[{"data":1,"prerenderedAt":32},["ShallowReactive",2],{"topic-uk-teoretychna-mekhanika\u002Fdynamika\u002Fanalitychna-mekhanika-ta-kolyvannia\u002Frivniannia-lahranzha-druhoho-rodu":3},{"topic":4,"trail":13,"children":27,"tasks":28,"alternates":29},{"id":5,"name":6,"locale":7,"path":8,"seo_title":6,"seo_description":9,"seo_text":10,"content_html":11,"content_chunks":12},246,"Рівняння Лагранжа другого роду","uk","teoretychna-mekhanika\u002Fdynamika\u002Fanalitychna-mekhanika-ta-kolyvannia\u002Frivniannia-lahranzha-druhoho-rodu","Узагальнені координати, узагальнені сили та рівняння Лагранжа другого роду для механічних систем.","Тема вводить узагальнені координати й сили та рівняння Лагранжа другого роду як універсальний метод складання рівнянь руху.","\u003Cp>\u003Cstrong>Рівняння Лагранжа другого роду\u003C\u002Fstrong> дають систематичний спосіб отримати рівняння руху механічної системи через незалежні узагальнені координати, не вводячи явно реакції ідеальних в’язей.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Узагальнені координати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо система має $s$ ступенів вільності, її конфігурацію можна задати незалежними координатами $q_1,\\ldots,q_s$. Це можуть бути лінійні переміщення, кути або інші параметри, що однозначно визначають положення системи.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Узагальнені швидкості\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Похідні $\\dot q_j$ називають узагальненими швидкостями. Кінетична енергія системи записується як функція $T(q_j,\\dot q_j,t)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Узагальнені сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Віртуальна робота активних сил подається у вигляді:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\delta A=\\sum_{j=1}^{s}Q_j\\delta q_j,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $Q_j$ — узагальнена сила, що відповідає координаті $q_j$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння Лагранжа\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи з ідеальними в’язями:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$\\frac{d}{dt}\\left(\\frac{\\partial T}{\\partial\\dot q_j}\\right)-\\frac{\\partial T}{\\partial q_j}=Q_j,\\qquad j=1,\\ldots,s.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Кількість незалежних рівнянь дорівнює числу ступенів вільності.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Консервативні сили\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сили мають потенціальну енергію $\\Pi(q,t)$, то $Q_j=-\\partial\\Pi\u002F\\partial q_j$ для відповідної консервативної частини. Вводячи функцію Лагранжа $L=T-\\Pi$, рівняння можна записати як $d(\\partial L\u002F\\partial\\dot q_j)\u002Fdt-\\partial L\u002F\\partial q_j=Q_j^{nc}$, де $Q_j^{nc}$ — неконсервативні узагальнені сили.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Алгоритм розв’язування\u003C\u002Fh2>\u003Col>\u003Cli>визначити число ступенів вільності;\u003C\u002Fli>\u003Cli>вибрати незалежні $q_j$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>виразити положення та швидкості частин системи через $q_j,\\dot q_j$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>обчислити $T$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>визначити $Q_j$ або $\\Pi$;\u003C\u002Fli>\u003Cli>скласти по одному рівнянню Лагранжа для кожної координати.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Fol>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для вантажу маси $m$ на горизонтальній пружині з координатою $x$: $T=m\\dot x^2\u002F2$, $\\Pi=kx^2\u002F2$. Тоді рівняння Лагранжа дає $m\\ddot x+kx=0$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>вибирати залежні координати як незалежні;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати узагальнену силу зі звичайною силою в ньютонах — для кутової координати вона має розмірність моменту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>пропускати залежність кінетичної енергії від координат;\u003C\u002Fli>\u003Cli>подвійно враховувати консервативну силу і через $\\Pi$, і через $Q_j$.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],[14,18,22,26],{"id":15,"name":16,"path":17},40,"Теоретична механіка","teoretychna-mekhanika",{"id":19,"name":20,"path":21},135,"Динаміка","teoretychna-mekhanika\u002Fdynamika",{"id":23,"name":24,"path":25},292,"Аналітична механіка та коливання","teoretychna-mekhanika\u002Fdynamika\u002Fanalitychna-mekhanika-ta-kolyvannia",{"id":5,"name":6,"path":8},[],[],{"uk":30,"en":31},"https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Ftopics\u002Fteoretychna-mekhanika\u002Fdynamika\u002Fanalitychna-mekhanika-ta-kolyvannia\u002Frivniannia-lahranzha-druhoho-rodu","https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Fen\u002Ftopics\u002Ftheoretical-mechanics\u002Fdynamics\u002Fanalytical-mechanics-and-oscillations\u002Flagranges-equations-of-the-second-kind",1787679776659]