[{"data":1,"prerenderedAt":35},["ShallowReactive",2],{"topic-uk-opir-materialiv\u002Fheometrychni-kharakterystyky-pereriziv\u002Fvidtsentrovyi-moment-inertsii-ta-povorot-osei":3},{"topic":4,"trail":20,"children":30,"tasks":31,"alternates":32},{"id":5,"name":6,"locale":7,"path":8,"seo_title":6,"seo_description":9,"seo_text":10,"content_html":11,"content_chunks":12},108,"Відцентровий момент інерції та поворот осей","uk","opir-materialiv\u002Fheometrychni-kharakterystyky-pereriziv\u002Fvidtsentrovyi-moment-inertsii-ta-povorot-osei","Відцентровий момент інерції Ixy, формули перетворення Ix, Iy та Ixy при повороті координатних осей і умова головних осей.","Тема розглядає відцентровий момент інерції Ixy та залежність геометричних характеристик площі від орієнтації координатних осей. Наведено формули перетворення Ix, Iy, Ixy при повороті осей, інваріант Ix + Iy та умову визначення головних центральних осей.","\u003Cp>\u003Cstrong>Відцентровий момент інерції $I_{xy}$\u003C\u002Fstrong> характеризує спільний розподіл площі відносно двох взаємно перпендикулярних осей. На відміну від $I_x$ та $I_y$, він може бути додатним, від’ємним або дорівнювати нулю.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>Геометричні моменти другого порядку відносно осей $x$ та $y$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_x=\\int_A y^2\\,dA,\\qquad I_y=\\int_A x^2\\,dA.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Відцентровий момент інерції:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_{xy}=\\int_A xy\\,dA.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Полярний момент інерції відносно точки перетину ортогональних осей:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$J_p=\\int_A(x^2+y^2)dA=I_x+I_y.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Осьові моменти $I_x$, $I_y$ та полярний момент $J_p$ мають розмірність довжини в четвертому степені, наприклад мм⁴.\u003C\u002Fp>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Симетрія\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо одна з центральних осей є віссю симетрії перерізу, відцентровий момент відносно цієї осі та перпендикулярної до неї центральної осі дорівнює нулю. Проте $I_{xy}=0$ саме по собі не означає, що переріз обов’язково має геометричну симетрію.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Поворот осей\u003C\u002Fh2>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>При повороті ортогональних осей на кут $\\theta$ геометричні моменти другого порядку перетворюються за формулами:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_{x'}=\\frac{I_x+I_y}{2}+\\frac{I_x-I_y}{2}\\cos2\\theta-I_{xy}\\sin2\\theta,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_{y'}=\\frac{I_x+I_y}{2}-\\frac{I_x-I_y}{2}\\cos2\\theta+I_{xy}\\sin2\\theta,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$I_{x'y'}=\\frac{I_x-I_y}{2}\\sin2\\theta+I_{xy}\\cos2\\theta.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Головні центральні осі мають $I_{x'y'}=0$. Їх орієнтацію визначають із:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\tan2\\theta_p=-\\frac{2I_{xy}}{I_x-I_y},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>з урахуванням квадранта та прийнятого напряму відліку кута $\\theta_p$.\u003C\u002Fp>\u003C\u002Fdiv>\u003Cp>При повороті осей сума $I_x+I_y$ не змінюється. Це корисний інваріант для перевірки обчислень.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головні осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Орієнтації, для яких $I_{xy}=0$ і $I_x$ та $I_y$ набувають екстремальних значень, називають головними осями інерції. Якщо вони проходять через центр ваги, це головні центральні осі.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Практичне значення\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для несиметричних перерізів визначення головних осей потрібне при косому згині та інших задачах, де напрям навантаження не збігається зі звичними геометричними осями.\u003C\u002Fp>",[13,17],{"id":14,"code":15,"type":16,"locale":7},28,"area-second-moments","formula",{"id":18,"code":19,"type":16,"locale":7},31,"area-inertia-axis-rotation",[21,25,29],{"id":22,"name":23,"path":24},1,"Опір матеріалів","opir-materialiv",{"id":26,"name":27,"path":28},15,"Геометричні характеристики плоских перерізів","opir-materialiv\u002Fheometrychni-kharakterystyky-pereriziv",{"id":5,"name":6,"path":8},[],[],{"uk":33,"en":34},"https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Ftopics\u002Fopir-materialiv\u002Fheometrychni-kharakterystyky-pereriziv\u002Fvidtsentrovyi-moment-inertsii-ta-povorot-osei","https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Fen\u002Ftopics\u002Fstrength-of-materials\u002Fgeometric-properties-of-plane-areas\u002Fproduct-of-inertia-and-axis-rotation",1787712532622]