[{"data":1,"prerenderedAt":37},["ShallowReactive",2],{"topic-uk-opir-materialiv\u002Fheometrychni-kharakterystyky-pereriziv\u002Fholovni-osi-momenty-inertsii-ta-oporu":3},{"topic":4,"trail":22,"children":32,"tasks":33,"alternates":34},{"id":5,"name":6,"locale":7,"path":8,"seo_title":9,"seo_description":10,"seo_text":11,"content_html":12,"content_chunks":13},109,"Головні осі, головні моменти інерції та моменти опору","uk","opir-materialiv\u002Fheometrychni-kharakterystyky-pereriziv\u002Fholovni-osi-momenty-inertsii-ta-oporu","Головні осі, моменти інерції та моменти опору","Головні центральні осі й моменти інерції, екстремальні геометричні характеристики та моменти опору перерізу для розрахунку згину.","Тема пояснює поняття головних центральних осей і головних моментів інерції, їх визначення для несиметричних перерізів та зв’язок із моментами опору. Розглядається формула W = I\u002Fymax, різні моменти опору для крайніх волокон несиметричного перерізу та використання характеристик у розрахунках згину.","\u003Cp>\u003Cstrong>Головні центральні осі\u003C\u002Fstrong> — це взаємно перпендикулярні осі через центр ваги перерізу, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти інерції набувають екстремальних значень.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>При повороті ортогональних осей на кут $\\theta$ геометричні моменти другого порядку перетворюються за формулами:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_{x'}=\\frac{I_x+I_y}{2}+\\frac{I_x-I_y}{2}\\cos2\\theta-I_{xy}\\sin2\\theta,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_{y'}=\\frac{I_x+I_y}{2}-\\frac{I_x-I_y}{2}\\cos2\\theta+I_{xy}\\sin2\\theta,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_{x'y'}=\\frac{I_x-I_y}{2}\\sin2\\theta+I_{xy}\\cos2\\theta.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Головні центральні осі мають $I_{x'y'}=0$. Їх орієнтацію визначають із:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tan2\\theta_p=-\\frac{2I_{xy}}{I_x-I_y},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>з урахуванням квадранта та прийнятого напряму відліку кута $\\theta_p$.\u003C\u002Fp>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Головні моменти інерції\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для заданих центральних $I_x$, $I_y$ та $I_{xy}$ головні значення можна знайти як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_{1,2}=\\frac{I_x+I_y}{2}\\pm\\sqrt{\\left(\\frac{I_x-I_y}{2}\\right)^2+I_{xy}^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Більше значення позначають $I_1$, менше — $I_2$. Їх сума дорівнює $I_x+I_y$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент опору\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для згину відносно заданої нейтральної осі геометричний момент опору визначають як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$W=\\frac{I}{y_{\\max}}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Він має розмірність довжини в третьому степені, наприклад мм³, і безпосередньо входить у формулу максимального нормального напруження при чистому прямому згині: $|\\sigma_{\\max}|=|M|\u002FW$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Несиметричний переріз\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо нейтральна вісь не ділить висоту перерізу навпіл, відстані до крайніх волокон по різні боки різні. Тоді використовують окремі моменти опору $W_+=I\u002Fy_+$ та $W_-=I\u002Fy_-$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Стандартні фігури\u003C\u002Fh2>\u003Ctable>\u003Cthead>\u003Ctr>\u003Cth>Фігура\u003C\u002Fth>\u003Cth>Площа $A$\u003C\u002Fth>\u003Cth>Центральний момент інерції\u003C\u002Fth>\u003Cth>Момент опору\u003C\u002Fth>\u003C\u002Ftr>\u003C\u002Fthead>\u003Ctbody>\u003Ctr>\u003Ctd>Прямокутник $b\\times h$, вісь $x$ паралельна стороні $b$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$bh$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$I_x=bh^3\u002F12$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$W_x=bh^2\u002F6$\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\u003Ctr>\u003Ctd>Прямокутник $b\\times h$, вісь $y$ паралельна стороні $h$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$bh$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$I_y=hb^3\u002F12$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$W_y=hb^2\u002F6$\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\u003Ctr>\u003Ctd>Круг діаметром $d$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$\\pi d^2\u002F4$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$I_x=I_y=\\pi d^4\u002F64$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$W_x=W_y=\\pi d^3\u002F32$\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\u003Ctr>\u003Ctd>Круг діаметром $d$, полярна характеристика\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$\\pi d^2\u002F4$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$J_p=\\pi d^4\u002F32$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$W_p=\\pi d^3\u002F16$\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\u003Ctr>\u003Ctd>Кільце із зовнішнім діаметром $D$ та внутрішнім $d$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$\\pi(D^2-d^2)\u002F4$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$I_x=I_y=\\pi(D^4-d^4)\u002F64$\u003C\u002Ftd>\u003Ctd>$W_x=2I_x\u002FD$\u003C\u002Ftd>\u003C\u002Ftr>\u003C\u002Ftbody>\u003C\u002Ftable>\u003Ch2>Інженерний зміст\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Великий момент інерції зменшує кривизну балки при заданому згинальному моменті, а великий момент опору зменшує максимальне нормальне напруження. Саме тому розташування матеріалу відносно нейтральної осі є ключовим при формуванні ефективного перерізу балки.\u003C\u002Fp>",[14,18],{"id":15,"code":16,"type":17,"locale":7},31,"area-inertia-axis-rotation","formula",{"id":19,"code":20,"type":21,"locale":7},30,"rectangle-circle-area-properties","table",[23,27,31],{"id":24,"name":25,"path":26},1,"Опір матеріалів","opir-materialiv",{"id":28,"name":29,"path":30},15,"Геометричні характеристики плоских перерізів","opir-materialiv\u002Fheometrychni-kharakterystyky-pereriziv",{"id":5,"name":6,"path":8},[],[],{"uk":35,"en":36},"https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Ftopics\u002Fopir-materialiv\u002Fheometrychni-kharakterystyky-pereriziv\u002Fholovni-osi-momenty-inertsii-ta-oporu","https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Fen\u002Ftopics\u002Fstrength-of-materials\u002Fgeometric-properties-of-plane-areas\u002Fprincipal-axes-principal-moments-and-section-moduli",1787712532639]