[{"data":1,"prerenderedAt":39},["ShallowReactive",2],{"topic-uk-opir-materialiv\u002Fheometrychni-kharakterystyky-pereriziv\u002Fteorema-shteinera-ta-skladeni-pererizy":3},{"topic":4,"trail":24,"children":34,"tasks":35,"alternates":36},{"id":5,"name":6,"locale":7,"path":8,"seo_title":6,"seo_description":9,"seo_text":10,"content_html":11,"content_chunks":12},107,"Теорема Штейнера та складені перерізи","uk","opir-materialiv\u002Fheometrychni-kharakterystyky-pereriziv\u002Fteorema-shteinera-ta-skladeni-pererizy","Перенесення моментів інерції до паралельних осей за теоремою Штейнера та алгоритм розрахунку складених поперечних перерізів.","Тема пояснює теорему Штейнера для перенесення моментів інерції між паралельними осями та її застосування до складених перерізів. Наведено послідовний алгоритм: розбиття на прості фігури, визначення центра ваги, перенесення власних моментів інерції та алгебраїчне сумування з урахуванням отворів.","\u003Cp>Для складених перерізів табличних формул окремих простих фігур недостатньо: їх моменти інерції спочатку потрібно привести до спільної осі. Для паралельного перенесення застосовують \u003Cstrong>теорему Штейнера\u003C\u002Fstrong>.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>Момент інерції площі відносно осі, паралельної центральній, визначають за теоремою Штейнера:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_x=I_{x_c}+Aa^2,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де \u003Cstrong>Ixc\u003C\u002Fstrong> — момент інерції відносно паралельної центральної осі, \u003Cstrong>A\u003C\u002Fstrong> — площа фігури, \u003Cstrong>a\u003C\u002Fstrong> — відстань між осями.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Аналогічно:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_y=I_{y_c}+Ab^2.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для складеного перерізу моменти інерції його частин після перенесення до спільної осі алгебраїчно додають; отвори враховують зі знаком мінус.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv data-formula-calculator-config=\"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\">\u003C\u002Fdiv>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Чому спочатку потрібен центр ваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Центральні моменти інерції складеного перерізу визначають відносно осей, що проходять через центр ваги всього перерізу. Тому першим етапом є знаходження координат цього центра.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>Статичні моменти площі відносно осей $x$ та $y$ визначають як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$S_x=\\int_A y\\,dA,\\qquad S_y=\\int_A x\\,dA.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Координати центра ваги площі:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$x_c=\\frac{S_y}{A},\\qquad y_c=\\frac{S_x}{A}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для складеного перерізу, розбитого на прості частини:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$x_c=\\frac{\\sum_i A_i x_i}{\\sum_i A_i},\\qquad y_c=\\frac{\\sum_i A_i y_i}{\\sum_i A_i}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отвори при алгебраїчному підсумовуванні зручно враховувати як площі зі знаком мінус.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Калькулятор нижче використовує співвідношення $x_c=S_y\u002FA$; статичний момент площі має ту саму розмірність $L^3$, що й момент опору.