[{"data":1,"prerenderedAt":40},["ShallowReactive",2],{"topic-uk-opir-materialiv\u002Frozrakhunok-obolonok\u002Fbezmomentna-teoriia-obolonok":3},{"topic":4,"trail":25,"children":35,"tasks":36,"alternates":37},{"id":5,"name":6,"locale":7,"path":8,"seo_title":9,"seo_description":10,"seo_text":11,"content_html":12,"content_chunks":13},88,"Безмоментна теорія","uk","opir-materialiv\u002Frozrakhunok-obolonok\u002Fbezmomentna-teoriia-obolonok","Безмоментна теорія оболонок — задачі та розрахунки","Інтерактивні задачі з безмоментної теорії оболонок: визначення меридіональних і кільцевих зусиль та напружень у тонкостінних конструкціях.","Безмоментна теорія оболонок використовується для розрахунку тонкостінних конструкцій у випадках, коли згинальними моментами можна знехтувати. Основними внутрішніми силовими факторами при такому розрахунку є зусилля, що діють у дотичній площині оболонки.\nІнтерактивні задачі цього розділу охоплюють визначення меридіональних і кільцевих зусиль та відповідних нормальних напружень у тонкостінних оболонках під дією внутрішнього тиску та інших навантажень. \nРозділ допомагає сформувати практичні навички розрахунку тонкостінних оболонок і призначений для студентів, які вивчають опір матеріалів, механіку деформівного твердого тіла та розрахунок інженерних конструкцій.","\u003Cp>\u003Cstrong>Безмоментна теорія оболонок\u003C\u002Fstrong> — наближена теорія, у якій згинальними й крутними моментами та поперечними силами нехтують, а навантаження передається переважно мембранними зусиллями в дотичній площині серединної поверхні.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Основні припущення\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>товщина оболонки мала порівняно з характерними радіусами кривизни;\u003C\u002Fli>\u003Cli>напруження по товщині можна описувати середніми мембранними значеннями;\u003C\u002Fli>\u003Cli>область розрахунку достатньо віддалена від локальних крайових збурень;\u003C\u002Fli>\u003Cli>геометрія та навантаження дозволяють задовольнити рівновагу без істотних згинальних моментів.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Ch2>Мембранні зусилля\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У головних напрямах серединної поверхні нормальні зусилля $N_1$ і $N_2$ мають розмірність сили на одиницю довжини, наприклад Н\u002Fмм. Для товщини $t$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_1=\\frac{N_1}{t},\\qquad \\sigma_2=\\frac{N_2}{t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння Лапласа\u003C\u002Fh2>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>Для елемента тонкої оболонки, що працює в безмоментному стані під нормальним тиском p, локальна рівновага в напрямку нормалі приводить до рівняння:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{N_1}{R_1}+\\frac{N_2}{R_2}=p.$$\u003C\u002Fp>\u003Cul>\u003Cli>\u003Cstrong>N1, N2\u003C\u002Fstrong> — мембранні нормальні зусилля на одиницю довжини у двох головних напрямках серединної поверхні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>R1, R2\u003C\u002Fstrong> — відповідні головні радіуси кривизни;\u003C\u002Fli>\u003Cli>\u003Cstrong>p\u003C\u002Fstrong> — результуюче нормальне навантаження на одиницю площі серединної поверхні.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>\u003Cp>Для оболонки сталої товщини t відповідні середні нормальні напруження: $\\sigma_1=N_1\u002Ft$ та $\\sigma_2=N_2\u002Ft$. Знаки повинні відповідати прийнятій конвенції для кривизни, тиску й мембранних зусиль.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv data-formula-calculator-config=\"eyJ0aXRsZSI6ItCg0ZbQstC90Y\u002FQvdC90Y8g0JvQsNC\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\">\u003C\u002Fdiv>\u003C\u002Fdiv>\u003Cp>Одного рівняння нормальної рівноваги загалом недостатньо для визначення двох невідомих мембранних зусиль. Друге співвідношення отримують із рівноваги частини оболонки, симетрії задачі або інших рівнянь мембранної рівноваги.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Циліндрична оболонка під внутрішнім тиском\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для циліндра один головний радіус кривизни дорівнює $r$, а вздовж твірної кривизна дорівнює нулю, тобто відповідний радіус формально нескінченний. Нормальна рівновага дає кільцеве зусилля $N_\\theta=pr$. Поздовжнє зусилля в замкненому циліндрі визначають із рівноваги торцевої частини.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv class=\"formula-chunk\">\u003Cp>Для тонкостінної замкненої циліндричної оболонки радіуса r і товщини t під рівномірним внутрішнім надлишковим тиском p, далеко від країв і локальних збурень:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$N_\\theta=pr,\\qquad \\sigma_\\theta=\\frac{pr}{t},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$N_z=\\frac{pr}{2},\\qquad \\sigma_z=\\frac{pr}{2t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Кільцеве напруження вдвічі більше за поздовжнє.