичні напруження\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-shear-zhuravsky}}\u003Cp>Для прямокутного перерізу розподіл $\\tau$ по висоті є параболічним, а максимальне значення на нейтральній осі дорівнює $\\tau_{\\max}=3Q\u002F(2A)$. У двотаврових профілях значна частина поперечної сили передається стінкою, оскільки її ширина мала, а статичний момент прилеглої площі може бути значним.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Круглий переріз\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для суцільного круглого перерізу дотичні напруження також дорівнюють нулю на зовнішній межі й найбільші поблизу нейтральної осі; для класичного суцільного круга $\\tau_{\\max}=4Q\u002F(3A)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка міцності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нормальні напруження перевіряють у перерізах із великим $|M|$ та у крайніх волокнах. Дотичні — у перерізах із великим $|Q|$ і в характерних точках перерізу. Якщо в одній точці одночасно істотні $\\sigma_x$ і $\\tau$, може знадобитися оцінка складного напруженого стану за відповідним критерієм міцності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі класичної моделі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Формула Нав’є передбачає лінійно-пружний матеріал, малі деформації та класичні припущення теорії балок. Поблизу місць прикладання зосереджених сил, опор, отворів і різких змін перерізу локальний розподіл напружень може відрізнятися від елементарної теорії.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1277,"parent_id":1247,"code":1278,"slug":1279,"name":1280,"seo_title":1281,"seo_description":1282,"seo_text":1283,"content":1284,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1279,"children":1285},18,"18","peremishchennya-pry-zhyni","Переміщення при згині","Прогин балки та кут повороту — жорсткість EI і методи розрахунку","Як визначають прогини й кути повороту балок при згині: зігнута вісь, жорсткість EI, граничні умови та перевірка допустимого прогину.","Під дією згинальних моментів вісь балки викривляється, утворюючи зігнуту вісь. У цьому розділі розглянуто лінійні переміщення (прогини w) та кутові переміщення (кути повороту перерізів θ). Вивчення переміщень необхідне для оцінки жорсткості елементів конструкцій та перевірки умови, за якою максимальний прогин не перевищує гранично допустимого значення, встановленого будівельними або машинобудівними нормами.","\u003Cp>Під дією згинальних моментів балка деформується, а її початкова пряма вісь переходить у \u003Cstrong>зігнуту вісь\u003C\u002Fstrong>. Для оцінювання жорсткості визначають поперечний \u003Cstrong>прогин $w(x)$\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>кут повороту $\\theta(x)$\u003C\u002Fstrong> поперечного перерізу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Прогин і кут повороту\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Прогин $w$ — поперечне переміщення точки осі балки. Для малих деформацій кут повороту перерізу наближено дорівнює похідній прогину: $\\theta(x)\\approx w'(x)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Згинальна жорсткість\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-curvature-moment}}\u003Cp>Добуток $EI$ називають \u003Cstrong>згинальною жорсткістю\u003C\u002Fstrong>. Збільшення $E$ або $I$ зменшує кривизну та, за інших однакових умов, прогини балки. Саме тому геометричний розподіл матеріалу в перерізі сильно впливає на жорсткість.\u003C\u002Fp>{{chunk:threejs-i-beam-on-supports}}\u003Ch2>Граничні умови\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-deflection-boundary-conditions}}\u003Cp>Граничні умови визначають сталі інтегрування та повинні відповідати реальним опорам і з’єднанням. Для багатоділянкової балки додатково використовують умови неперервності прогину й кута повороту там, де немає внутрішнього шарніра або розриву.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Методи визначення переміщень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У дочірніх темах розглядаються безпосереднє інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі та метод початкових параметрів із функціями Маколея. В інших розділах курсу переміщення також можуть визначатися енергетичними методами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка жорсткості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розрахований максимальний прогин порівнюють із допустимим значенням, установленим умовами експлуатації або нормативною методикою: $|w_{\\max}|\\le[w]$. За потреби аналогічно обмежують кут повороту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад масштабу впливу перерізу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для прямокутного перерізу $I=bh^3\u002F12$. Якщо при незмінних $b$, $E$, $L$ і навантаженні збільшити висоту $h$ удвічі, $I$ зросте у $2^3=8$ разів. У межах тієї самої лінійної моделі характерні прогини, обернено пропорційні $EI$, відповідно істотно зменшаться.\u003C\u002Fp>",[1286,1295],{"id":4,"parent_id":1277,"code":1287,"slug":1288,"name":1289,"seo_title":1290,"seo_description":1291,"seo_text":1292,"content":1293,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":4,"url_slug":1288,"children":1294},"19","dyferentsialne-rivnyannya-zihnutoyi-osi","Диференціальне рівняння зігнутої осі балки","Прогин балки — диференціальне рівняння зігнутої осі","Як знайти прогин і кут повороту балки з рівняння EI·w''(x)=M(x): подвійне інтегрування, сталі інтегрування та граничні умови.","Диференціальне рівняння зігнутої осі пов’язує згинальний момент M(x), згинальну жорсткість EI та кривизну балки. Для малих кутів повороту використовують наближену форму EI·w''(x)=±M(x), де знак залежить від прийнятої системи знаків. Подвійне інтегрування дає кут повороту та прогин, а сталі інтегрування визначають із граничних умов на опорах і умов неперервності.","\u003Cp>Диференціальне рівняння зігнутої осі пов’язує навантаження балки через функцію згинального моменту $M(x)$ з її геометричною деформацією — прогином і кутом повороту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кривизна зігнутої осі\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-curvature-moment}}\u003Cp>Точна геометрична кривизна плоскої кривої містить похідні прогину. Для малих кутів повороту, коли $|w'|\\ll1$, знаменник точного виразу можна наближено прийняти рівним одиниці, тому кривизна пропорційна другій похідній прогину.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Наближене диференціальне рівняння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У прийнятій системі знаків рівняння записують як $EIw''(x)=M(x)$ або $EIw''(x)=-M(x)$. Важливо не змішувати різні конвенції знаків у межах одного розрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Подвійне інтегрування\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-double-integration-algorithm}}\u003Cp>Після першого інтегрування отримують функцію кута повороту $\\theta(x)$, після другого — функцію прогину $w(x)$. Для сталої згинальної жорсткості $EI$ її можна винести за знак інтеграла; якщо $E$ або $I$ змінюються по довжині, це потрібно враховувати по ділянках або безпосередньо в рівнянні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Граничні умови\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-deflection-boundary-conditions}}\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для консолі довжиною $L$ із силою $F$ на вільному кінці, за сталої $EI$, інтегрування рівняння згину з умовами $w(0)=0$ і $w'(0)=0$ приводить за модулем до відомих значень на вільному кінці:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$|\\theta(L)|=\\frac{FL^2}{2EI},\\qquad |w(L)|=\\frac{FL^3}{3EI}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Знаки залежать від напряму сили та прийнятого додатного напряму прогину.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Наближене рівняння передбачає малі прогини та кути повороту, лінійно-пружну роботу й застосовність класичної балкової моделі. Для великих переміщень геометрична нелінійність потребує точнішого опису.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1296,"parent_id":1277,"code":1297,"slug":1298,"name":1299,"seo_title":1300,"seo_description":1301,"seo_text":1302,"content":1303,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":1296,"url_slug":1298,"children":1304},20,"20","metod-pochatkovykh-parametriv","Метод початкових параметрів (рівняння Маколея)","Метод початкових параметрів — рівняння Маколея для прогину балки","Як розрахувати прогини та кути повороту балки методом початкових параметрів і функцій Маколея для сил, моментів та розподілених навантажень.","При наявності багатьох ділянок навантаження прямолінійне інтегрування стає громіздким через велику кількість сталих. Метод початкових параметрів (із використанням функцій Маколея) дозволяє записати єдине універсальне рівняння для прогинів та кутів повороту по всій довжині балки. На сторінці наведено вихідне рівняння, правила врахування зосереджених сил, моментів і розподілених навантажень, а також приклад швидкого розв'язання задач.","\u003Cp>\u003Cstrong>Метод початкових параметрів\u003C\u002Fstrong> дозволяє описати кут повороту та прогин балки одним універсальним виразом, не вводячи окрему пару сталих інтегрування для кожної ділянки. Зручною формою такого запису є функції Маколея.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Дужки Маколея\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Позначення $\\langle x-a\\rangle^n$ означає:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\langle x-a\\rangle^n=0\\quad\\text{при }x<a,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\langle x-a\\rangle^n=(x-a)^n\\quad\\text{при }x\\ge a.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Завдяки цьому навантаження, що починає діяти від координати $a$, можна включити в єдиний вираз для всієї балки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зв’язок із рівнянням згину\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-curvature-moment}}\u003Cp>Функцію $M(x)$ записують через звичайні члени та дужки Маколея, після чого інтегрують. Початкові параметри — наприклад прогин $w_0$ і кут $\\theta_0$ у вибраному початку координат — виконують роль сталих інтегрування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові внески\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо знак визначено відповідно до прийнятої системи, зосереджена сила $F$ у точці $a$ створює в $M(x)$ член, пропорційний $F\\langle x-a\\rangle^1$; зосереджений момент — член $M_0\\langle x-a\\rangle^0$; рівномірно розподілене навантаження, що починається в $a$, — член, пропорційний $q\\langle x-a\\rangle^2\u002F2$. Для навантаження, яке закінчується в певній точці, вводять компенсуючий член від цієї координати.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтегрування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Степеневі дужки інтегруються як звичайні степеневі функції:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\int\\langle x-a\\rangle^n dx=\\frac{\\langle x-a\\rangle^{n+1}}{n+1}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Після двох інтегрувань рівняння згину отримують універсальні вирази для $\\theta(x)$ і $w(x)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Граничні умови\u003C\u002Fh2>{{chunk:beam-deflection-boundary-conditions}}\u003Ch2>Приклад форми пружної осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На інтерактивній моделі показано балку з правою консоллю та двома зосередженими силами. Пружну вісь отримано інтегруванням функції згинального моменту з дужками Маколея та визначенням сталих із умов нульового прогину на опорах. Масштаб деформації збільшено лише для наочності.\u003C\u002Fp>{{chunk:threejs-beam-deflection-hybrid-primitives}}\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити реакції опор.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Вибрати початок координат і єдину систему знаків.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Записати $M(x)$ з використанням дужок Маколея.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Двічі проінтегрувати рівняння $EIw''=\\pm M(x)$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити початкові параметри або сталі за граничними умовами.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Підставити потрібні координати та перевірити виконання умов на опорах.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Переваги й обмеження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Метод особливо зручний для балок із багатьма зосередженими силами та ділянками розподіленого навантаження. Водночас необхідно уважно стежити за початком і завершенням кожного навантаження, степенями дужок та знаками.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1306,"parent_id":57,"code":1307,"slug":1308,"name":1309,"seo_title":1310,"seo_description":1311,"seo_text":1312,"content":1313,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":849,"url_slug":1308,"children":1314},21,"21","skladnyy-opir","Складний опір","Складний опір — косий згин, позацентровий стиск і кручення","Як розраховують стержні при одночасній дії кількох навантажень: суперпозиція напружень, косий згин, позацентровий стиск та згин із крученням.","Складним опором називають випадок деформування, коли в поперечних перерізах стержня виникає декілька внутрішніх силових факторів одночасно. У цьому розділі описано загальні принципи застосування принципу незалежності дії сил (суперпозиції) для підсумовування напружень і деформацій. Подано класифікацію видів складного опору: косий згин, згин з розтягом-стиском, позацентровий стиск та сумісний згин з крученням.","\u003Cp>\u003Cstrong>Складний опір\u003C\u002Fstrong> виникає, коли в поперечному перерізі стержня одночасно діють кілька внутрішніх силових факторів: поздовжня сила $N$, згинальні моменти $M_x$ і $M_y$, крутний момент $T$ або поперечні сили. У лінійно-пружній області окремі складові напружень часто визначають незалежно, а потім поєднують за принципом суперпозиції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип суперпозиції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо матеріал працює лінійно-пружно, деформації малі, а зміна геометрії не впливає істотно на схему навантаження, напруження від окремих силових факторів можна алгебраїчно додавати. Наприклад, осьова сила створює рівномірну складову $N\u002FA$, а згинальні моменти — лінійно змінні нормальні напруження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Двовісний згин\u003C\u002Fh2>{{chunk:unsymmetrical-bending-stress}}\u003Cp>Косий згин є типовим випадком складного опору: момент не збігається з однією головною віссю перерізу, тому напруження визначають від двох складових згину.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Позацентрове навантаження\u003C\u002Fh2>{{chunk:eccentric-axial-stress}}\u003Cp>Позацентрово прикладена сила еквівалентна центральній силі та одному або двом згинальним моментам. Положення точки прикладання сили визначає, чи весь переріз стискається, чи в ньому з’являється зона розтягу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Згин із крученням\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У приводних валах згин створює нормальні напруження, а крутний момент — дотичні. Оскільки ці компоненти одночасно діють в одній точці, міцність оцінюють за критерієм складного напруженого стану.\u003C\u002Fp>{{chunk:bending-torsion-equivalent-stress}}\u003Ch2>Загальний алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити внутрішні силові фактори та їх небезпечні комбінації.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Вибрати головні центральні осі перерізу та обчислити потрібні геометричні характеристики.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти компоненти нормальних і дотичних напружень від кожного силового фактора.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити небезпечні точки перерізу, враховуючи знаки й просторовий розподіл напружень.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для складного напруженого стану застосувати критерій міцності, придатний для матеріалу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>За потреби окремо перевірити жорсткість, стійкість або циклічну міцність.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Межі підходу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Проста суперпозиція не повинна автоматично застосовуватися при пластичному деформуванні, великих переміщеннях, суттєвій геометричній нелінійності або складних локальних концентраціях напружень. У таких випадках потрібна відповідна розширена модель.\u003C\u002Fp>",[1315,1325,1333],{"id":1316,"parent_id":1306,"code":1317,"slug":1318,"name":1319,"seo_title":1320,"seo_description":1321,"seo_text":1322,"content":1323,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":1318,"children":1324},22,"22","kosyy-zhyn","Косий згин","Косий згин — Визначення напружень та нейтральної лінії","Розрахунок елементів при косому згині, нейтральна вісь та максимальні напруження.","Косий згин виникає тоді, коли площина дії згинального моменту не збігається з жодною з головних осей інерції поперечного перерізу. На цій сторінці розглянуто розкладання згинального моменту за головними осями, формулу сумарних нормальних напружень, а також вивід рівняння нейтральної лінії (лінії нульових напружень). Подано порядок розрахунку на міцність у найвіддаленіших точках перерізу.","\u003Cp>\u003Cstrong>Косий згин\u003C\u002Fstrong> виникає, коли площина дії результуючого згинального моменту не збігається з головною центральною площиною інерції перерізу. Тоді момент розкладають на дві складові відносно головних осей, а нормальні напруження визначають суперпозицією двох прямих згинів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головні осі як розрахункова система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Найзручніше виконувати розрахунок у головних центральних осях $x$ та $y$, для яких $I_{xy}=0$. Геометричні характеристики $I_x$ та $I_y$ можуть істотно відрізнятися, тому напрям нейтральної лінії загалом не перпендикулярний вектору результуючого згинального моменту.\u003C\u002Fp>{{chunk:unsymmetrical-bending-stress}}\u003Ch2>Нейтральна лінія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нейтральна лінія проходить через центр ваги перерізу, оскільки при чистому косому згині в її точках сумарне нормальне напруження дорівнює нулю. Її положення знаходять із рівняння $\\sigma(x,y)=0$.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо $M_x\\ne0$ і $I_x$, $I_y$ відомі, рівняння можна подати як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$y=\\frac{M_y I_x}{M_x I_y}x,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>з урахуванням знаків складових моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пошук небезпечних точок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Максимальне за модулем напруження потрібно шукати не просто у точці з найбільшим $|x|$ або $|y|$, а серед крайніх точок контуру, де алгебраїчна сума двох складових згину набуває найбільшого додатного або від’ємного значення. Для багатокутного перерізу зручно перевірити його характерні вершини.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для прямокутного перерізу з відомими $I_x$ та $I_y$ при $M_x=4$ кН·м і $M_y=2$ кН·м напруження в кожній вершині визначають підстановкою її координат у формулу косого згину. Після цього найбільше додатне значення порівнюють із допустимим розтягом, а найбільше за модулем від’ємне — з допустимим стиском, якщо ці характеристики матеріалу відрізняються.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Знайти центр ваги та головні центральні осі перерізу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Розкласти згинальний момент на $M_x$ і $M_y$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити $I_x$ та $I_y$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Записати рівняння нейтральної лінії.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити $\\sigma$ у характерних крайніх точках.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Виконати перевірку міцності.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Межі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Формули передбачають пружний згин, малі деформації та застосовність класичної теорії балок. Для нецентральних осей із $I_{xy}\\ne0$ просте незалежне додавання членів $M_x\u002FI_x$ і $M_y\u002FI_y$ без попереднього переходу до головних осей загалом некоректне.\u003C\u002Fp>",[],{"id":5,"parent_id":1306,"code":9,"slug":1326,"name":1327,"seo_title":1328,"seo_description":1329,"seo_text":1330,"content":1331,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1326,"children":1332},"pozatsentrovyy-stysk","Позацентровий стиск","Позацентровий стиск — Ядро перерізу та напруження","Розрахунок позацентрово стиснутих стержнів. Побудова ядра перерізу.","Позацентровий стиск виникає, коли стискаюча сила прикладена поза центром ваги поперечного перерізу. У розділі наведено формули нормальних напружень як суми від осьової сили та двох згинальних моментів. Пояснено поняття ядра перерізу — області навколо центра ваги, прикладання сили в якій гарантує відсутність розтягувальних напружень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Позацентровий стиск\u003C\u002Fstrong> виникає, коли лінія дії стискальної сили не проходить через центр ваги поперечного перерізу. Таку силу можна привести до центральної поздовжньої сили та згинального моменту або двох згинальних моментів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ексцентриситет і приведення сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ексцентриситет — відстань між лінією дії сили та відповідною центральною віссю. Якщо сила зміщена від центра ваги в обох напрямках, виникає двовісний згин.\u003C\u002Fp>{{chunk:eccentric-axial-stress}}\u003Ch2>Розподіл напружень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Складова $N\u002FA$ однакова в усіх точках перерізу, а згинальні складові лінійно залежать від координат. Тому при малому ексцентриситеті весь переріз може залишатися стиснутим, а при збільшенні ексцентриситету на одному краї напруження зменшується до нуля і далі переходить у розтяг.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ядро перерізу\u003C\u002Fh2>{{chunk:section-kern-basic}}\u003Cp>Поняття ядра особливо важливе для матеріалів і конструкцій, які погано працюють на розтяг або для яких розкриття контакту небажане. Якщо сила прикладена на межі ядра, в одній крайній точці нормальне напруження дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Одновісний ексцентриситет\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сила $N$ прикладена з ексцентриситетом $e$ лише в одній головній площині, виникає момент $M=Ne$. Тоді крайні напруження можна записати у формі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma=\\frac{N}{A}\\pm\\frac{M}{W},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де конкретний знак залежить від сторони перерізу та прийнятої системи знаків.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад для прямокутника\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для прямокутного перерізу $b\\times h$ при ексцентриситеті вздовж висоти умова відсутності розтягу зводиться до $|e|\\le h\u002F6$. При $|e|=h\u002F6$ на одному краї $\\sigma=0$, а при більшому ексцентриситеті лінійна модель повного перерізу прогнозує появу розтягувальної зони.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Знайти центр ваги й головні центральні осі.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити ексцентриситети сили.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити $N$, $M_x$ та $M_y$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти напруження в характерних крайніх точках.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити, чи знаходиться сила в ядрі, якщо потрібна відсутність розтягу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Виконати перевірку міцності.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Зауваження про контакт\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо елемент або основа фактично не можуть передавати розтягувальні контактні напруження, після виходу рівнодійної за ядро реальний контакт може стати частковим. Тоді проста формула для лінійного розподілу по всій площі вже не описує контакт повністю й потрібна інша модель.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1334,"parent_id":1306,"code":1335,"slug":1336,"name":1337,"seo_title":1338,"seo_description":1339,"seo_text":1340,"content":1341,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1336,"children":1342},23,"23","zhyn-z-kruchennyam","Згин з крученням","Згин з крученням — Розрахунок валів за теоріями міцності","Обчислення зведеного моменту та розрахунок міцності валів при згині з крученням.","Сумісна дія згину та кручення є основним робочим станом для більшості приводних валів машин і редукторів. У цьому розділі детально розглянуто методику побудови суміщених епюр згинальних та крутних моментів, визначення небезпечних перерізів та розрахунок зведеного (еквівалентного) моменту за третьою (головних дотичних напружень) та четвертою (енергетичною) теоріями міцності. Наведено приклади підбору діаметра вала.","\u003Cp>\u003Cstrong>Згин із крученням\u003C\u002Fstrong> характерний для валів, які одночасно передають крутний момент і сприймають поперечні сили від зубчастих коліс, шківів, ланцюгових передач або інших елементів. У небезпечному перерізі згин створює нормальні напруження, а кручення — дотичні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Результуючий згинальний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо вал згинається у двох взаємно перпендикулярних площинах, спочатку визначають складові $M_x$ та $M_y$ і будують відповідні епюри.\u003C\u002Fp>{{chunk:resultant-bending-moment}}\u003Ch2>Напруження від згину та кручення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для круглого вала максимальне нормальне напруження від згину виникає на зовнішній поверхні. Там же дотичне напруження від кручення є максимальним, тому зовнішні точки небезпечного перерізу є типовими кандидатами для перевірки складного напруженого стану.\u003C\u002Fp>{{chunk:bending-torsion-equivalent-stress}}\u003Ch2>Критерії міцності\u003C\u002Fh2>{{chunk:tresca-von-mises-criteria}}\u003Cp>Для пластичних ізотропних матеріалів часто використовують критерій Треска або Губера–Мізеса–Генкі. Вибір критерію та допустимого значення повинен відповідати властивостям матеріалу й прийнятій розрахунковій методиці.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Суцільний круглий вал\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для діаметра $d$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$W=\\frac{\\pi d^3}{32},\\qquad W_p=\\frac{\\pi d^3}{16}=2W.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тому для суцільного круглого вала критерій Мізеса можна також подати через моменти:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_{\\mathrm{eq,VM}}=\\frac{32}{\\pi d^3}\\sqrt{M_b^2+\\frac{3}{4}T^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>А критерій Треска:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_{\\mathrm{eq,T}}=\\frac{32}{\\pi d^3}\\sqrt{M_b^2+T^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай у перерізі суцільного вала $M_b=600$ Н·м, $T=400$ Н·м, $d=40$ мм. Після переведення моментів у Н·мм:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_b=\\frac{32\\cdot600000}{\\pi40^3}\\approx95{,}5\\ \\text{МПа},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau_t=\\frac{16\\cdot400000}{\\pi40^3}\\approx31{,}8\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>За Мізесом $\\sigma_{\\mathrm{eq,VM}}\\approx\\sqrt{95{,}5^2+3\\cdot31{,}8^2}\\approx110{,}2$ МПа.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розрахунку вала\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити сили від передач і опорні реакції.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Побудувати епюри $M_x$, $M_y$ та $T$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти $M_b$ і небезпечні перерізи.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити $W$ і $W_p$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити $\\sigma_b$ та $\\tau_t$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити еквівалентне напруження за прийнятим критерієм.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити міцність; за потреби окремо перевірити жорсткість і втому.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Зауваження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Шпонкові пази, галтелі, посадочні переходи та інші концентратори можуть істотно підвищувати локальні напруження. При циклічному навантаженні вала статичної перевірки за еквівалентним напруженням недостатньо — потрібен розрахунок на втому.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1344,"parent_id":57,"code":1345,"slug":1346,"name":1347,"seo_title":1348,"seo_description":1349,"seo_text":1350,"content":1351,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":860,"url_slug":1346,"children":1352},24,"24","enerhetychni-metody","Енергетичні методи","Енергетичні методи — Кастіліано, інтеграл Мора та переміщення","Як знаходити переміщення пружних систем енергетичними методами: енергія деформації, теорема Кастіліано, інтеграл Мора та взаємність робіт.","Енергетичні методи базуються на законі збереження енергії і є універсальним інструментом для обчислення переміщень у пружних системах будь-якої складності. У цьому розділі вивчено поняття роботи зовнішніх сил та накопиченої потенціальної енергії деформації. Розглянуто теорему Клапейрона, теорему про взаємність робіт Бетті та взаємність переміщень Максвелла, а також теорему Кастіліано для знаходження лінійних і кутових переміщень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Енергетичні методи\u003C\u002Fstrong> визначають переміщення та деформації пружних систем через роботу зовнішніх сил і потенціальну енергію деформації. Їх перевага полягає в тому, що для знаходження окремого переміщення часто не потрібно безпосередньо будувати повну функцію зігнутої осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота та енергія деформації\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Під час поступового статичного навантаження зовнішні сили виконують роботу, яка в ідеальній пружній системі накопичується як потенціальна енергія деформації.\u003C\u002Fp>{{chunk:clapeyron-work-theorem}}\u003Cp>Енергію можна виразити через внутрішні силові фактори та жорсткості елементів. Це створює зв’язок між силовим розрахунком і переміщеннями.\u003C\u002Fp>{{chunk:strain-energy-basic-loadings}}\u003Ch2>Взаємність робіт і переміщень\u003C\u002Fh2>{{chunk:betti-maxwell-reciprocity}}\u003Cp>Взаємність є важливою властивістю лінійних пружних систем і лежить в основі низки одиничних та енергетичних методів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема Кастіліано\u003C\u002Fh2>{{chunk:castigliano-second-theorem}}\u003Cp>Диференціюючи енергію $U$ за потрібною узагальненою силою, можна отримати відповідне лінійне або кутове переміщення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтеграл Мора\u003C\u002Fh2>{{chunk:mohr-integral-unit-load}}\u003Cp>Метод одиничного навантаження особливо зручний для балок, рам і стержневих систем, коли потрібно знайти одне конкретне переміщення або кут повороту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір методу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кастіліано зручний, коли потенціальну енергію $U$ легко записати як функцію навантажень. Інтеграл Мора природно використовує епюри внутрішніх сил від реального та одиничного станів. Для кусково-лінійних епюр згинальних моментів інтеграл часто спрощують способом Верещагіна.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Наведені тут класичні співвідношення орієнтовані на малі деформації та лінійно-пружну роботу системи. Для нелінійного матеріалу, великих переміщень або навантажень, що залежать від деформованої конфігурації, потрібні відповідні узагальнення.\u003C\u002Fp>",[1353,1363],{"id":1354,"parent_id":1344,"code":1355,"slug":1356,"name":1357,"seo_title":1358,"seo_description":1359,"seo_text":1360,"content":1361,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":1354,"url_slug":1356,"children":1362},25,"25","robota-zovnishnikh-sil-ta-potentsialna-enerhiya","Робота зовнішніх сил та потенціальна енергія деформації","Потенціальна енергія деформації — формули для розтягу, кручення і згину","Формули роботи зовнішніх сил і потенціальної енергії деформації при розтягу, зсуві, крученні та згині — основа енергетичних методів.","При деформуванні тіла зовнішні сили виконують роботу, яка накопичується у вигляді потенціальної енергії пружної деформації U. На цій сторінці наведено формули для обчислення U при усіх базових видах деформацій: розтягу-стиску, зсуву, крученні та згині. Також розглянуто питому потенціальну енергію деформації, її поділ на енергію зміни об'єму та енергію зміни форми, що є основою для енергетичної теорії міцності.","\u003Cp>\u003Cstrong>Потенціальна енергія деформації $U$\u003C\u002Fstrong> — енергія, накопичена пружним тілом унаслідок його деформування. У лінійно-пружній системі при поступовому статичному навантаженні вона дорівнює роботі зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>{{chunk:clapeyron-work-theorem}}\u003Ch2>Енергія через внутрішні силові фактори\u003C\u002Fh2>{{chunk:strain-energy-basic-loadings}}\u003Cp>Для стержня, що одночасно зазнає кількох видів деформування, у межах відповідної лінійної моделі сумарну енергію отримують додаванням внесків розтягу-стиску, згину, кручення та, за потреби, поперечного зсуву.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Осьове навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для призматичного стержня зі сталою силою $N$, площею $A$ та модулем $E$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$U_N=\\frac{N^2L}{2EA}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Оскільки видовження $\\Delta L=NL\u002F(EA)$, той самий результат можна записати як $U=N\\Delta L\u002F2$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кручення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для круглого призматичного вала зі сталими $T$, $G$ і $J_p$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$U_T=\\frac{T^2L}{2GJ_p}=\\frac{1}{2}T\\varphi,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\varphi$ — повний кут закручування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Згин\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для балки основний енергетичний внесок у класичній моделі часто пов’язаний зі згинальним моментом $M(x)$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$U_M=\\int_0^L\\frac{M^2(x)}{2EI}\\,dx.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо вплив поперечного зсуву істотний, до нього додають відповідний зсувний внесок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Питома енергія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для одновісного лінійно-пружного стану питома енергія деформації:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$u=\\frac{U}{V}=\\frac{1}{2}\\sigma\\varepsilon=\\frac{\\sigma^2}{2E}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>При чистому зсуві:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$u=\\frac{1}{2}\\tau\\gamma=\\frac{\\tau^2}{2G}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>$U$\u003C\u002Fstrong> — потенціальна енергія деформації;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$u$\u003C\u002Fstrong> — питома потенціальна енергія деформації;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$V$\u003C\u002Fstrong> — об’єм тіла;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$N$\u003C\u002Fstrong> — поздовжня сила;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$A$\u003C\u002Fstrong> — площа поперечного перерізу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$E$\u003C\u002Fstrong> — модуль Юнга;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$T$\u003C\u002Fstrong> — крутний момент;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$G$\u003C\u002Fstrong> — модуль зсуву;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$J_p$\u003C\u002Fstrong> — полярний момент інерції;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$\\varphi$\u003C\u002Fstrong> — кут закручування;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$M(x)$\u003C\u002Fstrong> — згинальний момент;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$EI$\u003C\u002Fstrong> — згинальна жорсткість.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Енергія зміни об’єму і форми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для ізотропного лінійно-пружного матеріалу повну питому енергію можна розділити на об’ємну та девіаторну складові. Енергія зміни форми пов’язана з різницями головних напружень і лежить в основі критерію Губера–Мізеса–Генкі.\u003C\u002Fp>{{chunk:tresca-von-mises-criteria}}\u003Ch2>Практичне значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Енергетичний запис особливо корисний тоді, коли потрібно визначити переміщення через Кастіліано або метод одиничного навантаження, а також при аналізі систем, де одночасно діють кілька внутрішніх силових факторів.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1364,"parent_id":1344,"code":1365,"slug":1366,"name":1367,"seo_title":1368,"seo_description":1369,"seo_text":1370,"content":1371,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":1364,"url_slug":1366,"children":1372},26,"26","teorema-kastiliano-ta-intehral-mora","Теорема Кастіліано та інтеграл Мора","Теорема Кастіліано та інтеграл Мора — Спосіб Верещагіна","Обчислення інтеграла Мора графічним способом Верещагіна.","Інтеграл Мора дозволяє обчислити будь-яке переміщення від довільного навантаження шляхом прикладання одиничної сили або моменту. У даному розділі розглянуто застосування інтеграла Мора та його графічного аналога — способу перемноження епюр Верещагіна для балок і рам. Подано алгоритм перемноження прямолінійних та криволінійних епюр із використанням площ та ординат у центрах ваги.","\u003Cp>\u003Cstrong>Теорема Кастіліано та інтеграл Мора\u003C\u002Fstrong> дають змогу знаходити окремі лінійні й кутові переміщення пружних стержневих систем через енергію деформації або добутки внутрішніх силових факторів двох станів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорема Кастіліано\u003C\u002Fh2>{{chunk:castigliano-second-theorem}}\u003Cp>Для балки, де враховують переважно енергію згину, $U=\\int M^2\u002F(2EI)\\,dx$. Якщо $M$ залежить від сили $P$, диференціювання дає:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\delta_P=\\frac{\\partial U}{\\partial P}=\\int\\frac{M}{EI}\\frac{\\partial M}{\\partial P}\\,dx.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Величина $\\partial M\u002F\\partial P$ фактично збігається з епюрою моменту від одиничної сили в напрямку $P$ для лінійної системи, що показує зв’язок Кастіліано з методом одиничного навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Допоміжна сила або момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо в точці шуканого переміщення немає реальної сили, вводять допоміжний параметр $X$ у потрібному напрямку. Внутрішні силові фактори записують як функції $X$, знаходять $\\partial U\u002F\\partial X$, а після диференціювання підставляють $X=0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтеграл Мора\u003C\u002Fh2>{{chunk:mohr-integral-unit-load}}\u003Cp>Для лінійного переміщення одиничну силу прикладають у напрямку шуканого переміщення. Для кута повороту прикладають одиничний момент. Знак отриманого результату показує, чи збігається фактичний напрям переміщення з напрямком одиничного навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм методу одиничного навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Розрахувати систему від реального навантаження та побудувати потрібні епюри внутрішніх сил.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Прибрати реальне навантаження й прикласти одиничну силу або момент у точці та напрямку шуканого переміщення.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Побудувати одиничні епюри.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Записати інтеграл Мора по всіх ділянках і елементах.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Врахувати фактичні $EA$, $EI$, $GJ_p$ та, якщо потрібно, зсувну жорсткість.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити інтеграли й підсумувати внески.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Спосіб Верещагіна\u003C\u002Fh2>{{chunk:vereshchagin-diagram-multiplication}}\u003Cp>Спосіб Верещагіна особливо ефективний для балок і рам із ділянками сталої $EI$ та простими епюрами. Він замінює частину аналітичного інтегрування операціями з площами епюр і ординатами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Взаємність\u003C\u002Fh2>{{chunk:betti-maxwell-reciprocity}}\u003Cp>Теореми взаємності дають корисний контроль результатів одиничних розрахунків і дозволяють інколи вибрати простіший взаємний стан.