Можливі переміщення. Принцип можливих переміщень

Можливе (віртуальне) переміщення — нескінченно мале уявне переміщення системи, сумісне з накладеними в’язями в даний момент часу. Принцип можливих переміщень дозволяє записувати умови рівноваги без явного визначення реакцій ідеальних в’язей.

Можливі переміщення

Для точок системи можливі переміщення позначають $\delta\vec r_i$. Вони повинні задовольняти геометричним обмеженням в’язей, але не є фактичними переміщеннями за час $dt$.

Віртуальна робота

Елементарна віртуальна робота сил:

$$\delta A=\sum_i\vec F_i\cdot\delta\vec r_i.$$

Для силових пар додають відповідні члени $M\,\delta\varphi$.

Ідеальні в’язі

В’язі називають ідеальними, якщо сумарна віртуальна робота їх реакцій на будь-якому допустимому можливому переміщенні дорівнює нулю. Тоді реакції можна не включати до рівняння віртуальної роботи.

Принцип можливих переміщень

Для рівноваги системи з ідеальними в’язями необхідно і, за звичайних умов стаціонарних в’язей, достатньо, щоб:

$$\sum_i\vec F_i^{a}\cdot\delta\vec r_i=0$$

для всіх допустимих можливих переміщень, де $\vec F_i^{a}$ — активні сили.

Узагальнені координати

Якщо положення системи задається незалежними координатами $q_j$, то $\delta\vec r_i=\sum_j(\partial\vec r_i/\partial q_j)\delta q_j$. Віртуальну роботу можна подати як $\delta A=\sum_jQ_j\delta q_j$, де $Q_j$ — узагальнені сили.

Перевага методу

Метод особливо ефективний для механізмів із багатьма реакціями в’язей: якщо в’язі ідеальні, ці реакції автоматично виключаються з рівняння.

Приклад

Для важеля, що може обертатися навколо нерухомої осі, допустиме переміщення описується малим поворотом $\delta\varphi$. Умова $\delta A=0$ приводить до рівності алгебраїчної суми моментів активних сил відносно осі нулю.

Типові помилки

• плутати можливе переміщення з фактичним переміщенням за час $dt$;
• вибирати переміщення, несумісне з в’язями;
• відкидати роботу реакцій неідеальних в’язей;
• вважати $\delta$ звичайним диференціалом за часом.