Навчальна тема

Контакт двох тіл. Види та геометрія контакту

Точковий, лінійний і поверхневий контакт тіл: геометрія контактної зони, кривизна поверхонь та основні параметри для подальшого розрахунку.

0 практичних завдань · 0 підтем

Підтема пояснює основні види контакту двох тіл та геометричні характеристики контактної зони. Розглядаються точковий, лінійний і поверхневий контакт, форма та кривизна поверхонь і параметри, потрібні для подальшого аналізу контактних напружень.

Контакт двох тіл виникає, коли навантаження передається через малу область дотику. До прикладання сили ідеалізований контакт може бути точковим, лінійним або поверхневим, але через пружну деформацію точка чи лінія перетворюється на скінченну контактну площадку.

Основні види контакту

Точковий контакт — характерний для куль, сферичних поверхонь і деяких пар криволінійних тіл.
Лінійний контакт — типовий для паралельних циліндрів, роликів і коліс в ідеалізованій постановці.
Поверхневий контакт — виникає, коли тіла вже мають значну спільну площу дотику; класична локальна теорія Герца для такого випадку не завжди є відповідною моделлю.

Локальна геометрія

У зоні контакту гладкі поверхні описують через локальні радіуси кривизни. Для двох сферичних поверхонь з радіусами $R_1$ і $R_2$ зручно використовувати зведений радіус:

Для двох опуклих сферичних поверхонь уздовж відповідного головного напряму приведений радіус можна записати як:

$$\frac{1}{R^*}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$$

$R^*$ — приведений радіус кривизни;
$R_1$, $R_2$ — радіуси кривизни контактуючих поверхонь.

Для інших поєднань кривизни знак окремого радіуса визначають відповідно до прийнятої геометричної домовленості; для загального просторового контакту враховують головні кривизни обох поверхонь.

Калькулятор нижче відповідає випадку двох опуклих поверхонь із додатними радіусами.

Якщо одна поверхня плоска, відповідний радіус можна вважати нескінченним, тому її кривизна дорівнює нулю.

Пружні властивості

Деформація контактної зони залежить від модулів Юнга та коефіцієнтів Пуассона обох тіл. Їх спільний вплив описують зведеним модулем $E^*$.

Приведений модуль пружності двох ізотропних тіл:

$$\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu_1^2}{E_1}+\frac{1-\nu_2^2}{E_2}$$

$E^*$ — приведений модуль пружності;
$E_1$, $E_2$ — модулі Юнга матеріалів тіл;
$\nu_1$, $\nu_2$ — коефіцієнти Пуассона.

Еквівалентно: $E^*=\left[(1-\nu_1^2)/E_1+(1-\nu_2^2)/E_2\right]^{-1}$.

Розподіл тиску

У герцівській моделі тиск по контактній площадці нерівномірний: він найбільший у центральній області й зменшується до нуля на межі контакту. Для кругової площадки:

Для кругової герцівської плями контакту радіуса $a$ контактний тиск змінюється за законом:

$$p(r)=p_0\sqrt{1-\frac{r^2}{a^2}},\qquad 0\le r\le a$$

Максимальний тиск у центрі плями контакту:

$$p_0=\frac{3F}{2\pi a^2}$$

$p(r)$ — контактний тиск на відстані $r$ від центра;
$p_0$ — максимальний контактний тиск;
$a$ — радіус кругової плями контакту;
$F$ — нормальна сила.

На межі плями контакту $p(a)=0$, а найбільше значення виникає при $r=0$.

Що визначає розмір контакту

Розміри контактної площадки залежать від нормальної сили $F$, локальної кривизни поверхонь і пружних властивостей матеріалів. Зі збільшенням $F$ контактна область зростає, але одночасно зростають і характерні контактні напруження.

Межі ідеалізації

Класична теорія Герца передбачає гладкі пружні поверхні, малі деформації та контактну область, малу порівняно з характерними розмірами тіл і радіусами кривизни. Тертя, пластичність, шорсткість, покриття, крайові ефекти та близькість меж можуть істотно змінювати реальний контакт.