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Позначення\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>$U$\u003C\u002Fstrong> — потенціальна енергія деформації;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$M$\u003C\u002Fstrong> — згинальний момент від реального навантаження;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$EI$\u003C\u002Fstrong> — згинальна жорсткість;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$P$\u003C\u002Fstrong> — узагальнена сила, за якою визначають переміщення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$\\delta_P$\u003C\u002Fstrong> — переміщення в напрямку сили $P$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$X$\u003C\u002Fstrong> — допоміжна сила або момент;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$EA$\u003C\u002Fstrong> — поздовжня жорсткість;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$GJ_p$\u003C\u002Fstrong> — крутильна жорсткість.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поширені помилки: неправильний напрям одиничного навантаження, пропуск окремих елементів або ділянок, змішування знаків епюр, використання одного $EI$ там, де жорсткість змінюється, та механічне застосування правила Верещагіна до двох нелінійних епюр.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1374,"parent_id":57,"code":1375,"slug":1376,"name":1377,"seo_title":1378,"seo_description":1379,"seo_text":1380,"content":1381,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":871,"url_slug":1376,"children":1382},27,"27","stiykist-stysnutykh-sterzhniv","Стійкість стиснутих стержнів","Стійкість стиснутих стержнів — критична сила, Ейлер і гнучкість","Як виникає поздовжній згин стержня: критична сила Ейлера, приведена довжина, умови закріплення, гнучкість λ та критичне напруження.","Втрата стійкості (поздовжній згин) — це явище раптової зміни початкової прямолінійної форми рівноваги стиснутого стержня при досягненні навантаженням критичного значення Pкр. У цьому розділі вивчено поняття стійкої, нестійкої та байдужої рівноваги, фактори, що впливають на критичну силу, та важливість перевірки стійкості конструкцій для запобігання аварійним руйнуванням.","\u003Cp>\u003Cstrong>Стійкість стиснутих стержнів\u003C\u002Fstrong> — це здатність зберігати початкову форму рівноваги під дією стискальної сили. Для довгого гнучкого елемента втрата стійкості може настати раніше, ніж напруження досягнуть границі міцності матеріалу.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Логіка розділу\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Спочатку розглядаються механізм і можливі форми втрати стійкості. Далі вводяться радіус інерції, гнучкість і найслабша вісь, після чого виводиться формула Ейлера для довгих пружних стержнів.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Окремо розглядаються критичні напруження, межі застосовності формули Ейлера, формули для стержнів проміжної гнучкості, вплив закріплення кінців і практична перевірка за коефіцієнтом \\(\\varphi\\).\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Основні залежності\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Критична сила ідеального пружного стержня:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[N_{cr}=\\frac{\\pi^2EI_{\\min}}{(\\mu L)^2}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Гнучкість і критичне напруження:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\lambda=\\frac{\\mu L}{i_{\\min}},\\qquad i_{\\min}=\\sqrt{\\frac{I_{\\min}}{A}},\\qquad \\sigma_{cr,E}=\\frac{\\pi^2E}{\\lambda^2}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Реальні колони мають початкові недосконалості, ексцентриситети та неідеальні вузли. Тому формула Ейлера є базовою теоретичною моделлю, а проєктний розрахунок виконують за відповідною нормативною методикою.\u003C\u002Fp>",[1383,1391,1400,1409,1419,1429,1438,1447,1455],{"id":1384,"parent_id":1374,"code":9,"slug":1385,"name":1386,"seo_title":1386,"seo_description":1387,"seo_text":1388,"content":1389,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1385,"children":1390},417,"mekhanizm-vtraty-stiikosti-stysnutoho-sterzhnia","Механізм втрати стійкості стиснутого стержня","Як виникає поздовжній згин: початкова рівновага, критична сила, зростання бокового прогину та втрата стійкості стиснутого стержня.","Механізм втрати стійкості пов’язаний не з вичерпанням міцності матеріалу, а зі зміною форми рівноваги стиснутого стержня після досягнення критичного навантаження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Втрата стійкості\u003C\u002Fstrong> — це перехід стиснутого стержня від початкової прямолінійної форми рівноваги до викривленої. Такий перехід називають поздовжнім згином або випучуванням.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:column-buckling-instability-transition}}\n\u003Ch2>Як розвивається втрата стійкості\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>За невеликої центральної стискальної сили прямий стержень перебуває у стійкій рівновазі: після малого бокового відхилення він прагне повернутися до початкового положення. Зі збільшенням сили відновлювальний вплив згинальної жорсткості стає недостатнім.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>При критичному значенні сили стає можливою суміжна викривлена форма рівноваги. Подальше збільшення навантаження спричиняє швидке зростання бокових переміщень і згинальних моментів.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Геометрична причина\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Після появи прогину \\(y\\) осьова сила \\(N\\) створює додатковий момент приблизно \\(M=N y\\). Він збільшує кривизну, а більша кривизна ще більше збільшує ексцентриситет сили. Цей взаємний зв’язок і утворює нестійкий процес.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Критична сила\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Критична сила не є звичайною руйнівною силою матеріалу. Вона характеризує межу стійкості прийнятої розрахункової схеми та залежить від довжини, згинальної жорсткості \\(EI\\), форми перерізу й закріплення кінців.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Ідеальний і реальний стержень\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Ідеальний стержень залишається прямим до критичної сили. Реальні елементи мають початкову кривизну, ексцентриситет навантаження та залишкові напруження, тому їхній прогин зростає поступово ще до теоретичного критичного стану.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1392,"parent_id":1374,"code":9,"slug":1393,"name":1394,"seo_title":1395,"seo_description":1396,"seo_text":1397,"content":1398,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1393,"children":1399},418,"formy-vtraty-stiikosti-sterzhniv","Форми втрати стійкості стержнів","Форми втрати стійкості стиснутих стержнів","Перша та вищі форми поздовжнього згину, згинальна, крутильна і згинально-крутильна втрата стійкості стержнів.","Форма втрати стійкості визначає характер викривлення стиснутого стержня. Розглянуто першу й вищі форми Ейлера, згинальне, крутильне та згинально-крутильне випучування.","\u003Cp>\u003Cstrong>Форма втрати стійкості\u003C\u002Fstrong> описує характер переміщень стержня після досягнення критичного навантаження. Для однієї конструкції математично можливі кілька форм, але першою реалізується та, якій відповідає найменша критична сила.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Перша форма поздовжнього згину\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для шарнірно закріпленого стержня перша форма має одну півхвилю:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[y_1(x)=C\\sin\\frac{\\pi x}{L}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Вона не має проміжних вузлів прогину і відповідає найменшій критичній силі \\(N_{cr,1}=\\pi^2EI\u002FL^2\\). Саме цю форму зазвичай мають на увазі у звичайному розрахунку колони.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Вищі форми\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Друга, третя та наступні форми містять дві, три або більше півхвиль:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[y_n(x)=C\\sin\\frac{n\\pi x}{L},\\qquad N_{cr,n}=n^2N_{cr,1}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Для ідеального стержня вони потребують більшого навантаження, тому зазвичай не визначають несучу здатність. Однак вищі форми важливі під час модального і чисельного аналізу складних систем.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Згинальна втрата стійкості\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Вісь стержня викривляється в одній із головних площин. За однакових умов закріплення небезпечною є площина з найменшою згинальною жорсткістю \\(EI\\).\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Крутильна та згинально-крутильна форми\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Тонкостінні відкриті профілі можуть втрачати стійкість із поворотом перерізів навколо поздовжньої осі. Якщо закручування супроводжується боковим переміщенням, форма називається згинально-крутильною. Для неї недостатньо звичайної формули Ейлера з одним моментом інерції.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1401,"parent_id":1374,"code":9,"slug":1402,"name":1403,"seo_title":1404,"seo_description":1405,"seo_text":1406,"content":1407,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1402,"children":1408},419,"hnuchkist-sterzhnia-ta-naislabsha-vis","Гнучкість стержня та найслабша вісь","Гнучкість стержня та найслабша вісь перерізу","Як визначити радіус інерції, приведену довжину та гнучкість стиснутого стержня, а також вибрати найслабшу вісь втрати стійкості.","Гнучкість стержня визначають як відношення приведеної довжини до радіуса інерції. Перевірка виконується для обох головних осей, а визначальною є більша гнучкість.","\u003Cp>\u003Cstrong>Гнучкість\u003C\u002Fstrong> характеризує схильність стиснутого стержня до поздовжнього згину. Вона враховує довжину елемента, умови закріплення та розподіл площі поперечного перерізу.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:column-radius-slenderness}}\n\u003Ch2>Радіус інерції\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для вибраної центральної осі радіус інерції дорівнює\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[i=\\sqrt{\\frac{I}{A}},\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>де \\(I\\) — момент інерції площі, \\(A\\) — площа перерізу. Радіус інерції має розмірність довжини й показує, наскільки далеко матеріал перерізу розташований від осі.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Гнучкість стержня\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для кожної можливої площини випучування визначають\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\lambda_x=\\frac{l_{\\mathrm{eff},x}}{i_x},\\qquad \\lambda_y=\\frac{l_{\\mathrm{eff},y}}{i_y}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Якщо закріплення в обох площинах однакове, більш небезпечною є вісь із меншим моментом інерції та меншим радіусом інерції.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Найслабша вісь\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Втрата стійкості відбувається шляхом згину навколо осі з найменшою критичною силою. Це не завжди вісь із найменшим \\(I\\): якщо закріплення або розрахункові довжини у площинах різні, необхідно порівнювати повні значення \\(\\lambda_x\\), \\(\\lambda_y\\) або \\(N_{cr,x}\\), \\(N_{cr,y}\\).\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Послідовність перевірки\u003C\u002Fh2>\n\u003Col>\u003Cli>Визначити \\(A\\), \\(I_x\\) та \\(I_y\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити \\(i_x\\) та \\(i_y\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>Встановити приведені довжини в обох площинах.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти \\(\\lambda_x\\) і \\(\\lambda_y\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>Подальший розрахунок виконувати для небезпечнішого випадку.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>",[],{"id":1410,"parent_id":1374,"code":1411,"slug":1412,"name":1413,"seo_title":1414,"seo_description":1415,"seo_text":1416,"content":1417,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":1412,"children":1418},28,"28","formula-eylera-krytychna-syla","Формула Ейлера для критичної сили","Як розрахувати критичну силу за формулою Ейлера — приклад","Розрахунок критичної сили за формулою Ейлера: Ncr = π²EI\u002F(μL)², зведена довжина, умови закріплення, гнучкість стержня та числовий приклад.","Формула Ейлера є основою розрахунку стержнів великої гнучності на стійкість у межах пружності. У розділі наведено вивід формули Ейлера, визначення коефіцієнта зведеної довжини μ залежно від умов закріплення кінців стержня, а також поняття гнучності стержня λ та мінімального радіуса інерції поперечного перерізу.","\u003Cp>\u003Cstrong>Формула Ейлера\u003C\u002Fstrong> визначає критичну стискальну силу для ідеального прямого стержня великої гнучкості, який втрачає стійкість у межах лінійно-пружної роботи матеріалу.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:euler-column-critical-load}}\n\u003Ch2>Вивід формули Ейлера\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Розглянемо шарнірно закріплений стержень довжиною \\(L\\), стиснутий центральною силою \\(N\\). Після малого бокового відхилення \\(y(x)\\) згинальний момент дорівнює \\(M(x)=-Ny(x)\\).\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Рівняння пружної лінії має вигляд\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[EI\\frac{d^2y}{dx^2}+Ny=0.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Позначивши \\(k^2=N\u002F(EI)\\), отримаємо розв’язок\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[y(x)=C_1\\sin(kx)+C_2\\cos(kx).\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Із граничних умов \\(y(0)=0\\), \\(y(L)=0\\) випливає \\(C_2=0\\) і \\(\\sin(kL)=0\\). Для першої форми \\(kL=\\pi\\), тому\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[N_{cr}=\\frac{\\pi^2EI}{L^2}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Загальна форма\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для інших схем закріплення використовують приведену довжину \\(l_{eff}=\\mu L\\):\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[N_{cr}=\\frac{\\pi^2EI_{\\min}}{l_{eff}^2}=\\frac{\\pi^2EI_{\\min}}{(\\mu L)^2}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Критична сила прямо пропорційна модулю Юнга та моменту інерції й обернено пропорційна квадрату приведеної довжини. Формула визначає межу стійкості ідеальної системи, а не гарантоване руйнівне навантаження реальної колони.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для сталевого шарнірно закріпленого стержня з \\(E=200\\) ГПа, \\(L=2\\) м і \\(I_{min}=2\\cdot10^{-6}\\) м⁴:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[N_{cr}=\\frac{\\pi^2\\cdot200\\cdot10^9\\cdot2\\cdot10^{-6}}{2^2}\\approx987\\ \\text{кН}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Передумови\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Модель передбачає пружний матеріал, центральне стискання, початково прямий стержень сталого перерізу, ідеалізовані закріплення та малі переміщення до критичного стану. Межі застосовності перевіряють за критичним напруженням і гнучкістю.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1420,"parent_id":1374,"code":1421,"slug":1422,"name":1423,"seo_title":1424,"seo_description":1425,"seo_text":1426,"content":1427,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":1422,"children":1428},29,"29","hranytsi-zastosovnosti-formuly-eylera","Критичні напруження, межі формули Ейлера та формули проміжної гнучкості","Критичні напруження та межі формули Ейлера","Діаграма стійкості, критичні напруження, гранична гнучкість, формула Ясинського, Johnson, Tetmajer і Rankine–Gordon.","Формула Ейлера дає точні результати лише за умови, що критичні напруження не перевищують границі пропорційності матеріалу. Для стержнів середньої та малої гнучності, де втрата стійкості відбувається в пластичній зоні, застосовують емпіричну формулу Ясинського. У розділі розглянуто межі застосовності формули Ейлера та розрахунок коефіцієнта зниження допустимого напруження φ.","\u003Cp>Критичне напруження показує середнє стискальне напруження, за якого стержень втрачає стійкість. Його залежність від гнучкості утворює \u003Cstrong>діаграму стійкості\u003C\u002Fstrong>, що дає змогу розрізнити короткі, проміжні та довгі стержні.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:euler-applicability-limit}}\n\u003Ch2>Ейлерівська область\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для довгих пружних стержнів\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\sigma_{cr,E}=\\frac{N_{cr}}{A}=\\frac{\\pi^2E}{\\lambda^2}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Граничну гнучкість отримують з умови \\(\\sigma_{cr,E}=\\sigma_p\\), де \\(\\sigma_p\\) — границя пропорційності:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\lambda_{lim}=\\pi\\sqrt{\\frac{E}{\\sigma_p}}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Формулу Ейлера застосовують, коли \\(\\lambda\\ge\\lambda_{lim}\\) і критичний стан залишається в пружній області.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Стержні проміжної гнучкості\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для проміжної області використовують емпіричні або напівемпіричні залежності, параметри яких визначають за випробуваннями матеріалу. У традиційних курсах опору матеріалів поширена лінійна формула Ясинського:\u003C\u002Fp>\n{{chunk:yasinsky-column-formula}}\n\u003Cp>Коефіцієнти \\(a\\) і \\(b\\) беруть із таблиць лише для конкретного матеріалу та визначеного діапазону гнучкості.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Назви в англомовній літературі\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Назва \u003Cem>Yasinsky formula\u003C\u002Fem> в англомовних джерелах майже не є стандартною. Цю область зазвичай називають \u003Cstrong>inelastic column buckling\u003C\u002Fstrong>. Історично близькі залежності можуть подаватися як \u003Cstrong>Tetmajer\u003C\u002Fstrong> або \u003Cstrong>Euler–Tetmajer formula\u003C\u002Fstrong>, а поширеним параболічним наближенням є \u003Cstrong>Johnson parabolic formula\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Інші наближені залежності\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Johnson formula\u003C\u002Fstrong> — параболічна залежність для проміжної гнучкості;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>Rankine–Gordon formula\u003C\u002Fstrong> — інтерполяція між руйнуванням від стиску та ейлерівським випучуванням;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>tangent-modulus approach\u003C\u002Fstrong> — урахування зниження дотичного модуля в непружній області;\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>\u003Cstrong>нормативні криві стійкості\u003C\u002Fstrong> — сучасний проєктний підхід із урахуванням недосконалостей.\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Короткі стержні\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>За малої гнучкості загальна втрата стійкості може не бути визначальною. Несучу здатність тоді обмежують міцність матеріалу, місцеве випучування або інші граничні стани.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Вибір розрахункової моделі\u003C\u002Fh2>\n\u003Col>\u003Cli>Визначити гнучкість і ейлерівське критичне напруження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Порівняти його з границею пропорційності матеріалу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для довгого стержня застосувати формулу Ейлера.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для проміжного — дозволену емпіричну або нормативну залежність.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для короткого — перевірку міцності та місцевої стійкості.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>",[],{"id":1430,"parent_id":1374,"code":9,"slug":1431,"name":1432,"seo_title":1433,"seo_description":1434,"seo_text":1435,"content":1436,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":1431,"children":1437},416,"urakhuvannia-sposobu-zakriplennia-pry-rozrakhunku-na-stiikist","Урахування способу закріплення при розрахунку на стійкість","Способи закріплення стержня та приведена довжина","Як урахувати закріплення стержня при розрахунку на стійкість: коефіцієнт μ, приведена довжина, основні схеми опор і критична сила.","Спосіб закріплення кінців визначає форму втрати стійкості, коефіцієнт приведеної довжини та критичну силу стиснутого стержня. Розглянуто основні схеми закріплення, значення μ і порядок розрахунку.","\u003Cp>\u003Cstrong>Спосіб закріплення кінців\u003C\u002Fstrong> істотно впливає на стійкість стиснутого стержня. Він визначає форму поздовжнього згину та відстань між точками перегину зігнутої осі. У розрахунку цей вплив ураховують за допомогою коефіцієнта приведеної довжини \\(\\mu\\).\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch2>Приведена довжина стержня\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для використання формули Ейлера реальний стержень із заданими опорами замінюють умовним шарнірно закріпленим стержнем із приведеною довжиною\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[l_{\\mathrm{eff}}=\\mu L.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Тоді критична сила становить\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[N_{\\mathrm{cr}}=\\frac{\\pi^2 E I_{\\min}}{(\\mu L)^2}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Оскільки \\(N_{\\mathrm{cr}}\\) обернено пропорційна квадрату \\(\\mu\\), навіть невелика зміна умов закріплення помітно впливає на несучу здатність стержня.\u003C\u002Fp>\n\n{{chunk:column-effective-length-factors}}\n\n\u003Ch2>Основні схеми закріплення\u003C\u002Fh2>\n\u003Ctable>\n\u003Cthead>\u003Ctr>\u003Cth>Закріплення кінців\u003C\u002Fth>\u003Cth>\\(\\mu\\)\u003C\u002Fth>\u003Cth>\\(l_{\\mathrm{eff}}\\)\u003C\u002Fth>\u003C\u002Ftr>\u003C\u002Fthead>\n\u003Ctbody>\n\u003Ctr>\u003Ctd>Шарнір — шарнір\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>1,0\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>\\(L\\)\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003Ctr>\u003Ctd>Защемлення — вільний кінець\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>2,0\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>\\(2L\\)\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003Ctr>\u003Ctd>Защемлення — шарнір\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>приблизно 0,7\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>\\(0{,}7L\\)\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003Ctr>\u003Ctd>Защемлення — защемлення\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,5\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>\\(0{,}5L\\)\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003C\u002Ftbody>\n\u003C\u002Ftable>\n\n\u003Cp>Найменшу критичну силу за однакових \\(E\\), \\(I\\) та \\(L\\) має консольний стержень: його приведена довжина вдвічі більша за фактичну. Найжорсткішою з наведених ідеалізованих схем є стержень із защемленням обох кінців.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch2>Як визначати коефіцієнт \\(\\mu\\)\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Спочатку встановлюють, чи забороняє кожна опора поперечне переміщення та поворот кінця стержня. Шарнір перешкоджає поперечному переміщенню, але допускає поворот; защемлення перешкоджає і переміщенню, і повороту; вільний кінець не створює таких обмежень. За відповідною ідеалізованою схемою обирають \\(\\mu\\).\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>У реальних конструкціях вузли можуть мати скінченну жорсткість, а рама — допускати бічне переміщення. Тому табличні значення слід застосовувати лише тоді, коли прийнята схема дійсно відповідає роботі конструкції. Для рамних систем ефективну довжину визначають за нормативною методикою або розрахунком загальної стійкості.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch2>Порівняльний приклад\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Нехай стержні мають однакові матеріал, переріз і довжину. Приймемо критичну силу шарнірно закріпленого стержня за \\(N_0\\). Тоді для консолі \\(N_{\\mathrm{cr}}=N_0\u002F4\\), для схеми «защемлення — шарнір» — приблизно \\(2N_0\\), а для защемлення обох кінців — \\(4N_0\\). Отже, підвищення жорсткості вузлів може багаторазово збільшити теоретичну критичну силу.\u003C\u002Fp>\n\n\u003Ch2>Послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>\n\u003Col>\n\u003Cli>Визначити фактичну довжину стержня \\(L\\) і схему закріплення.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Обрати коефіцієнт приведеної довжини \\(\\mu\\).\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Обчислити \\(l_{\\mathrm{eff}}=\\mu L\\).\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Знайти гнучкість \\(\\lambda=l_{\\mathrm{eff}}\u002Fi_{\\min}\\).\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Перевірити можливість застосування формули Ейлера та визначити критичну силу.\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Fol>",[],{"id":1439,"parent_id":1374,"code":9,"slug":1440,"name":1441,"seo_title":1442,"seo_description":1443,"seo_text":1444,"content":1445,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":849,"url_slug":1440,"children":1446},420,"rozrakhunok-stiikosti-za-koefitsiientom-phi","Розрахунок стійкості за коефіцієнтом φ","Розрахунок стійкості стиснутого стержня за φ","Практична перевірка стійкості центрально стиснутого стержня за коефіцієнтом зниження φ: формула, алгоритм і підбір перерізу.","Коефіцієнт φ знижує розрахунковий опір стиснутого елемента залежно від гнучкості та враховує реальну втрату стійкості. Наведено загальний алгоритм перевірки.","\u003Cp>У практичних розрахунках несучу здатність центрально стиснутого стержня часто визначають за допомогою \u003Cstrong>коефіцієнта зниження стійкості \\(\\varphi\\)\u003C\u002Fstrong>. Він ураховує зменшення опору через гнучкість, початкові недосконалості та чутливість елемента до випучування.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Загальна форма перевірки\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У навчальній формі умову стійкості можна записати як\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\frac{N}{\\varphi A}\\le R,\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>або\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[N\\le \\varphi A R,\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>де \\(N\\) — розрахункова стискальна сила, \\(A\\) — площа перерізу, \\(R\\) — розрахунковий опір матеріалу, \\(\\varphi\\le1\\) — коефіцієнт стійкості.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Від чого залежить φ\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Зі збільшенням гнучкості значення \\(\\varphi\\) зменшується. Конкретна залежність також може враховувати матеріал, тип поперечного перерізу, вісь випучування, форму кривої стійкості та нормативні недосконалості.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Алгоритм розрахунку\u003C\u002Fh2>\n\u003Col>\u003Cli>Визначити розрахункову силу \\(N\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити геометричні характеристики \\(A\\), \\(I\\) та \\(i\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>Установити приведену довжину і гнучкість.\u003C\u002Fli>\u003Cli>За чинною нормативною методикою визначити \\(\\varphi\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити умову \\(N\\le\\varphi AR\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>За невиконання умови збільшити переріз або змінити розрахункову схему.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\n\u003Ch2>Підбір перерізу\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Оскільки \\(\\varphi\\) залежить від гнучкості, а гнучкість — від розмірів перерізу, підбір часто є ітераційним. Спочатку задають переріз, визначають \\(\\varphi\\), перевіряють несучу здатність і за потреби повторюють розрахунок.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Важливо:\u003C\u002Fstrong> таблиці та формули для \\(\\varphi\\) потрібно брати з того стандарту, за яким виконується проєктування. Значення з різних нормативних систем не є взаємозамінними.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1448,"parent_id":1374,"code":9,"slug":1449,"name":1450,"seo_title":1450,"seo_description":1451,"seo_text":1452,"content":1453,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":860,"url_slug":1449,"children":1454},421,"osoblyvi-vypadky-vtraty-stiikosti-sterzhniv","Особливі випадки втрати стійкості стержнів","Загальна і місцева стійкість, початкові недосконалості, ексцентриситет, ступінчасті колони, змінна жорсткість та пружні опори.","Реальна стійкість колон залежить від місцевого випучування, початкової кривизни, ексцентриситету навантаження, змінного перерізу та жорсткості опор.","\u003Cp>Класична формула Ейлера описує ідеальний прямий стержень сталого перерізу під центральним стиском. У реальних елементах необхідно враховувати додаткові особливості, які можуть знизити критичне навантаження або змінити форму втрати стійкості.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Загальна та місцева втрата стійкості\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>При загальній втраті стійкості викривляється вісь усього стержня. При місцевій — випучується окремий тонкий елемент перерізу, наприклад стінка або полиця профілю. Місцева втрата стійкості може виникнути раніше за загальний поздовжній згин і зменшити ефективність перерізу.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Початкові недосконалості\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Початкова кривизна, відхилення розмірів, залишкові напруження та неточності монтажу спричиняють бокові прогини ще до досягнення ейлерівської сили. Тому реальна несуча здатність нижча за результат для ідеального стержня.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Ексцентриситет навантаження\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>За прикладання сили з ексцентриситетом \\(e\\) стержень від початку працює на стиск зі згином. Додатковий момент з урахуванням прогину має вигляд\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[M=N(e+y).\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Зі збільшенням \\(N\\) виникає ефект другого порядку: деформації збільшують моменти, а моменти — деформації.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Ступінчасті та складені колони\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для стержня зі змінним перерізом жорсткість \\(EI(x)\\) не є сталою, тому безпосередньо підставляти один момент інерції у формулу Ейлера загалом не можна. Критичну силу визначають аналітичним методом для конкретної схеми, енергетичним методом або чисельним розрахунком.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Проміжні та пружні опори\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Розкріплення зменшують вільну довжину випучування, але їхня ефективність залежить від жорсткості та здатності передавати зусилля. Пружна опора не завжди еквівалентна абсолютно нерухомому закріпленню.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Складні форми\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для відкритих тонкостінних профілів можливі крутильна та згинально-крутильна форми. У рамних системах необхідно також ураховувати загальне бічне переміщення вузлів і взаємодію окремих колон з усією конструкцією.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1456,"parent_id":1374,"code":9,"slug":1457,"name":1458,"seo_title":1459,"seo_description":1460,"seo_text":1461,"content":1462,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":871,"url_slug":1457,"children":1463},428,"normatyvnyi-rozrakhunok-stysnutykh-sterzhniv-na-stiikist","Нормативний розрахунок стиснутих стержнів на стійкість","Нормативний розрахунок стиснутих стержнів за ДБН: коефіцієнт φ","Алгоритм перевірки стійкості центрально стиснутих сталевих стержнів за ДБН В.2.6-198:2014: гнучкість, криві стійкості та коефіцієнт φ.","Нормативний розрахунок стійкості стиснутих сталевих стержнів виконується за гнучкістю, типом кривої стійкості та коефіцієнтом φ. Наведено формулу перевірки, порядок вибору φ за таблицею Ж.1 ДБН і послідовність розрахунку.","\u003Cp>Теоретична формула Ейлера пояснює механізм втрати стійкості, але реальні сталеві елементи проєктують за нормативною методикою. Вона враховує початкову кривизну, залишкові напруження, тип перерізу, спосіб виготовлення, розрахункову довжину та коефіцієнти надійності.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Перевірка за ДБН В.2.6-198:2014\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для суцільного центрально стиснутого сталевого елемента умову стійкості записують у вигляді\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\frac{N\\gamma_n}{\\varphi A R_y\\gamma_c}\\le 1,\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>де \\(N\\) — розрахункова поздовжня сила; \\(A\\) — площа поперечного перерізу; \\(R_y\\) — розрахунковий опір сталі; \\(\\gamma_c\\) — коефіцієнт умов роботи; \\(\\gamma_n\\) — коефіцієнт відповідальності; \\(\\varphi\\le1\\) — коефіцієнт стійкості при центральному стиску.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Гнучкість у двох площинах\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Спочатку для обох головних осей визначають\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\lambda_x=\\frac{l_{ef,x}}{i_x},\\qquad \\lambda_y=\\frac{l_{ef,y}}{i_y},\\qquad i=\\sqrt{\\frac IA}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Умовна гнучкість сталевого стержня:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\bar\\lambda=\\lambda\\sqrt{\\frac{R_y}{E}}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Перевірку виконують для площини, яка дає менше значення несучої здатності. Це не завжди площина з найменшим моментом інерції, оскільки розрахункові довжини можуть відрізнятися.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Як визначають коефіцієнт φ\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Тип кривої стійкості вибирають за формою перерізу, напрямком випучування та способом виготовлення. Після цього \\(\\varphi\\) знаходять за умовною гнучкістю \\(\\bar\\lambda\\) у таблиці Ж.1 ДБН. Для проміжних значень допускається інтерполяція відповідно до прийнятих правил розрахунку.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Норми також задають аналітичну залежність. При \\(\\bar\\lambda<0{,}4\\) для всіх кривих допускається \\(\\varphi=1\\). При більшій умовній гнучкості:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\varphi=\\frac{0{,}5}{\\bar\\lambda^2}\\left(\\delta-\\sqrt{\\delta^2-39{,}48\\bar\\lambda^2}\\right),\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\delta=9{,}87(1-\\alpha+\\beta\\bar\\lambda)+\\bar\\lambda^2,\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>де \\(\\alpha\\) і \\(\\beta\\) залежать від нормативного типу кривої стійкості. Табличне значення з чинної редакції норм має пріоритет над навчальними таблицями з підручників.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Послідовність нормативного розрахунку\u003C\u002Fh2>\n\u003Col>\n\u003Cli>Визначити розрахункову силу \\(N\\) та характеристики сталі.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Обчислити \\(A\\), \\(I_x\\), \\(I_y\\), \\(i_x\\) та \\(i_y\\).\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Встановити розрахункові довжини \\(l_{ef,x}\\), \\(l_{ef,y}\\).\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Знайти гнучкість і умовну гнучкість в обох площинах.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Вибрати тип нормативної кривої стійкості.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Визначити \\(\\varphi_x\\) і \\(\\varphi_y\\) за таблицею Ж.1 або нормативною формулою.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Перевірити умову стійкості для обох напрямків.\u003C\u002Fli>\n\u003Cli>Окремо перевірити місцеву стійкість стінок і полиць, граничну гнучкість та конструктивні вимоги.\u003C\u002Fli>\n\u003C\u002Fol>\n\u003Ch2>Важливе зауваження\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Формула \\(N\u002F(\\varphi A R_y)\\) не замінює всіх нормативних перевірок. Для складених, тонкостінних, позацентрово стиснутих елементів, колон рам та елементів зі змінним перерізом застосовують додаткові положення відповідного стандарту.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Ca href=\"https:\u002F\u002Fuscc.ua\u002Fuploads\u002Fpage\u002Fimages\u002Fnormativnye%20dokumenty\u002Fdbn\u002Fdbn_1_b_2_6-198_zminy1.pdf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">ДБН В.2.6-198:2014 зі Зміною № 1\u003C\u002Fa>: п. 8.1.3, таблиця 8.1 і обов’язковий додаток Ж.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1465,"parent_id":57,"code":9,"slug":1466,"name":1467,"seo_title":1468,"seo_description":1469,"seo_text":1470,"content":1471,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":882,"url_slug":1466,"children":1472},87,"rozrakhunok-obolonok","Розрахунок оболонок","Розрахунок оболонок — задачі з опору матеріалів","Інтерактивні задачі з розрахунку тонкостінних оболонок: внутрішні зусилля, напруження та перевірка міцності конструкцій.","Розрахунок оболонок — розділ опору матеріалів, присвячений аналізу тонкостінних просторових конструкцій. У задачах розглядаються внутрішні зусилля та напруження, що виникають в оболонках під дією зовнішніх навантажень.\nІнтерактивні завдання допомагають опанувати основні принципи розрахунку оболонок, визначення меридіональних і кільцевих зусиль та напружень, а також перевірки міцності тонкостінних конструкцій. Окрема увага приділяється застосуванню безмоментної теорії оболонок.\nРозділ призначений для студентів інженерних і технічних спеціальностей, які вивчають опір матеріалів, механіку деформівного твердого тіла та розрахунок елементів конструкцій.","\u003Cp>\u003Cstrong>Оболонка\u003C\u002Fstrong> — тонкостінний просторовий елемент, у якого одна геометрична розмірність — товщина $t$ — значно менша за характерні розміри серединної поверхні. До оболонок належать резервуари, труби великого діаметра, куполи, корпуси апаратів та інші криволінійні тонкостінні конструкції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Серединна поверхня\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Геометрію тонкої оболонки зручно описувати серединною поверхнею, розташованою приблизно посередині товщини. У кожній її точці виділяють два головні напрями кривизни з радіусами $R_1$ і $R_2$. Для оболонки обертання одним із напрямів є меридіональний, іншим — кільцевий.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні зусилля\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У загальній оболонковій теорії можуть виникати мембранні зусилля, поперечні сили, згинальні та крутні моменти на одиницю довжини. У безмоментній теорії залишають переважно зусилля, що діють у дотичній площині серединної поверхні.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для нормальних мембранних зусиль $N_1$ та $N_2$ середні напруження при товщині $t$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_1=\\frac{N_1}{t},\\qquad \\sigma_2=\\frac{N_2}{t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівновага криволінійного елемента\u003C\u002Fh2>{{chunk:shell-laplace-equilibrium}}\u003Cp>Кривизна дозволяє мембранним зусиллям урівноважувати навантаження, нормальне до поверхні. Саме тому оболонки можуть ефективно передавати тиск при відносно малій товщині.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Циліндричні та сферичні оболонки\u003C\u002Fh2>{{chunk:thin-pressure-vessel-membrane-stress}}\u003Cp>Ці формули є базовими прикладами безмоментної роботи оболонок під внутрішнім тиском і показують істотний вплив геометрії на розподіл напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Міцність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після визначення мембранних напружень оцінюють небезпечний напружений стан. Для пластичних ізотропних матеріалів можуть застосовуватися відповідні критерії складного напруженого стану; вибір критерію й допустимих значень залежить від матеріалу та розрахункової методики.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Коли мембранної моделі недостатньо\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поблизу жорстких закріплень, фланців, опор, отворів, патрубків, стиків, зосереджених сил і різких змін товщини або кривизни виникають крайові та локальні ефекти. Тут згинальні моменти можуть бути істотними, тому безмоментна теорія не повинна автоматично використовуватися для локальної перевірки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>{{chunk:membrane-shell-calculation-algorithm}}\u003Cp>Дочірня тема розглядає безмоментну теорію докладніше: її припущення, рівняння рівноваги та типові розрахункові схеми.\u003C\u002Fp>",[1473],{"id":1474,"parent_id":1465,"code":9,"slug":1475,"name":1476,"seo_title":1477,"seo_description":1478,"seo_text":1479,"content":1480,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":1475,"children":1481},88,"bezmomentna-teoriia-obolonok","Безмоментна теорія","Безмоментна теорія оболонок — задачі та розрахунки","Інтерактивні задачі з безмоментної теорії оболонок: визначення меридіональних і кільцевих зусиль та напружень у тонкостінних конструкціях.","Безмоментна теорія оболонок використовується для розрахунку тонкостінних конструкцій у випадках, коли згинальними моментами можна знехтувати. Основними внутрішніми силовими факторами при такому розрахунку є зусилля, що діють у дотичній площині оболонки.