[{"data":1,"prerenderedAt":46},["ShallowReactive",2],{"topic-uk-opir-materialiv\u002Fkontaktni-napruzhennia\u002Fteoriia-hertsa":3},{"topic":4,"trail":31,"children":41,"tasks":42,"alternates":43},{"id":5,"name":6,"locale":7,"path":8,"seo_title":9,"seo_description":10,"seo_text":11,"content_html":12,"content_chunks":13},91,"Теорія Герца. Основні припущення та формули","uk","opir-materialiv\u002Fkontaktni-napruzhennia\u002Fteoriia-hertsa","Теорія Герца для контактних напружень","Теорія Герца для пружного контакту тіл: основні припущення, область застосування, контактний тиск і параметри, необхідні для інженерного розрахунку.","Підтема присвячена теорії Герца як базовій моделі пружного контакту тіл. Розглядаються її припущення, область застосовності, розподіл контактного тиску та параметри матеріалів і геометрії, що визначають контактні напруження.","\u003Cp>\u003Cstrong>Теорія Герца\u003C\u002Fstrong> описує локальний пружний контакт гладких криволінійних тіл. Вона дозволяє визначити розміри контактної площадки, розподіл контактного тиску та характерні напруження в зоні контакту.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні припущення\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>матеріали тіл однорідні, ізотропні та лінійно-пружні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>деформації малі;\u003C\u002Fli>\u003Cli>контактна область мала порівняно з характерними розмірами тіл і локальними радіусами кривизни;\u003C\u002Fli>\u003Cli>поверхні гладкі, а класична нормальна контактна задача розглядається без істотного впливу тертя;\u003C\u002Fli>\u003Cli>напруження в зоні контакту не повинні спричиняти значну пластичну деформацію, якщо використовується суто пружна модель.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Зведений модуль пружності\u003C\u002Fh2>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>Приведений модуль пружності двох ізотропних тіл:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{1}{E^*}=\\frac{1-\\nu_1^2}{E_1}+\\frac{1-\\nu_2^2}{E_2}$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>$E^*$ — приведений модуль пружності;\u003C\u002Fli>\u003Cli>$E_1$, $E_2$ — модулі Юнга матеріалів тіл;\u003C\u002Fli>\u003Cli>$\\nu_1$, $\\nu_2$ — коефіцієнти Пуассона.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>Еквівалентно: $E^*=\\left[(1-\\nu_1^2)\u002FE_1+(1-\\nu_2^2)\u002FE_2\\right]^{-1}$.\u003C\u002Fp>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Зведений радіус\u003C\u002Fh2>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>Для двох опуклих сферичних поверхонь уздовж відповідного головного напряму приведений радіус можна записати як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{1}{R^*}=\\frac{1}{R_1}+\\frac{1}{R_2}$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>$R^*$ — приведений радіус кривизни;\u003C\u002Fli>\u003Cli>$R_1$, $R_2$ — радіуси кривизни контактуючих поверхонь.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>Для інших поєднань кривизни знак окремого радіуса визначають відповідно до прийнятої геометричної домовленості; для загального просторового контакту враховують головні кривизни обох поверхонь.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Калькулятор нижче відповідає випадку двох опуклих поверхонь із додатними радіусами.