Математичні основи МСЕ

Математичні основи МСЕ

У методі скінченних елементів точний розподіл переміщень у суцільному тілі замінюють наближеним полем, яке задається через вузлові значення. Для задач механіки деформівного тіла стандартна схема така: переміщення → деформації → напруження → внутрішні вузлові сили → глобальна система рівнянь.

1. Слабка форма рівноваги

Для пружного тіла рівновагу зручно записувати у формі принципу віртуальних переміщень:

Ліва частина описує внутрішню віртуальну роботу, права — роботу зовнішніх сил.

2. Апроксимація переміщень

У межах одного скінченного елемента поле переміщень апроксимують через функції форми:

де N — матриця функцій форми, а u_e — вектор вузлових переміщень елемента.

3. Деформації та напруження

Деформації отримують диференціюванням апроксимації переміщень:

Матриця B містить похідні функцій форми. Для лінійно-пружного матеріалу напруження пов’язані з деформаціями законом Гука:

де D — матриця пружних властивостей матеріалу.

4. Матриця жорсткості елемента

Після підстановки апроксимації у слабку форму отримують матрицю жорсткості елемента:

Вона пов’язує вузлові переміщення елемента з його вузловими силами.

5. Глобальна система

Матриці та вектори всіх елементів складають відповідно до спільних вузлів і ступенів вільності. У результаті отримують глобальну систему:

Після врахування граничних умов знаходять вузлові переміщення U, а потім для кожного елемента — деформації та напруження.

Таким чином, математична ідея МСЕ полягає не в безпосередньому пошуку точного поля в кожній точці тіла, а в побудові наближеного поля через вузлові значення та локальні функції апроксимації.