\nІнтерактивні задачі цього розділу охоплюють визначення меридіональних і кільцевих зусиль та відповідних нормальних напружень у тонкостінних оболонках під дією внутрішнього тиску та інших навантажень. \nРозділ допомагає сформувати практичні навички розрахунку тонкостінних оболонок і призначений для студентів, які вивчають опір матеріалів, механіку деформівного твердого тіла та розрахунок інженерних конструкцій.","\u003Cp>\u003Cstrong>Безмоментна теорія оболонок\u003C\u002Fstrong> — наближена теорія, у якій згинальними й крутними моментами та поперечними силами нехтують, а навантаження передається переважно мембранними зусиллями в дотичній площині серединної поверхні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні припущення\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>товщина оболонки мала порівняно з характерними радіусами кривизни;\u003C\u002Fli>\u003Cli>напруження по товщині можна описувати середніми мембранними значеннями;\u003C\u002Fli>\u003Cli>область розрахунку достатньо віддалена від локальних крайових збурень;\u003C\u002Fli>\u003Cli>геометрія та навантаження дозволяють задовольнити рівновагу без істотних згинальних моментів.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Мембранні зусилля\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У головних напрямах серединної поверхні нормальні зусилля $N_1$ і $N_2$ мають розмірність сили на одиницю довжини, наприклад Н\u002Fмм. Для товщини $t$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_1=\\frac{N_1}{t},\\qquad \\sigma_2=\\frac{N_2}{t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння Лапласа\u003C\u002Fh2>{{chunk:shell-laplace-equilibrium}}\u003Cp>Одного рівняння нормальної рівноваги загалом недостатньо для визначення двох невідомих мембранних зусиль. Друге співвідношення отримують із рівноваги частини оболонки, симетрії задачі або інших рівнянь мембранної рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Циліндрична оболонка під внутрішнім тиском\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для циліндра один головний радіус кривизни дорівнює $r$, а вздовж твірної кривизна дорівнює нулю, тобто відповідний радіус формально нескінченний. Нормальна рівновага дає кільцеве зусилля $N_\\theta=pr$. Поздовжнє зусилля в замкненому циліндрі визначають із рівноваги торцевої частини.\u003C\u002Fp>{{chunk:thin-pressure-vessel-membrane-stress}}\u003Ch2>Виведення поздовжнього зусилля циліндра\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тиск на торець створює результуючу $p\\pi r^2$. Її врівноважує поздовжнє мембранне зусилля по колу:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$2\\pi r N_z=p\\pi r^2,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>звідки:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$N_z=\\frac{pr}{2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сферична оболонка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для сфери $R_1=R_2=r$, а через симетрію $N_1=N_2=N$. Із рівняння Лапласа:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{N}{r}+\\frac{N}{r}=p,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>тому $N=pr\u002F2$ і $\\sigma=pr\u002F(2t)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тонкостінний замкнений циліндр має внутрішній радіус $r=500$ мм, товщину $t=10$ мм і надлишковий внутрішній тиск $p=2$ МПа. Мембранні напруження:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_\\theta=\\frac{2\\cdot500}{10}=100\\ \\text{МПа},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_z=\\frac{2\\cdot500}{2\\cdot10}=50\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, для цієї ідеалізованої схеми кільцеве напруження є визначальнішим за поздовжнє.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розрахунку\u003C\u002Fh2>{{chunk:membrane-shell-calculation-algorithm}}\u003Ch2>Обмеження безмоментної теорії\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Безмоментний стан зазвичай порушується поблизу жорстких країв, опор, фланців, патрубків, отворів, стиків, зосереджених навантажень і різких змін кривизни або товщини. У цих областях виникають згинальні та крайові напруження, для визначення яких потрібна моментна теорія оболонок або чисельний аналіз.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1483,"parent_id":57,"code":1484,"slug":1485,"name":1486,"seo_title":1487,"seo_description":1488,"seo_text":1489,"content":1490,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":893,"url_slug":1485,"children":1491},30,"30","dynamichne-ta-tsyklichne-navantazhennya","Динамічне та циклічне навантаження","Динамічні та циклічні навантаження — удар, інерція і втома","Що таке динамічні та циклічні навантаження: сили інерції, удар, коефіцієнт динамічності, змінні напруження та втома матеріалів.","У багатьох машинах навантаження змінюються в часі або діють з високою швидкістю, викликаючи динамічні ефекти. На цій сторінці розглянуто види динамічних навантажень: рух з прискоренням, ударні дії та циклічно змінні навантаження. Пояснено специфіку поведінки матеріалу при динамічному прикладанні сил та введено коефіцієнт динамічності.","\u003Cp>\u003Cstrong>Динамічне навантаження\u003C\u002Fstrong> змінюється настільки швидко або супроводжується такими прискореннями, що сили інерції істотно впливають на внутрішні зусилля, напруження й переміщення. \u003Cstrong>Циклічне навантаження\u003C\u002Fstrong> багаторазово повторюється в часі та може спричинити втомне руйнування навіть при напруженнях, нижчих за статичну границю міцності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Динаміка і статика\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У статичному розрахунку прискореннями мас конструкції нехтують. У динамічному розрахунку необхідно враховувати інерцію, характер зміни навантаження, швидкість або прискорення та, за потреби, коливальні властивості системи.\u003C\u002Fp>{{chunk:d-alembert-inertia-force}}\u003Ch2>Ударне навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При ударі енергія рухомого тіла за короткий час переходить у енергію деформації конструкції, а частково може розсіюватися через пластичність, тертя, контактні явища та інші механізми. В ідеалізованій пружній моделі максимальну реакцію часто оцінюють енергетичним методом через коефіцієнт динамічності.\u003C\u002Fp>{{chunk:impact-dynamic-factor}}\u003Ch2>Циклічне навантаження і втома\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При повторних циклах вирішальним є не лише максимальне напруження, а й амплітуда, середнє значення, асиметрія циклу та кількість повторень.\u003C\u002Fp>{{chunk:fatigue-cycle-parameters}}{{chunk:fatigue-sn-curve-endurance}}\u003Ch2>Вплив реальної деталі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Втомна міцність лабораторного зразка не переноситься на реальну деталь без урахування її геометрії, поверхні, розмірів, середовища та концентрації напружень.\u003C\u002Fp>{{chunk:fatigue-strength-factors}}\u003Ch2>Вибір розрахункової моделі\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити характер навантаження: прискорений рух, раптове прикладання, удар або багаторазові цикли.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для руху з відомими прискореннями врахувати сили інерції.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для удару оцінити енергетичний баланс і динамічний коефіцієнт у межах прийнятої моделі.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для циклічного навантаження визначити параметри циклу та потрібну довговічність.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Врахувати концентратори, стан поверхні, масштаб та інші фактори реальної деталі.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити, чи не виходять умови за межі спрощеної лінійно-пружної моделі.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Структура розділу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Дочірні теми окремо розглядають інерційні сили, ударний розрахунок та втому матеріалів. Задачі коливань і резонансу потребують окремої динамічної моделі та не зводяться лише до статичного коефіцієнта динамічності.\u003C\u002Fp>",[1492,1501,1511],{"id":1493,"parent_id":1483,"code":9,"slug":1494,"name":1495,"seo_title":1496,"seo_description":1497,"seo_text":1498,"content":1499,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":15,"url_slug":1494,"children":1500},38,"inersiyni-saly","Інерційні сили","Сили інерції — принцип Д’Аламбера та динамічний розрахунок","Як враховувати сили інерції в конструкціях: принцип Д’Аламбера, поступальне й обертальне прискорення, розподілене інерційне навантаження та напруження.","При розрахунку деталей, що рухаються з прискоренням (стержні стержневих підйомників, ободи маховиків, вали), необхідно враховувати сили інерції. У розділі застосовується принцип Д'Аламбера для зведення задач динаміки до задач статики та наведено приклади розрахунку напружень від поступального й обертального прискорення.","\u003Cp>Коли елемент конструкції рухається з прискоренням, його маса створює \u003Cstrong>інерційний ефект\u003C\u002Fstrong>, який необхідно враховувати при визначенні внутрішніх зусиль і напружень. Один зі зручних способів постановки таких задач — принцип Д’Аламбера.\u003C\u002Fp>{{chunk:d-alembert-inertia-force}}\u003Ch2>Поступальний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тіла масою $m$ з поступальним прискоренням $a$ модуль сили інерції дорівнює $ma$, а її напрям у розрахунковій схемі протилежний прискоренню. Якщо маса розподілена вздовж стержня, інерційне навантаження також може бути розподіленим.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для стержня зі сталою погонною масою $m_l$ та однаковим уздовж довжини прискоренням $a$ інтенсивність інерційного навантаження:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$q_i=m_l a.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Напрям $q_i$ у схемі Д’Аламбера протилежний прискоренню.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напруження у стержні, що прискорюється\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо прямий однорідний стержень довжиною $L$ і площею $A$ прискорюється вздовж власної осі, поздовжня сила в перерізі повинна забезпечувати прискорення частини маси по один бік від цього перерізу. Тому $N$ змінюється вздовж довжини, а нормальне напруження визначають як $\\sigma=N\u002FA$.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Наприклад, якщо стержень із густиною $\\rho$ тягнуть за один кінець і все тіло має осьове прискорення $a$, то для перерізу на відстані $x$ від вільного кінця за модулем:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$N(x)=\\rho Aax,\\qquad \\sigma(x)=\\rho ax.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Найбільше напруження виникає біля кінця, через який передається сила прискорення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Обертальний рух\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При кутовому прискоренні $\\varepsilon$ використовують інерційний момент $J\\varepsilon$. При сталому обертанні з кутовою швидкістю $\\omega$ точки тіла мають доцентрове прискорення $a_n=\\omega^2r$, тому в обертових деталях виникають напруження, пов’язані з розподіленими масовими силами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад: тонке кільце\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для ідеалізованого тонкого кільця з густиною матеріалу $\\rho$, що обертається з кутовою швидкістю $\\omega$ і має радіус $r$, окружне напруження в простій мембранній моделі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_\\theta=\\rho\\omega^2r^2.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для товстих дисків, ободів складної форми або неоднорідних деталей потрібні точніші моделі розподілу напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити закон руху та прискорення мас.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти зосереджені або розподілені сили інерції.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Додати їх до розрахункової схеми за принципом Д’Аламбера.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити внутрішні силові фактори.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити напруження та переміщення звичайними формулами опору матеріалів у межах прийнятої моделі.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Зауваження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо прискорення швидко змінюється, виникають коливання або поширення хвиль деформації, квазістатичне введення сил інерції може бути недостатнім. Тоді потрібен повний динамічний аналіз.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1502,"parent_id":1483,"code":1503,"slug":1504,"name":1505,"seo_title":1506,"seo_description":1507,"seo_text":1508,"content":1509,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":1502,"url_slug":1504,"children":1510},31,"31","rozrahunky-pry-udarzi","Розрахунки при ударі","Ударне навантаження — коефіцієнт динамічності та напруження","Як розрахувати ударне навантаження: баланс енергії, коефіцієнт динамічності Kd, падіння вантажу, максимальні переміщення й ударні напруження.","При ударному навантаженні кінетична енергія рухомого тіла миттєво перетворюється в потенціальну енергію деформації конструкції. У розділі подано методику обчислення коефіцієнта динамічності Kd при вертикальному та горизонтальному ударах, а також формули для розрахунку максимальних ударних напружень і прогинів балок чи стержнів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Ударне навантаження\u003C\u002Fstrong> виникає, коли тіло з ненульовою швидкістю контактує з конструкцією і за короткий час передає їй енергію. Максимальні сили, напруження та переміщення при ударі можуть у кілька разів перевищувати статичні значення від тієї самої сили ваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Енергетична модель\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У найпростішій пружній моделі вважають, що втрата потенціальної енергії падаючого вантажу переходить у потенціальну енергію деформації конструкції. Якщо вантаж $P$ падає з висоти $h$, а максимальна додаткова деформація після контакту дорівнює $\\delta$, то робота сили ваги на шляху $h+\\delta$ прирівнюється до максимальної енергії пружної деформації.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для лінійної системи зі статичною податливістю $\\delta_{\\mathrm{st}}\u002FP$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$P(h+\\delta)=\\frac{1}{2}\\frac{P}{\\delta_{\\mathrm{st}}}\\delta^2.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Розв’язання цього квадратного рівняння приводить до коефіцієнта динамічності.\u003C\u002Fp>{{chunk:impact-dynamic-factor}}\u003Ch2>Статичне переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>$\\delta_{\\mathrm{st}}$ — переміщення точки удару в напрямку сили, яке виникло б при статичному прикладанні сили $P$. Його знаходять звичайними методами опору матеріалів: для осьового стержня, балки, пружини або іншої лінійно-пружної системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Раптове прикладання сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сила $P$ миттєво прикладається без падіння з висоти та без початкової швидкості, у наведеній ідеалізованій моделі $h=0$ і $K_d=2$. Отже, максимальні пружні переміщення та напруження удвічі перевищують відповідні статичні значення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай вантаж падає з висоти $h=20$ мм, а статичне переміщення конструкції від його ваги становить $\\delta_{\\mathrm{st}}=0{,}5$ мм. Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$K_d=1+\\sqrt{1+\\frac{2\\cdot20}{0{,}5}}=1+\\sqrt{81}=10.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо статичне напруження від сили ваги становить 25 МПа, і система залишається лінійною, оцінка максимального ударного напруження дає $\\sigma_{\\mathrm{dyn}}=250$ МПа.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Горизонтальний удар і задана швидкість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коли початкова енергія задається кінетичною енергією $mv^2\u002F2$, а не висотою падіння, енергетичне рівняння записують безпосередньо через цю енергію. Конкретний результат залежить від маси $m$ ударника, швидкості $v$, податливості конструкції та прийнятої моделі контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити силу ваги або початкову кінетичну енергію ударника.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти статичне переміщення точки удару від відповідної статичної сили.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Записати баланс енергії для прийнятої моделі.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити максимальне переміщення або $K_d$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Через лінійну пропорційність знайти максимальні внутрішні сили й напруження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити, чи залишаються напруження в області, де пружна модель є прийнятною.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Обмеження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реальний удар може супроводжуватися пластичними деформаціями, місцевим контактним зминанням, відскоком, демпфуванням і хвильовими процесами. У таких випадках проста енергетична формула може завищувати або занижувати реальний максимум і потрібна детальніша динамічна модель.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1512,"parent_id":1483,"code":1513,"slug":1514,"name":1515,"seo_title":1516,"seo_description":1517,"seo_text":1518,"content":1519,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":1512,"url_slug":1514,"children":1520},32,"32","vtoma-materialiv-mezha-vytryvalosti","Втома матеріалів та межа витривалості","Втома матеріалів — крива Велера, межа витривалості та S–N","Як оцінюють втомну міцність: параметри циклу, S–N крива Велера, межа витривалості, концентрація напружень і вплив середнього напруження.","Багаторазове повторення змінних напружень призводить до втомного руйнування деталі при напруженнях, значно менших за границю міцності. На сторінці розглянуто характеристики циклів напружень, межу витривалості, криві втоми Велера, вплив концентраторів напружень (галтелей, отворів, канавок) та абсолютних розмірів деталі на її втомну міцність.","\u003Cp>\u003Cstrong>Втома матеріалу\u003C\u002Fstrong> — процес накопичення пошкодження під дією багаторазово змінних напружень, який може завершитися зародженням і поширенням тріщини та руйнуванням деталі. Втомне руйнування можливе при максимальних напруженнях, нижчих за статичну границю міцності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Параметри циклу\u003C\u002Fh2>{{chunk:fatigue-cycle-parameters}}\u003Cp>Амплітуда визначає інтенсивність циклічної складової, а середнє напруження зміщує весь цикл у зону розтягу або стиску. Тому два цикли з однаковою амплітудою, але різним $\\sigma_m$, можуть мати різну втомну небезпеку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Крива Велера\u003C\u002Fh2>{{chunk:fatigue-sn-curve-endurance}}\u003Cp>Для побудови $S$–$N$ кривої серії зразків випробовують при різних рівнях циклічного напруження та фіксують число циклів до руйнування $N$. Число циклів часто відкладають у логарифмічному масштабі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межа витривалості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для матеріалів із вираженою межею витривалості при заданому типі циклу можна виділити рівень напруження, нижче якого лабораторний зразок витримує прийняту в методиці велику базу циклів без втомного руйнування. Для багатьох кольорових сплавів та інших матеріалів чіткої горизонтальної асимптоти немає, тому задають втомну міцність на конкретній базі $N$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Концентрація напружень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Отвори, різьби, шпонкові пази, канавки та різкі переходи перерізу створюють локальні максимуми напружень і сприяють зародженню втомних тріщин. У втомному розрахунку геометричний коефіцієнт концентрації не завжди безпосередньо дорівнює ефективному коефіцієнту зниження витривалості: враховується також чутливість матеріалу до надрізу.\u003C\u002Fp>{{chunk:fatigue-strength-factors}}\u003Ch2>Середнє напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При ненульовому $\\sigma_m$ допустиму амплітуду оцінюють за експериментальними або нормативними діаграмами. Поширеними навчальними апроксимаціями є лінії Гудмана і Содерберга та парабола Гербера. Вибір залежності має відповідати матеріалу та прийнятій методиці.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Наприклад, лінійне співвідношення Гудмана для розтягувального середнього напруження часто записують як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{\\sigma_a}{\\sigma_{-1}}+\\frac{\\sigma_m}{\\sigma_u}\\le\\frac{1}{n},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\sigma_a$ — амплітуда циклу; $\\sigma_m$ — середнє напруження; $\\sigma_{-1}$ — базова межа витривалості при симетричному циклі для відповідних умов; $\\sigma_u$ — границя міцності; $n$ — прийнятий коефіцієнт запасу. Для реальної деталі базову витривалість коригують згідно з методикою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типовий розвиток втомного руйнування\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Локалізація циклічної пластичності або пошкодження в небезпечній зоні.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Зародження малої тріщини, часто біля поверхні або концентратора.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Поступове поширення тріщини протягом багатьох циклів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Фінальне швидке руйнування залишкового перерізу, коли він уже не може передавати навантаження.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Алгоритм перевірки\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити $\\sigma_{\\max}$ і $\\sigma_{\\min}$ у небезпечній точці.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити $\\sigma_a$, $\\sigma_m$ та $R$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити базову втомну характеристику матеріалу для потрібної довговічності й типу циклу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Врахувати концентрацію, стан поверхні, масштаб, температуру та середовище.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Врахувати вплив середнього напруження за прийнятим критерієм.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити запас втомної міцності або допустимий ресурс.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Зауваження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Втомний розрахунок істотно залежить від експериментальних даних і прийнятого стандарту. Для змінної амплітуди, багатовісного навантаження, низькоциклової втоми та росту тріщин потрібні спеціальні моделі, що виходять за межі базового $S$–$N$ підходу.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1522,"parent_id":57,"code":1523,"slug":1524,"name":1525,"seo_title":1526,"seo_description":1527,"seo_text":1528,"content":1529,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":904,"url_slug":1524,"children":1530},89,"contact-stresses","kontaktni-napruzhennia","Контактні напруження","Контактні напруження — теорія Герца, тиск і контактна міцність","Контактні напруження в деталях машин: геометрія контакту, теорія Герца, максимальний тиск, підповерхневі напруження та перевірка контактної міцності.","Тема знайомить із поняттям контактних напружень в опорі матеріалів, умовами їх виникнення та особливостями розподілу в зоні контакту. Матеріал призначений для базового розуміння контактної взаємодії деталей і підготовки до інженерних розрахунків.","\u003Cp>\u003Cstrong>Контактні напруження\u003C\u002Fstrong> виникають у локальній області взаємодії двох тіл, через яку передається сила. Через малу площу контакту локальні напруження можуть бути значно більшими за номінальні напруження в інших частинах деталей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Геометрія контакту\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Без навантаження гладкі криволінійні поверхні можуть торкатися в точці або вздовж лінії. Після прикладання сили через пружні деформації виникає скінченна пляма або смуга контакту. Її форма визначається локальними кривизнами поверхонь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Теорія Герца\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Класична теорія Герца описує локальний пружний контакт гладких тіл за малих деформацій і малої контактної області. Матеріальні властивості двох тіл зручно об'єднувати через приведений модуль, а геометрію — через приведену кривизну.\u003C\u002Fp>{{chunk:hertz-reduced-elastic-modulus}}{{chunk:hertz-reduced-radius}}\u003Ch2>Контактний тиск\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тиск у герцівській контактній області розподілений нерівномірно: він максимальний поблизу центра і зменшується до нуля на межі ідеалізованої плями або смуги.\u003C\u002Fp>{{chunk:hertz-pressure-distribution}}\u003Ch2>Точковий і лінійний контакт\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для осесиметричного контакту сферичних поверхонь утворюється кругова пляма; для довгих паралельних циліндрів — вузька контактна смуга. Розміри області контакту зростають зі збільшенням сили та податливості матеріалів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напруження під поверхнею\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Контактний тиск формує просторовий напружений стан у прилеглому об'ємі матеріалу. Максимальні дотичні або еквівалентні напруження можуть виникати не на самій поверхні, а на певній глибині, що важливо для втомного викришування та інших контактних пошкоджень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контактна міцність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для деталей машин недостатньо лише визначити максимальний тиск. Необхідно враховувати повторюваність навантаження, твердість і структуру матеріалу, шорсткість, мастило, перекіс, залишкові напруження та інші експлуатаційні фактори.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-contact-calculation-algorithm}}\u003Cp>Дочірні теми послідовно розглядають геометрію контакту, теорію Герца, контакт сфер і циліндрів, підповерхневий напружений стан та контактну міцність деталей машин.\u003C\u002Fp>",[1531,1541,1551,1561,1571,1582],{"id":1532,"parent_id":1522,"code":1533,"slug":1534,"name":1535,"seo_title":1536,"seo_description":1537,"seo_text":1538,"content":1539,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":882,"url_slug":1534,"children":1540},90,"contact-geometry","vydy-ta-heometriia-kontaktu","Контакт двох тіл. Види та геометрія контакту","Контакт двох тіл — точковий, лінійний і поверхневий контакт","Чим відрізняються точковий, лінійний і поверхневий контакт: контактна площадка, кривизна поверхонь, зведений радіус і розподіл тиску.","Підтема пояснює основні види контакту двох тіл та геометричні характеристики контактної зони. Розглядаються точковий, лінійний і поверхневий контакт, форма та кривизна поверхонь і параметри, потрібні для подальшого аналізу контактних напружень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Контакт двох тіл\u003C\u002Fstrong> виникає, коли навантаження передається через малу область дотику. До прикладання сили ідеалізований контакт може бути точковим, лінійним або поверхневим, але через пружну деформацію точка чи лінія перетворюється на скінченну контактну площадку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні види контакту\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>Точковий контакт\u003C\u002Fstrong> — характерний для куль, сферичних поверхонь і деяких пар криволінійних тіл.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Лінійний контакт\u003C\u002Fstrong> — типовий для паралельних циліндрів, роликів і коліс в ідеалізованій постановці.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Поверхневий контакт\u003C\u002Fstrong> — виникає, коли тіла вже мають значну спільну площу дотику; класична локальна теорія Герца для такого випадку не завжди є відповідною моделлю.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Локальна геометрія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У зоні контакту гладкі поверхні описують через локальні радіуси кривизни. Для двох сферичних поверхонь з радіусами $R_1$ і $R_2$ зручно використовувати зведений радіус:\u003C\u002Fp>{{chunk:hertz-reduced-radius}}\u003Cp>Якщо одна поверхня плоска, відповідний радіус можна вважати нескінченним, тому її кривизна дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пружні властивості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Деформація контактної зони залежить від модулів Юнга та коефіцієнтів Пуассона обох тіл. Їх спільний вплив описують зведеним модулем $E^*$.\u003C\u002Fp>{{chunk:hertz-reduced-elastic-modulus}}\u003Ch2>Розподіл тиску\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У герцівській моделі тиск по контактній площадці нерівномірний: він найбільший у центральній області й зменшується до нуля на межі контакту. Для кругової площадки:\u003C\u002Fp>{{chunk:hertz-pressure-distribution}}\u003Ch2>Що визначає розмір контакту\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розміри контактної площадки залежать від нормальної сили $F$, локальної кривизни поверхонь і пружних властивостей матеріалів. Зі збільшенням $F$ контактна область зростає, але одночасно зростають і характерні контактні напруження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі ідеалізації\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Класична теорія Герца передбачає гладкі пружні поверхні, малі деформації та контактну область, малу порівняно з характерними розмірами тіл і радіусами кривизни. Тертя, пластичність, шорсткість, покриття, крайові ефекти та близькість меж можуть істотно змінювати реальний контакт.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1542,"parent_id":1522,"code":1543,"slug":1544,"name":1545,"seo_title":1546,"seo_description":1547,"seo_text":1548,"content":1549,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":1296,"url_slug":1544,"children":1550},91,"hertz-contact-theory","teoriia-hertsa","Теорія Герца. Основні припущення та формули","Теорія Герца — формули контактного тиску та плями контакту","Формули Герца для пружного контакту: зведений модуль і радіус, розмір плями контакту, максимальний контактний тиск та межі застосування.","Підтема присвячена теорії Герца як базовій моделі пружного контакту тіл. Розглядаються її припущення, область застосовності, розподіл контактного тиску та параметри матеріалів і геометрії, що визначають контактні напруження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Теорія Герца\u003C\u002Fstrong> описує контактні напруження та деформації двох пружних тіл із криволінійними поверхнями в околі малої області контакту.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>До навантаження тіла можуть дотикатися в точці або вздовж лінії. Після прикладання сили через пружну деформацію виникає скінченна контактна область, у якій діє нерівномірно розподілений контактний тиск.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:hertz-contact-patch-material-response}}\n\u003Ch2>Основні припущення теорії Герца\u003C\u002Fh2>\n\u003Cul>\u003Cli>матеріали тіл однорідні, ізотропні та лінійно-пружні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>деформації малі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>розміри області контакту малі порівняно з характерними радіусами кривизни тіл;\u003C\u002Fli>\u003Cli>поверхні в зоні контакту гладкі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>у класичній постановці дотичними силами тертя нехтують, а навантаження передається нормальним тиском.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\n\u003Ch2>Приведені пружні характеристики\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для двох тіл із модулями Юнга \\(E_1,E_2\\) та коефіцієнтами Пуассона \\(\\nu_1,\\nu_2\\) вводять приведений модуль:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\frac{1}{E^*}=\\frac{1-\\nu_1^2}{E_1}+\\frac{1-\\nu_2^2}{E_2}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Для сферичних поверхонь із радіусами \\(R_1,R_2\\) у найпростішому випадку зовнішнього контакту:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\frac{1}{R^*}=\\frac{1}{R_1}+\\frac{1}{R_2}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Кругова пляма контакту\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для осесиметричного контакту двох сферичних поверхонь або сфери з площиною радіус кругової плями контакту:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[a=\\left(\\frac{3FR^*}{4E^*}\\right)^{1\u002F3}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Максимальний контактний тиск у центрі плями:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[p_0=\\frac{3F}{2\\pi a^2}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Розподіл тиску за радіальною координатою \\(r\\) має вигляд:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[p(r)=p_0\\sqrt{1-\\frac{r^2}{a^2}},\\qquad 0\\le r\\le a.\\]\u003C\u002Fp>\n{{chunk:hertz-pressure-distribution-interactive}}\n\u003Cp>Отже, тиск найбільший у центрі контакту та плавно зменшується до нуля на межі плями.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Що визначає контактні напруження\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Розміри контактної області та рівень тиску залежать від сили притискання, кривизни поверхонь і пружних властивостей обох матеріалів. Зі збільшенням навантаження контактна область зростає, але одночасно змінюється й максимальний контактний тиск.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Застосування\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Теорію Герца використовують для оцінювання контактної міцності підшипників кочення, зубчастих передач, коліс і рейок, роликів, кулачкових механізмів та інших деталей із локальним контактом.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Класичні формули Герца не описують пластичне зминання, значне тертя, адгезію, шорсткість поверхні та великі деформації. У таких випадках потрібні уточнені контактні моделі.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1552,"parent_id":1522,"code":1553,"slug":1554,"name":1555,"seo_title":1556,"seo_description":1557,"seo_text":1558,"content":1559,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":1483,"url_slug":1554,"children":1560},92,"sphere-contact","kontakt-kul-ta-sferychnykh-poverkhon","Контакт куль і сферичних поверхонь","Контакт куль за Герцом — радіус плями, тиск і приклад","Як розрахувати герцівський контакт куль або кулі з площиною: зведений модуль і радіус, радіус контактної площадки, максимальний тиск та приклад.","Підтема розглядає контакт куль і сферичних поверхонь у межах пружної контактної моделі. Основна увага приділяється формі та розмірам плями контакту, максимальному контактному тиску та впливу навантаження, геометрії й властивостей матеріалів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Контакт куль і сферичних поверхонь\u003C\u002Fstrong> у класичній теорії Герца приводить до кругової контактної площадки радіуса $a$, якщо локальна геометрія та навантаження є осесиметричними.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зведені характеристики\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-reduced-elastic-modulus}}{{chunk:hertz-reduced-radius}}\u003Ch2>Радіус контактної площадки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для нормальної сили $F$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$a=\\left(\\frac{3FR^*}{4E^*}\\right)^{1\u002F3}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, розмір контакту зростає зі збільшенням сили та зменшенням жорсткості матеріалів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контактний тиск\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-pressure-distribution}}\u003Cp>Максимальний тиск $p_0$ виникає в центрі контактної площадки, а на її межі $p(a)=0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Куля на плоскій поверхні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для контакту кулі радіуса $R$ з площиною $R^*=R$, оскільки радіус кривизни площини нескінченний. Якщо матеріали кулі та площини різні, $E^*$ визначають за властивостями обох тіл.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай сталева куля радіуса $R=10$ мм притискається до плоскої сталевої поверхні силою $F=1000$ Н. Для однакових матеріалів з $E=210$ ГПа та $\\nu=0{,}3$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$E^*=\\left[2\\frac{1-0{,}3^2}{210000}\\right]^{-1}\\approx115385\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Оскільки $R^*=10$ мм:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$a=\\left(\\frac{3\\cdot1000\\cdot10}{4\\cdot115385}\\right)^{1\u002F3}\\approx0{,}402\\ \\text{мм}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p_0=\\frac{3\\cdot1000}{2\\pi\\cdot0{,}402^2}\\approx2{,}96\\cdot10^3\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Приклад показує, що навіть помірна сила може створювати дуже високий локальний контактний тиск через малу площу контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зауваження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо розраховані напруження приводять до значної пластичної деформації, припущення пружної теорії Герца порушуються. Також окремої уваги потребують шорсткість, покриття, тертя та повторне циклічне навантаження.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1562,"parent_id":1522,"code":1563,"slug":1564,"name":1565,"seo_title":1566,"seo_description":1567,"seo_text":1568,"content":1569,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":141,"url_slug":1564,"children":1570},93,"cylinder-roller-contact","kontakt-tsylindriv-ta-rolikiv","Контакт циліндрів і роликів","Контакт циліндрів і роликів за Герцом — ширина смуги та тиск","Як розрахувати лінійний контакт циліндрів і роликів за Герцом: зведений радіус і модуль, ширина контактної смуги та максимальний контактний тиск.","Підтема пояснює розрахункову модель контакту циліндрів і роликів. Розглядаються утворення контактної смуги, нерівномірний розподіл тиску, максимальний контактний тиск та основні фактори, що визначають контактні напруження.","\u003Cp>Контакт двох циліндрів із паралельними осями є класичним випадком \u003Cstrong>лінійного контакту\u003C\u002Fstrong> за теорією Герца. До навантаження ідеалізовані поверхні дотикаються вздовж прямої, а після пружної деформації контакт відбувається по вузькій прямокутній смузі.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:hertz-cylinder-line-contact-deformation}}\n\u003Ch2>Приведені параметри\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для зовнішнього контакту двох опуклих циліндрів приведений радіус:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\frac{1}{R^*}=\\frac{1}{R_1}+\\frac{1}{R_2}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Приведений модуль пружності:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\frac{1}{E^*}=\\frac{1-\\nu_1^2}{E_1}+\\frac{1-\\nu_2^2}{E_2}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Ширина контактної смуги\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Нехай \\(w=F\u002FL\\) — нормальне навантаження на одиницю довжини контакту. Для класичного герцівського лінійного контакту напівширина контактної смуги:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[b=\\sqrt{\\frac{4wR^*}{\\pi E^*}}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Повна ширина смуги дорівнює \\(2b\\).\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Розподіл контактного тиску\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>У межах смуги контактний тиск змінюється за напівеліптичним законом:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[p(x)=p_0\\sqrt{1-\\frac{x^2}{b^2}},\\qquad |x|\\le b,\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>де максимальний тиск у центрі контакту:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[p_0=\\frac{2w}{\\pi b}=\\sqrt{\\frac{wE^*}{\\pi R^*}}.\\]\u003C\u002Fp>\n{{chunk:hertz-pressure-distribution-interactive}}\n\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Зі збільшенням навантаження \\(w\\) контактна смуга стає ширшою, а максимальний тиск зростає. Збільшення приведеного радіуса також розширює контактну смугу та зменшує концентрацію тиску. Жорсткіші матеріали мають більший \\(E^*\\), тому за однакових геометрії та навантаження контактна смуга стає вужчою.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Інженерні приклади\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Модель застосовують для роликів підшипників, контакту колеса з рейкою у спрощеній двовимірній постановці, циліндричних котків і роликових опор. Для скінченної довжини ролика крайові ефекти можуть істотно змінювати розподіл напружень поблизу торців.