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv data-formula-calculator-config=\"eyJ0aXRsZSI6ItCf0YDQuNCy0LXQtNC10L3QuNC5INGA0LDQtNGW0YPRgSDRgyDQutC+0L3RgtCw0LrRgtGWINCT0LXRgNGG0LAiLCJmb3JtdWxhIjoiMS9SKiA9IDEvUjEgKyAxL1IyIiwidmFyaWFibGVzIjpbeyJrZXkiOiJyZWR1Y2VkUmFkaXVzIiwic3ltYm9sIjoiUioiLCJsYWJlbCI6ItCf0YDQuNCy0LXQtNC10L3QuNC5INGA0LDQtNGW0YPRgSIsInF1YW50aXR5IjoibGVuZ3RoIiwiZGVmYXVsdFVuaXQiOiJtbSJ9LHsia2V5IjoicmFkaXVzMSIsInN5bWJvbCI6IlLigoEiLCJsYWJlbCI6ItCg0LDQtNGW0YPRgSDQv9C10YDRiNC+0Zcg0L\u002FQvtCy0LXRgNGF0L3RliIsInF1YW50aXR5IjoibGVuZ3RoIiwiZGVmYXVsdFVuaXQiOiJtbSJ9LHsia2V5IjoicmFkaXVzMiIsInN5bWJvbCI6IlLigoIiLCJsYWJlbCI6ItCg0LDQtNGW0YPRgSDQtNGA0YPQs9C+0Zcg0L\u002FQvtCy0LXRgNGF0L3RliIsInF1YW50aXR5IjoibGVuZ3RoIiwiZGVmYXVsdFVuaXQiOiJtbSJ9XSwic29sdmUiOnsicmVkdWNlZFJhZGl1cyI6InJhZGl1czEgKiByYWRpdXMyIC8gKHJhZGl1czEgKyByYWRpdXMyKSIsInJhZGl1czEiOiJyZWR1Y2VkUmFkaXVzICogcmFkaXVzMiAvIChyYWRpdXMyIC0gcmVkdWNlZFJhZGl1cykiLCJyYWRpdXMyIjoicmVkdWNlZFJhZGl1cyAqIHJhZGl1czEgLyAocmFkaXVzMSAtIHJlZHVjZWRSYWRpdXMpIn19\">\u003C\u002Fdiv>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Точковий сферичний контакт\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для осесиметричного контакту сферичних поверхонь радіус кругової площадки:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$a=\\left(\\frac{3FR^*}{4E^*}\\right)^{1\u002F3}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Максимальний контактний тиск:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p_0=\\frac{3F}{2\\pi a^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Розподіл тиску:\u003C\u002Fp>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>Для кругової герцівської плями контакту радіуса $a$ контактний тиск змінюється за законом:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p(r)=p_0\\sqrt{1-\\frac{r^2}{a^2}},\\qquad 0\\le r\\le a$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Максимальний тиск у центрі плями контакту:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p_0=\\frac{3F}{2\\pi a^2}$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>$p(r)$ — контактний тиск на відстані $r$ від центра;\u003C\u002Fli>\u003Cli>$p_0$ — максимальний контактний тиск;\u003C\u002Fli>\u003Cli>$a$ — радіус кругової плями контакту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>$F$ — нормальна сила.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>На межі плями контакту $p(a)=0$, а найбільше значення виникає при $r=0$.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv data-formula-calculator-config=\"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\u002FQvNC4INC60L7QvdGC0LDQutGC0YMiLCJxdWFudGl0eSI6Imxlbmd0aCIsImRlZmF1bHRVbml0IjoibW0ifV0sInNvbHZlIjp7InByZXNzdXJlIjoiMyAqIGZvcmNlIC8gKDIgKiBNYXRoLlBJICogY29udGFjdFJhZGl1cyAqIGNvbnRhY3RSYWRpdXMpIiwiZm9yY2UiOiJwcmVzc3VyZSAqIDIgKiBNYXRoLlBJICogY29udGFjdFJhZGl1cyAqIGNvbnRhY3RSYWRpdXMgLyAzIiwiY29udGFjdFJhZGl1cyI6Ik1hdGguc3FydCgzICogZm9yY2UgLyAoMiAqIE1hdGguUEkgKiBwcmVzc3VyZSkpIn19\">\u003C\u002Fdiv>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Лінійний контакт\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для паралельних циліндрів контактна область наближено має форму вузької прямокутної смуги. Формули для півширини $b$ та максимального тиску $p_0$ використовують навантаження на одиницю довжини $F'=F\u002FL$.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>Для герцівського лінійного контакту двох циліндричних поверхонь навантаження зручно задавати на одиницю довжини контакту:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$F'=\\frac{F}{L}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Півширина контактної смуги:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$b=\\sqrt{\\frac{4F'R^*}{\\pi E^*}}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Розподіл контактного тиску поперек смуги має вигляд:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p(x)=p_0\\sqrt{1-\\frac{x^2}{b^2}},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>а максимальний тиск у центрі контакту:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$p_0=\\frac{2F'}{\\pi b}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>$F$\u003C\u002Fstrong> — повна нормальна контактна сила;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$L$\u003C\u002Fstrong> — довжина лінії контакту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$F'$\u003C\u002Fstrong> — навантаження на одиницю довжини контакту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$b$\u003C\u002Fstrong> — півширина контактної смуги;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$E^*$\u003C\u002Fstrong> — зведений модуль пружності;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>$R^*$\u003C\u002Fstrong> — зведений радіус кривизни.