[{"data":1,"prerenderedAt":38},["ShallowReactive",2],{"topic-uk-opir-materialiv\u002Fkontaktni-napruzhennia\u002Fkontakt-kul-ta-sferychnykh-poverkhon":3},{"topic":4,"trail":23,"children":33,"tasks":34,"alternates":35},{"id":5,"name":6,"locale":7,"path":8,"seo_title":6,"seo_description":9,"seo_text":10,"content_html":11,"content_chunks":12},92,"Контакт куль і сферичних поверхонь","uk","opir-materialiv\u002Fkontaktni-napruzhennia\u002Fkontakt-kul-ta-sferychnykh-poverkhon","Розрахунок пружного контакту куль і сферичних поверхонь: форма та розміри плями контакту, контактний тиск і параметри для оцінювання міцності.","Підтема розглядає контакт куль і сферичних поверхонь у межах пружної контактної моделі. Основна увага приділяється формі та розмірам плями контакту, максимальному контактному тиску та впливу навантаження, геометрії й властивостей матеріалів.","\u003Cp>\u003Cstrong>Контакт куль і сферичних поверхонь\u003C\u002Fstrong> у класичній теорії Герца приводить до кругової контактної площадки радіуса $a$, якщо локальна геометрія та навантаження є осесиметричними.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зведені характеристики\u003C\u002Fh2>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>Приведений модуль пружності двох ізотропних тіл:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{1}{E^*}=\\frac{1-\\nu_1^2}{E_1}+\\frac{1-\\nu_2^2}{E_2}$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>$E^*$ — приведений модуль пружності;\u003C\u002Fli>\u003Cli>$E_1$, $E_2$ — модулі Юнга матеріалів тіл;\u003C\u002Fli>\u003Cli>$\\nu_1$, $\\nu_2$ — коефіцієнти Пуассона.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>Еквівалентно: $E^*=\\left[(1-\\nu_1^2)\u002FE_1+(1-\\nu_2^2)\u002FE_2\\right]^{-1}$.\u003C\u002Fp>\u003C\u002Fdiv>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>Для двох опуклих сферичних поверхонь уздовж відповідного головного напряму приведений радіус можна записати як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{1}{R^*}=\\frac{1}{R_1}+\\frac{1}{R_2}$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>$R^*$ — приведений радіус кривизни;\u003C\u002Fli>\u003Cli>$R_1$, $R_2$ — радіуси кривизни контактуючих поверхонь.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>Для інших поєднань кривизни знак окремого радіуса визначають відповідно до прийнятої геометричної домовленості; для загального просторового контакту враховують головні кривизни обох поверхонь.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Калькулятор нижче відповідає випадку двох опуклих поверхонь із додатними радіусами.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv data-formula-calculator-config=\"eyJ0aXRsZSI6ItCf0YDQuNCy0LXQtNC10L3QuNC5INGA0LDQtNGW0YPRgSDRgyDQutC+0L3RgtCw0LrRgtGWINCT0LXRgNGG0LAiLCJmb3JtdWxhIjoiMS9SKiA9IDEvUjEgKyAxL1IyIiwidmFyaWFibGVzIjpbeyJrZXkiOiJyZWR1Y2VkUmFkaXVzIiwic3ltYm9sIjoiUioiLCJsYWJlbCI6ItCf0YDQuNCy0LXQtNC10L3QuNC5INGA0LDQtNGW0YPRgSIsInF1YW50aXR5IjoibGVuZ3RoIiwiZGVmYXVsdFVuaXQiOiJtbSJ9LHsia2V5IjoicmFkaXVzMSIsInN5bWJvbCI6IlLigoEiLCJsYWJlbCI6ItCg0LDQtNGW0YPRgSDQv9C10YDRiNC+0Zcg0L\u002FQvtCy0LXRgNGF0L3RliIsInF1YW50aXR5IjoibGVuZ3RoIiwiZGVmYXVsdFVuaXQiOiJtbSJ9LHsia2V5IjoicmFkaXVzMiIsInN5bWJvbCI6IlLigoIiLCJsYWJlbCI6ItCg0LDQtNGW0YPRgSDQtNGA0YPQs9C+0Zcg0L\u002FQvtCy0LXRgNGF0L3RliIsInF1YW50aXR5IjoibGVuZ3RoIiwiZGVmYXVsdFVuaXQiOiJtbSJ9XSwic29sdmUiOnsicmVkdWNlZFJhZGl1cyI6InJhZGl1czEgKiByYWRpdXMyIC8gKHJhZGl1czEgKyByYWRpdXMyKSIsInJhZGl1czEiOiJyZWR1Y2VkUmFkaXVzICogcmFkaXVzMiAvIChyYWRpdXMyIC0gcmVkdWNlZFJhZGl1cykiLCJyYWRpdXMyIjoicmVkdWNlZFJhZGl1cyAqIHJhZGl1czEgLyAocmFkaXVzMSAtIHJlZHVjZWRSYWRpdXMpIn19\">\u003C\u002Fdiv>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Радіус контактної площадки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для нормальної сили $F$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$a=\\left(\\frac{3FR^*}{4E^*}\\right)^{1\u002F3}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, розмір контакту зростає зі збільшенням сили та зменшенням жорсткості матеріалів.