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1572,"parent_id":1522,"code":1573,"slug":1574,"name":1575,"seo_title":1576,"seo_description":1577,"seo_text":1578,"content":1579,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":1580,"url_slug":1574,"children":1581},94,"subsurface-contact-stress","napruzhenyi-stan-pid-kontaktnoiu-poverkhneiu","Напружений стан під контактною поверхнею","Підповерхневі контактні напруження — τmax, глибина і втома","Як змінюються напруження під герцівським контактом: головні та дотичні компоненти, максимум τmax під поверхнею, вплив тертя і контактна втома.","Підтема розглядає просторовий напружений стан, що формується під контактною поверхнею. Пояснюється зміна нормальних і дотичних напружень із глибиною та значення підповерхневої області для оцінювання контактної міцності й можливого пошкодження матеріалу.","\u003Cp>Контактний тиск діє лише на поверхні, але створює \u003Cstrong>просторовий напружений стан\u003C\u002Fstrong> у приповерхневому об’ємі матеріалу. Для оцінки контактної міцності важливо знати не тільки максимальний поверхневий тиск $p_0$, а й характер підповерхневих головних та дотичних напружень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стиск під контактною площадкою\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Безпосередньо під навантаженою областю переважають стискальні нормальні напруження. Їх величина зменшується з глибиною та віддаленням від центра контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У симетричних контактних задачах на осі симетрії дотичні компоненти в певних площинах можуть дорівнювати нулю, тому нормальні компоненти там збігаються з головними напрямами. Загалом для повної оцінки потрібно визначати тривимірний тензор напружень і його головні значення $\\sigma_1$, $\\sigma_2$, $\\sigma_3$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Максимальне дотичне напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За відомими головними напруженнями абсолютне максимальне дотичне напруження в точці:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau_{\\max}=\\frac{\\sigma_1-\\sigma_3}{2},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>якщо $\\sigma_1\\ge\\sigma_2\\ge\\sigma_3$. У герцівському контакті максимум дотичного напруження часто розташований не на самій поверхні, а на певній глибині під нею.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому це важливо\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Повторне проходження контактного навантаження створює циклічний підповерхневий напружений стан. У підшипниках, зубчастих передачах і роликових парах це може спричиняти зародження підповерхневих втомних тріщин та викришування поверхні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вплив тертя\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Класична нормальна задача Герца не враховує істотних тангенціальних контактних сил. За наявності тертя, ковзання або тягового зусилля до нормального контактного стану додаються дотичні напруження, які можуть зміщувати небезпечну точку ближче до поверхні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Оцінка міцності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Залежно від матеріалу й механізму пошкодження аналізують $p_0$, головні напруження, $\\tau_{\\max}$, еквівалентне напруження або спеціальну контактно-втомну характеристику. Не слід автоматично прирівнювати максимальний контактний тиск до одновісного напруження при звичайному розтягу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чисельний аналіз\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для складної геометрії, крайових ефектів, покриттів, тертя або пластичності підповерхневий стан часто визначають методом скінченних елементів чи спеціалізованими контактними моделями.\u003C\u002Fp>",50,[],{"id":1583,"parent_id":1522,"code":1584,"slug":1585,"name":1586,"seo_title":1587,"seo_description":1588,"seo_text":1589,"content":1590,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":1591,"url_slug":1585,"children":1592},95,"contact-strength-machine-elements","kontaktna-mitsnist-detalei-mashyn","Контактна міцність деталей машин","Контактна міцність деталей — тиск Герца, пітинг і перевірка","Як оцінюють контактну міцність підшипників, роликів і зубчастих передач: герцівський тиск, допустимі напруження, пітинг, втома та умови роботи.","Підтема узагальнює застосування теорії контактних напружень до оцінювання міцності деталей машин. Розглядаються допустимі контактні напруження, принцип перевірочного розрахунку та типові приклади для підшипників, роликів і зубчастих передач.","\u003Cp>\u003Cstrong>Контактна міцність\u003C\u002Fstrong> — здатність поверхонь деталей витримувати локальні контактні напруження та багаторазове перекочування або ковзання без недопустимого зминання, викришування, тріщиноутворення чи іншого контактного пошкодження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контактне напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У машинобудівних розрахунках характерний максимальний герцівський тиск часто позначають як контактне напруження $\\sigma_H$ або $p_H$. Конкретне визначення залежить від стандарту та типу деталі.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Умову міцності записують у загальному вигляді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_H\\le[\\sigma_H]$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>або\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p_H\\le[p_H].$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що впливає на контактну міцність\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>нормальна контактна сила $F$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>радіуси кривизни контактуючих поверхонь $R_1$, $R_2$ та зведена кривизна;\u003C\u002Fli>\u003Cli>модулі Юнга $E_1$, $E_2$ і коефіцієнти Пуассона $\\nu_1$, $\\nu_2$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>твердість і термічна обробка поверхневих шарів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>кількість циклів навантаження $N$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>якість поверхні, мастило, температура та забруднення;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ковзання, тертя, перекіс і крайові концентрації.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Контактна втома\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При повторному перекочуванні підповерхневі напруження циклічно змінюються. З часом це може спричинити утворення тріщин та викришування — пітинг. Тому для підшипників і зубчастих передач контактна міцність тісно пов’язана з втомною довговічністю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пластичне зминання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо локальні напруження достатньо великі, пружна герцівська модель перестає бути адекватною через пластичну деформацію поверхневого шару. У такій ситуації перевірка лише за пружним $p_0$ не описує повністю реальний стан контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типова послідовність перевірки\u003C\u002Fh2>{{chunk:hertz-contact-calculation-algorithm}}\u003Ch2>Підшипники кочення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для підшипників реальну довговічність зазвичай визначають не прямим порівнянням $p_0$ з одним допустимим напруженням, а спеціальними стандартизованими залежностями через динамічну вантажопідйомність, еквівалентне навантаження та потрібний ресурс.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зубчасті передачі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для зубців контактні напруження виникають у зоні дотику профілів. Інженерні стандарти вводять коефіцієнти геометрії, розподілу навантаження, динаміки, матеріалу та довговічності, тому практична формула відрізняється від найпростішого контакту двох циліндрів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Висновок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Теорія Герца дає фундаментальну локальну оцінку контактного тиску, але остаточна перевірка деталі повинна враховувати механізм пошкодження, циклічність і вимоги відповідного стандарту.\u003C\u002Fp>",60,[],{"id":1594,"parent_id":57,"code":9,"slug":1595,"name":1596,"seo_title":1597,"seo_description":1598,"seo_text":1599,"content":1600,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":1601,"url_slug":1595,"children":1602},430,"kruchennia-sterzhniv-nekruhloho-sutsilnoho-pererizu","Кручення стержнів некруглого суцільного перерізу","Кручення стержнів некруглого суцільного перерізу — формули й коефіцієнти","Кручення суцільних некруглих стержнів: депланація, стала кручення, формули для прямокутного перерізу та таблиця коефіцієнтів α і β.","Кручення стержнів некруглого суцільного перерізу. Формули міцності й жорсткості прямокутного стержня, стала кручення та таблиця коефіцієнтів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кручення стержнів некруглого суцільного перерізу\u003C\u002Fstrong> істотно відрізняється від кручення круглого вала. Поперечні перерізи загалом не залишаються плоскими: виникає \u003Cstrong>депланація\u003C\u002Fstrong>, а дотичні напруження розподіляються по площі нерівномірно.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Чому формула круглого вала не працює\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для круглого перерізу геометрія узгоджується з коловими траєкторіями зсуву, тому можна користуватися формулою \\(\\tau=T\\rho\u002FI_p\\). Для прямокутного, еліптичного або іншого некруглого суцільного перерізу полярний момент інерції площі сам по собі не визначає ні крутильну жорсткість, ні розподіл напружень.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Кручення Сен-Венана\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для призматичного стержня сталого перерізу швидкість закручування дорівнює\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\frac{d\\varphi}{dx}=\\frac{T}{GJ_t},\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>де \\(T\\) — крутний момент, \\(G\\) — модуль зсуву, \\(J_t\\) — стала кручення. Величина \\(J_t\\) залежить від форми перерізу і лише для круга збігається з полярним моментом інерції. Розподіл дотичних напружень визначають із розв’язку задачі Сен-Венана, зокрема через функцію напружень Прандтля.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Суцільний прямокутний переріз\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Нехай \\(a\\) — більша, а \\(b\\) — менша сторона прямокутника, тобто \\(a\\ge b\\). Для інженерного розрахунку використовують формули\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\tau_{\\max}=\\frac{T}{\\alpha a b^2},\\qquad J_t=\\beta a b^3,\\qquad \\varphi=\\frac{TL}{GJ_t}=\\frac{TL}{\\beta G a b^3}.\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Максимальні дотичні напруження виникають у середині довгих сторін. У кутах і в середині перерізу вони дорівнюють нулю. Коефіцієнти \\(\\alpha\\) та \\(\\beta\\) залежать від відношення сторін:\u003C\u002Fp>\n\u003Ctable>\n\u003Cthead>\u003Ctr>\u003Cth>\\(a\u002Fb\\)\u003C\u002Fth>\u003Cth>\\(\\alpha\\)\u003C\u002Fth>\u003Cth>\\(\\beta\\)\u003C\u002Fth>\u003C\u002Ftr>\u003C\u002Fthead>\n\u003Ctbody>\n\u003Ctr>\u003Ctd>1,0\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,208\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,141\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003Ctr>\u003Ctd>1,5\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,231\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,196\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003Ctr>\u003Ctd>2,0\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,246\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,229\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003Ctr>\u003Ctd>2,5\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,258\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,249\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003Ctr>\u003Ctd>3,0\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,267\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,263\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003Ctr>\u003Ctd>4,0\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,282\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,281\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003Ctr>\u003Ctd>6,0\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,299\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,299\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003Ctr>\u003Ctd>8,0\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,307\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,307\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003Ctr>\u003Ctd>10,0\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,313\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,313\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003Ctr>\u003Ctd>\\(\\infty\\)\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,333\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>0,333\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\n\u003C\u002Ftbody>\u003C\u002Ftable>\n\u003Cp>Для проміжних значень \\(a\u002Fb\\) коефіцієнти можна визначати лінійною інтерполяцією. Для дуже вузького прямокутника \\(a\u002Fb\\gg1\\) маємо наближення \\(\\alpha\\approx\\beta\\approx1\u002F3\\), тому \\(J_t\\approx ab^3\u002F3\\) і \\(\\tau_{\\max}\\approx3T\u002F(ab^2)\\).\u003C\u002Fp>\n\u003Ch3>Уточнена формула для сталої кручення\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Коли табличних даних немає, для \\(a\\ge b\\) зручно користуватися наближенням\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[J_t\\approx\\frac{ab^3}{3}\\left[1-0{,}63\\frac{b}{a}+0{,}052\\left(\\frac{b}{a}\\right)^5\\right].\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Формула добре відтворює табличні значення \\(\\beta\\). Для квадрата вона дає \\(J_t\\approx0{,}141a^4\\). Не слід підміняти \\(J_t\\) полярним моментом інерції прямокутника \\(I_p=I_x+I_y\\): це призведе до неправильної жорсткості.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch3>Умови міцності та жорсткості\u003C\u002Fh3>\n\u003Cp>Перевірки виконують окремо:\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\\[\\tau_{\\max}\\le[\\tau],\\qquad \\varphi=\\frac{TL}{GJ_t}\\le[\\varphi].\\]\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>Якщо нормують відносний кут закручування, перевіряють \\(\\theta=T\u002F(GJ_t)\\le[\\theta]\\). Наведені формули описують ділянку, достатньо віддалену від місця прикладання моменту, різких переходів і закріплень. Біля галтелей, пазів та інших концентраторів потрібен додатковий коефіцієнт концентрації напружень.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Інші суцільні некруглі перерізи\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Для еліпса, трикутника та інших форм стала кручення і максимальні напруження визначаються окремими аналітичними формулами, довідковими коефіцієнтами або чисельним розрахунком. Загальний порядок незмінний: знайти \\(J_t\\), визначити кут закручування і перевірити максимальні дотичні напруження.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Межі розділу\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Тут розглядаються лише \u003Cstrong>суцільні\u003C\u002Fstrong> некруглі перерізи. Відкриті й замкнені тонкостінні профілі мають інші розрахункові моделі; їх винесено в окремий розділ \u003Ca href=\"\u002Ftopics\u002Fopir-materialiv\u002Fkruchennia-tonkostinnykh-sterzhniv\">«Кручення тонкостінних стержнів»\u003C\u002Fa>.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>\n\u003Col>\u003Cli>Задати форму й розміри суцільного перерізу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>За формулою або таблицею визначити \\(J_t\\) та коефіцієнт для \\(\\tau_{\\max}\\).\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити максимальні дотичні напруження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайти кут закручування або відносний кут закручування.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити міцність, жорсткість і за потреби концентрацію напружень.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>",998,[],{"id":1604,"parent_id":57,"code":9,"slug":1605,"name":1606,"seo_title":1607,"seo_description":1608,"seo_text":9,"content":1609,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":1610,"url_slug":1605,"children":1611},389,"kruchennia-tonkostinnykh-sterzhniv","Кручення тонкостінних стержнів","Кручення тонкостінних стержнів — відкриті й замкнені профілі","Кручення тонкостінних стержнів: відкриті та замкнені профілі, вільне й стиснене кручення, депланація, дотичні напруження, потік зусиль і жорсткість.","\u003Cp>\u003Cstrong>Тонкостінним стержнем\u003C\u002Fstrong> називають стержень, поперечний переріз якого утворений стінками, товщина яких значно менша за інші характерні розміри перерізу. До таких елементів належать швелери, двотаври, кутики, тонкостінні труби, коробчасті та багатокоміркові профілі. При крученні їхня робота визначається не лише площею матеріалу, а передусім геометрією серединної лінії стінки та тим, чи утворює вона замкнений контур.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому тонкостінне кручення розглядають окремо\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Формули кручення круглого вала не можна безпосередньо переносити на довільний тонкостінний профіль. Некруглий переріз при крученні загалом \u003Cstrong>депланує\u003C\u002Fstrong>: його точки отримують різні поздовжні переміщення, тому поперечний переріз не залишається плоским. Для тонких стінок ця особливість особливо важлива, а крутильна жорсткість відкритого і замкненого профілів одного порядку габаритів може відрізнятися дуже сильно.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основна класифікація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Відкриті профілі\u003C\u002Fstrong> мають серединну лінію стінки, яка не утворює замкненого контуру: кутик, швелер, двотавр, Z-профіль. Їх кручення описують теорією Сен-Венана для відкритих тонкостінних перерізів; за обмеження депланації виникає стиснене кручення з додатковими нормальними напруженнями.\u003C\u002Fp>\u003Cp>\u003Cstrong>Замкнені профілі\u003C\u002Fstrong> утворюють одну або кілька замкнених комірок: тонкостінні труби, коробчасті перерізи, замкнені оболонкові профілі. Тут основним механізмом передавання крутного моменту є циркулюючий уздовж контуру \u003Cstrong>потік дотичних зусиль\u003C\u002Fstrong>. Для однокоміркового замкненого профілю базові співвідношення отримують за теорією Бредта—Бато.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вільне і стиснене кручення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо депланація перерізу не стримується закріпленнями або сусідніми елементами, говорять про \u003Cstrong>вільне кручення\u003C\u002Fstrong>. У цьому випадку основну роль відіграють дотичні напруження Сен-Венана. Якщо поздовжні переміщення, пов’язані з депланацією, частково або повністю обмежені, виникає \u003Cstrong>стиснене (невільне) кручення\u003C\u002Fstrong>. Тоді поряд із дотичними напруженнями з’являються додаткові нормальні напруження, а розрахунок потребує врахування депланаційних характеристик перерізу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що визначають у розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тонкостінного стержня необхідно встановити тип контуру, схему закріплення і характер прикладання крутного моменту. Після цього визначають дотичні напруження, крутильну жорсткість і кут закручування. Для відкритих профілів ключовою геометричною характеристикою є стала кручення Сен-Венана; для замкнених — площа, охоплена серединною лінією контуру, товщина стінки та інтегральні характеристики контуру. При стисненому крученні додатково враховують депланацію.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Відкритий і замкнений профілі — різні розрахункові моделі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Різниця між ними принципова. У відкритому профілі дотичні напруження формуються в окремих тонких смугах стінки, а опір крученню відносно малий. У замкненому профілі потік дотичних зусиль може циркулювати по всьому контуру, завдяки чому матеріал використовується значно ефективніше для сприйняття крутного моменту. Тому ці випадки далі розглядаються в окремих підтемах із власними припущеннями, формулами та алгоритмами розрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Структура розділу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Спочатку вводяться геометричні поняття тонкостінного перерізу та депланації. Далі окремо розглядаються \u003Cstrong>кручення стержнів відкритого профілю\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>кручення стержнів замкненого профілю\u003C\u002Fstrong>. Завершальна частина присвячена стисненому крученню та практичній перевірці тонкостінних елементів на міцність і жорсткість.\u003C\u002Fp>",999,[1612,1621,1684,1724],{"id":1613,"parent_id":1604,"code":9,"slug":1614,"name":1615,"seo_title":1616,"seo_description":1617,"seo_text":1618,"content":1619,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1614,"children":1620},390,"osnovni-poniattia-ta-heometriia-tonkostinnykh-pereriziv","Основні поняття та геометрія тонкостінних перерізів","Тонкостінні перерізи — геометрія, відкриті й замкнені профілі","Основи геометрії тонкостінних перерізів: серединна лінія, товщина стінки, відкриті й замкнені профілі, площа, центр ваги, моменти інерції та депланація.","Основні поняття геометрії тонкостінних перерізів: серединна лінія, товщина стінки, відкриті та замкнені контури, однокоміркові й багатокоміркові профілі, площа, центр ваги, моменти інерції та депланація.","\u003Cp>\u003Cstrong>Тонкостінний переріз\u003C\u002Fstrong> — поперечний переріз елемента, утворений стінками, товщина яких мала порівняно з іншими характерними розмірами профілю. Така геометрія дає змогу описувати площу через серединні лінії стінок і їх товщини.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Серединна лінія та товщина\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кожну тонку стінку зручно представляти її \u003Cstrong>серединною лінією\u003C\u002Fstrong> та товщиною $t$. Для ділянки стінки довжини $ds$ елемент площі наближено дорівнює\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$dA=t\\,ds.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо товщина змінюється, її розглядають як функцію координати вздовж контуру: $t=t(s)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Відкриті та замкнені профілі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Відкритий\u003C\u002Fstrong> тонкостінний профіль має незамкнений серединний контур: типовими прикладами є кутик, швелер і двотавр. \u003Cstrong>Замкнений\u003C\u002Fstrong> профіль утворює одну або кілька замкнених комірок — наприклад, тонкостінна труба або коробчастий переріз.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Однокоміркові та багатокоміркові перерізи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Замкнений контур може охоплювати одну комірку або бути поділеним внутрішніми стінками на кілька комірок. Кількість і геометрія комірок особливо важливі в задачах кручення та потоку дотичних зусиль.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Площа і центр ваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тонкостінної моделі площу перерізу визначають інтегруванням уздовж серединної лінії:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$A=\\int_C t\\,ds.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Статичні моменти площі визначають аналогічно:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$S_x=\\int_C y\\,t\\,ds,\\qquad S_y=\\int_C x\\,t\\,ds.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тоді координати центра ваги:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\bar{x}=\\frac{S_y}{A},\\qquad \\bar{y}=\\frac{S_x}{A}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Моменти інерції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У тонкостінному наближенні основні геометричні характеристики можна записати як\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_x\\approx\\int_C y^2t\\,ds,\\qquad I_y\\approx\\int_C x^2t\\,ds,\\qquad I_{xy}\\approx\\int_C xy\\,t\\,ds.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Внеском товщини в кубі тут часто нехтують порівняно з внеском від розташування стінки відносно осі, якщо тонкостінне наближення справедливе.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Депланація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При крученні поперечний переріз тонкостінного стержня може не залишатися плоским. Поздовжні переміщення точок перерізу, пов’язані з цим явищем, називають \u003Cstrong>депланацією\u003C\u002Fstrong>. Вона особливо важлива для відкритих профілів і при обмеженні вільного кручення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі тонкостінної моделі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тонкостінне наближення корисне, коли товщина стінок справді мала порівняно з іншими розмірами та локальні тривимірні ефекти не визначають поведінку. Біля різких переходів, місць прикладання зосереджених сил і складних вузлів може знадобитися детальніша модель.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1622,"parent_id":1604,"code":9,"slug":1623,"name":1624,"seo_title":1625,"seo_description":1626,"seo_text":9,"content":1627,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1623,"children":1628},391,"kruchennia-tonkostinnykh-sterzhniv-vidkrytoho-profiliu","Кручення тонкостінних стержнів відкритого профілю","Кручення відкритих тонкостінних профілів — депланація і Сен-Венан","Кручення швелерів, двотаврів та інших відкритих тонкостінних профілів: вільне кручення Сен-Венана, депланація, крутильна жорсткість і стиснене кручення.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кручення відкритого тонкостінного профілю\u003C\u002Fstrong> має особливості, яких немає у круглого вала: поперечний переріз загалом депланує, а при обмеженні цієї депланації виникають додаткові внутрішні зусилля та нормальні напруження.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:open-section-torsion-warping}}\n\u003Ch2>Вільне кручення\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Якщо торці та проміжні перерізи можуть вільно депланувати, основну частину крутного моменту описують моделлю Сен-Венанового кручення. Крутильна жорсткість визначається модулем зсуву матеріалу та сталою кручення перерізу.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Депланація перерізу\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>При повороті відкритого профілю різні точки поперечного перерізу отримують різні поздовжні переміщення. Тому переріз після деформації не залишається плоским. Форма депланації залежить від геометрії профілю.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Обмежене кручення\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Якщо депланацію стримують защемлення, діафрагми, вузли або інші конструктивні елементи, виникають додаткові нормальні напруження. Такий стан називають обмеженим або стисненим крученням і його не можна повністю описати лише Сен-Венановою складовою.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Чому відкриті профілі податливі при крученні\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Швелери, двотаври та кутики можуть бути ефективними при згині, але мати малу крутильну жорсткість. Через це навіть відносно невеликий крутний момент здатний спричинити значний кут закручування.\u003C\u002Fp>\n\u003Ch2>Розрахункова схема\u003C\u002Fh2>\n\u003Cp>Перед розрахунком потрібно визначити, чи може профіль вільно депланувати, де прикладено крутний момент і як закріплені кінці. Саме граничні умови визначають, чи достатня модель вільного кручення або потрібен розрахунок обмеженої депланації.\u003C\u002Fp>\n\u003Cp>\u003Cstrong>Ключова ідея:\u003C\u002Fstrong> для відкритого тонкостінного профілю важливі не лише крутний момент і поворот перерізу, а й поздовжня депланація та ступінь її обмеження.\u003C\u002Fp>",[1629,1637,1645,1652,1660],{"id":1630,"parent_id":1622,"code":9,"slug":1631,"name":1632,"seo_title":1633,"seo_description":1634,"seo_text":9,"content":1635,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1631,"children":1636},396,"vilne-kruchennia-vidkrytoho-tonkostinnoho-profiliu-teoriia-sen-venana","Вільне кручення відкритого тонкостінного профілю. Теорія Сен-Венана","Вільне кручення відкритого профілю — теорія Сен-Венана","Теорія Сен-Венана для вільного кручення відкритого тонкостінного профілю: T = GJtθ′, крутильна жорсткість, кут закручування та вільна депланація.","\u003Cp>\u003Cstrong>Вільне кручення Сен-Венана\u003C\u002Fstrong> — режим, у якому поперечні перерізи можуть вільно депланувати, а закріплення не створюють істотних додаткових поздовжніх напружень. Для тонкостінного відкритого профілю його зручно розглядати як сукупність вузьких прямокутних смуг.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні припущення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Матеріал вважають лінійно-пружним та ізотропним, деформації — малими, стержень — призматичним. Товщина кожної стінки мала порівняно з її довжиною. Крутний момент прикладається так, щоб розглядати переважно чисте кручення без додаткового згину.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Крутний момент і кут закручування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Відносний кут закручування визначають як\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta'=\\frac{d\\theta}{dx}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У теорії Сен-Венана зв’язок між крутним моментом $T$ та крутильною жорсткістю $GJ_t$ має вигляд\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T=GJ_t\\theta'.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Звідси\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta'=\\frac{T}{GJ_t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для призматичного стержня зі сталими $T$, $G$ та $J_t$ на довжині $L$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta=\\frac{TL}{GJ_t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому відкритий профіль м’який на кручення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тонкої прямокутної смуги стала кручення пропорційна кубу її товщини. Тому в складеному відкритому профілі навіть значні габарити перерізу не гарантують великої крутильної жорсткості: мала товщина стінок різко зменшує $J_t$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Депланація при вільному крученні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вільне кручення не означає, що переріз залишається плоским. Навпаки, відкритий профіль депланує, але ці поздовжні переміщення не стримуються. Тому нормальні напруження від обмеження депланації в ідеалізованій задачі Сен-Венана відсутні. Коли депланацію стримують, необхідно переходити до теорії стисненого кручення.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1638,"parent_id":1622,"code":9,"slug":1639,"name":1640,"seo_title":1641,"seo_description":1642,"seo_text":9,"content":1643,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1639,"children":1644},397,"stala-kruchennia-vidkrytykh-tonkostinnykh-pereriziv","Стала кручення відкритих тонкостінних перерізів","Стала кручення Jt відкритого тонкостінного профілю — формула","Як визначити сталу кручення Сен-Венана Jt для тонкої прямокутної смуги та складеного відкритого профілю, чому Jt ≠ Jp і як знайти жорсткість GJt.","\u003Cp>\u003Cstrong>Стала кручення Сен-Венана $J_t$\u003C\u002Fstrong> характеризує здатність поперечного перерізу чинити опір вільному крученню. Вона має розмірність довжини у четвертому степені, але для некруглого перерізу загалом не дорівнює полярному моменту інерції площі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Тонка прямокутна смуга\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для довгої тонкої прямокутної смуги довжиною $b$ і товщиною $t$, де $t\\ll b$, тонкостінне наближення дає\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$J_t\\approx\\frac{bt^3}{3}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Кубічна залежність від товщини є ключовою: невелике зменшення $t$ дуже сильно зменшує опір крученню.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Складений відкритий профіль\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо профіль можна поділити на $n$ тонких прямокутних ділянок із довжинами $b_i$ і товщинами $t_i$, у першому наближенні\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$J_t\\approx\\sum_{i=1}^{n}\\frac{b_it_i^3}{3}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Так оцінюють крутильну жорсткість тонкостінних кутиків, швелерів, двотаврів та інших відкритих профілів. Для реальних прокатних профілів із заокругленнями та нерівномірною товщиною точні характеристики доцільно брати з сортаменту або визначати уточненим розрахунком.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Крутильна жорсткість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Добуток $GJ_t$ є крутильною жорсткістю при вільному крученні. Відносний кут закручування:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta'=\\frac{T}{GJ_t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тому два профілі з однаковою площею матеріалу можуть мати зовсім різну жорсткість залежно від розміщення та товщини стінок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Важливе застереження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Не слід підставляти полярний момент інерції $J_p$ замість $J_t$ для відкритого некруглого профілю:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$J_t\\ne J_p.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Формула круглого вала з $J_p$ тут не описує реальний розподіл дотичних напружень і деформацій.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1646,"parent_id":1622,"code":9,"slug":1647,"name":1648,"seo_title":1648,"seo_description":1649,"seo_text":9,"content":1650,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1647,"children":1651},398,"dotychni-napruzhennia-pry-kruchenni-vidkrytykh-tonkostinnykh-profiliv","Дотичні напруження при крученні відкритих тонкостінних профілів","Як розподіляються дотичні напруження при вільному крученні відкритого тонкостінного профілю, як впливає товщина стінки та чому формула круглого вала не працює.","\u003Cp>При вільному крученні відкритого тонкостінного профілю дотичні напруження розподіляються інакше, ніж у круглому валі. Кожну тонку стінку наближено розглядають як вузьку прямокутну смугу, у якій напруження змінюються переважно за товщиною.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розподіл за товщиною стінки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для ізольованої тонкої прямокутної смуги дотичні напруження дорівнюють нулю на її довгих вільних поверхнях і зростають у напрямку до середини товщини. Максимум виникає поблизу серединної поверхні смуги. Це принципово відрізняється від формули круглого вала\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau=\\frac{T\\rho}{J_p},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>яка для відкритого тонкостінного профілю непридатна.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розподіл крутного моменту між стінками\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За однакового відносного кута закручування внесок окремої тонкої ділянки в крутний момент пропорційний її сталій кручення:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T_i=GJ_{t,i}\\theta'.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для тонкої смуги\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$J_{t,i}\\approx\\frac{b_it_i^3}{3}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, товстіші стінки сприймають непропорційно більшу частину крутного моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Максимальні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для дуже тонкої прямокутної смуги характерний масштаб максимального дотичного напруження:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau_{\\max}\\approx Gt\\theta'.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для складеного профілю це співвідношення застосовують до окремих стінок у межах тонкостінної моделі; локальні концентрації в кутах і місцях різкої зміни товщини воно не описує.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичні особливості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Найбільші локальні напруження можуть виникати біля переходів, галтелей, зварних швів, вирізів і місць прикладання навантаження. Тому загальний розрахунок Сен-Венана дає номінальний напружений стан, а небезпечні локальні зони за потреби перевіряють окремо.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1653,"parent_id":1622,"code":9,"slug":1654,"name":1655,"seo_title":1656,"seo_description":1657,"seo_text":9,"content":1658,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":1654,"children":1659},399,"deplanatsiia-vidkrytoho-profiliu-pry-vilnomu-kruchenni","Депланація відкритого профілю при вільному крученні","Депланація відкритого профілю при крученні — що це і коли важлива","Що таке депланація відкритого тонкостінного профілю при крученні, як виникають поздовжні переміщення та коли обмеження депланації приводить до стисненого кручення.","\u003Cp>\u003Cstrong>Депланація\u003C\u002Fstrong> — вихід точок поперечного перерізу з початкової площини внаслідок неоднакових поздовжніх переміщень. Для відкритих тонкостінних профілів вона є природною частиною деформації при крученні.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:closed-open-tube-warping}}\n\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якби всі точки перерізу переміщувалися вздовж осі однаково, переріз залишався б плоским. При крученні швелера, двотавра або кутика різні ділянки контуру прагнуть зміститися вздовж осі на різні величини. Переріз набуває просторової форми — депланує.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Функція депланації\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розподіл поздовжніх переміщень описують функцією депланації, що залежить від положення точки на контурі. Для призматичного стержня при вільному крученні форма цього розподілу визначається геометрією поперечного перерізу, а його масштаб пов’язаний із кутом закручування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вільна депланація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо торці та проміжні перерізи не перешкоджають характерним поздовжнім переміщенням, депланація є вільною. У класичній моделі Сен-Венана така депланація не породжує додаткових нормальних напружень, пов’язаних із її обмеженням.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Коли вільна модель перестає працювати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Жорстка торцева плита, діафрагма, вузол рами або інший елемент може забороняти чи частково стримувати поздовжні переміщення контуру. Тоді виникають додаткові нормальні напруження і бімомент, а задача переходить до стисненого кручення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інженерне значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ігнорування депланації особливо небезпечне для відкритих профілів із великою довжиною полиць або стінок. Перед вибором розрахункової моделі необхідно з’ясувати не лише форму перерізу, а й те, чи може він вільно депланувати в реальному вузлі.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1661,"parent_id":1622,"code":9,"slug":1662,"name":1663,"seo_title":1664,"seo_description":1665,"seo_text":9,"content":1666,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":1662,"children":1667},394,"stysnene-kruchennia-ta-deplanatsiia-tonkostinnykh-sterzhniv","Депланація та стиснене кручення відкритих тонкостінних стержнів","Стиснене кручення тонкостінних стержнів — депланація і бімомент","Стиснене кручення відкритих тонкостінних профілів: депланація, її обмеження, бімомент, додаткові нормальні напруження та вплив граничних умов.","\u003Cp>Відкриті тонкостінні профілі при крученні схильні до вираженої депланації поперечного перерізу. Якщо депланація вільна, стержень працює переважно за механізмом кручення Сен-Венана. Якщо поздовжні переміщення контуру обмежені закріпленнями або суміжними елементами, виникає стиснене кручення з додатковими нормальними та дотичними напруженнями. У темі розглядаються функція депланації, вплив граничних умов і відмінність вільного та стисненого кручення відкритих профілів.\u003C\u002Fp>",[1668,1676],{"id":1669,"parent_id":1661,"code":9,"slug":1670,"name":1671,"seo_title":1672,"seo_description":1673,"seo_text":9,"content":1674,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1670,"children":1675},400,"bimoment-i-normalni-napruzhennia-pry-stysnenomu-kruchenni","Бімомент і нормальні напруження при стисненому крученні","Бімомент при стисненому крученні — нормальні напруження σω = Bω\u002FIω","Що таке бімомент при стисненому крученні відкритого профілю, секторіальна координата ω, момент Iω та розподіл нормальних напружень від обмеженої депланації.","\u003Cp>Коли вільну депланацію відкритого тонкостінного профілю обмежено, виникає \u003Cstrong>стиснене кручення\u003C\u002Fstrong>. Частина зовнішнього крутного моменту тоді сприймається не лише дотичними напруженнями Сен-Венана, а й системою поздовжніх нормальних напружень, пов’язаних із депланацією.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Бімомент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Силовий фактор, що характеризує систему нормальних напружень від стисненої депланації, називають \u003Cstrong>бімоментом $B$\u003C\u002Fstrong>. На відміну від звичайного згинального моменту, бімомент пов’язаний із секторіальним розподілом поздовжніх напружень у відкритому тонкостінному перерізі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Секторіальні характеристики\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для опису депланації відкритого профілю використовують секторіальну координату $\\omega$. Для розрахунку нормальних напружень вводять секторіальний момент інерції\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_\\omega=\\int_A\\omega^2\\,dA.