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>Калькулятор нижче використовує еквівалентну форму $F'=\\pi E^*b^2\u002F(4R^*)$ і дозволяє знаходити $F'$, $b$, $E^*$ або $R^*$.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv data-formula-calculator-config=\"eyJ0aXRsZSI6ItCT0LXRgNGG0ZbQstGB0YzQutC40Lkg0LvRltC90ZbQudC90LjQuSDQutC+0L3RgtCw0LrRgiDRhtC40LvRltC90LTRgNGW0LIiLCJmb3JtdWxhIjoiRuKAsiA9IM+ARSpiwrIgLyAoNFIqKSIsInZhcmlhYmxlcyI6W3sia2V5IjoibGluZUxvYWQiLCJzeW1ib2wiOiJG4oCyIiwibGFiZWwiOiLQndCw0LLQsNC90YLQsNC20LXQvdC90Y8g0L3QsCDQvtC00LjQvdC40YbRjiDQtNC+0LLQttC40L3QuCIsInF1YW50aXR5IjoiZGlzdHJpYnV0ZWRMb2FkIiwiZGVmYXVsdFVuaXQiOiJrTl9wZXJfbSJ9LHsia2V5IjoiaGFsZldpZHRoIiwic3ltYm9sIjoiYiIsImxhYmVsIjoi0J\u002FRltCy0YjQuNGA0LjQvdCwINC60L7QvdGC0LDQutGC0L3QvtGXINGB0LzRg9Cz0LgiLCJxdWFudGl0eSI6Imxlbmd0aCIsImRlZmF1bHRVbml0IjoibW0ifSx7ImtleSI6InJlZHVjZWRNb2R1bHVzIiwic3ltYm9sIjoiRSoiLCJsYWJlbCI6ItCX0LLQtdC00LXQvdC40Lkg0LzQvtC00YPQu9GMINC\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\">\u003C\u002Fdiv>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Послідовність розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cdiv class=\"algorithm-chunk\">\u003Col>\u003Cli>Визначте тип початкового контакту та локальні радіуси кривизни поверхонь.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірте передумови пружної теорії Герца: мала контактна область, малі деформації, гладкі поверхні, відсутність істотної пластичності.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчисліть зведений модуль пружності $E^*$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначте зведену кривизну або зведений радіус $R^*$ для відповідної геометрії.\u003C\u002Fli>\u003Cli>За нормальною силою $F$ знайдіть розміри плями або смуги контакту.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчисліть максимальний контактний тиск $p_0$ і, за потреби, його розподіл $p(r)$ або $p(x)$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Оцініть підповерхневий напружений стан та критерій контактної міцності, потрібний для конкретної деталі.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Перевірте вплив циклічності, тертя, мастила, шорсткості, перекосу й крайових ефектів, якщо вони істотні.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Обмеження\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Теорія Герца не описує безпосередньо значну пластичність, грубу шорсткість, адгезію, складне тертя, тонкі покриття або контакт поблизу геометричних країв. Для таких задач потрібні модифіковані контактні моделі або чисельний аналіз.\u003C\u002Fp>",[14,18,21,24,27],{"id":15,"code":16,"type":17,"locale":7},2,"hertz-reduced-elastic-modulus","formula",{"id":19,"code":20,"type":17,"locale":7},3,"hertz-reduced-radius",{"id":22,"code":23,"type":17,"locale":7},4,"hertz-pressure-distribution",{"id":25,"code":26,"type":17,"locale":7},64,"hertz-cylinder-line-contact",{"id":28,"code":29,"type":30,"locale":7},65,"hertz-contact-calculation-algorithm","algorithm",[32,36,40],{"id":33,"name":34,"path":35},1,"Опір матеріалів","opir-materialiv",{"id":37,"name":38,"path":39},89,"Контактні напруження","opir-materialiv\u002Fkontaktni-napruzhennia",{"id":5,"name":6,"path":8},[],[],{"uk":44,"en":45},"https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Ftopics\u002Fopir-materialiv\u002Fkontaktni-napruzhennia\u002Fteoriia-hertsa","https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Fen\u002Ftopics\u002Fstrength-of-materials\u002Fcontact-stresses\u002Fhertz-contact-theory",1787679780404]