Навчальна тема

Контакт куль і сферичних поверхонь

Розрахунок пружного контакту куль і сферичних поверхонь: форма та розміри плями контакту, контактний тиск і параметри для оцінювання міцності.

0 практичних завдань · 0 підтем

Підтема розглядає контакт куль і сферичних поверхонь у межах пружної контактної моделі. Основна увага приділяється формі та розмірам плями контакту, максимальному контактному тиску та впливу навантаження, геометрії й властивостей матеріалів.

Контакт куль і сферичних поверхонь у класичній теорії Герца приводить до кругової контактної площадки радіуса $a$, якщо локальна геометрія та навантаження є осесиметричними.

Зведені характеристики

Приведений модуль пружності двох ізотропних тіл:

$$\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu_1^2}{E_1}+\frac{1-\nu_2^2}{E_2}$$

$E^*$ — приведений модуль пружності;
$E_1$, $E_2$ — модулі Юнга матеріалів тіл;
$\nu_1$, $\nu_2$ — коефіцієнти Пуассона.

Еквівалентно: $E^*=\left[(1-\nu_1^2)/E_1+(1-\nu_2^2)/E_2\right]^{-1}$.

Для двох опуклих сферичних поверхонь уздовж відповідного головного напряму приведений радіус можна записати як:

$$\frac{1}{R^*}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$

$R^*$ — приведений радіус кривизни;
$R_1$, $R_2$ — радіуси кривизни контактуючих поверхонь.

Для інших поєднань кривизни знак окремого радіуса визначають відповідно до прийнятої геометричної домовленості; для загального просторового контакту враховують головні кривизни обох поверхонь.

Калькулятор нижче відповідає випадку двох опуклих поверхонь із додатними радіусами.

Радіус контактної площадки

Для нормальної сили $F$:

$$a=\left(\frac{3FR^*}{4E^*}\right)^{1/3}.$$

Отже, розмір контакту зростає зі збільшенням сили та зменшенням жорсткості матеріалів.

Контактний тиск

Для кругової герцівської плями контакту радіуса $a$ контактний тиск змінюється за законом:

$$p(r)=p_0\sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}},\qquad 0\le r\le a$$

Максимальний тиск у центрі плями контакту:

$$p_0=\frac{3F}{2\pi a^2}$$

$p(r)$ — контактний тиск на відстані $r$ від центра;
$p_0$ — максимальний контактний тиск;
$a$ — радіус кругової плями контакту;
$F$ — нормальна сила.

На межі плями контакту $p(a)=0$, а найбільше значення виникає при $r=0$.

Максимальний тиск $p_0$ виникає в центрі контактної площадки, а на її межі $p(a)=0$.

Куля на плоскій поверхні

Для контакту кулі радіуса $R$ з площиною $R^*=R$, оскільки радіус кривизни площини нескінченний. Якщо матеріали кулі та площини різні, $E^*$ визначають за властивостями обох тіл.

Приклад

Нехай сталева куля радіуса $R=10$ мм притискається до плоскої сталевої поверхні силою $F=1000$ Н. Для однакових матеріалів з $E=210$ ГПа та $\nu=0{,}3$:

$$E^*=\left[2\frac{1-0{,}3^2}{210000}\right]^{-1}\approx115385\ \text{МПа}.$$

Оскільки $R^*=10$ мм:

$$a=\left(\frac{3\cdot1000\cdot10}{4\cdot115385}\right)^{1/3}\approx0{,}402\ \text{мм}.$$

Тоді:

$$p_0=\frac{3\cdot1000}{2\pi\cdot0{,}402^2}\approx2{,}96\cdot10^3\ \text{МПа}.$$

Приклад показує, що навіть помірна сила може створювати дуже високий локальний контактний тиск через малу площу контакту.

Зауваження

Якщо розраховані напруження приводять до значної пластичної деформації, припущення пружної теорії Герца порушуються. Також окремої уваги потребують шорсткість, покриття, тертя та повторне циклічне навантаження.