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Для тонкостінної замкненої сферичної оболонки:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$N=\\frac{pr}{2},\\qquad \\sigma=\\frac{pr}{2t}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Формули є мембранними наближеннями для $t\\ll r$ і рівномірного тиску; поблизу країв, отворів, опор та різких змін геометрії можуть виникати додаткові згинальні й локальні напруження.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Калькулятор нижче використовує кільцеве напруження тонкостінного циліндра.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv data-formula-calculator-config=\"eyJ0aXRsZSI6ItCa0ZbQu9GM0YbQtdCy0LUg0L3QsNC\u002F0YDRg9C20LXQvdC90Y8g0LIg0YLQvtC90LrQvtGB0YLRltC90L3QvtC80YMg0YbQuNC70ZbQvdC00YDRliIsImZvcm11bGEiOiLPg864ID0gcHIgLyB0IiwidmFyaWFibGVzIjpbeyJrZXkiOiJob29wU3RyZXNzIiwic3ltYm9sIjoiz4NfzrgiLCJsYWJlbCI6ItCa0ZbQu9GM0YbQtdCy0LUg0L3QsNC\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\">\u003C\u002Fdiv>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Виведення поздовжнього зусилля циліндра\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тиск на торець створює результуючу $p\\pi r^2$. Її врівноважує поздовжнє мембранне зусилля по колу:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$2\\pi r N_z=p\\pi r^2,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>звідки:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$N_z=\\frac{pr}{2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сферична оболонка\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для сфери $R_1=R_2=r$, а через симетрію $N_1=N_2=N$. Із рівняння Лапласа:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{N}{r}+\\frac{N}{r}=p,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>тому $N=pr\u002F2$ і $\\sigma=pr\u002F(2t)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Тонкостінний замкнений циліндр має внутрішній радіус $r=500$ мм, товщину $t=10$ мм і надлишковий внутрішній тиск $p=2$ МПа. Мембранні напруження:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_\\theta=\\frac{2\\cdot500}{10}=100\\ \\text{МПа},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\sigma_z=\\frac{2\\cdot500}{2\\cdot10}=50\\ \\text{МПа}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Отже, для цієї ідеалізованої схеми кільцеве напруження є визначальнішим за поздовжнє.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розрахунку\u003C\u002Fh2>\u003Cdiv class=\"algorithm-chunk\">\u003Col>\u003Cli>Перевірте, чи оболонка є тонкостінною та чи допустимо нехтувати згинальними моментами в області, що розглядається.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Задайте серединну поверхню, товщину t, головні напрями та радіуси кривизни R1 і R2.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначте зовнішнє навантаження: нормальний тиск, власну вагу або інші розподілені дії.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Запишіть рівняння локальної рівноваги оболонки та, якщо потрібно, рівновагу відсіченої частини.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Знайдіть мембранні зусилля N1 і N2 на одиницю довжини.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Обчисліть середні мембранні напруження $\\sigma_1=N_1\u002Ft$ і $\\sigma_2=N_2\u002Ft$.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Визначте небезпечні області та виконайте перевірку міцності за прийнятим критерієм.\u003C\u002Fli>\u003Cli>Окремо оцініть краї, отвори, опори, стики, зосереджені навантаження та різкі зміни геометрії, де безмоментна теорія може бути недостатньою.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Обмеження безмоментної теорії\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Безмоментний стан зазвичай порушується поблизу жорстких країв, опор, фланців, патрубків, отворів, стиків, зосереджених навантажень і різких змін кривизни або товщини. У цих областях виникають згинальні та крайові напруження, для визначення яких потрібна моментна теорія оболонок або чисельний аналіз.\u003C\u002Fp>",[14,18,21],{"id":15,"code":16,"type":17,"locale":7},59,"shell-laplace-equilibrium","formula",{"id":19,"code":20,"type":17,"locale":7},60,"thin-pressure-vessel-membrane-stress",{"id":22,"code":23,"type":24,"locale":7},61,"membrane-shell-calculation-algorithm","algorithm",[26,30,34],{"id":27,"name":28,"path":29},1,"Опір матеріалів","opir-materialiv",{"id":31,"name":32,"path":33},87,"Розрахунок оболонок","opir-materialiv\u002Frozrakhunok-obolonok",{"id":5,"name":6,"path":8},[],[],{"uk":38,"en":39},"https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Ftopics\u002Fopir-materialiv\u002Frozrakhunok-obolonok\u002Fbezmomentna-teoriia-obolonok","https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Fen\u002Ftopics\u002Fstrength-of-materials\u002Fshell-analysis\u002Fmembrane-theory-of-shells",1787712533252]