Принцип Даламбера для матеріальної точки та системи

Принцип Даламбера дає змогу формально подати рівняння динаміки у вигляді рівнянь рівноваги, якщо до активних сил і реакцій в’язей додати сили інерції.

Сила інерції матеріальної точки

Для точки маси $m$ з прискоренням $\vec a$ вводять силу інерції:

$$\vec F^{in}=-m\vec a.$$

Це розрахункова величина, а не додаткова фізична взаємодія з іншим тілом.

Принцип Даламбера для точки

Рівняння $m\vec a=\sum\vec F$ можна переписати як:

$$\sum\vec F+\vec F^{in}=0.$$

Отримана форма нагадує умову статичної рівноваги, хоча точка може рухатися з прискоренням.

Механічна система

Для кожної точки системи вводять $\vec F_i^{in}=-m_i\vec a_i$. Тоді сили, реакції в’язей і сили інерції утворюють формально зрівноважену систему в сенсі принципу Даламбера.

Головний вектор сил інерції

Для системи сталої маси:

$$\vec R^{in}=\sum\vec F_i^{in}=-M\vec a_C.$$

Отже, головний вектор сил інерції визначається прискоренням центра мас.

Головний момент сил інерції

Відносно вибраного центра $O$:

$$\vec M_O^{in}=\sum\vec r_i\times\vec F_i^{in}.$$

Разом із головним вектором він використовується при дослідженні динаміки твердих тіл і визначенні реакцій опор.

Практичне застосування

Метод зручний, коли потрібно знайти реакції в’язей у системі з відомим рухом. Після введення сил інерції можна використовувати структуру рівнянь, подібну до статики, але обов’язково з правильними інерційними членами.

Приклад

Тіло масою 5 кг рухається поступально з прискоренням 3 м/с² вправо. Сила інерції має модуль 15 Н і напрямлена вліво. У рівняння Даламбера вона входить разом із реальними зовнішніми силами.

Типові помилки

• трактувати силу інерції як звичайну силу взаємодії;
• спрямовувати $\vec F^{in}$ у напрямі прискорення замість протилежного;
• забувати моменти сил інерції для обертального руху;
• застосовувати статичні рівняння без введення всіх необхідних інерційних членів.