Навчальна тема
Теорема Штейнера та складені перерізи
Перенесення моментів інерції до паралельних осей за теоремою Штейнера та алгоритм розрахунку складених поперечних перерізів.
0 практичних завдань · 0 підтем
Для складених перерізів табличних формул окремих простих фігур недостатньо: їх моменти інерції спочатку потрібно привести до спільної осі. Для паралельного перенесення застосовують теорему Штейнера.
Момент інерції площі відносно осі, паралельної центральній, визначають за теоремою Штейнера:
$$I_x=I_{x_c}+Aa^2,$$
де Ixc — момент інерції відносно паралельної центральної осі, A — площа фігури, a — відстань між осями.
Аналогічно:
$$I_y=I_{y_c}+Ab^2.$$
Для складеного перерізу моменти інерції його частин після перенесення до спільної осі алгебраїчно додають; отвори враховують зі знаком мінус.
Чому спочатку потрібен центр ваги
Центральні моменти інерції складеного перерізу визначають відносно осей, що проходять через центр ваги всього перерізу. Тому першим етапом є знаходження координат цього центра.
Статичні моменти площі відносно осей $x$ та $y$ визначають як:
$$S_x=\int_A y\,dA,\qquad S_y=\int_A x\,dA.$$
Координати центра ваги площі:
$$x_c=\frac{S_y}{A},\qquad y_c=\frac{S_x}{A}.$$
Для складеного перерізу, розбитого на прості частини:
$$x_c=\frac{\sum_i A_i x_i}{\sum_i A_i},\qquad y_c=\frac{\sum_i A_i y_i}{\sum_i A_i}.$$
Отвори при алгебраїчному підсумовуванні зручно враховувати як площі зі знаком мінус.
Калькулятор нижче використовує співвідношення $x_c=S_y/A$; статичний момент площі має ту саму розмірність $L^3$, що й момент опору.
Алгоритм
- Розбийте складений переріз на прості фігури, геометричні характеристики яких відомі. Отвори позначте як від’ємні площі.
- Виберіть допоміжну систему координат і визначте площі Ai та координати центрів ваги xi, yi кожної частини.
- Знайдіть координати центра ваги всього перерізу за алгебраїчними сумами Ai xi та Ai yi.
- Проведіть центральні осі через знайдений центр ваги.
- Для кожної частини визначте власні центральні моменти інерції та перенесіть їх до спільних центральних осей за теоремою Штейнера.
- Алгебраїчно підсумуйте внески частин, отримавши Ix, Iy та, за потреби, Ixy.
- Якщо потрібні головні осі, визначте кут їх повороту та головні моменти інерції.
- Для задач згину обчисліть моменти опору відносно потрібних крайніх волокон і перевірте одиниці та геометричну симетрію результату.
Отвори
Отвір можна трактувати як від’ємну частину: його площа, статичні моменти та перенесений момент інерції віднімаються від відповідних сум суцільних частин.
Приклад структури розрахунку
Для Т-подібного перерізу зручно виділити полицю та стінку як два прямокутники. Спочатку знаходять $y_c$ всього перерізу, потім для кожного прямокутника визначають власний центральний $I_x$ і додають $A_i a_i^2$, де $a_i$ — відстань між центром частини та спільною центральною віссю.
Контроль
Перевірте, що всі відстані виміряні до тієї самої осі, одиниці узгоджені, а внесок $Aa^2$ не був помилково доданий до моменту інерції вже відносно потрібної осі.