Загальне рівняння динаміки

Загальне рівняння динаміки поєднує принцип Даламбера з принципом можливих переміщень. Воно дозволяє складати рівняння руху систем з ідеальними в’язями без явного введення реакцій цих в’язей.

Вихідна ідея

За принципом Даламбера до активних сил і реакцій в’язей додають сили інерції $\vec F_i^{in}=-m_i\vec a_i$. Для формально зрівноваженої системи застосовують принцип можливих переміщень.

Загальне рівняння

Для системи з ідеальними в’язями:

$$\sum_i(\vec F_i^{a}-m_i\vec a_i)\cdot\delta\vec r_i=0.$$

Реакції ідеальних в’язей не входять до рівняння, оскільки їх сумарна віртуальна робота дорівнює нулю.

Фізичний зміст

Рівняння не означає, що система перебуває у статичній рівновазі. Інерційні члени враховують реальне прискорення точок, а віртуальні переміщення використовуються як математичний засіб усунення реакцій в’язей.

Через узагальнені координати

Якщо система має $s$ ступенів вільності та координати $q_j$, то допустимі переміщення можна подати через незалежні $\delta q_j$. Після групування коефіцієнтів при кожному $\delta q_j$ отримують $s$ незалежних рівнянь руху.

Переваги

Загальне рівняння динаміки особливо корисне для систем із геометричними в’язями, де пряме застосування законів Ньютона породжує багато невідомих реакцій.

Зв’язок із рівняннями Лагранжа

Перехід до незалежних узагальнених координат і вираження інерційних членів через кінетичну енергію приводять до рівнянь Лагранжа другого роду.

Приклад

Для системи з одним ступенем вільності всі допустимі $\delta\vec r_i$ виражають через одне $\delta q$. Після підстановки загальне рівняння набуває вигляду $B(q,\dot q,\ddot q,t)\delta q=0$. Оскільки $\delta q$ довільне, $B=0$ є рівнянням руху.

Типові помилки

• додавати реакції ідеальних в’язей, не використовуючи їх нульову віртуальну роботу;
• вважати сили інерції звичайними активними силами;
• використовувати залежні варіації координат як незалежні;
• плутати загальне рівняння динаміки з умовою статичної рівноваги.