[{"data":1,"prerenderedAt":32},["ShallowReactive",2],{"topic-uk-teoretychna-mekhanika\u002Fdynamika\u002Fdynamika-materialnoi-tochky\u002Fdyferentsialni-rivniannia-rukhu-materialnoi-tochky":3},{"topic":4,"trail":13,"children":27,"tasks":28,"alternates":29},{"id":5,"name":6,"locale":7,"path":8,"seo_title":6,"seo_description":9,"seo_text":10,"content_html":11,"content_chunks":12},228,"Диференціальні рівняння руху матеріальної точки","uk","teoretychna-mekhanika\u002Fdynamika\u002Fdynamika-materialnoi-tochky\u002Fdyferentsialni-rivniannia-rukhu-materialnoi-tochky","Рівняння руху матеріальної точки у векторній, декартовій та природній формах і постановка задач динаміки.","Тема розглядає основне рівняння динаміки матеріальної точки та його запис у декартових і природних координатах.","\u003Cp>Диференціальні рівняння руху поєднують кінематику точки із силами, що на неї діють. Для матеріальної точки сталої маси вони безпосередньо випливають із другого закону Ньютона.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Векторне рівняння\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Основне рівняння руху:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\frac{d^2\\vec r}{dt^2}=\\sum_i\\vec F_i.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо сили залежать від положення, швидкості або часу, права частина може мати вигляд $\\vec F(\\vec r,\\vec v,t)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Рівняння в декартових координатах\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Проєктування на нерухомі осі дає систему:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\ddot x=\\sum F_x,\\qquad m\\ddot y=\\sum F_y,\\qquad m\\ddot z=\\sum F_z.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Це система диференціальних рівнянь другого порядку відносно координат точки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Природні координати\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для руху по відомій траєкторії зручно проєктувати рівняння на дотичну та головну нормаль:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$m\\frac{dv}{dt}=\\sum F_\\tau,\\qquad m\\frac{v^2}{\\rho}=\\sum F_n,$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>де $\\rho$ — радіус кривини траєкторії.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Початкові умови\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для однозначного визначення руху зазвичай задають початкове положення та початкову швидкість, наприклад $x(t_0)=x_0$ і $\\dot x(t_0)=v_{0x}$. Сталі інтегрування визначають саме з цих умов.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Вибір координат\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Систему координат варто узгоджувати з геометрією руху й напрямами сил. Для прямолінійного руху достатньо однієї осі; для руху по кривій часто ефективні природні координати.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для вертикального падіння без опору повітря, якщо вісь $y$ спрямована вгору, маємо $m\\ddot y=-mg$, тобто $\\ddot y=-g$. Після двох інтегрувань і використання початкових умов отримують закон руху.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>плутати знак проєкції сили з модулем сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не враховувати реакції в’язей;\u003C\u002Fli>\u003Cli>інтегрувати рівняння без використання початкових умов;\u003C\u002Fli>\u003Cli>застосовувати $v^2\u002F\\rho$ як повне прискорення замість нормальної складової.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[],[14,18,22,26],{"id":15,"name":16,"path":17},40,"Теоретична механіка","teoretychna-mekhanika",{"id":19,"name":20,"path":21},135,"Динаміка","teoretychna-mekhanika\u002Fdynamika",{"id":23,"name":24,"path":25},289,"Динаміка матеріальної точки","teoretychna-mekhanika\u002Fdynamika\u002Fdynamika-materialnoi-tochky",{"id":5,"name":6,"path":8},[],[],{"uk":30,"en":31},"https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Ftopics\u002Fteoretychna-mekhanika\u002Fdynamika\u002Fdynamika-materialnoi-tochky\u002Fdyferentsialni-rivniannia-rukhu-materialnoi-tochky","https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Fen\u002Ftopics\u002Ftheoretical-mechanics\u002Fdynamics\u002Fparticle-dynamics\u002Fdifferential-equations-of-motion-of-a-particle",1787712527606]