Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи

Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи пов’язує зміну її кінетичної енергії з роботою сил, що діють на точки системи.

Диференціальна форма

Для кожної точки елементарна зміна кінетичної енергії дорівнює елементарній роботі прикладених сил. Після підсумовування за системою:

$$dT=\sum dA^{e}+\sum dA^{i},$$

де верхні індекси $e$ та $i$ позначають зовнішні й внутрішні сили.

Інтегральна форма

Між положеннями 1 і 2:

$$T_2-T_1=\sum A_{1\to2}^{e}+\sum A_{1\to2}^{i}.$$

На відміну від теорем про кількість руху та кінетичний момент, робота внутрішніх сил у загальному випадку не дорівнює нулю.

Внутрішні сили у твердому тілі

Для абсолютно твердого тіла ідеальні внутрішні сили попарно не виконують сумарної роботи, оскільки відстані між точками тіла незмінні. Для деформівної системи внутрішні сили можуть виконувати роботу, пов’язану зі зміною внутрішньої або потенціальної енергії.

Ідеальні в’язі

Реакції ідеальних нерухомих в’язей часто не виконують роботи, якщо точка прикладання не переміщується в напрямі реакції. Це дозволяє виключити невідомі реакції з енергетичного рівняння.

Застосування до твердого тіла

Спочатку обчислюють $T_1$ і $T_2$ за видом руху — поступальним, обертальним або плоским — а потім прирівнюють їх різницю до сумарної роботи сил і пар сил.

Робота моменту при обертанні

Для моменту $M_z$, що діє при обертанні навколо нерухомої осі:

$$A=\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}M_z\,d\varphi.$$

Для сталого моменту $A=M_z(\varphi_2-\varphi_1)$.

Приклад

Тіло починає рух зі спокою, а сумарна робота зовнішніх і внутрішніх сил дорівнює 50 Дж. Тоді його кінетична енергія в кінцевому стані становить 50 Дж. Подальше визначення швидкостей залежить від виду руху та розподілу маси.

Типові помилки

• автоматично відкидати роботу всіх внутрішніх сил для будь-якої механічної системи;
• використовувати неправильний вираз кінетичної енергії для заданого виду руху;
• включати реакції, які роботи не виконують, або навпаки пропускати реакції рухомих в’язей;
• плутати роботу моменту сили з самим моментом.