[{"data":1,"prerenderedAt":32},["ShallowReactive",2],{"topic-uk-teoretychna-mekhanika\u002Fdynamika\u002Fanalitychna-mekhanika-ta-kolyvannia\u002Fmali-kolyvannia-systemy-z-odnym-stupenem-vilnosti":3},{"topic":4,"trail":13,"children":27,"tasks":28,"alternates":29},{"id":5,"name":6,"locale":7,"path":8,"seo_title":6,"seo_description":9,"seo_text":10,"content_html":11,"content_chunks":12},247,"Малі коливання системи з одним ступенем вільності","uk","teoretychna-mekhanika\u002Fdynamika\u002Fanalitychna-mekhanika-ta-kolyvannia\u002Fmali-kolyvannia-systemy-z-odnym-stupenem-vilnosti","Вільні та вимушені малі коливання механічної системи з одним ступенем вільності, частота й резонанс.","Тема розглядає лінеаризовані вільні та вимушені коливання системи з одним ступенем вільності, власну частоту та резонанс.","\u003Cp>\u003Cstrong>Малі коливання\u003C\u002Fstrong> виникають поблизу положення стійкої рівноваги, коли відхилення достатньо малі, щоб рівняння руху можна було лінеаризувати. Для системи з одним ступенем вільності рух описується однією узагальненою координатою.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вільні коливання без опору\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Стандартне лінійне рівняння має вигляд:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\ddot x+kx=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Власна кругова частота:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\omega_n=\\sqrt{\\frac{k}{m}},$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>а період $T=2\\pi\u002F\\omega_n$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Закон вільних коливань\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Розв’язок можна записати як $x=C_1\\cos\\omega_nt+C_2\\sin\\omega_nt$ або $x=A\\cos(\\omega_nt+\\varphi)$. Амплітуда та початкова фаза визначаються початковими умовами.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>В’язке демпфування\u003C\u002Fh2>\u003Cp>При лінійному опорі $c\\dot x$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\ddot x+c\\dot x+kx=0.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Характер руху залежить від співвідношення демпфування та критичного значення. При слабкому демпфуванні система здійснює затухаючі коливання.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вимушені коливання\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для гармонічної зовнішньої сили $F_0\\cos\\Omega t$:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\ddot x+c\\dot x+kx=F_0\\cos\\Omega t.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Усталена відповідь має частоту збудження $\\Omega$, а її амплітуда залежить від частотного відношення та демпфування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Резонанс\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У недемпфованій ідеалізованій системі при $\\Omega=\\omega_n$ гармонічне збудження приводить до резонансного зростання амплітуди. За наявності демпфування амплітуда залишається скінченною, а максимум частотної характеристики зміщується залежно від демпфування.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Лінеаризація поблизу рівноваги\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для загальної системи координату відлічують від положення стійкої рівноваги та залишають члени першого порядку за малим відхиленням. У результаті отримують рівняння типу $m_{eq}\\ddot q+c_{eq}\\dot q+k_{eq}q=Q(t)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи $m=2$ кг, $k=50$ Н\u002Fм без демпфування власна частота $\\omega_n=\\sqrt{50\u002F2}=5$ рад\u002Fс, а період $T=2\\pi\u002F5\\approx1{,}26$ с.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати кругову частоту в рад\u002Fс зі звичайною частотою $f=\\omega\u002F(2\\pi)$ у герцах;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати лінійну модель малих коливань при великих відхиленнях без перевірки;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати демпфування при оцінюванні резонансної амплітуди реальної системи;\u003C\u002Fli>\u003Cli>використовувати фізичну масу $m$ замість еквівалентної інерції для складного механізму без виведення.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],[14,18,22,26],{"id":15,"name":16,"path":17},40,"Теоретична механіка","teoretychna-mekhanika",{"id":19,"name":20,"path":21},135,"Динаміка","teoretychna-mekhanika\u002Fdynamika",{"id":23,"name":24,"path":25},292,"Аналітична механіка та коливання","teoretychna-mekhanika\u002Fdynamika\u002Fanalitychna-mekhanika-ta-kolyvannia",{"id":5,"name":6,"path":8},[],[],{"uk":30,"en":31},"https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Ftopics\u002Fteoretychna-mekhanika\u002Fdynamika\u002Fanalitychna-mekhanika-ta-kolyvannia\u002Fmali-kolyvannia-systemy-z-odnym-stupenem-vilnosti","https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Fen\u002Ftopics\u002Ftheoretical-mechanics\u002Fdynamics\u002Fanalytical-mechanics-and-oscillations\u002Fsmall-oscillations-one-degree-of-freedom-system",1787712529039]