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv data-formula-calculator-config=\"eyJ0aXRsZSI6ItCa0L7QvtGA0LTQuNC90LDRgtCwINGG0LXQvdGC0YDQsCDQstCw0LPQuCDQt9CwINGB0YLQsNGC0LjRh9C90LjQvCDQvNC+0LzQtdC90YLQvtC8INC\u002F0LvQvtGJ0ZYiLCJmb3JtdWxhIjoieF9jID0gU195IC8gQSIsInZhcmlhYmxlcyI6W3sia2V5IjoiY2VudHJvaWQiLCJzeW1ib2wiOiJ4X2MiLCJsYWJlbCI6ItCa0L7QvtGA0LTQuNC90LDRgtCwINGG0LXQvdGC0YDQsCDQstCw0LPQuCIsInF1YW50aXR5IjoibGVuZ3RoIiwiZGVmYXVsdFVuaXQiOiJjbSJ9LHsia2V5Ijoic3RhdGljTW9tZW50Iiwic3ltYm9sIjoiU195IiwibGFiZWwiOiLQodGC0LDRgtC40YfQvdC40Lkg0LzQvtC80LXQvdGCINC\u002F0LvQvtGJ0ZYiLCJxdWFudGl0eSI6InNlY3Rpb25Nb2R1bHVzIiwiZGVmYXVsdFVuaXQiOiJjbTMifSx7ImtleSI6ImFyZWEiLCJzeW1ib2wiOiJBIiwibGFiZWwiOiLQn9C70L7RidCwIiwicXVhbnRpdHkiOiJhcmVhIiwiZGVmYXVsdFVuaXQiOiJjbTIifV0sInNvbHZlIjp7ImNlbnRyb2lkIjoic3RhdGljTW9tZW50IC8gYXJlYSIsInN0YXRpY01vbWVudCI6ImNlbnRyb2lkICogYXJlYSIsImFyZWEiOiJzdGF0aWNNb21lbnQgLyBjZW50cm9pZCJ9fQ==\">\u003C\u002Fdiv>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Алгоритм\u003C\u002Fh2>\u003Cdiv class=\"algorithm-chunk\">\u003Col>\u003Cli>Розбийте складений переріз на прості фігури, геометричні характеристики яких відомі. Отвори позначте як від’ємні площі.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Виберіть допоміжну систему координат і визначте площі Ai та координати центрів ваги xi, yi кожної частини.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайдіть координати центра ваги всього перерізу за алгебраїчними сумами Ai xi та Ai yi.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Проведіть центральні осі через знайдений центр ваги.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для кожної частини визначте власні центральні моменти інерції та перенесіть їх до спільних центральних осей за теоремою Штейнера.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Алгебраїчно підсумуйте внески частин, отримавши Ix, Iy та, за потреби, Ixy.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Якщо потрібні головні осі, визначте кут їх повороту та головні моменти інерції.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Для задач згину обчисліть моменти опору відносно потрібних крайніх волокон і перевірте одиниці та геометричну симетрію результату.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Отвори\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Отвір можна трактувати як від’ємну частину: його площа, статичні моменти та перенесений момент інерції віднімаються від відповідних сум суцільних частин.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад структури розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для Т-подібного перерізу зручно виділити полицю та стінку як два прямокутники. Спочатку знаходять $y_c$ всього перерізу, потім для кожного прямокутника визначають власний центральний $I_x$ і додають $A_i a_i^2$, де $a_i$ — відстань між центром частини та спільною центральною віссю.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контроль\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Перевірте, що всі відстані виміряні до тієї самої осі, одиниці узгоджені, а внесок $Aa^2$ не був помилково доданий до моменту інерції вже відносно потрібної осі.\u003C\u002Fp>",[13,17,20],{"id":14,"code":15,"type":16,"locale":7},29,"parallel-axis-theorem","formula",{"id":18,"code":19,"type":16,"locale":7},27,"area-static-moments-centroid",{"id":21,"code":22,"type":23,"locale":7},32,"composite-section-properties-algorithm","algorithm",[25,29,33],{"id":26,"name":27,"path":28},1,"Опір матеріалів","opir-materialiv",{"id":30,"name":31,"path":32},15,"Геометричні характеристики плоских перерізів","opir-materialiv\u002Fheometrychni-kharakterystyky-pereriziv",{"id":5,"name":6,"path":8},[],[],{"uk":37,"en":38},"https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Ftopics\u002Fopir-materialiv\u002Fheometrychni-kharakterystyky-pereriziv\u002Fteorema-shteinera-ta-skladeni-pererizy","https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Fen\u002Ftopics\u002Fstrength-of-materials\u002Fgeometric-properties-of-plane-areas\u002Fparallel-axis-theorem-and-composite-sections",1787712532589]