Навчальна тема
Геометричні характеристики плоских перерізів
Як знаходити центр ваги, статичні та осьові моменти інерції, полярний момент і моменти опору для простих та складених перерізів.
Геометричні характеристики плоского перерізу описують розподіл площі відносно вибраних осей і точок. На відміну від механічних характеристик матеріалу, вони залежать лише від форми, розмірів та орієнтації перерізу. Ці величини потрібні для розрахунків згину, кручення, стійкості та складного опору.
Площа і центр ваги
Площа $A$ визначає загальний розмір поперечного перерізу, а статичні моменти використовують для знаходження положення його центра ваги. Для складених перерізів центр ваги знаходять як зважене за площами середнє координат центрів простих частин.
Статичні моменти площі відносно осей $x$ та $y$ визначають як:
$$S_x=\int_A y\,dA,\qquad S_y=\int_A x\,dA.$$
Координати центра ваги площі:
$$x_c=\frac{S_y}{A},\qquad y_c=\frac{S_x}{A}.$$
Для складеного перерізу, розбитого на прості частини:
$$x_c=\frac{\sum_i A_i x_i}{\sum_i A_i},\qquad y_c=\frac{\sum_i A_i y_i}{\sum_i A_i}.$$
Отвори при алгебраїчному підсумовуванні зручно враховувати як площі зі знаком мінус.
Калькулятор нижче використовує співвідношення $x_c=S_y/A$; статичний момент площі має ту саму розмірність $L^3$, що й момент опору.
Моменти інерції площі
Осьові моменти інерції $I_x$ та $I_y$ характеризують розподіл площі відносно відповідних осей. Чим далі елементи площі розташовані від осі, тим більший їх внесок через квадрат відстані.
Геометричні моменти другого порядку відносно осей $x$ та $y$:
$$I_x=\int_A y^2\,dA,\qquad I_y=\int_A x^2\,dA.$$
Відцентровий момент інерції:
$$I_{xy}=\int_A xy\,dA.$$
Полярний момент інерції відносно точки перетину ортогональних осей:
$$J_p=\int_A(x^2+y^2)dA=I_x+I_y.$$
Осьові моменти $I_x$, $I_y$ та полярний момент $J_p$ мають розмірність довжини в четвертому степені, наприклад мм⁴.
Перенесення та поворот осей
Якщо потрібна вісь паралельна відомій центральній осі, використовують теорему Штейнера. Якщо змінюється орієнтація осей, застосовують формули повороту, які дозволяють знайти головні центральні осі та головні моменти інерції.
Момент інерції площі відносно осі, паралельної центральній, визначають за теоремою Штейнера:
$$I_x=I_{x_c}+Aa^2,$$
де Ixc — момент інерції відносно паралельної центральної осі, A — площа фігури, a — відстань між осями.
Аналогічно:
$$I_y=I_{y_c}+Ab^2.$$
Для складеного перерізу моменти інерції його частин після перенесення до спільної осі алгебраїчно додають; отвори враховують зі знаком мінус.
Моменти опору
У задачах згину використовують момент опору $W=I/y_{\max}$, де $y_{\max}$ — відстань від нейтральної осі до відповідного крайнього волокна. Для несиметричного перерізу моменти опору для верхнього та нижнього країв можуть відрізнятися.
Типові форми перерізів
Прості та складені перерізи
| Фігура | Площа $A$ | Центральний момент інерції | Момент опору |
|---|---|---|---|
| Прямокутник $b\times h$, вісь $x$ паралельна стороні $b$ | $bh$ | $I_x=bh^3/12$ | $W_x=bh^2/6$ |
| Прямокутник $b\times h$, вісь $y$ паралельна стороні $h$ | $bh$ | $I_y=hb^3/12$ | $W_y=hb^2/6$ |
| Круг діаметром $d$ | $\pi d^2/4$ | $I_x=I_y=\pi d^4/64$ | $W_x=W_y=\pi d^3/32$ |
| Круг діаметром $d$, полярна характеристика | $\pi d^2/4$ | $J_p=\pi d^4/32$ | $W_p=\pi d^3/16$ |
| Кільце із зовнішнім діаметром $D$ та внутрішнім $d$ | $\pi(D^2-d^2)/4$ | $I_x=I_y=\pi(D^4-d^4)/64$ | $W_x=2I_x/D$ |
Складні профілі розбивають на прямокутники, трикутники, круги або інші прості частини. Після знаходження спільного центра ваги характеристики кожної частини переносять до спільних осей і підсумовують.
- Розбийте складений переріз на прості фігури, геометричні характеристики яких відомі. Отвори позначте як від’ємні площі.
- Виберіть допоміжну систему координат і визначте площі Ai та координати центрів ваги xi, yi кожної частини.
- Знайдіть координати центра ваги всього перерізу за алгебраїчними сумами Ai xi та Ai yi.
- Проведіть центральні осі через знайдений центр ваги.
- Для кожної частини визначте власні центральні моменти інерції та перенесіть їх до спільних центральних осей за теоремою Штейнера.
- Алгебраїчно підсумуйте внески частин, отримавши Ix, Iy та, за потреби, Ixy.
- Якщо потрібні головні осі, визначте кут їх повороту та головні моменти інерції.
- Для задач згину обчисліть моменти опору відносно потрібних крайніх волокон і перевірте одиниці та геометричну симетрію результату.
Структура розділу
У дочірніх темах окремо розглядаються статичні моменти та центр ваги, моменти інерції, теорема Штейнера, поворот осей, головні характеристики та моменти опору. Такий поділ готує геометричну базу для подальшого вивчення напружень і деформацій при згині.
Про цю тему
Геометричні характеристики визначають здатність поперечного перерізу елемента чинити опір різним видам деформацій незалежно від властивостей матеріалу. У цьому розділі вивчено статичні моменти площини, координати центра ваги, осьові, відцентрові та полярні моменти інерції. Подано формули паралельного переносу координатних осей, правила визначення головних осей і головних моментів інерції для складних складених перерізів (прокатної сталі: швелерів, двотаврів, кутників).