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Контактний тиск\u003C\u002Fh2>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>Для кругової герцівської плями контакту радіуса $a$ контактний тиск змінюється за законом:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p(r)=p_0\\sqrt{1-\\frac{r^2}{a^2}},\\qquad 0\\le r\\le a$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Максимальний тиск у центрі плями контакту:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p_0=\\frac{3F}{2\\pi a^2}$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>$p(r)$ — контактний тиск на відстані $r$ від центра;\u003C\u002Fli>\u003Cli>$p_0$ — максимальний контактний тиск;\u003C\u002Fli>\u003Cli>$a$ — радіус кругової плями контакту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>$F$ — нормальна сила.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>На межі плями контакту $p(a)=0$, а найбільше значення виникає при $r=0$.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv data-formula-calculator-config=\"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\u002FQvNC4INC60L7QvdGC0LDQutGC0YMiLCJxdWFudGl0eSI6Imxlbmd0aCIsImRlZmF1bHRVbml0IjoibW0ifV0sInNvbHZlIjp7InByZXNzdXJlIjoiMyAqIGZvcmNlIC8gKDIgKiBNYXRoLlBJICogY29udGFjdFJhZGl1cyAqIGNvbnRhY3RSYWRpdXMpIiwiZm9yY2UiOiJwcmVzc3VyZSAqIDIgKiBNYXRoLlBJICogY29udGFjdFJhZGl1cyAqIGNvbnRhY3RSYWRpdXMgLyAzIiwiY29udGFjdFJhZGl1cyI6Ik1hdGguc3FydCgzICogZm9yY2UgLyAoMiAqIE1hdGguUEkgKiBwcmVzc3VyZSkpIn19\">\u003C\u002Fdiv>\u003C\u002Fdiv>\u003Cp>Максимальний тиск $p_0$ виникає в центрі контактної площадки, а на її межі $p(a)=0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Куля на плоскій поверхні\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для контакту кулі радіуса $R$ з площиною $R^*=R$, оскільки радіус кривизни площини нескінченний. Якщо матеріали кулі та площини різні, $E^*$ визначають за властивостями обох тіл.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай сталева куля радіуса $R=10$ мм притискається до плоскої сталевої поверхні силою $F=1000$ Н. Для однакових матеріалів з $E=210$ ГПа та $\\nu=0{,}3$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$E^*=\\left[2\\frac{1-0{,}3^2}{210000}\\right]^{-1}\\approx115385\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Оскільки $R^*=10$ мм:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$a=\\left(\\frac{3\\cdot1000\\cdot10}{4\\cdot115385}\\right)^{1\u002F3}\\approx0{,}402\\ \\text{мм}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Тоді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p_0=\\frac{3\\cdot1000}{2\\pi\\cdot0{,}402^2}\\approx2{,}96\\cdot10^3\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Приклад показує, що навіть помірна сила може створювати дуже високий локальний контактний тиск через малу площу контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Зауваження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо розраховані напруження приводять до значної пластичної деформації, припущення пружної теорії Герца порушуються. Також окремої уваги потребують шорсткість, покриття, тертя та повторне циклічне навантаження.\u003C\u002Fp>",[13,17,20],{"id":14,"code":15,"type":16,"locale":7},2,"hertz-reduced-elastic-modulus","formula",{"id":18,"code":19,"type":16,"locale":7},3,"hertz-reduced-radius",{"id":21,"code":22,"type":16,"locale":7},4,"hertz-pressure-distribution",[24,28,32],{"id":25,"name":26,"path":27},1,"Опір матеріалів","opir-materialiv",{"id":29,"name":30,"path":31},89,"Контактні напруження","opir-materialiv\u002Fkontaktni-napruzhennia",{"id":5,"name":6,"path":8},[],[],{"uk":36,"en":37},"https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Ftopics\u002Fopir-materialiv\u002Fkontaktni-napruzhennia\u002Fkontakt-kul-ta-sferychnykh-poverkhon","https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Fen\u002Ftopics\u002Fstrength-of-materials\u002Fcontact-stresses\u002Fcontact-of-spheres-and-spherical-surfaces",1787712534562]