Рівняння Лагранжа другого роду

Рівняння Лагранжа другого роду дають систематичний спосіб отримати рівняння руху механічної системи через незалежні узагальнені координати, не вводячи явно реакції ідеальних в’язей.

Узагальнені координати

Якщо система має $s$ ступенів вільності, її конфігурацію можна задати незалежними координатами $q_1,\ldots,q_s$. Це можуть бути лінійні переміщення, кути або інші параметри, що однозначно визначають положення системи.

Узагальнені швидкості

Похідні $\dot q_j$ називають узагальненими швидкостями. Кінетична енергія системи записується як функція $T(q_j,\dot q_j,t)$.

Узагальнені сили

Віртуальна робота активних сил подається у вигляді:

$$\delta A=\sum_{j=1}^{s}Q_j\delta q_j,$$

де $Q_j$ — узагальнена сила, що відповідає координаті $q_j$.

Рівняння Лагранжа

Для системи з ідеальними в’язями:

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j,\qquad j=1,\ldots,s.$$

Кількість незалежних рівнянь дорівнює числу ступенів вільності.

Консервативні сили

Якщо сили мають потенціальну енергію $\Pi(q,t)$, то $Q_j=-\partial\Pi/\partial q_j$ для відповідної консервативної частини. Вводячи функцію Лагранжа $L=T-\Pi$, рівняння можна записати як $d(\partial L/\partial\dot q_j)/dt-\partial L/\partial q_j=Q_j^{nc}$, де $Q_j^{nc}$ — неконсервативні узагальнені сили.

Алгоритм розв’язування

1. визначити число ступенів вільності;
2. вибрати незалежні $q_j$;
3. виразити положення та швидкості частин системи через $q_j,\dot q_j$;
4. обчислити $T$;
5. визначити $Q_j$ або $\Pi$;
6. скласти по одному рівнянню Лагранжа для кожної координати.

Приклад

Для вантажу маси $m$ на горизонтальній пружині з координатою $x$: $T=m\dot x^2/2$, $\Pi=kx^2/2$. Тоді рівняння Лагранжа дає $m\ddot x+kx=0$.

Типові помилки

• вибирати залежні координати як незалежні;
• плутати узагальнену силу зі звичайною силою в ньютонах — для кутової координати вона має розмірність моменту;
• пропускати залежність кінетичної енергії від координат;
• подвійно враховувати консервативну силу і через $\Pi$, і через $Q_j$.