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нормальні напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У прийнятій системі знаків нормальні напруження від бімоменту мають розподіл, пропорційний секторіальній координаті:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_\\omega=\\frac{B\\omega}{I_\\omega}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Знак може бути протилежним залежно від домовленості про додатні напрями $B$ та $\\omega$. Тому різні ділянки відкритого профілю можуть одночасно перебувати в поздовжньому розтягу і стиску.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зв’язок із депланацією\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Бімомент виникає тоді, коли характерна депланація змінюється вздовж стержня через закріплення або зміну навантаження. Далеко від зон обмеження за сприятливих умов вплив стисненого кручення може зменшуватися, а робота наближатися до вільного кручення Сен-Венана.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що перевіряють\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При стисненому крученні необхідно враховувати сумісну дію нормальних напружень від бімоменту та дотичних напружень від кручення. Якщо одночасно діють згин або осьова сила, відповідні нормальні напруження також додаються за правилами лінійної теорії.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1677,"parent_id":1661,"code":9,"slug":1678,"name":1679,"seo_title":1680,"seo_description":1681,"seo_text":9,"content":1682,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1678,"children":1683},401,"hranychni-umovy-ta-vplyv-zakriplennia-deplanatsii","Граничні умови та вплив закріплення депланації","Закріплення депланації — граничні умови при стисненому крученні","Як вільне, часткове та повне закріплення депланації впливає на бімомент і напруження відкритого тонкостінного профілю при стисненому крученні.","\u003Cp>Рівень стисненого кручення визначається не лише формою відкритого профілю, а й \u003Cstrong>граничними умовами депланації\u003C\u002Fstrong>. Одна й та сама балка може працювати майже за Сен-Венаном або мати значні додаткові нормальні напруження залежно від конструкції вузлів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вільна депланація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо торець може набувати природного для кручення розподілу поздовжніх переміщень, депланація вважається вільною. У такій ідеалізації додаткові нормальні напруження від її обмеження на торці не виникають.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Повне обмеження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Жорстка діафрагма, масивна торцева плита або вузол, що примушує всі характерні точки перерізу мати несумісні з вільною депланацією поздовжні переміщення, створює реакцію на депланацію. Біля такої зони виникають бімомент і нормальні напруження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Часткове обмеження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реальні вузли часто мають скінченну жорсткість, тому депланація стримується лише частково. Тоді граничну умову необхідно задавати через реальну жорсткість приєднаних елементів або використовувати модель, що відтворює їхню деформативність.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зміна ефекту вздовж стержня\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Стиснене кручення має виражений поздовжній характер: бімомент, нормальні напруження і додаткова складова дотичних напружень змінюються вздовж осі. Тому перевірка лише одного «типового» поперечного перерізу може бути недостатньою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові джерела обмеження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>До них належать жорсткі торцеві плити, діафрагми, поперечні ребра, жорсткі рамні вузли та ділянки різкої зміни перерізу. Перед розрахунком необхідно визначити, які поздовжні переміщення контуру фактично дозволені кожним вузлом.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір моделі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо депланація практично вільна, застосовують вільне кручення Сен-Венана. Якщо вона істотно обмежена, потрібна теорія стисненого кручення з бімоментом і секторіальними характеристиками. Це рішення слід приймати до перевірки напружень і жорсткості.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1685,"parent_id":1604,"code":9,"slug":1686,"name":1687,"seo_title":1688,"seo_description":1689,"seo_text":9,"content":1690,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1686,"children":1691},392,"kruchennia-tonkostinnykh-sterzhniv-zamknenoho-profiliu","Кручення тонкостінних стержнів замкненого профілю","Кручення замкнених тонкостінних профілів — формули Бредта—Бато","Кручення тонкостінних труб і коробчастих профілів: потік дотичних зусиль, формули Бредта—Бато, напруження, кут закручування та крутильна жорсткість.","\u003Cp>Окрема теорія кручення замкнених тонкостінних профілів. Розглядаються потік дотичних зусиль, формули Бредта—Бато, розподіл дотичних напружень при змінній товщині стінки, кут закручування та крутильна жорсткість однокоміркових замкнених перерізів.\u003C\u002Fp>",[1692,1700,1708,1716],{"id":1693,"parent_id":1685,"code":9,"slug":1694,"name":1695,"seo_title":1696,"seo_description":1697,"seo_text":9,"content":1698,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1694,"children":1699},402,"potik-dotychnykh-zusyl-i-formula-bredta","Потік дотичних зусиль і формула Бредта","Формула Бредта — потік дотичних зусиль q = T\u002F(2Am)","Формула Бредта для замкненого тонкостінного профілю: потік дотичних зусиль q = T\u002F(2Am), зв’язок q = τt та розрахунок дотичних напружень.","\u003Cp>У замкненому тонкостінному профілі крутний момент передається переважно \u003Cstrong>замкненим потоком дотичних зусиль\u003C\u002Fstrong>. Потік $q$ — це дотична сила, що припадає на одиницю довжини стінки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Потік і дотичне напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тонкої стінки\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$q=\\tau t,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>тому\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau=\\frac{q}{t},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $t$ — місцева товщина стінки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Формула Бредта\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для однокоміркового замкненого профілю під дією чистого крутного моменту рівновага дає\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T=2A_mq,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $A_m$ — площа, охоплена серединною лінією замкненого контуру. Звідси\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$q=\\frac{T}{2A_m}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У базовій однокомірковій моделі потік $q$ є сталим уздовж контуру, навіть якщо товщина стінки змінюється.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Формула Бредта—Бато для напружень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Підставляючи $q=\\tau t$, отримуємо\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau(s)=\\frac{T}{2A_m t(s)}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тому при сталому потоці найбільше напруження виникає там, де стінка найтонша.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Умови застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Формули справедливі для тонкостінного замкненого контуру, коли товщина мала порівняно з розмірами комірки, а напруження можна вважати приблизно сталими за товщиною. Локальні ефекти біля вирізів, стиків і місць введення навантаження потребують окремої оцінки.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1701,"parent_id":1685,"code":9,"slug":1702,"name":1703,"seo_title":1704,"seo_description":1705,"seo_text":9,"content":1706,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1702,"children":1707},403,"dotychni-napruzhennia-v-zamknenomu-profili-zi-zminnoiu-tovshchynoiu","Дотичні напруження в замкненому профілі зі змінною товщиною","Дотичні напруження в замкненому профілі змінної товщини","Як розрахувати дотичні напруження τ = q\u002Ft у замкненому тонкостінному профілі зі змінною товщиною та знайти небезпечну найтоншу ділянку контуру.","\u003Cp>Для однокоміркового замкненого тонкостінного профілю важливо розрізняти \u003Cstrong>потік дотичних зусиль $q$\u003C\u002Fstrong> і \u003Cstrong>дотичне напруження $\\tau$\u003C\u002Fstrong>. При чистому крученні потік у базовій моделі є сталим уздовж контуру, але напруження може змінюватися через зміну товщини.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основний зв’язок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Оскільки\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$q=\\tau t,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>то\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau(s)=\\frac{q}{t(s)}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для крутного моменту $T$ в однокомірковому профілі\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$q=\\frac{T}{2A_m},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>тому\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau(s)=\\frac{T}{2A_m t(s)}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що відбувається при зміні товщини\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо одна ділянка контуру вдвічі тонша за іншу, то за однакового потоку номінальне дотичне напруження на ній буде вдвічі більшим. Отже, небезпечну ділянку не можна визначати лише за напрямком потоку — необхідно враховувати місцеву товщину.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стрибок товщини\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У межах ідеалізованої тонкостінної моделі потік залишається неперервним, а номінальне напруження змінюється обернено пропорційно товщині. Реальний різкий перехід товщини створює локальний тривимірний напружений стан, який проста формула не відтворює.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка міцності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожної характерної ділянки визначають $\\tau(s)$ і знаходять\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau_{\\max}=\\max_s\\left|\\frac{T}{2A_m t(s)}\\right|.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отримане значення порівнюють із допустимим дотичним напруженням або застосовують відповідний критерій міцності. Окремо перевіряють зони отворів, швів, стиків і різких геометричних переходів.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1709,"parent_id":1685,"code":9,"slug":1710,"name":1711,"seo_title":1712,"seo_description":1713,"seo_text":9,"content":1714,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1710,"children":1715},404,"kut-zakruchuvannia-i-krutylna-zhorstkist-zamknenoho-profiliu","Кут закручування і крутильна жорсткість замкненого профілю","Кут закручування замкненого тонкостінного профілю — формула Бато","Як визначити кут закручування та крутильну жорсткість замкненого тонкостінного профілю за формулою Бато і сталою кручення Jt.","\u003Cp>Для замкненого тонкостінного профілю висока крутильна жорсткість пояснюється циркуляцією потоку дотичних зусиль по всьому контуру. Деформацію характеризують відносним кутом закручування\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta'=\\frac{d\\theta}{dx}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Формула Бато для кута закручування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для однокоміркового замкненого профілю\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta'=\\frac{q}{2A_mG}\\oint_C\\frac{ds}{t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>З урахуванням\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$q=\\frac{T}{2A_m}$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>отримуємо\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta'=\\frac{T}{4A_m^2G}\\oint_C\\frac{ds}{t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Інтеграл беруть уздовж серединної лінії всього замкненого контуру.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Еквівалентна стала кручення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Записуючи\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T=GJ_t\\theta',$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>для однокоміркового замкненого тонкостінного профілю отримують\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$J_t=\\frac{4A_m^2}{\\displaystyle\\oint_C ds\u002Ft}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо товщина стала, то\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\oint_C\\frac{ds}{t}=\\frac{L_m}{t},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>а отже\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$J_t=\\frac{4A_m^2t}{L_m},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $L_m$ — довжина серединної лінії контуру.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кут закручування стержня\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для призматичного стержня зі сталим крутним моментом $T$ на довжині $L$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta=\\theta'L=\\frac{TL}{GJ_t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У загальному випадку\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta=\\int_0^L\\frac{T(x)}{G(x)J_t(x)}\\,dx.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Порівняння з відкритим профілем\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Замикання тонкої стінки різко підвищує крутильну жорсткість, оскільки момент передається потоком навколо площі комірки. Саме тому коробчасті та трубчасті профілі ефективні в конструкціях, де кручення є суттєвим.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1717,"parent_id":1685,"code":9,"slug":1718,"name":1719,"seo_title":1720,"seo_description":1721,"seo_text":9,"content":1722,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":1718,"children":1723},393,"bahatokomirkovi-zamkneni-tonkostinni-profili","Багатокоміркові замкнені тонкостінні профілі","Багатокоміркові тонкостінні профілі — потоки при крученні","Як розрахувати кручення багатокоміркового замкненого профілю: потоки дотичних зусиль у комірках, спільні стінки, рівновага, сумісність і напруження τ = q\u002Ft.","\u003Cp>\u003Cstrong>Багатокомірковий замкнений профіль\u003C\u002Fstrong> містить дві або більше замкнених комірок зі спільними стінками. На відміну від однокоміркового випадку, одного рівняння Бредта недостатньо: невідомі потоки в окремих комірках визначають із рівноваги та сумісності деформацій.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Потоки в комірках\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кожній комірці $i$ ставлять у відповідність циркулюючий потік $q_i$. У зовнішній стінці, що належить лише одній комірці, фактичний потік дорівнює $q_i$. У спільній стінці двох сусідніх комірок за узгодженого вибору напрямків\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$q_{ij}=q_i-q_j.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння рівноваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Сумарний крутний момент дорівнює сумі моментів, що відповідають потокам окремих комірок:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$T=2\\sum_{i=1}^{n}A_iq_i,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $A_i$ — площа, охоплена серединною лінією $i$-ї комірки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Умова сумісності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Оскільки всі комірки належать одному стержню, вони мають однаковий відносний кут закручування:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta'_1=\\theta'_2=\\cdots=\\theta'.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для кожної комірки записують контурне рівняння\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$2A_iG\\theta'=\\oint_{C_i}\\frac{q(s)}{t(s)}\\,ds,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де в спільних стінках $q(s)$ є алгебраїчною різницею відповідних коміркових потоків. Разом із рівнянням рівноваги ці співвідношення утворюють систему для $q_1,q_2,\\ldots,q_n$ та $\\theta'$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Спільні стінки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Саме спільні стінки зв’язують роботу комірок. Якщо сусідні циркулюючі потоки близькі за величиною та напрямком, результуючий потік у спільній стінці може бути невеликим.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Напруження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після знаходження фактичного потоку в кожній стінці дотичне напруження визначають як\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tau(s)=\\frac{q(s)}{t(s)}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Виділяють комірки та їх площі, задають додатні напрями потоків, виражають фактичний потік у кожній стінці через $q_i$, записують рівновагу за крутним моментом і умови однакового кута закручування. Після розв’язання системи визначають напруження в кожній характерній стінці.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1725,"parent_id":1604,"code":9,"slug":1726,"name":1727,"seo_title":1728,"seo_description":1729,"seo_text":9,"content":1730,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":1726,"children":1731},395,"rozrakhunok-tonkostinnykh-sterzhniv-na-mitsnist-i-zhorstkist-pry-kruchenni","Розрахунок тонкостінних стержнів на міцність і жорсткість при крученні","Розрахунок тонкостінних стержнів на кручення — міцність і жорсткість","Алгоритм розрахунку тонкостінних стержнів на кручення: вибір моделі для відкритого або замкненого профілю, дотичні напруження, кут закручування й перевірка міцності.","\u003Cp>Розрахунок тонкостінного стержня на кручення починають не з підстановки чисел у формулу, а з \u003Cstrong>вибору правильної розрахункової моделі\u003C\u002Fstrong>. Відкритий і замкнений профілі передають крутний момент принципово по-різному, а для відкритого профілю додатково потрібно встановити, чи є депланація вільною.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>1. Визначити тип перерізу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для відкритого профілю при вільній депланації застосовують теорію Сен-Венана. Для однокоміркового замкненого профілю — співвідношення Бредта—Бато. Для багатокоміркового профілю складають систему рівнянь для потоків у комірках. Якщо депланація відкритого профілю обмежена, враховують стиснене кручення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>2. Визначити внутрішній крутний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Методом перерізів будують закон $T(x)$. Якщо момент змінюється вздовж стержня, напруження і відносний кут закручування визначають для характерних ділянок окремо.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>3. Перевірити міцність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для замкненого однокоміркового профілю\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$q=\\frac{T}{2A_m},\\qquad \\tau(s)=\\frac{q}{t(s)}=\\frac{T}{2A_m t(s)}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для відкритого профілю використовують розподіл напружень Сен-Венана та сталу кручення $J_t$. При стисненому крученні до дотичних напружень додаються нормальні напруження від бімоменту:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_\\omega=\\frac{B\\omega}{I_\\omega}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>4. Перевірити жорсткість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для моделі Сен-Венана або еквівалентної моделі через сталу кручення\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta'(x)=\\frac{T(x)}{G(x)J_t(x)}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Повний кут закручування:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta=\\int_0^L\\frac{T(x)}{G(x)J_t(x)}\\,dx.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для сталих $T$, $G$ і $J_t$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\theta=\\frac{TL}{GJ_t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отриманий кут порівнюють із допустимим значенням, установленим вимогами конструкції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>5. Перевірити локальні зони\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тонкостінна теорія описує загальну роботу профілю, але не усуває концентрацій напружень. Окремої уваги потребують отвори, вирізи, зварні шви, різкі переходи товщини, вузли введення крутного моменту, діафрагми та місця закріплення депланації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Найпоширеніші помилки — використання формули круглого вала для відкритого профілю, заміна сталої кручення полярним моментом інерції, застосування формули Бредта до незамкненого контуру, ігнорування змінної товщини та неврахування обмеження депланації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Раціональний вибір профілю\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо конструкція повинна сприймати значне кручення при малій масі, замкнений профіль зазвичай значно ефективніший за відкритий. Відкриті профілі доцільні там, де кручення невелике або забезпечене конструктивне розкріплення, а їхня технологічність чи робота на інші види навантаження є визначальною.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1733,"parent_id":9,"code":9,"slug":1734,"name":1735,"seo_title":1736,"seo_description":1737,"seo_text":1738,"content":1739,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":1734,"children":1740},41,"budivelna-mekhanika","Будівельна механіка","Будівельна механіка — Розрахунок споруд та конструкцій","Будівельна механіка: балки, ферми, рами, арки, переміщення, метод сил, метод переміщень і матричний метод жорсткості.","Будівельна механіка вивчає розрахунок несучих систем споруд: статично визначуваних балок, ферм, рам і арок, визначення переміщень, аналіз статично невизначуваних систем методом сил і методом переміщень, а також основи матричного методу жорсткості.","\u003Cp>\u003Cstrong>Будівельна механіка\u003C\u002Fstrong> вивчає методи розрахунку несучих систем споруд на дію зовнішніх навантажень і заданих впливів. Її основні об’єкти — балки, ферми, рами, арки та складні стержневі системи. На відміну від опору матеріалів, головна увага тут приділяється роботі конструкції як системи: визначенню реакцій, внутрішніх зусиль і переміщень та аналізу статичної й кінематичної визначуваності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Статично визначувані системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для статично визначуваних конструкцій усі реакції та внутрішні зусилля можна знайти з рівнянь рівноваги. До базових моделей належать балки, плоскі ферми, рами та тришарнірні арки. Їх розрахунок формує основу для вивчення складніших систем.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Переміщення та деформування систем\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для аналізу жорсткості й переходу до статично невизначуваних конструкцій необхідно визначати лінійні переміщення та кути повороту. У будівельній механіці для цього широко застосовують енергетичні методи, інтеграл Мора та метод одиничного навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Статично невизначувані системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо рівнянь рівноваги недостатньо, до них додають умови сумісності деформацій. Класичними методами є метод сил і метод переміщень. Сучасний розрахунок великих систем природно приводить до матричного методу жорсткості, який лежить в основі стержневих моделей методу скінченних елементів.\u003C\u002Fp>",[1741,1777,1822,1831,1840,1876,1948,1993,2038,2083],{"id":1742,"parent_id":1733,"code":9,"slug":1743,"name":1744,"seo_title":1745,"seo_description":1746,"seo_text":1747,"content":1748,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1743,"children":1749},297,"osnovy-budivelnoi-mekhaniky","Основи будівельної механіки","Основи будівельної механіки — розрахункові схеми та визначуваність","Основні поняття будівельної механіки: розрахункова схема, в’язі й ступені вільності, геометрична незмінюваність, кінематичний аналіз і статична визначуваність.","Вступний розділ будівельної механіки охоплює ідеалізацію конструкцій, розрахункові схеми, в’язі та ступені вільності, кінематичний аналіз, геометричну незмінюваність і класифікацію систем за статичною визначуваністю.","\u003Cp>\u003Cstrong>Основи будівельної механіки\u003C\u002Fstrong> формують правила переходу від реальної споруди до механічної моделі, придатної для розрахунку. Перед визначенням реакцій, зусиль або переміщень потрібно встановити, які елементи й в’язі входять до системи, які рухи вони обмежують і чи є прийнята схема геометрично незмінюваною.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розрахункова схема\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реальну конструкцію ідеалізують системою стержнів, вузлів і опор. Жорсткі та шарнірні з’єднання, типи опор і спосіб прикладання навантаження задають відповідно до того, які властивості конструкції істотні для поставленої задачі.\u003C\u002Fp>{{chunk:basic_frame_calculation_scheme}}\u003Ch2>Кінематичний аналіз\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Підрахунок ступенів вільності та аналіз розташування в’язей дають змогу відрізнити геометрично незмінювану систему від механізму або миттєво змінюваної схеми. Самого формального підрахунку в’язей недостатньо: важливе також їх геометричне розташування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Статична визначуваність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо всі реакції та внутрішні зусилля можна визначити лише з рівнянь рівноваги, система є статично визначуваною. Наявність зайвих в’язей приводить до статичної невизначуваності й потребує додаткових умов, пов’язаних із деформаціями конструкції.\u003C\u002Fp>",[1750,1759,1768],{"id":1751,"parent_id":1742,"code":9,"slug":1752,"name":1753,"seo_title":1754,"seo_description":1755,"seo_text":1756,"content":1757,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1752,"children":1758},311,"rozrakhunkovi-skhemy-ta-idealizatsiia","Розрахункові схеми та ідеалізація конструкцій","Розрахункова схема конструкції — опори, вузли й ідеалізація","Як перейти від реальної конструкції до розрахункової схеми: ідеалізувати стержні, вузли, опори й навантаження та вибрати коректні припущення моделі.","Тема пояснює принципи побудови розрахункових схем у будівельній механіці, ідеалізацію стержнів, вузлів, опор і навантажень та межі застосування прийнятої моделі.","\u003Cp>\u003Cstrong>Розрахункова схема\u003C\u002Fstrong> — це ідеалізована механічна модель конструкції, у якій зберігають властивості, істотні для визначення реакцій, внутрішніх зусиль і переміщень, а другорядними деталями нехтують. Якість розрахунку залежить не лише від правильності рівнянь, а й від адекватності прийнятої моделі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ідеалізація елементів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У стержневих системах балки, колони, розкоси та інші видовжені елементи замінюють їх осями. Геометричні й жорсткісні характеристики задають окремо. Вузол може моделюватися як жорсткий, шарнірний або пружний залежно від того, які відносні переміщення він допускає.\u003C\u002Fp>{{chunk:support_idealization_comparison}}\u003Ch2>Ідеалізація опор\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Опора замінюється в’язями, що забороняють певні компоненти переміщення. Кожній незалежній забороненій компоненті відповідає реакція. У плоскій схемі шарнірно-рухома опора зазвичай створює одну реакцію, нерухомий шарнір — дві, а жорстке защемлення — дві силові реакції та момент.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Навантаження та впливи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Реальні дії подають зосередженими силами й моментами, розподіленими навантаженнями, температурними змінами, заданими переміщеннями опор тощо. Спосіб ідеалізації має зберігати той механічний ефект, який досліджується.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Межі моделі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Одна й та сама споруда може мати різні розрахункові схеми для різних задач. Наприклад, вузол можна вважати шарнірним при глобальному аналізі ферми, але досліджувати його локальну жорсткість окремо. Тому припущення моделі завжди потрібно формулювати явно.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1760,"parent_id":1742,"code":9,"slug":1761,"name":1762,"seo_title":1763,"seo_description":1764,"seo_text":1765,"content":1766,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1761,"children":1767},312,"kinematychnyi-analiz-heometrychna-nezminiuvanist","Кінематичний аналіз і геометрична незмінюваність","Кінематичний аналіз конструкцій — ступені вільності та незмінюваність","Як перевірити геометричну незмінюваність стержневої системи: ступені вільності, в’язі, механізми, миттєва змінюваність і кінематичний аналіз.","Тема охоплює ступені вільності та в’язі стержневих систем, ознаки геометричної незмінюваності, механізми й миттєво змінювані системи та основи кінематичного аналізу.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кінематичний аналіз\u003C\u002Fstrong> встановлює, чи здатна стержнева система зберігати свою геометричну форму без урахування деформацій її елементів. Для розрахункової схеми важливо не лише мати достатню кількість в’язей, а й розмістити їх так, щоб вони справді усували можливі рухи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ступені вільності та в’язі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вільне тверде тіло на площині має три незалежні можливості руху: два поступальні переміщення та один поворот. В’язі усувають окремі ступені вільності. У системі з кількох дисків або стержнів потрібно враховувати як зовнішні опорні, так і внутрішні в’язі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Геометрична незмінюваність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Геометрично незмінювана система не може змінити конфігурацію без деформації її елементів. Найпростіший геометрично незмінюваний плоский контур утворює трикутник. Ця властивість лежить в основі структурного аналізу ферм та інших шарнірно-стержневих систем.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Механізми та миттєва змінюваність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо система має скінченний кінематичний рух без деформації елементів, вона є механізмом. Окремий випадок — миттєво змінювана система, для якої рух можливий у нескінченно малому околі початкового положення через особливе геометричне розташування в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому підрахунку недостатньо\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Формальна кількість в’язей може відповідати необхідній, але система все одно залишатися змінюваною, якщо в’язі залежні або розташовані особливим чином. Тому числову перевірку завжди доповнюють геометричним аналізом схеми.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1769,"parent_id":1742,"code":9,"slug":1770,"name":1771,"seo_title":1772,"seo_description":1773,"seo_text":1774,"content":1775,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1770,"children":1776},313,"statychna-vyznachuvanist-sterzhnevykh-system","Статична визначуваність стержневих систем","Статична визначуваність — як визначити ступінь невизначуваності системи","Як відрізнити статично визначувану систему від невизначуваної, підрахувати зайві в’язі та розрізняти зовнішню й внутрішню статичну невизначуваність.","Тема пояснює різницю між статично визначуваними та статично невизначуваними системами, зовнішню і внутрішню невизначуваність та роль зайвих в’язей у розрахунку.","\u003Cp>\u003Cstrong>Статична визначуваність\u003C\u002Fstrong> показує, чи достатньо рівнянь рівноваги для знаходження всіх реакцій і внутрішніх силових факторів. Ця класифікація стосується вже геометрично незмінюваної системи: нестійку схему не слід називати просто «статично визначуваною» через збіг числа невідомих і рівнянь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Статично визначувані системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У статично визначуваній системі невідомі силові фактори визначаються з умов рівноваги. Для плоского твердого тіла доступні три незалежні рівняння рівноваги, але в складених системах внутрішні шарніри й можливість розглядати окремі частини дають додаткові незалежні умови.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Статична невизначуваність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо незалежних силових невідомих більше, ніж незалежних рівнянь статики, система є статично невизначуваною. Різниця між цими кількостями визначає ступінь статичної невизначуваності за умови коректного врахування структури системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зовнішня та внутрішня невизначуваність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Зовнішня невизначуваність пов’язана з надлишковими опорними в’язями, а внутрішня — з надлишковими зв’язками між частинами конструкції. У реальній системі обидва види можуть бути присутні одночасно.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фізичний наслідок\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для статично невизначуваної конструкції рівноваги недостатньо: потрібно враховувати деформативність і умови сумісності переміщень. Саме на цьому ґрунтуються метод сил, метод переміщень і матричний метод жорсткості.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1778,"parent_id":1733,"code":9,"slug":1779,"name":1780,"seo_title":1781,"seo_description":1782,"seo_text":1783,"content":1784,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1779,"children":1785},298,"statychno-vyznachuvani-balky","Статично визначувані балки","Статично визначувані балки | Реакції та епюри Q і M","Розрахунок статично визначуваних балок: опорні реакції, внутрішні зусилля, епюри Q і M та багатопрогонові шарнірні балки.","Розділ присвячений статично визначуваним балкам: визначенню реакцій опор, поперечних сил і згинальних моментів, побудові епюр, диференціальним залежностям та аналізу шарнірних багатопрогонових систем.","\u003Cp>\u003Cstrong>Статично визначувані балки\u003C\u002Fstrong> — базові стержневі системи, у яких опорні реакції та внутрішні силові фактори визначаються з рівнянь рівноваги. Основи реакцій і методу перерізів вивчаються також в опорі матеріалів, тому тут увага зосереджена на системному аналізі балок і контролі результатів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Від навантаження до внутрішніх зусиль\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розрахунок починають із визначення опорних реакцій. Далі балку поділяють на характерні ділянки й методом перерізів визначають поперечну силу $Q$ та згинальний момент $M$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Епюри як інструмент аналізу\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Епюри $Q$ і $M$ показують зміну внутрішніх зусиль уздовж конструкції. У будівельній механіці важливо не лише отримати числові значення, а й перевірити форму епюр за характером навантаження, стрибками, похідними та граничними умовами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Складені балки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Внутрішні шарніри дозволяють утворювати статично визначувані багатопрогонові системи. Їх аналіз потребує розуміння передачі сил між частинами конструкції та правильної послідовності розрахунку.\u003C\u002Fp>",[1786,1795,1804,1813],{"id":1787,"parent_id":1778,"code":9,"slug":1788,"name":1789,"seo_title":1790,"seo_description":1791,"seo_text":1792,"content":1793,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1788,"children":1794},314,"oporni-reaktsii-vnutrishni-zusyllia-balky","Опорні реакції та внутрішні зусилля в балках","Опорні реакції балки — як знайти Q і M методом перерізів","Як розрахувати статично визначувану балку: знайти опорні реакції, застосувати метод перерізів і визначити поперечну силу Q та згинальний момент M.","Тема охоплює побудову розрахункової схеми балки, визначення опорних реакцій і застосування методу перерізів для знаходження поперечної сили та згинального моменту.","\u003Cp>\u003Cstrong>Опорні реакції та внутрішні зусилля\u003C\u002Fstrong> тут розглядаються як коротке повторення інструментів, потрібних для подальшого курсу будівельної механіки. Детальна базова теорія опор, зовнішніх і внутрішніх сил та методу перерізів належить також до курсу опору матеріалів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Опорні реакції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після заміни опор відповідними реакціями для всієї балки записують рівняння рівноваги. Доцільний вибір точки для рівняння моментів часто дозволяє одразу виключити частину невідомих. Після розрахунку реакції перевіряють незалежним рівнянням рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні силові фактори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У довільному перерізі плоскої балки загалом можуть виникати поздовжня сила $N$, поперечна сила $Q$ і згинальний момент $M$. Для типових задач поперечного згину основну увагу приділяють $Q$ та $M$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Метод перерізів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Балку умовно розрізають у потрібному місці й розглядають рівновагу однієї з частин. Зручніше вибирати ту частину, де менше зовнішніх дій. Знаки $Q$ і $M$ повинні відповідати прийнятій на сайті системі знаків і використовуватися послідовно в усій задачі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Помилки в реакціях автоматично переходять в усі подальші епюри. Тому перед побудовою $Q(x)$ і $M(x)$ потрібно перевірити глобальну рівновагу балки, розмірності та фізичну правдоподібність отриманих напрямів реакцій.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1796,"parent_id":1778,"code":9,"slug":1797,"name":1798,"seo_title":1799,"seo_description":1800,"seo_text":1801,"content":1802,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1797,"children":1803},315,"epiury-q-m-balky","Епюри поперечних сил і згинальних моментів","Епюри Q і M — як побудувати поперечні сили та згинальні моменти","Як будувати епюри поперечної сили Q і згинального моменту M для статично визначуваних балок, враховувати стрибки та перевіряти характерні перерізи.","Тема присвячена побудові епюр Q і M у статично визначуваних балках, характерним ділянкам, стрибкам від зосереджених дій і перевірці значень у характерних перерізах.","\u003Cp>\u003Cstrong>Епюри $Q$ і $M$\u003C\u002Fstrong> у будівельній механіці доцільно розглядати не лише як результат обчислень, а як засіб перевірки й швидкого аналізу роботи балки. Базову техніку методу перерізів тут доповнюють структурними ознаками правильної епюри.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Характерні точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Межами ділянок є точки прикладання зосереджених сил і моментів, початок або кінець розподіленого навантаження, опори та внутрішні шарніри. На кожній ділянці характер функцій $Q(x)$ і $M(x)$ визначається законом навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стрибки та неперервність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Зосереджена поперечна сила викликає стрибок епюри $Q$. Зосереджений момент викликає стрибок епюри $M$. За відсутності відповідної зосередженої дії функція має бути неперервною в точці переходу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Екстремуми моменту\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У гладкій ділянці локальний екстремум $M$ виникає там, де $Q=0$. Тому нуль епюри поперечної сили є важливою контрольною точкою для епюри згинальних моментів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка епюр\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Правильність перевіряють за рівновагою, граничними умовами та взаємним характером $q$, $Q$ і $M$. Наприклад, у шарнірі згинальний момент дорівнює нулю, якщо в ньому не прикладено зовнішню пару; на ділянці без розподіленого навантаження $Q$ стала, а $M$ змінюється лінійно.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Знак і фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Система знаків може відрізнятися між підручниками, тому важлива не сама графічна орієнтація епюри, а послідовність прийнятого правила. Результат повинен узгоджуватися з рівновагою відсіченої частини та прийнятим додатним напрямом внутрішніх факторів.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1805,"parent_id":1778,"code":9,"slug":1806,"name":1807,"seo_title":1808,"seo_description":1809,"seo_text":1810,"content":1811,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1806,"children":1812},316,"dyferentsialni-zalezhnosti-q-m","Диференціальні залежності між навантаженням, Q і M","Залежності q, Q і M у балках — формули dQ\u002Fdx та dM\u002Fdx","Диференціальні залежності між навантаженням q, поперечною силою Q і моментом M: формули, геометричний зміст і перевірка епюр балки.","Тема пояснює диференціальні співвідношення між розподіленим навантаженням q, поперечною силою Q і згинальним моментом M та їх геометричний зміст для побудови епюр.","\u003Cp>Між інтенсивністю розподіленого навантаження $q(x)$, поперечною силою $Q(x)$ і згинальним моментом $M(x)$ існують \u003Cstrong>диференціальні залежності\u003C\u002Fstrong>. Вони дозволяють передбачати форму епюр і перевіряти результати, не повторюючи повний розрахунок кожного перерізу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні співвідношення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За однієї з поширених систем знаків:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{dQ}{dx}=-q(x),\\qquad \\frac{dM}{dx}=Q(x).