Рівновага твердого тіла на площині

У практичних задачах статики рівновагу твердого тіла на площині досліджують за схемою вільного тіла. Реальні опори й контакти замінюють реакціями, після чого до ізольованого тіла застосовують рівняння рівноваги.

Схема вільного тіла

Схема вільного тіла повинна містити лише тіло, яке аналізують, та всі зовнішні сили й моменти, що на нього діють. В’язі на схемі не залишають: замість них показують відповідні реакції. Внутрішні сили самого ізольованого тіла на такій схемі не наносять.

Послідовність розрахунку

1. Відокремте тіло. Визначте об’єкт, для якого складаються рівняння.
2. Звільніть його від в’язей. Замініть опори, контакти, троси та інші в’язі відповідними реакціями.
3. Покажіть усі навантаження. Нанесіть зосереджені сили, моменти пар, вагу та еквівалентні рівнодійні розподілених навантажень, якщо вони вже визначені.
4. Оберіть осі й правило знаків. Задайте додатні напрями $x$, $y$ та знак моментів.
5. Складіть рівняння рівноваги. Для довільної плоскої системи використовуйте $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$, $\sum M_O=0$.
6. Розв’яжіть систему. Знайдіть невідомі реакції та інші шукані величини.
7. Перевірте результат. Підставте знайдені значення в невикористане контрольне рівняння або повторно перевірте всі суми сил і моментів.

Статична визначуваність

Для одного абсолютно твердого тіла під дією довільної плоскої системи сил доступні три незалежні рівняння рівноваги. Якщо після правильної заміни в’язей маємо не більше трьох незалежних невідомих реакцій і рівнянь достатньо для їх однозначного визначення, задача може бути статично визначуваною. Надлишок невідомих реакцій зазвичай потребує додаткових співвідношень деформацій і виходить за межі статики абсолютно твердого тіла.

Зручний порядок рівнянь

Часто найвигідніше почати з рівняння моментів відносно точки, де перетинаються лінії дії кількох невідомих реакцій. Так ці реакції одразу виключаються з рівняння. Після знаходження однієї невідомої використовують рівняння проекцій для решти.

Приклад: проста балка

Балка довжиною 6 м спирається на шарнір у точці $A$ та рухому опору в точці $B$. Посередині діє вертикальна сила $P=12$ кН униз. Для вертикального навантаження $A_x=0$. Із моментів відносно $A$: $B_y\cdot6-12\cdot3=0$, тому $B_y=6$ кН. Із $\sum F_y=0$ отримуємо $A_y+B_y-12=0$, звідки $A_y=6$ кН.

Що означає від’ємна реакція

Напрям невідомої реакції на початку розрахунку можна припустити довільно. Якщо отримане значення від’ємне, це не є помилкою саме по собі: фактичний напрям реакції протилежний до прийнятого на схемі. Водночас результат потрібно перевірити на відповідність фізичній моделі контакту.

Перевірка розв’язку

Після обчислення реакцій варто повторно перевірити суми проекцій і моментів, бажано взявши момент відносно іншої точки. Так можна виявити помилки у знаках, плечах сил або арифметиці.

Типові помилки

• будувати рівняння без попередньої схеми вільного тіла;
• неправильно моделювати реакцію опори;
• включати до рівнянь сили, які діють на інше тіло;
• не враховувати момент пари сил;
• підміняти плече сили відстанню до точки її прикладання без перевірки перпендикулярності.