[{"data":1,"prerenderedAt":37},["ShallowReactive",2],{"topic-uk-teoretychna-mekhanika\u002Fstatyka\u002Fprostorova-statyka\u002Fprostorova-systema-syl":3},{"topic":4,"trail":18,"children":32,"tasks":33,"alternates":34},{"id":5,"name":6,"locale":7,"path":8,"seo_title":9,"seo_description":10,"seo_text":11,"content_html":12,"content_chunks":13},176,"Просторова система сил","uk","teoretychna-mekhanika\u002Fstatyka\u002Fprostorova-statyka\u002Fprostorova-systema-syl","Просторова система сил — теоретична механіка","Просторова система сил у статиці: проекції сил, моменти відносно осей, головний вектор і головний момент у тривимірних задачах.","Тема переносить основні поняття статики на просторові системи сил. Розглядаються складові сил у трьох вимірах, моменти та характеристики системи, потрібні для аналізу просторової рівноваги.","\u003Cp>\u003Cstrong>Просторова система сил\u003C\u002Fstrong> — система, у якій лінії дії сил не обмежені однією площиною. Для її аналітичного опису використовують три координатні осі, векторні моменти та правила векторного добутку.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила у просторі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>У декартовій системі координат силу записують як $\\vec F=F_x\\vec i+F_y\\vec j+F_z\\vec k$. Три проекції однозначно задають вектор сили, а їх знаки визначають напрями складових уздовж координатних осей.\u003C\u002Fp>\u003Cp>Якщо просторова сила задана декартовими проекціями $F_x$, $F_y$ і $F_z$, її модуль визначають як:\u003C\u002Fp>\u003Cp>$$F=\\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}.$$\u003C\u002Fp>\u003Cp>Проекції є алгебраїчними величинами, тому їх знаки визначають напрям вектора, а модуль сили завжди невід’ємний.\u003C\u002Fp>\u003Cdiv data-formula-calculator-config=\"eyJ0aXRsZSI6ItCc0L7QtNGD0LvRjCDRgdC40LvQuCDQt9CwINGC0YDRjNC+0LzQsCDQv9GA0L7QtdC60YbRltGP0LzQuCIsImZvcm11bGEiOiJGID0g4oiaKEbigpPCsiArIEbhtafCsiArIEZfesKyKSIsInZhcmlhYmxlcyI6W3sia2V5IjoiZm9yY2UiLCJzeW1ib2wiOiJGIiwibGFiZWwiOiLQnNC+0LTRg9C70Ywg0YHQuNC70LgiLCJxdWFudGl0eSI6ImZvcmNlIiwiZGVmYXVsdFVuaXQiOiJOIn0seyJrZXkiOiJmeCIsInN5bWJvbCI6IkbigpMiLCJsYWJlbCI6ItCf0YDQvtC10LrRhtGW0Y8g0L3QsCDQstGW0YHRjCB4IiwicXVhbnRpdHkiOiJmb3JjZSIsImRlZmF1bHRVbml0IjoiTiJ9LHsia2V5IjoiZnkiLCJzeW1ib2wiOiJG4bWnIiwibGFiZWwiOiLQn9GA0L7QtdC60YbRltGPINC90LAg0LLRltGB0YwgeSIsInF1YW50aXR5IjoiZm9yY2UiLCJkZWZhdWx0VW5pdCI6Ik4ifSx7ImtleSI6ImZ6Iiwic3ltYm9sIjoiRl96IiwibGFiZWwiOiLQn9GA0L7QtdC60YbRltGPINC90LAg0LLRltGB0YwgeiIsInF1YW50aXR5IjoiZm9yY2UiLCJkZWZhdWx0VW5pdCI6Ik4ifV0sInNvbHZlIjp7ImZvcmNlIjoiTWF0aC5zcXJ0KGZ4ICogZnggKyBmeSAqIGZ5ICsgZnogKiBmeikiLCJmeCI6Ik1hdGguc3FydChmb3JjZSAqIGZvcmNlIC0gZnkgKiBmeSAtIGZ6ICogZnopIiwiZnkiOiJNYXRoLnNxcnQoZm9yY2UgKiBmb3JjZSAtIGZ4ICogZnggLSBmeiAqIGZ6KSIsImZ6IjoiTWF0aC5zcXJ0KGZvcmNlICogZm9yY2UgLSBmeCAqIGZ4IC0gZnkgKiBmeSkifX0=\">\u003C\u002Fdiv>\u003Ch2>Напрямні косинуси\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо $\\alpha$, $\\beta$ і $\\gamma$ — кути між вектором сили та додатними напрямами осей $x$, $y$, $z$, то $F_x=F\\cos\\alpha$, $F_y=F\\cos\\beta$, $F_z=F\\cos\\gamma$. Для напрямних косинусів виконується тотожність $\\cos^2\\alpha+\\cos^2\\beta+\\cos^2\\gamma=1$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Сила вздовж заданої прямої\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Якщо сила напрямлена від точки $A(x_A,y_A,z_A)$ до точки $B(x_B,y_B,z_B)$, спочатку утворюють вектор $\\overrightarrow{AB}$. Після нормування отримують одиничний вектор $\\vec e_{AB}=\\overrightarrow{AB}\u002F|\\overrightarrow{AB}|$, а силу записують як $\\vec F=F\\vec e_{AB}$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент сили відносно точки\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Момент сили $\\vec F$, прикладеної в точці $A$, відносно точки $O$ визначається векторним добутком $\\vec M_O=\\vec r\\times\\vec F$, де $\\vec r=\\overrightarrow{OA}$. Вектор моменту перпендикулярний до площини, утвореної $\\vec r$ і $\\vec F$, а його напрям визначають правилом правої руки.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Момент сили відносно осі\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Момент відносно координатної або довільної осі дорівнює проекції вектора моменту сили на цю вісь. Якщо $\\vec e$ — одиничний вектор осі, то $M_{axis}=\\vec e\\cdot(\\vec r\\times\\vec F)$.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Головний вектор і головний момент\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Для системи просторових сил головний вектор дорівнює $\\vec R=\\sum\\vec F_i$, а головний момент відносно центра $O$ — $\\vec M_O=\\sum(\\vec r_i\\times\\vec F_i)+\\sum\\vec M_j$. У тривимірній задачі кожен із цих векторів має три координатні складові.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Приклад\u003C\u002Fh2>\u003Cp>Нехай сила має проекції $F_x=3$ кН, $F_y=4$ кН і $F_z=12$ кН. Її модуль становить $F=\\sqrt{3^2+4^2+12^2}=13$ кН. Вектор сили можна записати як $\\vec F=(3\\vec i+4\\vec j+12\\vec k)$ кН.\u003C\u002Fp>\u003Ch2>Типові помилки\u003C\u002Fh2>\u003Cul>\u003Cli>використовувати плоску схему знаків для просторового векторного моменту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>не нормувати вектор між двома точками перед множенням на заданий модуль сили;\u003C\u002Fli>\u003Cli>плутати момент відносно точки з його проекцією на вісь;\u003C\u002Fli>\u003Cli>міняти порядок множників у $\\vec r\\times\\vec F$, що змінює знак моменту;\u003C\u002Fli>\u003Cli>ігнорувати одну з трьох складових сили або моменту.\u003C\u002Fli>\u003C\u002Ful>",[14],{"id":15,"code":16,"type":17,"locale":7},156,"statics-force-magnitude-3d","formula",[19,23,27,31],{"id":20,"name":21,"path":22},40,"Теоретична механіка","teoretychna-mekhanika",{"id":24,"name":25,"path":26},133,"Статика","teoretychna-mekhanika\u002Fstatyka",{"id":28,"name":29,"path":30},272,"Просторова статика","teoretychna-mekhanika\u002Fstatyka\u002Fprostorova-statyka",{"id":5,"name":6,"path":8},[],[],{"uk":35,"en":36},"https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Ftopics\u002Fteoretychna-mekhanika\u002Fstatyka\u002Fprostorova-statyka\u002Fprostorova-systema-syl","https:\u002F\u002Fmechclassroom.com\u002Fen\u002Ftopics\u002Ftheoretical-mechanics\u002Fstatics\u002Fthree-dimensional-statics\u002Fthree-dimensional-force-systems",1787679773838]