$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо на сайті або в конкретному курсі прийнята інша система знаків для $q$ чи $Q$, знак першого співвідношення може змінитися; геометричний зміст залежностей залишається тим самим.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Геометричний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поперечна сила визначає нахил епюри $M$, а розподілене навантаження — зміну $Q$. Якщо $q=0$, поперечна сила стала, а момент змінюється лінійно. Якщо $q$ стала, $Q$ змінюється лінійно, а $M$ — за квадратичним законом.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інтегральна форма\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На інтервалі від $x_1$ до $x_2$ зміна поперечної сили пов’язана з площею епюри навантаження, а зміна моменту — з площею епюри $Q$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$Q(x_2)-Q(x_1)=-\\int_{x_1}^{x_2}q(x)\\,dx,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M(x_2)-M(x_1)=\\int_{x_1}^{x_2}Q(x)\\,dx.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практична перевірка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нулі $Q$ відповідають стаціонарним точкам $M$ на гладких ділянках. Знак $Q$ визначає напрям зміни моменту, а знак $q$ — напрям зміни поперечної сили. Ці ознаки дають змогу швидко знаходити суперечності в побудованих епюрах.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1814,"parent_id":1778,"code":9,"slug":1815,"name":1816,"seo_title":1817,"seo_description":1818,"seo_text":1819,"content":1820,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":1815,"children":1821},317,"bahatoprohonovi-sharnirni-balky","Багатопрогонові шарнірні балки","Балка Гербера — розрахунок багатопрогонової шарнірної балки","Як розрахувати балку Гербера: побудувати поверхову схему, визначити реакції по частинах і побудувати епюри Q та M у багатопрогоновій шарнірній системі.","Тема охоплює багатопрогонові шарнірні балки, умови статичної визначуваності, поверхові схеми, послідовність визначення реакцій і побудову епюр внутрішніх зусиль.","\u003Cp>\u003Cstrong>Багатопрогонова шарнірна балка\u003C\u002Fstrong> складається з кількох балкових частин, з’єднаних внутрішніми шарнірами. Правильне розташування шарнірів дозволяє отримати геометрично незмінювану статично визначувану систему з кількома прогонами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішній шарнір\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Внутрішній шарнір передає сили між суміжними частинами, але не передає згинальний момент. Тому за відсутності зовнішньої пари безпосередньо в шарнірі виконується умова $M=0$. Ця умова дає додаткову можливість розділити складену систему на окремі тіла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поверхова схема\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для розрахунку зручно встановити, які частини балки є основними, а які спираються на них. Таку залежність часто подають поверховою схемою. Розрахунок починають із підвісних або верхніх елементів, реакції яких потім передають як навантаження на нижчі частини.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожного елемента визначають реакції з рівнянь рівноваги, після чого будують епюри $Q$ і $M$. Сили взаємодії в шарнірі для двох суміжних частин однакові за модулем і протилежні за напрямом.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контроль\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Крім рівноваги окремих частин, корисно перевіряти рівновагу всієї балки. Епюра моментів повинна проходити через нуль у внутрішніх шарнірах, а передача сил між поверхами має задовольняти принцип дії та протидії.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1823,"parent_id":1733,"code":9,"slug":1824,"name":1825,"seo_title":1826,"seo_description":1827,"seo_text":1828,"content":1829,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1824,"children":1830},42,"statychno-vyznachuvani-fermy","Статично визначувані ферми","Статично визначувані ферми | Методи вузлів і перерізів","Розрахунок статично визначуваних плоских ферм: реакції опор, нульові стержні, метод вузлів, метод перерізів і перевірка зусиль.","Розрахунок ферм зводиться до визначення реакцій опор і поздовжніх сил у стержнях шарнірно-стержневої системи. Матеріал пояснює припущення ідеальної плоскої ферми, статичну визначуваність, нульові стержні, метод вузлів, метод перерізів (Риттера), знаки розтягу й стиску та основні перевірки результатів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Ферма\u003C\u002Fstrong> — це стрижнева система, у якій прямолінійні стержні з'єднані у вузлах і за прийнятої ідеалізації працюють переважно на осьовий розтяг або стиск. Розрахунок плоскої ферми полягає у визначенні реакцій опор та поздовжніх сил у її стержнях.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розрахункова модель ідеальної ферми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Класичний статичний розрахунок ґрунтується на кількох припущеннях:\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>вузли вважають ідеальними шарнірами;\u003C\u002Fli>\u003Cli>зовнішні сили та реакції прикладені у вузлах;\u003C\u002Fli>\u003Cli>осі стержнів проходять через центри вузлів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>власну вагу стержнів або нехтують, або приводять до вузлових сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>кожний стержень є двосиловим елементом і передає лише поздовжню силу $N$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>За цих умов у стержнях ідеальної ферми немає згинальних моментів і поперечних сил. У реальній конструкції жорсткість вузлів, позавузлове навантаження та ексцентриситети можуть створювати додаткові згинальні ефекти.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Просторова будова ферми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Інтерактивна 3D-модель нижче допомагає розглянути вузли, поздовжні та діагональні стержні, просторові в’язі, опори й вузлові навантаження. Її можна обертати, щоб простежити, як триангуляція працює не лише в одній площині.\u003C\u002Fp>{{chunk:threejs-test-truss}}\u003Ch2>Статична визначуваність плоскої ферми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для простої плоскої ферми з $m$ стержнями, $j$ вузлами та $r$ зовнішніми реакціями необхідну умову статичної визначуваності записують як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m+r=2j.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для звичайної ферми з трьома незалежними реакціями це дає $m=2j-3$. Ця рівність сама по собі не гарантує геометричної незмінності: невдала конфігурація стержнів може утворювати механізм навіть за правильного підрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Загальний порядок розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>\u003Cstrong>Перевірте схему.\u003C\u002Fstrong> Визначте вузли, стержні, опори, геометрію та зовнішні навантаження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Знайдіть реакції опор.\u003C\u002Fstrong> Розгляньте всю ферму як одне тверде тіло та використайте $\\sum F_x=0$, $\\sum F_y=0$, $\\sum M=0$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Знайдіть нульові стержні.\u003C\u002Fstrong> Це часто істотно скорочує подальші обчислення.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Виберіть метод.\u003C\u002Fstrong> Для послідовного визначення багатьох стержневих сил зручний метод вузлів; для кількох конкретних стержнів — метод перерізів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Дотримуйтеся одного правила знаків.\u003C\u002Fstrong> Зручно спочатку вважати невідому силу розтягувальною; від'ємний результат тоді означає стиск.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Перевірте рівновагу.\u003C\u002Fstrong> Для знайдених сил повинна виконуватися рівновага вузлів і всієї ферми.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Метод вирізання вузлів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У \u003Cstrong>методі вузлів\u003C\u002Fstrong> послідовно виділяють окремі шарнірні вузли. Оскільки всі сили у вузлі є збіжними, для плоскої задачі доступні два незалежні рівняння:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum F_x=0,\\qquad \\sum F_y=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тому розрахунок зазвичай починають із вузла, де після визначення опорних реакцій є не більше двох невідомих стержневих сил. Після їх знаходження переходять до сусіднього вузла, у якому кількість невідомих зменшилася.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Силу невідомого стержня зручно спрямовувати від вузла, тобто припускати розтяг. Якщо обчислене $N>0$, припущення підтверджується; якщо $N<0$, стержень фактично стиснутий.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Метод наскрізних перерізів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>\u003Cstrong>Метод перерізів\u003C\u002Fstrong>, або метод Риттера, дозволяє визначити сили в окремих стержнях без послідовного розрахунку всієї ферми. Уявним перерізом розсікають ферму через потрібні стержні, відкидають одну частину і складають рівняння рівноваги для іншої:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum F_x=0,\\qquad \\sum F_y=0,\\qquad \\sum M=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У плоскій статично визначуваній фермі найзручніше проводити переріз не більш ніж через три стержні з невідомими силами. Якщо лінії дії двох із них перетинаються в одній точці, рівняння моментів відносно цієї точки одразу виключає дві невідомі та дозволяє знайти силу в третьому стержні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Нульові стержні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нульові стержні можна часто розпізнати без обчислень:\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два неколінеарні стержні, сили в обох дорівнюють нулю;\u003C\u002Fli>\u003Cli>якщо в ненавантаженому вузлі сходяться три стержні й два з них колінеарні, сила в третьому, неколінеарному стержні дорівнює нулю.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>Нульовий стержень не обов'язково є зайвим: він може забезпечувати геометричну незмінність, сприймати навантаження в іншій розрахунковій ситуації або стабілізувати конструкцію.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Метод вузлів чи метод перерізів?\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Метод вузлів доцільний, коли потрібні сили в більшості стержнів. Метод перерізів ефективніший, коли треба знайти сили лише в кількох стержнях, особливо розташованих далеко від опор. У практичному розрахунку обидва методи часто поєднують.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>прикладати розподілене навантаження безпосередньо до ідеального стержня замість приведення його до вузлових сил;\u003C\u002Fli>\u003Cli>починати метод вузлів із вузла, де більше двох невідомих;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати знак сили зі способом її початкового зображення на схемі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати геометрію похилих стержнів при розкладанні сил на складові;\u003C\u002Fli>\u003Cli>проводити переріз через надто багато невідомих стержнів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вважати умову $m+r=2j$ достатнім доказом геометричної незмінності.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Перевірка результату\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після розрахунку корисно перевірити рівновагу одного або кількох вузлів, які не використовувалися для первинного визначення сил. Для всієї ферми мають виконуватися глобальні рівняння рівноваги, а у кожному вузлі — баланс горизонтальних і вертикальних складових. Така перевірка добре виявляє помилки у знаках, кутах і реакціях опор.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1832,"parent_id":1733,"code":9,"slug":1833,"name":1834,"seo_title":1835,"seo_description":1836,"seo_text":1837,"content":1838,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":1833,"children":1839},36,"statychno-vyznachuvani-ramy","Статично визначувані рами","Статично визначувані рами | Реакції та епюри N, Q, M","Розрахунок статично визначуваних плоских рам: реакції опор, внутрішні зусилля, жорсткі вузли, шарніри та епюри N, Q, M.","Розрахунок рам охоплює визначення реакцій опор і внутрішніх зусиль у стрижнях рамної системи. Матеріал зосереджений на статично визначуваних плоских рамах: рівновазі всієї системи та окремих стрижнів, жорстких вузлах і внутрішніх шарнірах, побудові епюр N, Q, M, типових помилках і перевірках результатів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Розрахунок рам\u003C\u002Fstrong> полягає у визначенні реакцій опор та внутрішніх зусиль, що виникають у стрижнях рамної системи під дією навантаження. На відміну від ідеалізованої ферми, стрижень рами зазвичай сприймає не лише поздовжню силу, а й поперечну силу та згинальний момент. Нижче розглянуто практичний підхід до аналізу плоских рам із головним акцентом на статично визначувані системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що таке рама?\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рама — це стрижнева система, елементи якої з'єднані у вузлах. \u003Cstrong>Жорсткий вузол\u003C\u002Fstrong> передає між стрижнями сили та момент, тому згин є важливою складовою роботи рами. Внутрішній шарнір, навпаки, не передає згинальний момент і може бути використаний для поділу системи на частини під час складання рівнянь рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для плоскої рами в поперечному перерізі стрижня зазвичай визначають:\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>$N$\u003C\u002Fstrong> — поздовжню силу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$Q$\u003C\u002Fstrong> — поперечну силу;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$M$\u003C\u002Fstrong> — згинальний момент.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Статично визначувана рама\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У статично визначуваній плоскій рамі реакції та внутрішні зусилля можна знайти лише з рівнянь рівноваги. Для всієї системи використовують:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum F_x=0,\\qquad \\sum F_y=0,\\qquad \\sum M=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Після визначення зовнішніх реакцій рівняння рівноваги застосовують до окремих стрижнів або виділених частин рами. Зусилля, якими два з'єднані стрижні діють один на одного у спільному вузлі, мають однакові модулі та протилежні напрями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розрахунку рами\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>\u003Cstrong>Складіть розрахункову схему.\u003C\u002Fstrong> Визначте стрижні, жорсткі вузли, внутрішні шарніри, опори, розміри та зовнішні навантаження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Побудуйте схему вільного тіла всієї рами.\u003C\u002Fstrong> Замініть опори відповідними реакціями.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Визначте реакції опор.\u003C\u002Fstrong> Використайте рівняння рівноваги всієї системи; за наявності внутрішніх шарнірів використовуйте також умови рівноваги окремих частин.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Розділіть раму на стрижні або зручні частини.\u003C\u002Fstrong> Для кожної частини покажіть вузлові сили та моменти.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Визначте $N$, $Q$ і $M$.\u003C\u002Fstrong> Застосуйте метод перерізів або рівновагу окремого стрижня та дотримуйтеся однієї системи знаків.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Побудуйте епюри внутрішніх зусиль.\u003C\u002Fstrong> Покажіть розподіл поздовжньої сили, поперечної сили та згинального моменту вздовж стрижнів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>Перевірте результат.\u003C\u002Fstrong> Переконайтеся у виконанні рівноваги всієї рами й кожного виділеного елемента, а також у взаємній рівновазі зусиль у вузлах.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Епюри N, Q і M у рамах\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Епюри будують уздовж локальної осі кожного стрижня. Це особливо важливо у вузлах повороту рами: глобальні горизонтальний і вертикальний напрями мають різний зміст відносно локальної поздовжньої та поперечної осей різних стрижнів.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо на ділянці немає розподіленого поздовжнього навантаження, $N$ між зосередженими поздовжніми силами є сталою. Характер зміни $Q$ визначається поперечним навантаженням, а епюра $M$ пов'язана з епюрою поперечної сили звичайними диференціальними залежностями згину. Зосереджені сили спричиняють стрибки відповідних силових факторів, а прикладена пара сил — стрибок епюри згинального моменту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Жорсткі вузли та внутрішні шарніри\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Жорсткий вузол \u003Cstrong>не означає\u003C\u002Fstrong>, що згинальний момент у ньому дорівнює нулю. Такий вузол передає між стрижнями кінцеві сили та моменти. В ідеальному внутрішньому шарнірі, навпаки, $M=0$, але шарнір може передавати складові сили. На схемах вільного тіла двох частин рами ці сили показують у протилежних напрямах.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки при розрахунку рам\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>помилково вважати кожен вузол шарніром і прирівнювати кінцеві моменти до нуля;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обмежуватися рівновагою всієї рами, коли для визначення внутрішніх зусиль потрібна рівновага окремих стрижнів;\u003C\u002Fli>\u003Cli>змішувати глобальні осі $x$–$y$ з локальними поздовжнім і поперечним напрямами стрижня;\u003C\u002Fli>\u003Cli>змінювати прийняту систему знаків для $N$, $Q$ або $M$ під час розрахунку;\u003C\u002Fli>\u003Cli>забувати умову $M=0$ у внутрішньому шарнірі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>будувати епюри, кінцеві значення яких не відповідають знайденим вузловим зусиллям.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Статично визначувані та невизначувані рами\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для статично визначуваної рами достатньо рівнянь рівноваги. У \u003Cstrong>статично невизначуваній рамі\u003C\u002Fstrong> невідомих реакцій або внутрішніх зусиль більше, тому додатково використовують умови сумісності переміщень і жорсткісні характеристики елементів. До поширених підходів належать метод сил, метод переміщень та матричний метод жорсткості. Детальний розгляд цих методів виходить за межі цієї оглядової теми, але правильна рівновага системи та окремих стрижнів залишається їх основою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Переміщення в рамах\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після визначення внутрішніх зусиль переміщення та кути повороту можна знаходити енергетичними методами. Зокрема, для згину рами методом одиничного навантаження використовують інтеграл Мора:\u003C\u002Fp>{{chunk:mohr-integral-unit-load}}\u003Ch2>Перевірка розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Правильно виконаний розрахунок рами повинен задовольняти рівновагу всієї системи, рівновагу кожного окремого стрижня або виділеної частини, взаємну рівновагу кінцевих зусиль у вузлах, нульовий момент в ідеальних внутрішніх шарнірах і відповідність форми епюр прикладеним навантаженням. Такі перевірки допомагають знайти помилки у знаках ще до використання результатів у подальшому розрахунку міцності або жорсткості.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1841,"parent_id":1733,"code":9,"slug":1842,"name":1843,"seo_title":1844,"seo_description":1845,"seo_text":1846,"content":1847,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":1842,"children":1848},299,"arky","Арки","Статично визначувані арки | Тришарнірні арки та розпір","Основи розрахунку статично визначуваних арок: тришарнірні системи, опорні реакції, розпір, внутрішні зусилля та раціональна вісь.","Розділ охоплює статично визначувані аркові системи, насамперед тришарнірні арки: визначення реакцій і розпору, внутрішніх зусиль, вплив геометрії осі та поняття раціональної осі арки.","\u003Cp>\u003Cstrong>Арка\u003C\u002Fstrong> — криволінійна стержнева система, у якій вертикальне навантаження зазвичай створює не лише вертикальні опорні реакції, а й горизонтальний розпір. Завдяки формі арки частина навантаження передається переважно поздовжньою силою, що може істотно зменшувати згинальні моменти порівняно з балкою того самого прольоту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Статично визначувані арки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Класичним прикладом є тришарнірна арка: два шарніри розташовані на опорах, третій — у ключі або іншій точці осі. Внутрішній шарнір не передає згинального моменту, тому умова $M=0$ у ньому дає додаткове рівняння для визначення горизонтального розпору.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Внутрішні силові фактори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У перерізі арки визначають поздовжню силу $N$, поперечну силу $Q$ та згинальний момент $M$. На відміну від прямої балки, локальні осі перерізу змінюють напрям уздовж кривої, тому глобальні складові сил потрібно проектувати на дотичний і нормальний напрями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Форма та робота арки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Згинальний момент залежить не лише від навантаження, а й від геометрії осі. Для певного навантаження можна підібрати раціональну, або фунікулярну, вісь, за якої згинальні моменти зникають або суттєво зменшуються, а система працює переважно на осьове стискання.\u003C\u002Fp>",[1849,1858,1867],{"id":1850,"parent_id":1841,"code":9,"slug":1851,"name":1852,"seo_title":1853,"seo_description":1854,"seo_text":1855,"content":1856,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1851,"children":1857},318,"trysharnirni-arky","Тришарнірні арки","Тришарнірна арка — опорні реакції та горизонтальний розпір","Як розрахувати тришарнірну арку: визначити опорні реакції й горизонтальний розпір за умовами рівноваги та нульового моменту в ключовому шарнірі.","Тема пояснює розрахункову схему тришарнірної арки, визначення вертикальних реакцій і горизонтального розпору та роль внутрішнього шарніра у забезпеченні статичної визначуваності.","\u003Cp>\u003Cstrong>Тришарнірна арка\u003C\u002Fstrong> має шарніри в обох опорах і один внутрішній шарнір, найчастіше в ключі. Така система за правильної геометрії є статично визначуваною: усі опорні реакції можна знайти з умов рівноваги без використання жорсткісних характеристик.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Реакції та горизонтальний розпір\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для арки з опорами на одному рівні вертикальні реакції при вертикальному навантаженні можна визначити так само, як для відповідної простої балки. Горизонтальні реакції утворюють розпір $H$. Його знаходять з умови нульового згинального моменту у внутрішньому шарнірі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Умова в ключовому шарнірі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо внутрішній шарнір має координати $(x_c,y_c)$ відносно однієї з опор, то момент усіх зовнішніх сил, що діють на одну відсічену частину, відносно цього шарніра повинен дорівнювати нулю. Для арки з горизонтальним розпором це рівняння містить доданок $H y_c$ і дозволяє визначити $H$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зв’язок із відповідною балкою\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для арки з опорами на одному рівні та вертикальним навантаженням зручно порівнювати її з простою балкою того самого прольоту. У перерізі з координатами $(x,y)$ згинальний момент арки можна подати як\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M(x)=M_0(x)-H\\,y(x),$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $M_0(x)$ — момент у відповідній балці. Формула наочно показує, як горизонтальний розпір зменшує згин.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після визначення реакцій перевіряють рівновагу всієї арки та умову $M=0$ у всіх ідеальних шарнірах. Для симетричної арки під симетричним вертикальним навантаженням вертикальні реакції також повинні бути симетричними.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1859,"parent_id":1841,"code":9,"slug":1860,"name":1861,"seo_title":1862,"seo_description":1863,"seo_text":1864,"content":1865,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1860,"children":1866},319,"vnutrishni-zusyllia-v-arkakh","Внутрішні зусилля в арках","Внутрішні зусилля в арці — як знайти N, Q і M","Як визначити поздовжню силу N, поперечну силу Q і згинальний момент M у перерізі статично визначуваної арки та врахувати горизонтальний розпір.","Тема охоплює визначення N, Q і M в арковому стержні, перехід від глобальних сил до локальних напрямів перерізу та вплив горизонтального розпору.","\u003Cp>У довільному перерізі плоскої арки діють три основні внутрішні силові фактори: \u003Cstrong>поздовжня сила $N$, поперечна сила $Q$ і згинальний момент $M$\u003C\u002Fstrong>. Особливість арки полягає в тому, що локальні напрями перерізу змінюються вздовж криволінійної осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Локальна система координат\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У точці осі вводять дотичний напрям $t$ і нормальний напрям $n$. Нехай дотична утворює кут $\\varphi$ з глобальною віссю $x$. Тоді результуючу силу відсіченої частини розкладають на складові вздовж $t$ і $n$; вони визначають $N$ та $Q$ з урахуванням прийнятої системи знаків.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Визначення моменту\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Згинальний момент у перерізі знаходять з рівняння моментів для однієї частини арки. Для тришарнірної арки з опорами на одному рівні та вертикальними навантаженнями часто зручно використовувати\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M(x)=M_0(x)-H\\,y(x),$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $M_0$ — момент у відповідній балці, $H$ — горизонтальний розпір, $y$ — ордината осі арки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поздовжня і поперечна сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після знаходження глобальних горизонтальної та вертикальної складових результуючої сили їх проектують на дотичну та нормаль. Саме тому одна й та сама глобальна сила в різних перерізах дає різні внески в $N$ і $Q$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фізичний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Раціонально сформована арка передає значну частину навантаження поздовжнім стиском. Чим ближча форма осі до фунікулярної для заданого навантаження, тим меншими стають $M$ і, як правило, згинальні деформації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У шарнірах має виконуватися $M=0$. Для симетричної геометрії та симетричного навантаження епюри повинні мати відповідну симетрію або антисиметрію. Внутрішні сили в перерізі мають забезпечувати рівновагу будь-якої відсіченої частини арки.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1868,"parent_id":1841,"code":9,"slug":1869,"name":1870,"seo_title":1871,"seo_description":1872,"seo_text":1873,"content":1874,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1869,"children":1875},320,"funikuliarna-arka","Фунікулярна арка","Фунікулярна арка: форма, лінія тиску та рівняння","Що таке фунікулярна арка, чому її вісь збігається з лінією тиску, коли згинальний момент дорівнює нулю та чим парабола відрізняється від ланцюгової лінії.","Фунікулярна арка має форму, за якої для заданого навантаження лінія тиску збігається з віссю арки, а згинальний момент в ідеалізованій схемі дорівнює нулю. Розглянуто умову нульового моменту, зв’язок із епюрою моментів відповідної балки, параболічну форму для рівномірного вертикального навантаження та відмінність між фунікулярною аркою і ланцюговою лінією.","\u003Cp>\u003Cstrong>Фунікулярна арка\u003C\u002Fstrong> — це арка, вісь якої має таку форму, що для заданого навантаження вона працює на осьовий стиск без згину. Для цього навантаження лінія тиску збігається з віссю арки, а згинальний момент в ідеалізованій розрахунковій схемі дорівнює нулю. Таку вісь також називають \u003Cstrong>раціональною віссю арки\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що таке фунікулярна арка?\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Згин в арці виникає тоді, коли внутрішня стискальна рівнодійна проходить із ексцентриситетом відносно осі конструкції. Фунікулярна форма усуває цей ексцентриситет для вибраної схеми навантаження. Тому в ідеалізованій моделі арка передає навантаження стиском, а не спільною дією стиску та згину.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Важливо, що фунікулярність визначається не лише геометрією, а парою \u003Cstrong>«форма + навантаження»\u003C\u002Fstrong>. Не існує однієї форми арки, яка була б фунікулярною для всіх можливих навантажень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фунікулярна арка та лінія тиску\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тришарнірної арки з опорами на одному рівні під дією вертикального навантаження згинальний момент у перерізі можна записати як\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M(x)=M_0(x)-H\\,y(x),$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $M_0(x)$ — згинальний момент у відповідній шарнірно опертій балці від того самого вертикального навантаження, $H$ — горизонтальний розпір, а $y(x)$ — ордината осі арки над лінією опор.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для ідеально фунікулярної осі\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M(x)=0,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>тому\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$y(x)=\\frac{M_0(x)}{H}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, форма фунікулярної арки пропорційна епюрі згинальних моментів відповідної балки для того самого навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Cp>На рисунку нижче всі чотири системи мають однаковий проліт $L=12\\,\\text{м}$ і однакову максимальну стрілу $f=3\\,\\text{м}$. Відрізняється лише навантаження. Ординати осі обчислено за формулою $y(x)=M_0(x)\u002FH$, а горизонтальний розпір для кожного випадку підібрано з умови досягнення заданої стріли.\u003C\u002Fp>\n{{chunk:funicular-shapes-by-loading}}\n\u003Cp>Одна зосереджена сила створює трикутну епюру $M_0$, тому фунікулярна вісь вироджується у два прямі стержні. Дві зосереджені сили утворюють ламану з трьох прямих ділянок. Рівномірне навантаження по горизонтальній проєкції дає параболу. Якщо до нього додати силу посередині, кожна половина осі залишається параболічною, але в точці прикладання сили виникає злам: стрибок нахилу дорівнює $\\Delta y'=P\u002FH$.\u003C\u002Fp>\u003Cp>\u003Cstrong>Вплив власної ваги.\u003C\u002Fstrong> Показані форми отримано для заданих зовнішніх навантажень. Для кам’яної або залізобетонної арки власна вага часто становить істотну частину повного навантаження, тому абсолютно точну фунікулярну вісь слід будувати для суми зовнішнього навантаження та власної ваги. За сталої товщини арки вага на одиницю горизонтальної проєкції загалом не є рівномірною: вона зростає на крутіших ділянках приблизно пропорційно $\\sqrt{1+(y')^2}$. Через це початкова парабола дещо коригується. На практиці форму уточнюють ітераційно: задають попередню геометрію, визначають її власну вагу, перебудовують лінію тиску та повторюють розрахунок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Форма фунікулярної арки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Необхідна геометрія безпосередньо залежить від розподілу навантаження. Інша схема навантаження створює іншу епюру $M_0(x)$, а отже, потребує іншої фунікулярної кривої. Форма, що забезпечує нульовий згин для одного навантаження, за іншого навантаження загалом уже матиме згинальні моменти.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Параболічна фунікулярна арка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо вертикальне навантаження рівномірно розподілене по \u003Cstrong>горизонтальній проєкції\u003C\u002Fstrong> прольоту $L$, відповідна фунікулярна крива є параболою. За стріли підйому $f$ у середині прольоту її вісь можна записати як\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$y(x)=\\frac{4f}{L^2}x(L-x).$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для тришарнірної параболічної арки під таким навантаженням горизонтальний розпір дорівнює\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$H=\\frac{qL^2}{8f},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $q$ — інтенсивність рівномірного вертикального навантаження на одиницю горизонтальної довжини.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фунікулярна арка і ланцюгова лінія — це те саме?\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ні. \u003Cstrong>Фунікулярна\u003C\u002Fstrong> описує відповідність між формою та навантаженням, тоді як \u003Cstrong>ланцюгова лінія\u003C\u002Fstrong> (catenary) — це конкретна математична крива. Перевернута ланцюгова лінія є фунікулярною для навантаження, що відповідає вільно підвішеному однорідному гнучкому канату під дією власної ваги.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Натомість рівномірне вертикальне навантаження, задане на одиницю горизонтальної проєкції, утворює параболічну фунікулярну форму. Тому твердження «ідеальна арка завжди має форму ланцюгової лінії» без уточнення способу розподілу навантаження є некоректним.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фунікулярна та звичайна арка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вісь арки може бути круговою, параболічною, у формі ланцюгової лінії або мати іншу геометрію. Сама назва геометричної кривої ще не означає, що арка є фунікулярною. Вона стає фунікулярною лише для такого навантаження, за якого лінія тиску збігається з її віссю.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо лінія тиску відхиляється від осі, виникає ексцентриситет, і арка сприймає не лише поздовжню силу, а й згинальний момент.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому фунікулярна форма залежить від навантаження?\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Умова нульового моменту містить $M_0(x)$, а ця функція визначається прикладеним навантаженням. Зміна величини, положення або розподілу навантаження змінює $M_0(x)$ і, відповідно, необхідну форму осі.\u003C\u002Fp>\u003Cp>У реальній споруді арка може бути близькою до фунікулярної під постійним навантаженням, але за несиметричного тимчасового навантаження, вітру, температурних впливів або переміщення опор у ній виникатиме згин.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад: горизонтальний розпір\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розглянемо тришарнірну параболічну арку з прольотом $L=20\\,\\text{м}$, стрілою підйому $f=5\\,\\text{м}$ і рівномірним вертикальним навантаженням $q=10\\,\\text{кН\u002Fм}$ по горизонтальній проєкції.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тоді\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$H=\\frac{qL^2}{8f}=\\frac{10\\times20^2}{8\\times5}=100\\,\\text{кН}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для цієї ідеалізованої схеми параболічна вісь є фунікулярною, тому згинальний момент уздовж тришарнірної арки дорівнює нулю, а опори мають сприйняти горизонтальний розпір $100\\,\\text{кН}$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Інженерне значення та обмеження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Фунікулярна робота дозволяє зменшити згин і ефективніше використовувати матеріали та конструктивні системи, що добре працюють на стиск. Проте зменшення згину в самій арці не усуває інших вимог: горизонтальний розпір необхідно передати на опори, фундаменти або затяжку.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Крім того, форма, оптимальна для одного навантаження, не обов’язково залишається фунікулярною для інших дій. Тому в реальному проєктуванні перевіряють усі суттєві сполучення навантажень і стійкість системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поширені запитання\u003C\u002Fh2>\u003Ch3>Що таке фунікулярна арка?\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Це арка, вісь якої збігається з лінією тиску для заданого навантаження, завдяки чому в ідеалізованій моделі вона працює на осьовий стиск без згину.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>Чому у фунікулярній арці згинальний момент дорівнює нулю?\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Тому що стискальна рівнодійна проходить через вісь арки. За відсутності ексцентриситету між лінією тиску та віссю не виникає момент відносно осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>Чи завжди фунікулярна арка має форму ланцюгової лінії?\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Ні. Фунікулярна крива залежить від розподілу навантаження. Ланцюгова лінія є лише одним із можливих випадків, тоді як для рівномірного вертикального навантаження по горизонтальній проєкції отримуємо параболу.\u003C\u002Fp>\u003Ch3>Яка форма арки є ідеальною?\u003C\u002Fh3>\u003Cp>Універсальної ідеальної форми незалежно від навантаження немає. Для мінімізації згину вісь має відповідати лінії тиску для визначального навантаження або забезпечувати прийнятну роботу для сукупності розрахункових випадків.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1877,"parent_id":1733,"code":9,"slug":1878,"name":1879,"seo_title":1880,"seo_description":1881,"seo_text":1882,"content":1883,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":1878,"children":1884},363,"linii-vplyvu","Лінії впливу","Лінії впливу в будівельній механіці | Рухоме навантаження","Лінії впливу реакцій і внутрішніх зусиль, рухоме навантаження, принцип Мюллера—Бреслау, балки та ферми.","Розділ присвячений лініям впливу в статично визначуваних системах. Розглядаються рухомі навантаження, лінії впливу реакцій, поперечних сил і згинальних моментів, статичний і кінематичний методи побудови, принцип Мюллера—Бреслау, завантаження ліній впливу, багатопрогонові шарнірні балки та ферми.","\u003Cp>\u003Cstrong>Лінія впливу\u003C\u002Fstrong> показує, як змінюється певна реакція, внутрішнє зусилля або інший відгук конструкції, коли одиничне рухоме навантаження послідовно займає різні положення. Це один із ключових інструментів аналізу мостів, підкранових балок та інших систем, для яких положення навантаження не є фіксованим.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінія впливу та епюра — різні поняття\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Епюра $Q$ або $M$ показує значення внутрішнього фактора в різних перерізах при \u003Cem>фіксованому\u003C\u002Fem> навантаженні. Лінія впливу, навпаки, стосується одного вибраного відгуку й показує його значення залежно від \u003Cem>положення рухомої сили\u003C\u002Fem>.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Побудова\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для статично визначуваних систем ординати можна отримувати безпосередньо з рівнянь рівноваги, переміщуючи одиничну силу. Кінематичний підхід пов’язує форму лінії впливу з можливим переміщенням системи після усунення відповідної в’язі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Використання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коли лінія впливу відома, ефект від системи зосереджених сил знаходять як суму добутків сил на відповідні ординати. Для розподіленого навантаження використовують інтеграл або площу навантаженої ділянки лінії впливу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Невигідне положення навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Знак та форма лінії впливу дозволяють визначити, де слід розташувати рухомі сили або розподілене навантаження, щоб отримати найбільше чи найменше значення заданого силового фактора.\u003C\u002Fp>",[1885,1894,1903,1912,1921,1930,1939],{"id":1886,"parent_id":1877,"code":9,"slug":1887,"name":1888,"seo_title":1889,"seo_description":1890,"seo_text":1891,"content":1892,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1887,"children":1893},365,"poniattia-linii-vplyvu-rukhome-navantazhennia","Поняття лінії впливу та рухоме навантаження","Лінія впливу та рухоме навантаження | Основні поняття","Що таке лінія впливу, чим вона відрізняється від епюри та як описує зміну реакції або внутрішнього зусилля при русі одиничної сили.","Тема вводить поняття лінії впливу як графіка зміни заданого силового фактора при переміщенні одиничного навантаження. Пояснюється принципова відмінність між лінією впливу та епюрою від нерухомого навантаження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Лінія впливу\u003C\u002Fstrong> функції $S$ — це графік залежності $S(x)$ від положення одиничної сили, яка рухається по заданій траєкторії конструкції. Величиною $S$ може бути опорна реакція, поперечна сила, згинальний момент або поздовжня сила в конкретному елементі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Що змінюється під час побудови\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Переріз або реакція, для яких будується лінія впливу, залишаються фіксованими. Змінюється лише координата рухомого навантаження. Це принципово відрізняє лінію впливу від звичайної епюри внутрішніх зусиль.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Одиничне навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У класичній побудові по споруді переміщують безрозмірну одиничну силу. Ордината лінії впливу в кожному положенні чисельно дорівнює значенню досліджуваного відгуку від цієї одиничної сили з урахуванням знака.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип суперпозиції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для лінійно-пружної системи після побудови лінії впливу реальне навантаження можна враховувати суперпозицією. Якщо зосереджені сили $P_i$ стоять у точках з ординатами $y_i$, то\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$S=\\sum_i P_i y_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для розподіленого навантаження $q(x)$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$S=\\int q(x)y(x)\\,dx.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Знак ординати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Додатна ордината означає, що одинична сила в цьому положенні створює додатне значення вибраного відгуку за прийнятою системою знаків; від’ємна — протилежний ефект.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1895,"parent_id":1877,"code":9,"slug":1896,"name":1897,"seo_title":1898,"seo_description":1899,"seo_text":1900,"content":1901,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1896,"children":1902},366,"linii-vplyvu-opornykh-reaktsii-balok","Лінії впливу опорних реакцій балок","Лінії впливу опорних реакцій балки — побудова крок за кроком","Як побудувати лінії впливу вертикальних опорних реакцій статично визначуваної балки при русі одиничної сили та знайти характерні ординати.","Тема розглядає аналітичну побудову ліній впливу опорних реакцій балок при переміщенні одиничної сили, характерні ординати та використання рівнянь рівноваги.","\u003Cp>Для простої двоопорної балки лінії впливу реакцій отримують безпосередньо з рівнянь рівноваги при переміщенні одиничної сили. Нехай проліт балки дорівнює $L$, а одинична сила знаходиться на відстані $x$ від лівої опори $A$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Реакція лівої опори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>З рівняння моментів відносно правої опори:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$R_A(x)=\\frac{L-x}{L}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, лінія впливу $R_A$ є прямою від ординати $1$ над опорою $A$ до $0$ над опорою $B$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Реакція правої опори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Аналогічно:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$R_B(x)=\\frac{x}{L}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Її лінія впливу зростає лінійно від $0$ над $A$ до $1$ над $B$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контрольна властивість\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для будь-якого положення одиничної вертикальної сили\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$R_A(x)+R_B(x)=1,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>що безпосередньо випливає з рівноваги вертикальних сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Реальне навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо на балку діють рухомі сили $P_i$, реакція визначається як $R=\\sum P_i y_i$, де $y_i$ — ордината відповідної лінії впливу під кожною силою. Для рівномірного навантаження реакція дорівнює $q$ помноженому на площу завантаженої частини лінії впливу.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1904,"parent_id":1877,"code":9,"slug":1905,"name":1906,"seo_title":1907,"seo_description":1908,"seo_text":1909,"content":1910,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1905,"children":1911},367,"linii-vplyvu-q-m","Лінії впливу поперечної сили та згинального моменту","Лінії впливу Q і M у балках — поперечна сила та момент","Як побудувати лінію впливу поперечної сили Q та згинального моменту M у заданому перерізі балки, визначити ординати й врахувати розрив Q.","Тема охоплює побудову ліній впливу поперечної сили та згинального моменту в заданому перерізі балки, характерні ординати, розрив лінії впливу Q та використання рівнянь рівноваги.","\u003Cp>Лінії впливу \u003Cstrong>поперечної сили $Q$ і згинального моменту $M$\u003C\u002Fstrong> будують для конкретного фіксованого перерізу балки. Нехай переріз $C$ розташований на відстані $a$ від лівої опори та $b=L-a$ від правої.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінія впливу моменту\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коли одинична сила рухається по простій двоопорній балці, момент у $C$ змінюється лінійно по обидва боки перерізу. Ордината безпосередньо під $C$ дорівнює\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$y_C=\\frac{ab}{L}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>На обох опорах ординати дорівнюють нулю, тому лінія впливу $M_C$ має трикутну форму.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінія впливу поперечної сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для $Q_C$ характерний стрибок у точці $C$. Коли одинична сила переходить через переріз, значення поперечної сили змінюється на одиницю. Тому ліворуч і праворуч від $C$ отримують дві лінійні гілки з розривом між граничними ординатами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому виникає розрив\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поперечна сила в перерізі залежить від того, з якого боку від перерізу знаходиться рухома сила. Саме в момент переходу через $C$ одинична сила переходить з одного вільного тіла на інше, що й створює одиничний стрибок.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичне використання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для визначення $M_C$ або $Q_C$ від реальної системи рухомих сил кожну силу множать на ординату відповідної лінії впливу. Для пошуку максимального моменту великі сили прагнуть розміщувати поблизу великих додатних ординат лінії впливу моменту.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1913,"parent_id":1877,"code":9,"slug":1914,"name":1915,"seo_title":1916,"seo_description":1917,"seo_text":1918,"content":1919,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":1914,"children":1920},368,"kinematychnyi-metod-mullera-breslau","Кінематичний метод і принцип Мюллера—Бреслау","Принцип Мюллера—Бреслау | Кінематичний метод","Кінематичний метод побудови ліній впливу та принцип Мюллера—Бреслау для реакцій і внутрішніх зусиль.","Тема пояснює кінематичний підхід до побудови ліній впливу: усунення відповідної в’язі, надання одиничного узагальненого переміщення та використання принципу Мюллера—Бреслау для визначення форми лінії впливу.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кінематичний метод побудови ліній впливу\u003C\u002Fstrong> ґрунтується на принципі Мюллера—Бреслау. Він дозволяє визначити форму лінії впливу без послідовного переміщення одиничної сили та особливо корисний для якісного аналізу складніших систем.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип Мюллера—Бреслау\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Щоб отримати форму лінії впливу певної реакції або внутрішнього силового фактора, у відповідному місці усувають в’язь, яка сприймає цей фактор, і надають системі мале додатне узагальнене переміщення в напрямі шуканої величини. Форма можливого переміщення звільненої системи пропорційна лінії впливу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Реакція опори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для лінії впливу вертикальної реакції усувають відповідну вертикальну опорну в’язь і задають одиничне вертикальне переміщення в її додатному напрямі. Отримана кінематично допустима форма задає знак і геометрію лінії впливу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Згинальний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для моменту в заданому перерізі в ньому вводять шарнір, тобто усувають в’язь, що передає момент, і задають додатний відносний поворот двох частин. Для поперечної сили створюють відповідне відносне поперечне зміщення частин перерізу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Статично визначувані системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У статично визначуваних системах після звільнення виникає механізм із прямолінійними переміщеннями жорстких частин, тому лінії впливу часто складаються з прямих відрізків. Метод дає форму й знак, а потрібний масштаб встановлюють умовою одиничного узагальненого переміщення.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1922,"parent_id":1877,"code":9,"slug":1923,"name":1924,"seo_title":1925,"seo_description":1926,"seo_text":1927,"content":1928,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":213,"url_slug":1923,"children":1929},369,"zavantazhennia-linii-vplyvu","Завантаження ліній впливу","Завантаження ліній впливу | Сили та розподілене навантаження","Визначення силових факторів за лініями впливу від зосереджених сил, системи рухомих сил і розподіленого навантаження.","Тема охоплює правила завантаження ліній впливу зосередженими силами, групами рухомих сил і розподіленим навантаженням, використання ординат і площ ділянок та пошук невигідного положення навантаження.","\u003Cp>Після побудови лінії впливу її використовують для визначення відгуку від \u003Cstrong>реального рухомого навантаження\u003C\u002Fstrong>. Основна перевага методу полягає в тому, що одна побудована лінія дозволяє швидко аналізувати багато положень і комбінацій навантажень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зосереджені сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи сил $P_i$, розташованих над ординатами $y_i$ лінії впливу, значення шуканого фактора\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$S=\\sum_i P_i y_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Ординати беруть зі знаком. Тому сили над від’ємною частиною лінії впливу зменшують додатний результат або створюють від’ємний.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розподілене навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для навантаження інтенсивності $q(x)$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$S=\\int q(x)y(x)\\,dx.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо $q$ стала на завантаженій ділянці, то $S=qA$, де $A$ — алгебраїчна площа відповідної частини лінії впливу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Пошук невигідного положення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для максимального додатного ефекту розподілене навантаження розміщують на додатних ділянках лінії впливу, а для максимального від’ємного — на від’ємних. Для системи рухомих зосереджених сил положення максимуму залежить від співвідношення сил та форми лінії впливу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Система сил із фіксованими відстанями\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коли група сил рухається як єдине ціле, їх взаємні відстані не змінюються. Значення $S$ обчислюють для характерних положень, особливо коли одна із сил проходить через вершину або точку зміни нахилу лінії впливу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контроль знаків\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Перед числовим підсумовуванням корисно оцінити, які сили діють на додатних і від’ємних ділянках. Це дозволяє передбачити знак результату й виявити помилки у виборі ординат.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1931,"parent_id":1877,"code":9,"slug":1932,"name":1933,"seo_title":1934,"seo_description":1935,"seo_text":1936,"content":1937,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":223,"url_slug":1932,"children":1938},370,"linii-vplyvu-bahatoprohonovi-balky","Лінії впливу в багатопрогонових шарнірних балках","Лінії впливу в балках Гербера — багатопрогонові шарнірні балки","Як будувати лінії впливу реакцій і внутрішніх зусиль у балках Гербера за поверховою схемою та враховувати передачу рухомого навантаження між частинами.","Тема розглядає лінії впливу в балках Гербера та інших багатопрогонових шарнірних системах, передачу дії рухомого навантаження між поверхами схеми та побудову характерних ділянок.","\u003Cp>У \u003Cstrong>багатопрогонових шарнірних балках\u003C\u002Fstrong> рухоме навантаження може діяти на одну частину системи, а досліджувана реакція або внутрішнє зусилля — виникати в іншій. Тому побудова ліній впливу спирається на поверхову схему та правила передачі сил через внутрішні шарніри.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поверхова схема\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Перед побудовою лінії впливу багатопрогонову шарнірну балку поділяють на окремі статично визначувані елементи та встановлюють їхню взаємну підпорядкованість. \u003Cstrong>Основними\u003C\u002Fstrong> вважають елементи, які безпосередньо спираються на зовнішні опори і можуть існувати як самостійні частини системи. \u003Cstrong>Підвісні\u003C\u002Fstrong> елементи спираються одним або двома кінцями на сусідні балки через внутрішні шарніри, тому їхня дія передається на нижчий рівень поверхової схеми.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо рухома одинична сила знаходиться на підвісній балці, спочатку для цієї балки визначають реакції в її опорах або шарнірах. Далі ці реакції розглядають уже як зосереджені сили, прикладені до елемента, на який підвісна балка спирається. Для наступного рівня знову записують рівняння рівноваги і знаходять, яка частина переданого навантаження доходить до опор або перерізу, для якого будується лінія впливу.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тому вплив одиничної сили поширюється по системі послідовно: \u003Cem>місце прикладання рухомої сили → реакції підвісного елемента → шарнірні сили на нижчому елементі → реакції або внутрішні зусилля досліджуваної частини\u003C\u002Fem>. Якщо між навантаженим елементом і досліджуваною величиною є кілька рівнів підвішування, таку передачу виконують крок за кроком через кожний шарнір. Якщо ж одинична сила розташована на елементі, який структурно не може передати дію до досліджуваної частини, ордината лінії впливу на цій ділянці дорівнює нулю.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Практично зручно спочатку накреслити поверхову схему окремо від геометричної: внизу розташувати основні балки, вище — підвісні, а місця їхнього спирання позначити шарнірами. Після цього для кожного можливого положення одиничної сили можна одразу простежити шлях передачі дії і не пропустити проміжну шарнірну реакцію.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Побудова по ділянках\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На кожній частині статично визначуваної системи ординати змінюються за законами рівноваги, часто лінійно. Значення в характерних точках — опорах, шарнірах і кінцях підвісних елементів — визначають форму всієї лінії впливу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Передача через шарнір\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Внутрішній шарнір не передає момент, але передає силу. Тому навантаження на одну балку може впливати на реакції та зусилля іншої через шарнірну силу. Саме цю передачу потрібно враховувати, а не розглядати кожний прогін ізольовано.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Корисно поставити одиничну силу в кілька характерних положень і незалежно обчислити шуканий фактор рівняннями рівноваги. Отримані значення повинні збігатися з ординатами побудованої лінії впливу.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1940,"parent_id":1877,"code":9,"slug":1941,"name":1942,"seo_title":1943,"seo_description":1944,"seo_text":1945,"content":1946,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":849,"url_slug":1941,"children":1947},371,"linii-vplyvu-zusyl-u-fermakh","Лінії впливу зусиль у фермах","Лінії впливу зусиль у фермах — метод перерізів і вузлів","Як побудувати лінію впливу поздовжньої сили в стержні статично визначуваної ферми при рухомому вузловому навантаженні методами перерізів і вузлів.","Тема охоплює побудову ліній впливу поздовжніх сил у стержнях ферм, передачу рухомого навантаження через вузли панелей і використання методів перерізів та вузлів.","\u003Cp>У фермах лінії впливу використовують для визначення \u003Cstrong>поздовжніх сил у стержнях від рухомого навантаження\u003C\u002Fstrong>. У класичній моделі навантаження передається на ферму через вузли, тому рух сили між сусідніми вузлами враховують через елементи проїзної частини або шляхом лінійної передачі на панельні вузли.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вузлове передавання навантаження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо одинична сила знаходиться між двома сусідніми вузлами панелі, її дія на ферму замінюється двома вузловими силами, величини яких змінюються лінійно з положенням вантажу. Тому між панельними вузлами лінія впливу стержневого зусилля зазвичай є прямою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Метод перерізів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для потрібного стержня проводять переріз через ферму та записують рівновагу однієї частини. Одиничне навантаження розглядають окремо для характерних зон його положення. Рівняння моментів часто дозволяє одразу визначити силу в одному з перерізаних стержнів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Метод вузлів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо потрібні лінії впливу для кількох стержнів біля одного вузла, можна визначати вузлові сили для характерних положень одиничного навантаження та послідовно застосовувати рівняння рівноваги вузлів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Знак зусилля\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Додатні ординати за прийнятою системою знаків відповідають розтягу, від’ємні — стиску. Якщо лінія впливу змінює знак, той самий стержень при русі навантаження може переходити від розтягу до стиску.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичне застосування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після побудови лінії впливу максимальне зусилля від групи рухомих сил шукають їх розміщенням на найбільш сприятливих за знаком і величиною ділянках. Це особливо важливо для мостових ферм та інших конструкцій із рухомим транспортним навантаженням.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1949,"parent_id":1733,"code":9,"slug":1950,"name":1951,"seo_title":1952,"seo_description":1953,"seo_text":1954,"content":1955,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":849,"url_slug":1950,"children":1956},300,"peremishchennia-v-sterzhnevykh-systemakh","Переміщення в стержневих системах","Переміщення в стержневих системах | Інтеграл Мора","Визначення переміщень у балках, рамах і фермах: робота сил, енергія деформації, інтеграл Мора, одиничне навантаження та правило Верещагіна.","Енергетичні методи визначення лінійних і кутових переміщень у стержневих системах: робота зовнішніх і внутрішніх сил, потенціальна енергія деформації, інтеграл Мора, метод одиничного навантаження та графоаналітичні прийоми.","\u003Cp>\u003Cstrong>Переміщення в стержневих системах\u003C\u002Fstrong> — це лінійні зміщення точок і кути повороту перерізів, що виникають унаслідок деформації стержнів. Їх визначення потрібне для перевірки жорсткості, розкриття статичної невизначуваності та побудови деформованої схеми конструкції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Види переміщень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Лінійне переміщення задають для конкретної точки й напряму, а кутове — для конкретного перерізу та напряму повороту. Знак результату визначають відносно наперед обраного додатного напряму.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Енергетичний підхід\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для лінійно-пружної системи робота зовнішніх сил пов’язана з потенціальною енергією деформації. Цей зв’язок дозволяє знаходити переміщення через внутрішні силові фактори $N$, $M$, $Q$ і крутний момент та відповідні жорсткості стержнів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Метод одиничного навантаження\u003C\u002Fh2>{{chunk:mohr-integral-unit-load}}\u003Cp>У балках і рамах часто домінує внесок згину. Для ферм за ідеалізації шарнірних вузлів основним є внесок поздовжніх деформацій стержнів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Графоаналітичне обчислення\u003C\u002Fh2>{{chunk:vereshchagin-diagram-multiplication}}\u003Ch2>Інші причини переміщень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Переміщення можуть виникати не лише від механічного навантаження. Температурна зміна довжини, температурний градієнт, задані переміщення та осідання опор також створюють деформації й у статично невизначуваних системах можуть спричиняти додаткові внутрішні зусилля.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка результату\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Потрібно перевіряти розмірність, знак, напрям одиничного навантаження, узгодженість епюр та жорсткостей на кожній ділянці. Якщо результат від’ємний, фактичне переміщення спрямоване протилежно до прийнятого одиничного впливу.\u003C\u002Fp>",[1957,1966,1975,1984],{"id":1958,"parent_id":1949,"code":9,"slug":1959,"name":1960,"seo_title":1961,"seo_description":1962,"seo_text":1963,"content":1964,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":1959,"children":1965},321,"robota-syl-enerhiia-deformatsii","Робота сил та потенціальна енергія деформації","Робота сил та енергія деформації — формули для стержневих систем","Робота зовнішніх і внутрішніх сил та потенціальна енергія деформації стержневих систем — енергетична основа методів визначення переміщень.","Тема вводить роботу сил і потенціальну енергію деформації стержневих систем та формує енергетичну основу методів визначення переміщень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Робота сил і потенціальна енергія деформації\u003C\u002Fstrong> утворюють енергетичну основу багатьох методів будівельної механіки. Для пружної системи робота зовнішніх сил накопичується у вигляді енергії деформації стержнів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Робота поступово прикладеної сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сила $P$ зростає від нуля до кінцевого значення, а система є лінійно-пружною і кінцеве переміщення в напрямі сили дорівнює $\\delta$, то\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$A=\\frac12 P\\delta.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Множник $1\u002F2$ виникає тому, що під час поступового навантаження сила зростає лінійно разом із переміщенням.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Енергія деформації стержня\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для пружного стержня енергію можна виразити через внутрішні силові фактори. Типові складові мають вигляд\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$U_N=\\int\\frac{N^2}{2EA}\\,dx,\\qquad U_M=\\int\\frac{M^2}{2EI}\\,dx.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>За потреби модель доповнюють енергією від кручення та поперечного зсуву.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Баланс енергії\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За квазістатичного пружного навантаження без втрат робота зовнішніх сил дорівнює накопиченій потенціальній енергії деформації. Це дозволяє пов’язати навантаження з переміщеннями без прямого інтегрування диференціального рівняння пружної лінії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Взаємна робота\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У лінійно-пружних системах принцип взаємності дає основу для методу одиничного навантаження: реальний напружений стан поєднують із допоміжним одиничним станом, а добутки відповідних внутрішніх сил інтегрують по довжині елементів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичне значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Енергетичні співвідношення використовують для визначення прогинів і кутів повороту, коефіцієнтів канонічних рівнянь методу сил та перевірки числових розрахунків.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1967,"parent_id":1949,"code":9,"slug":1968,"name":1969,"seo_title":1970,"seo_description":1971,"seo_text":1972,"content":1973,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":1968,"children":1974},322,"intehral-mora-odynychne-navantazhennia","Інтеграл Мора і метод одиничного навантаження","Інтеграл Мора — метод одиничного навантаження для переміщень","Як знайти прогин або кут повороту балки, рами чи ферми за інтегралом Мора та методом одиничного навантаження — алгоритм і основна формула.","Тема пояснює метод одиничного навантаження та інтеграл Мора для визначення переміщень у балках, рамах і фермах, включно з побудовою допоміжного одиничного стану.","\u003Cp>\u003Cstrong>Інтеграл Мора та метод одиничного навантаження\u003C\u002Fstrong> дозволяють визначити лінійне переміщення або кут повороту через внутрішні зусилля двох станів системи: реального та допоміжного одиничного.\u003C\u002Fp>{{chunk:mohr-integral-unit-load}}\u003Ch2>Алгоритм розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначте точку, напрям і тип шуканого переміщення.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Побудуйте внутрішні зусилля від реального навантаження.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Створіть одиничний стан: для лінійного переміщення прикладіть одиничну силу, для кута повороту — одиничний момент.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Побудуйте відповідні одиничні епюри.\u003C\u002Fli>\u003Cli>На кожній ділянці перемножте реальні й одиничні внутрішні фактори та поділіть на відповідну жорсткість.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Проінтегруйте та підсумуйте внески всіх елементів.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Балки та рами\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для тонких балок і рам часто достатньо згинальної складової $\\int M\\bar M\u002F(EI)\\,dx$. Якщо осьові, зсувні або крутильні деформації істотні, їхні внески потрібно додати.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Ферми\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для ідеальної ферми з постійними на кожному стержні $N_i$, $\\bar N_i$, $E_i$ та $A_i$ інтеграл переходить у суму\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\delta=\\sum_i\\frac{N_i\\bar N_i L_i}{E_iA_i}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Знак результату\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Додатне значення означає переміщення в напрямі одиничної сили або моменту. Від’ємне — фактичний напрям протилежний прийнятому в одиничному стані.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1976,"parent_id":1949,"code":9,"slug":1977,"name":1978,"seo_title":1979,"seo_description":1980,"seo_text":1981,"content":1982,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":1977,"children":1983},323,"pravylo-vereshchahina","Правило Верещагіна","Правило Верещагіна — множення епюр для визначення переміщень","Як застосовувати правило Верещагіна для графоаналітичного обчислення інтеграла Мора: множення епюр, площа, ордината та умови застосування.","Тема пояснює графоаналітичний спосіб множення епюр за правилом Верещагіна, умови його застосування та використання для обчислення переміщень.","\u003Cp\r\n  >\u003Cstrong>Правило Верещагіна\u003C\u002Fstrong> — графоаналітичний спосіб обчислення інтеграла Мора для\r\n  ділянок зі сталою згинальною жорсткістю. Воно замінює інтегрування операціями з площею однієї\r\n  епюри та ординатою іншої.\u003C\u002Fp\r\n>{{chunk:vereshchagin-diagram-multiplication}}\u003Ch2>Геометричний зміст\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Якщо одна з функцій моменту на ділянці є лінійною (а одинична завжди є лінійною), інтеграл добутку можна обчислити через\r\n  статичний момент площі іншої епюри. Ординату лінійної епюри беруть саме під центром ваги площі, а\r\n  не в геометричному центрі довжини ділянки.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Знаки\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Площі та ординати враховують алгебраїчно. Якщо епюри на ділянці розташовані з однаковим знаком,\r\n  внесок додатний; за протилежних знаків — від’ємний.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Розбиття складної епюри\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Трапеції, ламані та епюри зі зміною знака доцільно розкладати на прості фігури — прямокутники,\r\n  трикутники або інші частини з відомими площами й центрами ваги. Внески обчислюють окремо та\r\n  підсумовують.\u003C\u002Fp\r\n>\u003Ch2>Обмеження\u003C\u002Fh2\r\n>\u003Cp\r\n  >Правило не слід механічно застосовувати, якщо обидві епюри нелінійні на одній ділянці. У такому\r\n  разі потрібно виконати додаткове розбиття, вибрати іншу епюру як лінійну там, де це можливо, або\r\n  обчислити інтеграл безпосередньо.\u003C\u002Fp\r\n>\r\n",[],{"id":1985,"parent_id":1949,"code":9,"slug":1986,"name":1987,"seo_title":1988,"seo_description":1989,"seo_text":1990,"content":1991,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":1986,"children":1992},324,"temperatura-osidannia-opor-peremishchennia","Переміщення від температури та осідання опор","Температурні переміщення та осідання опор — розрахунок стержневих систем","Як врахувати температурні деформації, задані переміщення й осідання опор у балках, рамах та інших стержневих системах.","Тема розглядає кінематичні впливи у стержневих системах: температурне видовження і викривлення, осідання та зміщення опор і їх урахування при визначенні переміщень.","\u003Cp>Переміщення стержневої системи можуть виникати без прикладення механічних сил — через \u003Cstrong>зміну температури, температурний градієнт або задане переміщення опори\u003C\u002Fstrong>. У статично визначуваній системі такі впливи часто викликають вільні деформації без додаткових зусиль; у статично невизначуваній сумісність деформацій може створювати реакції та внутрішні сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівномірна зміна температури\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для вільного прямого стержня довжини $L$ при рівномірній зміні температури $\\Delta T$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\Delta L=\\alpha\\Delta T\\,L,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\alpha$ — коефіцієнт лінійного температурного розширення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Температурний градієнт\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо температура по висоті перерізу змінюється нерівномірно, одна сторона стержня прагне видовжитися більше за іншу. Це створює температурну кривизну. Для лінійного перепаду температур між крайніми волокнами її величина пропорційна $\\alpha\\Delta T_h\u002Fh$, де $h$ — відстань між цими волокнами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Осідання та задані переміщення опор\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Осідання опори є заданим кінематичним впливом. У статично визначуваній системі воно може змінити геометричне положення без появи додаткових реакцій, якщо система здатна кінематично пристосуватися. У статично невизначуваній системі задані переміщення входять до умов сумісності й породжують додаткові зусилля.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Принцип суперпозиції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У лінійній постановці переміщення від механічних навантажень, температури та заданих переміщень опор можна розглядати окремо й потім алгебраїчно підсумовувати.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Знаки та одиниці\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Потрібно явно задавати знак $\\Delta T$, напрям осідання та додатний напрям шуканого переміщення. Температурне видовження має одиниці довжини, а температурна кривизна — оберненої довжини.\u003C\u002Fp>",[],{"id":1994,"parent_id":1733,"code":9,"slug":1995,"name":1996,"seo_title":1997,"seo_description":1998,"seo_text":1999,"content":2000,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":860,"url_slug":1995,"children":2001},301,"metod-syl","Метод сил","Метод сил у будівельній механіці | Канонічні рівняння","Метод сил для статично невизначуваних систем: ступінь невизначуваності, основна система, канонічні рівняння, перевірки та впливи.","Метод сил застосовують для розрахунку статично невизначуваних стержневих систем. Розділ охоплює вибір основної системи, зайві невідомі, канонічні рівняння, коефіцієнти податливості, вантажні члени та перевірку результатів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Метод сил\u003C\u002Fstrong> — класичний метод розрахунку лінійно-пружних статично невизначуваних систем. Невідомими в ньому є зайві реакції або внутрішні силові фактори, які неможливо визначити лише з рівнянь рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основна ідея\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У вихідній системі усувають стільки в’язей, скільки становить ступінь статичної невизначуваності. Дії усунутих в’язей замінюють невідомими силами $X_1, X_2,\\ldots,X_n$. Отримана система повинна бути статично визначуваною та геометрично незмінюваною.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Умови сумісності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У напрямках усунутих в’язей переміщення основної системи від зовнішнього навантаження та невідомих $X_j$ повинні відтворювати деформаційні умови вихідної конструкції. Якщо відповідне переміщення у вихідній системі дорівнює нулю, канонічне рівняння має вигляд\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum_{j=1}^{n}\\delta_{ij}X_j+\\Delta_{iP}=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тут $\\delta_{ij}$ — переміщення в напрямі $i$ від одиничного значення невідомої $X_j$, а $\\Delta_{iP}$ — переміщення від заданого навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Коефіцієнти рівнянь\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Коефіцієнти податливості та вантажні члени визначають методами обчислення переміщень, зокрема інтегралом Мора або правилом Верещагіна. Для лінійно-пружних систем виконується взаємність $\\delta_{ij}=\\delta_{ji}$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Визначити ступінь статичної невизначуваності.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Вибрати зайві невідомі й основну систему.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Побудувати вантажний та одиничні стани.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчислити коефіцієнти канонічних рівнянь.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Розв’язати систему відносно $X_j$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Суперпозицією відновити реакції та внутрішні зусилля вихідної системи.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірити рівновагу й умови сумісності.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Температура та переміщення опор\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Температурні деформації, осідання та задані зміщення опор входять до правої частини рівнянь сумісності як додаткові кінематичні впливи. Тому метод сил придатний не лише для силового навантаження.\u003C\u002Fp>",[2002,2011,2020,2029],{"id":2003,"parent_id":1994,"code":9,"slug":2004,"name":2005,"seo_title":2006,"seo_description":2007,"seo_text":2008,"content":2009,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":2004,"children":2010},325,"stupin-nevyznachuvanosti-osnovna-systema","Ступінь статичної невизначуваності та основна система","Статична невизначуваність — ступінь і основна система методу сил","Як визначити ступінь статичної невизначуваності, вибрати зайві в’язі та побудувати статично визначувану основну систему для розрахунку методом сил.","Тема пояснює підрахунок ступеня статичної невизначуваності, вибір зайвих невідомих і побудову статично визначуваної основної системи для методу сил.","\u003Cp>\u003Cstrong>Ступінь статичної невизначуваності\u003C\u002Fstrong> показує, скільки незалежних силових невідомих не можна визначити лише з рівнянь статики. У методі сил це число одночасно визначає кількість зайвих в’язей, невідомих $X_i$ та канонічних рівнянь сумісності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зовнішня та внутрішня невизначуваність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Зайвими можуть бути як опорні реакції, так і внутрішні силові зв’язки між частинами конструкції. Тому простого підрахунку опорних реакцій достатньо лише для найпростіших схем. Для рам, замкнених контурів та комбінованих систем потрібно враховувати внутрішні в’язі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір зайвих невідомих\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Як $X_i$ доцільно вибирати реакції або внутрішні зусилля, усунення яких дає просту статично визначувану систему. Різні правильні набори зайвих невідомих можуть приводити до різних основних систем, але остаточні зусилля у вихідній конструкції повинні збігатися.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вимоги до основної системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після усунення зайвих в’язей основна система повинна бути \u003Cstrong>статично визначуваною та геометрично незмінюваною\u003C\u002Fstrong>. Не можна вибирати звільнення, яке створює механізм або залишає приховану статичну невизначуваність.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Заміна усунутих в’язей\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кожну усунуту в’язь замінюють відповідною невідомою силою або моментом $X_i$. Далі основну систему розраховують окремо від зовнішнього навантаження та від одиничних значень кожної $X_i$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Раціональний вибір\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вигідна основна система має прості епюри, мінімум ділянок інтегрування та, за можливості, використовує симетрію. Вибір основної системи не змінює фізичної відповіді, але може суттєво змінити обсяг обчислень.\u003C\u002Fp>",[],{"id":2012,"parent_id":1994,"code":9,"slug":2013,"name":2014,"seo_title":2015,"seo_description":2016,"seo_text":2017,"content":2018,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":2013,"children":2019},326,"kanonichni-rivniannia-metodu-syl","Канонічні рівняння методу сил","Канонічні рівняння методу сил — коефіцієнти δij і переміщення","Як скласти канонічні рівняння методу сил: коефіцієнти податливості δij, вантажні переміщення ΔiP та умови сумісності деформацій.","Тема охоплює канонічні рівняння методу сил, одиничні коефіцієнти та вантажні члени, їх обчислення через переміщення і формулювання умов сумісності деформацій.","\u003Cp>\u003Cstrong>Канонічні рівняння методу сил\u003C\u002Fstrong> виражають умови сумісності переміщень у напрямках усунутих зайвих в’язей. Для системи зі ступенем статичної невизначуваності $n$ утворюється система з $n$ лінійних рівнянь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Загальний вигляд\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо переміщення в напрямі кожної усунутої в’язі у вихідній системі дорівнює нулю, то\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\delta_{i1}X_1+\\delta_{i2}X_2+\\cdots+\\delta_{in}X_n+\\Delta_{iP}=0,\\qquad i=1,\\ldots,n.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У матричній формі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$[\\delta]\\{X\\}=-\\{\\Delta_P\\}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фізичний зміст коефіцієнтів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>$\\delta_{ij}$ — переміщення в напрямі невідомої $X_i$, спричинене одиничним значенням $X_j$ в основній системі. $\\Delta_{iP}$ — переміщення в тому самому напрямі від заданого навантаження.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Обчислення коефіцієнтів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для згинальних систем зі сталою або кусочно-сталою жорсткістю типово використовують\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\delta_{ij}=\\sum\\int\\frac{M_iM_j}{EI}\\,dx,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>а вантажний член\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\Delta_{iP}=\\sum\\int\\frac{M_iM_P}{EI}\\,dx.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>За необхідності додають внески поздовжньої сили, кручення та зсуву.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Властивості матриці\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для лінійно-пружної консервативної системи виконується теорема взаємності: $\\delta_{ij}=\\delta_{ji}$. Діагональні коефіцієнти $\\delta_{ii}$ для незалежних ненульових одиничних станів додатні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Після розв’язання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Знайдені $X_j$ підставляють у суперпозицію внутрішніх зусиль, наприклад $M=M_P+\\sum X_jM_j$. Після цього перевіряють рівновагу та нульові або задані переміщення в напрямках усунутих в’язей.\u003C\u002Fp>",[],{"id":2021,"parent_id":1994,"code":9,"slug":2022,"name":2023,"seo_title":2024,"seo_description":2025,"seo_text":2026,"content":2027,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":2022,"children":2028},327,"balky-ramy-metodom-syl","Розрахунок балок і рам методом сил","Метод сил для балок і рам — розрахунок крок за кроком","Як розрахувати статично невизначувані балки й рами методом сил: основна система, одиничні епюри, канонічні рівняння та остаточні зусилля.","Тема застосовує метод сил до балок і рам: вибір основної системи, побудова вантажних та одиничних епюр, розв’язання канонічних рівнянь і відновлення внутрішніх зусиль.","\u003Cp>Розрахунок \u003Cstrong>балок і рам методом сил\u003C\u002Fstrong> зводить статично невизначувану задачу до серії розрахунків однієї статично визначуваної основної системи. Практична складність полягає переважно у вдалому виборі зайвих невідомих та правильному обчисленні переміщень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір основної системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для нерозрізної балки зайвими невідомими часто вибирають опорні реакції або моменти над проміжними опорами. Для рам можна усувати опорні в’язі, вводити шарніри або розрізати замкнений контур, замінюючи усунені силові зв’язки невідомими $X_i$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вантажний стан\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Основну систему навантажують заданими зовнішніми силами та будують вантажні епюри $M_P$, а за потреби також $N_P$ і $Q_P$. Важливо зберігати єдину систему знаків для всіх станів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Одиничні стани\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожної зайвої невідомої окремо задають $X_i=1$, решту невідомих приймають нульовими та будують одиничну епюру $M_i$. Ці епюри використовують для коефіцієнтів $\\delta_{ij}$ і вантажних членів $\\Delta_{iP}$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Суперпозиція\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після розв’язання канонічних рівнянь остаточні внутрішні зусилля визначають як\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M=M_P+X_1M_1+\\cdots+X_nM_n,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>і аналогічно для інших силових факторів, якщо вони входять до розрахунку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Симетричні системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для симетричних рам доцільно використовувати симетрію та антисиметрію навантаження й одиничних станів. Це може занулити частину коефіцієнтів та істотно спростити систему рівнянь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Остаточні реакції повинні задовольняти глобальну рівновагу. Епюри — умови в шарнірах і на вільних кінцях. Найважливіша деформаційна перевірка: переміщення в напрямках відновлених в’язей мають дорівнювати заданим значенням.\u003C\u002Fp>",[],{"id":2030,"parent_id":1994,"code":9,"slug":2031,"name":2032,"seo_title":2033,"seo_description":2034,"seo_text":2035,"content":2036,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":2031,"children":2037},328,"temperatura-osidannia-metod-syl","Температурні впливи та осідання опор у методі сил","Температура й осідання опор у методі сил — як врахувати","Як включити температурні деформації та задані переміщення або осідання опор у канонічні рівняння методу сил і визначити додаткові зусилля.","Тема пояснює включення температурних впливів і заданих переміщень опор до умов сумісності методу сил та визначення спричинених ними зайвих невідомих.","\u003Cp>У статично невизначуваній системі \u003Cstrong>температурні деформації та осідання опор\u003C\u002Fstrong> не можуть реалізуватися довільно: зайві в’язі обмежують деформування і тому виникають додаткові реакції та внутрішні зусилля. У методі сил ці впливи враховують безпосередньо в рівняннях сумісності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння з кінематичними впливами\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для напряму $i$ загальну умову можна записати як\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum_{j=1}^{n}\\delta_{ij}X_j+\\Delta_{iP}+\\Delta_{iT}=\\Delta_i^{\\mathrm{given}},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\Delta_{iT}$ — вільне переміщення основної системи від температурного впливу, а $\\Delta_i^{\\mathrm{given}}$ — задане переміщення, пов’язане, наприклад, з осіданням опори. Конкретні знаки залежать від прийнятих додатних напрямів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівномірна температура\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вільне температурне видовження стержня дорівнює $\\alpha\\Delta T L$. Якщо зайві в’язі перешкоджають цьому видовженню, невідомі $X_j$ повинні створити компенсуючі пружні деформації.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Температурний градієнт\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нерівномірне нагрівання по висоті перерізу створює вільну кривизну. У рамах та нерозрізних балках обмеження цієї кривизни може породжувати згинальні моменти навіть за відсутності зовнішніх сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Осідання опори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо в напрямі усунутої в’язі вихідна система має не нульове, а задане переміщення, права частина відповідного канонічного рівняння повинна відтворювати саме це переміщення. Тому осідання не слід автоматично записувати як додаткову силу.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Суперпозиція та перевірка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>За лінійної роботи матеріалу силові, температурні та кінематичні впливи можна розраховувати окремими станами й підсумовувати. Після розрахунку перевіряють не лише рівновагу, а й те, що відновлена система має задані переміщення в місцях опор і в’язей.\u003C\u002Fp>",[],{"id":2039,"parent_id":1733,"code":9,"slug":2040,"name":2041,"seo_title":2042,"seo_description":2043,"seo_text":2044,"content":2045,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":871,"url_slug":2040,"children":2046},302,"metod-peremishchen","Метод переміщень","Метод переміщень — канонічні рівняння для балок і рам","Як розраховують нерозрізні балки й рами методом переміщень: кінематична невизначуваність, основна система, вузлові переміщення та канонічні рівняння.","Метод переміщень використовує незалежні вузлові переміщення та кути повороту як основні невідомі. Розділ охоплює кінематичну невизначуваність, основну систему, реакції від одиничних переміщень і канонічні рівняння.","\u003Cp>\u003Cstrong>Метод переміщень\u003C\u002Fstrong> — метод розрахунку лінійно-пружних статично невизначуваних стержневих систем, у якому основними невідомими є незалежні вузлові переміщення: кути повороту та лінійні зміщення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основна ідея\u003C\u002Fh2>\u003Cp>На відміну від методу сил, де невідомими є зайві силові фактори, у методі переміщень спочатку тимчасово забороняють незалежні вузлові переміщення додатковими в’язями. Отриману систему називають основною системою методу переміщень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні невідомі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Невідомі $Z_1,Z_2,\\ldots,Z_n$ описують незалежні повороти жорстких вузлів і незалежні поступальні переміщення вузлів або їх груп. Їх кількість дорівнює ступеню кінематичної невизначуваності прийнятої розрахункової моделі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Канонічні рівняння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Додаткові в’язі в реальній конструкції відсутні, тому сумарні реакції в них після суперпозиції повинні дорівнювати нулю:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sum_{j=1}^{n}r_{ij}Z_j+R_{iP}=0,\\qquad i=1,\\ldots,n.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тут $r_{ij}$ — реакція в додатковій в’язі $i$ від одиничного переміщення $Z_j=1$, а $R_{iP}$ — реакція тієї самої в’язі від заданого навантаження в основній системі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розрахункові стани\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Основну систему розглядають від заданого навантаження та від кожного одиничного переміщення окремо. Після визначення $Z_j$ кінцеві моменти, поперечні та поздовжні сили відновлюють суперпозицією.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Де метод особливо зручний\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Метод ефективний для нерозрізних балок і рам, особливо коли число незалежних вузлових переміщень менше за число силових надлишкових невідомих. Його логіка безпосередньо переходить у матричний метод жорсткості.\u003C\u002Fp>",[2047,2056,2065,2074],{"id":2048,"parent_id":2039,"code":9,"slug":2049,"name":2050,"seo_title":2051,"seo_description":2052,"seo_text":2053,"content":2054,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":2049,"children":2055},329,"kinematychna-nevyznachuvanist-osnovna-systema","Кінематична невизначуваність і основна система","Кінематична невизначуваність — основна система методу переміщень","Як визначити незалежні кути повороту й лінійні переміщення вузлів та побудувати основну систему методу переміщень для балок і рам.","Тема пояснює ступінь кінематичної невизначуваності, вибір незалежних кутів повороту і лінійних переміщень та введення додаткових в’язей основної системи.","\u003Cp>\u003Cstrong>Кінематична невизначуваність\u003C\u002Fstrong> визначає кількість незалежних вузлових переміщень, необхідних для опису деформованого стану системи в межах прийнятої моделі. У класичному методі переміщень саме ці переміщення стають основними невідомими.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кутові невідомі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кожний жорсткий вузол, здатний незалежно повертатися, може давати невідомий кут $Z_i$. Якщо кілька кінців стержнів з’єднані жорстко в одному вузлі, вони мають один спільний кут повороту вузла.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінійні невідомі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поступальні переміщення виникають, коли вузол або група вузлів може зміщуватися без порушення прийнятих кінематичних умов. Для рам типовою невідомою є горизонтальне зміщення поверху або вузлової групи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основна система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Щоб отримати основну систему, усі незалежні невідомі переміщення тимчасово блокують додатковими в’язями. Поворот вузла забороняють умовною кутовою в’яззю, поступальне переміщення — лінійною.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Одиничні переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для визначення коефіцієнтів рівнянь кожній в’язі по черзі задають одиничне переміщення $Z_j=1$, залишаючи інші невідомі переміщення нульовими. Виниклі реакції в додаткових в’язях утворюють коефіцієнти жорсткості $r_{ij}$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Модель має значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Ступінь кінематичної невизначуваності залежить від прийнятих припущень. Наприклад, нехтування поздовжніми деформаціями стержнів може зв’язати поступальні переміщення кількох вузлів і зменшити число незалежних невідомих.\u003C\u002Fp>",[],{"id":2057,"parent_id":2039,"code":9,"slug":2058,"name":2059,"seo_title":2060,"seo_description":2061,"seo_text":2062,"content":2063,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":2058,"children":2064},330,"kanonichni-rivniannia-metodu-peremishchen","Канонічні рівняння методу переміщень","Канонічні рівняння методу переміщень — коефіцієнти жорсткості","Як скласти канонічні рівняння методу переміщень: реакції rij від одиничних переміщень, вантажні члени RiP та умови рівноваги.","Тема охоплює фізичний зміст канонічних рівнянь методу переміщень, коефіцієнти жорсткості, реакції від одиничних переміщень і реакції від заданого навантаження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Канонічні рівняння методу переміщень\u003C\u002Fstrong> виражають умови відсутності реакцій у штучних додаткових в’язях після того, як система отримала свої фактичні вузлові переміщення.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Загальна форма\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для $n$ незалежних переміщень:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$r_{i1}Z_1+r_{i2}Z_2+\\cdots+r_{in}Z_n+R_{iP}=0,\\qquad i=1,\\ldots,n.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>У матричному записі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$[r]\\{Z\\}=-\\{R_P\\}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Коефіцієнти жорсткості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>$r_{ij}$ — реакція в додатковій в’язі $i$, спричинена одиничним переміщенням $Z_j=1$ при нульових інших основних переміщеннях. Діагональний коефіцієнт $r_{ii}$ характеризує опір системи переміщенню $Z_i$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вантажні члени\u003C\u002Fh2>\u003Cp>$R_{iP}$ — реакція додаткової в’язі $i$ від заданого зовнішнього навантаження, коли всі основні переміщення заблоковані. Вона визначається з кінцевих сил у стержнях та рівноваги відповідного вузла або частини системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Взаємність\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для лінійно-пружної консервативної системи матриця коефіцієнтів є симетричною: $r_{ij}=r_{ji}$. Це важлива перевірка правильності одиничних станів і складання рівнянь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Відновлення зусиль\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після знаходження $Z_j$ будь-який силовий фактор можна отримати суперпозицією, наприклад\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$M=M_P+Z_1M_1+\\cdots+Z_nM_n.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Після цього перевіряють рівновагу вузлів, опорні реакції та граничні умови.\u003C\u002Fp>",[],{"id":2066,"parent_id":2039,"code":9,"slug":2067,"name":2068,"seo_title":2069,"seo_description":2070,"seo_text":2071,"content":2072,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":2067,"children":2073},331,"nerozrizni-balky-metodom-peremishchen","Нерозрізні балки методом переміщень","Нерозрізні балки методом переміщень — вузлові кути й епюра M","Як розрахувати статично невизначувану нерозрізну балку методом переміщень: вибрати вузлові кути, скласти рівняння, знайти кінцеві моменти й епюру M.","Тема застосовує метод переміщень до нерозрізних балок: вибір основних невідомих, складання рівнянь, визначення кінцевих моментів і побудова остаточної епюри M.","\u003Cp>Для \u003Cstrong>нерозрізної балки\u003C\u002Fstrong> метод переміщень особливо зручний, оскільки за відсутності осідань опор основними невідомими часто залишаються лише кути повороту жорстких вузлів. Поступальні переміщення опор у звичайній схемі задані або заборонені.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основна система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У проміжні жорсткі вузли вводять додаткові в’язі, що тимчасово забороняють їх поворот. Кожний проліт основної системи розглядають як балковий елемент із зафіксованими або заданими кінцевими переміщеннями.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вантажний стан\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Від зовнішнього навантаження при заблокованих вузлових поворотах виникають кінцеві моменти. Вони утворюють вантажні реакції додаткових кутових в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Одиничні повороти\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кожному незалежному вузлу по черзі задають одиничний поворот. Суміжні прольоти чинять опір цьому повороту відповідно до своїх згинальних жорсткостей $EI$ і довжин. Реакції від одиничних станів формують коефіцієнти канонічних рівнянь.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівновага вузла\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після знаходження фактичних кутів повороту сума кінцевих моментів стержнів, що сходяться у вузлі, разом із прикладеним вузловим моментом повинна задовольняти рівновагу. Саме ця умова лежить в основі відповідного канонічного рівняння.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Остаточна епюра\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кінцеві моменти та функцію $M(x)$ у кожному прольоті відновлюють суперпозицією вантажного й одиничних станів. Далі з рівноваги прольотів знаходять поперечні сили та опорні реакції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Осідання опор\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо опори мають задані вертикальні переміщення, вони створюють додаткові кінцеві моменти та входять до рівнянь як відомі кінематичні впливи.\u003C\u002Fp>",[],{"id":2075,"parent_id":2039,"code":9,"slug":2076,"name":2077,"seo_title":2078,"seo_description":2079,"seo_text":2080,"content":2081,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":2076,"children":2082},332,"ramy-metodom-peremishchen","Рами методом переміщень","Розрахунок рам методом переміщень — повороти вузлів і зміщення","Як розрахувати статично невизначувану раму методом переміщень: вузлові повороти, горизонтальні зміщення, канонічні рівняння та кінцеві зусилля.","Тема розглядає розрахунок рам методом переміщень, включно з кутами повороту вузлів, горизонтальними зміщеннями, канонічними рівняннями та відновленням кінцевих зусиль.","\u003Cp>У \u003Cstrong>рамах\u003C\u002Fstrong> метод переміщень використовує як невідомі кути повороту жорстких вузлів та, для рам зі зміщенням, незалежні поступальні переміщення вузлів або поверхів. Тому перед складанням рівнянь необхідно виконати кінематичний аналіз схеми.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рами без бокового зміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо геометрія, опори або в’язі виключають поступальне зміщення вузлів, невідомими залишаються переважно кути повороту. Кожний вузол отримує рівняння моментної рівноваги після врахування кінцевих моментів усіх приєднаних стержнів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рами з боковим зміщенням\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У sway-рамах до кутів додають одну або кілька лінійних координат. Одиничне горизонтальне переміщення створює згин у колонах і відповідні реакції в тимчасовій лінійній в’язі. Для такої координати канонічне рівняння виражає рівновагу узагальненої горизонтальної сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінцеві зусилля стержня\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кінцеві моменти залежать від зовнішнього навантаження, поворотів обох кінців і відносного поперечного зміщення кінців стержня. У класичному ручному методі ці залежності задають табличними реакціями основної системи або рівняннями типу slope-deflection.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Складання рівнянь\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для кожної кутової координати записують рівновагу моментів у відповідному вузлі. Для кожної поступальної координати записують рівновагу сил або узагальнених реакцій у напрямі переміщення. Сукупність цих умов утворює систему відносно $Z_i$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Відновлення результатів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після знаходження вузлових переміщень обчислюють кінцеві моменти стержнів, далі поперечні та поздовжні сили, а потім опорні реакції. Остаточна схема повинна задовольняти рівновагу кожного вузла й усієї рами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зв’язок із матричним методом\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Класичний метод переміщень фактично використовує ту саму ідею жорсткості, що й матричний метод: вузлові переміщення є невідомими, а вузлові сили — їх лінійними функціями. Матричний підхід систематизує цю процедуру для великої кількості елементів і ступенів вільності.\u003C\u002Fp>",[],{"id":2084,"parent_id":1733,"code":9,"slug":2085,"name":2086,"seo_title":2087,"seo_description":2088,"seo_text":2089,"content":2090,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":882,"url_slug":2085,"children":2091},303,"matrychni-metody","Матричні методи розрахунку","Матричні методи будівельної механіки | Метод жорсткості","Основи матричного методу жорсткості: локальні й глобальні матриці, складання системи, граничні умови, вузлові переміщення та зусилля.","Вступ до матричних методів розрахунку стержневих систем: локальні матриці жорсткості, перетворення координат, формування глобальної системи рівнянь, урахування граничних умов і відновлення внутрішніх зусиль.","\u003Cp>\u003Cstrong>Матричні методи розрахунку\u003C\u002Fstrong> систематизують метод переміщень і дають універсальний алгоритм для розрахунку стержневих систем з великою кількістю елементів та ступенів вільності. Основною формою є матричний метод жорсткості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основне рівняння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після нумерації вузлових ступенів вільності рівняння рівноваги конструкції записують як\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$[K]\\{d\\}=\\{F\\},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $[K]$ — глобальна матриця жорсткості, $\\{d\\}$ — вектор вузлових переміщень, $\\{F\\}$ — вектор еквівалентних вузлових навантажень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Елементний підхід\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Конструкцію поділяють на стержневі елементи. Для кожного елемента спочатку задають локальні ступені вільності та матрицю жорсткості $[k]$. Вона пов’язує локальні вузлові переміщення з відповідними кінцевими силами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перетворення координат\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Оскільки елементи можуть мати різну орієнтацію, їх локальні матриці переводять у спільну глобальну систему координат. Після цього внески всіх елементів асамблюють у єдину матрицю $[K]$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Граничні умови\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Закріплення задають відомі вузлові переміщення, найчастіше нульові. Після врахування цих умов розв’язують систему щодо невідомих переміщень, а потім визначають опорні реакції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Відновлення зусиль\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Глобальні вузлові переміщення кожного елемента повертають у його локальну систему. За локальними співвідношеннями жорсткості знаходять кінцеві сили та моменти, з яких будують епюри внутрішніх зусиль.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зв’язок із МСЕ\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для стержневих конструкцій матричний метод жорсткості є природною основою методу скінченних елементів: модель складається з елементів, кожен має власні матриці та ступені вільності, а глобальна задача формується їх асамблюванням.\u003C\u002Fp>",[2092,2101,2110,2119],{"id":2093,"parent_id":2084,"code":9,"slug":2094,"name":2095,"seo_title":2096,"seo_description":2097,"seo_text":2098,"content":2099,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":57,"url_slug":2094,"children":2100},333,"lokalna-matrytsia-zhorstkosti","Локальна матриця жорсткості стержневого елемента","Локальна матриця жорсткості стержня — вузлові сили й переміщення","Як формується локальна матриця жорсткості стержневого елемента, які вузлові ступені вільності вона описує та як пов’язує сили з переміщеннями.","Тема вводить локальну матрицю жорсткості стержневого елемента, вузлові ступені вільності та зв’язок між локальними вузловими переміщеннями і силами.","\u003Cp>\u003Cstrong>Локальна матриця жорсткості\u003C\u002Fstrong> описує механічну поведінку окремого стержневого елемента у системі координат, пов’язаній з його віссю. Вона встановлює лінійний зв’язок між вузловими переміщеннями та кінцевими силами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основне співвідношення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для елемента без урахування початкових деформацій і розподіленого навантаження:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\{q\\}=[k]\\{u\\},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\{u\\}$ — вектор локальних вузлових переміщень, $\\{q\\}$ — вектор локальних кінцевих сил, $[k]$ — локальна матриця жорсткості.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Фермовий стержень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для двовузлового стержня, що працює лише на осьову деформацію, локальними ступенями вільності є поздовжні переміщення кінців. Матриця має вигляд\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$[k]=\\frac{EA}{L}\\begin{bmatrix}1&-1\\\\-1&1\\end{bmatrix}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Множник $EA\u002FL$ є осьовою жорсткістю елемента щодо відносного переміщення його кінців.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Балковий елемент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для плоского елемента згину типові локальні координати — поперечні переміщення та кути повороту обох кінців. Коефіцієнти його матриці містять комбінації $EI\u002FL^3$, $EI\u002FL^2$ та $EI\u002FL$, що відображають опір згину.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Плоский рамний елемент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Рамний елемент поєднує осьову і згинальну роботу. У кожному вузлі зазвичай використовують три локальні ступені вільності: поздовжнє переміщення, поперечне переміщення та поворот. Тому повна локальна матриця має розмір $6\\times6$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Властивості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для лінійно-пружного консервативного елемента матриця $[k]$ симетрична. До накладання достатніх граничних умов вона може бути виродженою, оскільки переміщення елемента як абсолютно твердого тіла не створюють деформації та внутрішніх сил.\u003C\u002Fp>",[],{"id":2102,"parent_id":2084,"code":9,"slug":2103,"name":2104,"seo_title":2105,"seo_description":2106,"seo_text":2107,"content":2108,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":185,"url_slug":2103,"children":2109},334,"peretvorennia-koordynat-hlobalna-matrytsia","Перетворення координат і глобальна матриця жорсткості","Перетворення локальної матриці жорсткості в глобальні координати","Як перейти від локальної до глобальної системи координат стержневого елемента за допомогою матриці перетворення та отримати глобальну матрицю жорсткості.","Тема пояснює матриці перетворення координат, орієнтацію стержневих елементів і приведення локальних співвідношень жорсткості до глобальної системи конструкції.","\u003Cp>Кожний стержневий елемент зручно описувати у власній \u003Cstrong>локальній системі координат\u003C\u002Fstrong>, але рівняння всієї конструкції повинні бути записані в одній глобальній системі. Для цього застосовують матрицю перетворення координат.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Локальні та глобальні переміщення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай $\\{d_e\\}$ — вектор вузлових переміщень елемента у глобальних координатах, а $\\{u_e\\}$ — той самий стан у локальних координатах. При відповідному визначенні матриці перетворення $[T]$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\{u_e\\}=[T]\\{d_e\\}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для плоских систем елементи $[T]$ містять напрямні косинуси $c=\\cos\\alpha$ і $s=\\sin\\alpha$ осі стержня.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Матриця елемента у глобальних координатах\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Підстановка перетворення в локальне співвідношення та узгоджене перетворення сил дають\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$[k_e^{(g)}]=[T]^T[k_e][T].$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Матриця $[k_e^{(g)}]$ описує той самий фізичний елемент, але її рядки й стовпці відповідають глобальним компонентам вузлових ступенів вільності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Чому потрібне перетворення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Два однакові стержні з однаковими $E$, $A$, $I$ і $L$, але з різними кутами нахилу, мають однакову локальну матрицю та різні глобальні матриці. Саме перетворення враховує орієнтацію елемента в конструкції.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перетворення сил\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після розв’язання глобальної задачі переміщення кінців конкретного елемента вибирають із глобального вектора й переводять у локальні координати. Це дозволяє визначати поздовжні сили, поперечні сили та кінцеві моменти у природній для стержня системі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Перетворення не повинно змінювати фізичну енергію деформації елемента. Для ортогонального поворотного перетворення зберігаються також симетрія матриці жорсткості та узгодженість роботи вузлових сил.\u003C\u002Fp>",[],{"id":2111,"parent_id":2084,"code":9,"slug":2112,"name":2113,"seo_title":2114,"seo_description":2115,"seo_text":2116,"content":2117,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":106,"url_slug":2112,"children":2118},335,"skladannia-hlobalnoi-systemy","Складання глобальної системи рівнянь","Глобальна матриця жорсткості — складання системи Kd = F","Як асамблювати матриці стержневих елементів у глобальну матрицю жорсткості K, сформувати вектор навантажень F і систему рівнянь Kd = F.","Тема охоплює нумерацію ступенів вільності, асамблювання локальних внесків елементів, формування глобальної матриці жорсткості та вектора вузлових навантажень.","\u003Cp>\u003Cstrong>Асамблювання\u003C\u002Fstrong> — процедура об’єднання матриць окремих елементів у глобальну систему рівнянь усієї конструкції. Вона спирається на сумісність вузлових переміщень і рівновагу вузлових сил.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Глобальна нумерація\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кожному незалежному ступеню вільності конструкції призначають глобальний номер. Для кожного елемента складають таблицю відповідності між його локальними вузловими координатами та глобальними номерами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Додавання внесків\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Кожний коефіцієнт глобальної матриці $K_{IJ}$ отримує суму внесків усіх елементів, що мають відповідні глобальні ступені вільності $I$ та $J$. Схематично:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$[K]=\\sum_e [A_e]^T[k_e^{(g)}][A_e],$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $[A_e]$ — оператор відповідності ступенів вільності елемента глобальним координатам.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вектор навантажень\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Зосереджені вузлові сили й моменти безпосередньо додають до $\\{F\\}$. Розподілені та інші навантаження на елементах приводять до еквівалентних вузлових сил згідно з прийнятою моделлю елемента.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Глобальна система\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після асамблювання отримують\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$[K]\\{d\\}=\\{F\\}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>До накладання опорних умов матриця може бути сингулярною через можливість руху конструкції як твердого тіла. Коректні граничні умови усувають відповідні кінематичні моди для стійкої системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Структура матриці\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Глобальна матриця зазвичай розріджена: елемент безпосередньо зв’язує лише ступені вільності своїх вузлів. Для лінійно-пружної консервативної моделі $[K]$ симетрична.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контроль моделі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Неочікувана сингулярність після накладання опор часто вказує на механізм, недостатнє закріплення, помилку зв’язності, некоректне звільнення кінця елемента або дублювання незалежних ступенів вільності.\u003C\u002Fp>",[],{"id":2120,"parent_id":2084,"code":9,"slug":2121,"name":2122,"seo_title":2123,"seo_description":2124,"seo_text":2125,"content":2126,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":57,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":148,"url_slug":2121,"children":2127},336,"hranychni-umovy-peremishchennia-zusyllia","Граничні умови, переміщення та відновлення зусиль","Матричний метод жорсткості — граничні умови, переміщення й зусилля","Як накласти опорні умови, розв’язати глобальну систему щодо вузлових переміщень і відновити реакції та внутрішні зусилля стержневих елементів.","Тема завершує алгоритм матричного методу жорсткості: накладання граничних умов, розв’язання глобальної системи, визначення реакцій і повернення до локальних кінцевих зусиль елементів.","\u003Cp>Після формування глобальної системи необхідно врахувати \u003Cstrong>граничні умови\u003C\u002Fstrong>, знайти невідомі вузлові переміщення, а потім відновити реакції та внутрішні зусилля в елементах.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вільні та закріплені ступені вільності\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Вектор переміщень поділяють на невідомі вільні координати $\\{d_f\\}$ та задані координати $\\{d_c\\}$. Для нерухомої опори відповідні компоненти $d_c$ дорівнюють нулю; при заданому переміщенні опори вони можуть бути ненульовими.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Розбиття системи\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після перестановки координат глобальне рівняння можна подати блоками:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\begin{bmatrix}K_{ff}&K_{fc}\\\\K_{cf}&K_{cc}\\end{bmatrix}\\begin{Bmatrix}d_f\\\\d_c\\end{Bmatrix}=\\begin{Bmatrix}F_f\\\\F_c\\end{Bmatrix}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Рівняння для вільних координат дає\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$K_{ff}d_f=F_f-K_{fc}d_c.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Опорні реакції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Після визначення всіх переміщень реакції у закріплених координатах знаходять із повного рівняння рівноваги. Це надійніше, ніж намагатися включати невідомі реакції до вектора заданих зовнішніх навантажень до розв’язання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Переміщення елемента\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для елемента вибирають його компоненти з глобального вектора $\\{d\\}$, отримуючи $\\{d_e\\}$, і переводять їх у локальну систему:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\{u_e\\}=[T]\\{d_e\\}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Кінцеві сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо елемент має еквівалентні вузлові дії або початкові деформації, їх необхідно врахувати у прийнятій формі елементного рівняння. У найпростішому ненавантаженому елементі\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\{q_e\\}=[k_e]\\{u_e\\}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Компоненти $\\{q_e\\}$ дають кінцеві поздовжні й поперечні сили та моменти.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Перевірка результатів\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Перевіряють глобальну рівновагу зовнішніх навантажень і реакцій, рівновагу вузлів, виконання заданих переміщень, симетрію матриці для відповідної моделі та узгодженість знаків локальних кінцевих зусиль.\u003C\u002Fp>",[],{"id":2129,"parent_id":9,"code":9,"slug":2130,"name":2131,"seo_title":2132,"seo_description":2133,"seo_text":2134,"content":9,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":57,"status":97,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":849,"url_slug":2130,"children":2135},39,"kompleksni-zavdannya","Комплексні завдання","Комплексні завдання з механіки та опору матеріалів","Збірник складних підсумкових задач з усіх розділів опору матеріалів.","У цьому розділі зібрано комплексні розрахункові задачі, які поєднують декілька видів деформацій та методів аналізу (наприклад, складний опір із розрахунком стійкості чи витривалості). Розв'язання таких задач сприяє глибокому розумінню дисципліни та готує до складання іспитів і виконання курсових проектів.",[],{"id":2137,"parent_id":9,"code":9,"slug":2138,"name":2139,"seo_title":2140,"seo_description":2141,"seo_text":2142,"content":2143,"locale":8,"uk_topic_id":9,"show_in_theory_list":15,"is_published":15,"status":46,"visibility":47,"canonical":9,"noindex":15,"sort_order":2144,"url_slug":2138,"children":2145},405,"rozrakhunok-boltiv-z-natiahom","Розрахунок болтів з натягом","Болти з натягом — розрахунок на зріз і зминання","Як розрахувати посадкові болти з натягом у каліброваних отворах: сила на один болт, кількість площин зрізу, перевірка стержня на зріз і деталей на зминання.","Посадкові болти з натягом застосовують у з'єднаннях, де поперечне навантаження потрібно передавати без початкового зсуву деталей. У темі пояснено роботу каліброваного болта в отворі, визначення сили на один болт і основні перевірки міцності на зріз та зминання.","\u003Cp>\u003Cstrong>Болти з натягом\u003C\u002Fstrong> — це посадкові болти, гладка калібрована частина яких установлюється в точно оброблений отвір із заданою посадкою. За поперечного навантаження сила передається безпосереднім контактом стержня болта зі стінкою отвору. Це принципово відрізняється від фрикційного з'єднання, де зсув утримується тертям від попереднього затягування.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тут \u003Cstrong>натяг\u003C\u002Fstrong> означає різницю розмірів посадкової частини болта й отвору, а не силу осьового затягування гайки. Для фактичного призначення посадки та допусків користуються відповідним стандартом і технологічними вимогами до з'єднання.\u003C\u002Fp>{{chunk:bolt-interference-fit-scheme}}\u003Ch2>Розрахункова модель\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Поперечна сила \u003Cem>F\u003C\u002Fem> від однієї деталі до іншої передається через контакт «отвір — гладкий стержень». Тому основними граничними станами для такого спрощеного розрахунку є \u003Cstrong>зріз болта\u003C\u002Fstrong> та \u003Cstrong>зминання матеріалу деталі біля отвору\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо в симетричному з'єднанні працює \u003Cem>n\u003C\u002Fem> однакових болтів і зовнішня сила проходить через центр болтової групи, навантаження на один болт у першому наближенні:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$F_b=\\frac{F}{n}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>За ексцентричного навантаження або несиметричного розташування болтів простий рівномірний розподіл застосовувати не можна: необхідно враховувати момент і визначати найбільш навантажений болт.\u003C\u002Fp>{{chunk:bolt-interference-shear}}{{chunk:bolt-interference-bearing}}\u003Ch2>Послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>Задати розрахункову поперечну силу \u003Cem>F\u003C\u002Fem>, кількість і схему розташування болтів.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначити силу \u003Cem>F\u003Csub>b\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fem>, що припадає на найбільш навантажений болт.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Встановити кількість площин зрізу \u003Cem>i\u003C\u002Fem> і перевірити гладку частину болта на зріз.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для кожної небезпечної деталі визначити товщину \u003Cem>t\u003C\u002Fem> та перевірити контакт біля отвору на зминання.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Порівняти отримані напруження з допустимими або розрахунковими опорами, прийнятими за чинною методикою проєктування.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Окремо перевірити конструктивні вимоги: посадку й допуски, відстані до країв і між отворами, а також розміщення різьби поза площиною зрізу.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Короткий приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Два однакові посадкові болти діаметром \u003Cem>d\u003C\u002Fem> передають центральну поперечну силу \u003Cem>F\u003C\u002Fem> в однозрізному з'єднанні. Якщо геометрія симетрична, для кожного болта беруть $F_b=F\u002F2$ та $i=1$. Далі за цією силою послідовно визначають $\\tau$ у стержні та $\\sigma_{br}$ у кожній деталі. Остаточну придатність встановлюють за тією перевіркою, у якої відношення розрахункового напруження до допустимого є найбільшим.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>Плутати натяг посадки з попереднім затягуванням болта.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Підставляти повну силу \u003Cem>F\u003C\u002Fem> замість сили на один болт \u003Cem>F\u003Csub>b\u003C\u002Fsub>\u003C\u002Fem>.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Не враховувати кількість площин зрізу.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевіряти зминання лише для однієї деталі, хоча товщини або матеріали деталей різні.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Допускати різьбову частину болта в розрахунковій площині зрізу без відповідної зміни розрахункової площі.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",9999,[],1789532554625]