Кручення стержнів некруглого суцільного перерізу

Кручення стержнів некруглого суцільного перерізу істотно відрізняється від кручення круглого вала. Поперечні перерізи загалом не залишаються плоскими: виникає депланація, а дотичні напруження розподіляються по площі нерівномірно.

Чому формула круглого вала не працює

Для круглого перерізу геометрія узгоджується з коловими траєкторіями зсуву, тому можна користуватися формулою \(\tau=T\rho/I_p\). Для прямокутного, еліптичного або іншого некруглого суцільного перерізу полярний момент інерції площі сам по собі не визначає ні крутильну жорсткість, ні розподіл напружень.

Кручення Сен-Венана

Для призматичного стержня сталого перерізу швидкість закручування дорівнює

\[\frac{d\varphi}{dx}=\frac{T}{GJ_t},\]

де \(T\) — крутний момент, \(G\) — модуль зсуву, \(J_t\) — стала кручення. Величина \(J_t\) залежить від форми перерізу і лише для круга збігається з полярним моментом інерції. Розподіл дотичних напружень визначають із розв’язку задачі Сен-Венана, зокрема через функцію напружень Прандтля.

Суцільний прямокутний переріз

Нехай \(a\) — більша, а \(b\) — менша сторона прямокутника, тобто \(a\ge b\). Для інженерного розрахунку використовують формули

\[\tau_{\max}=\frac{T}{\alpha a b^2},\qquad J_t=\beta a b^3,\qquad \varphi=\frac{TL}{GJ_t}=\frac{TL}{\beta G a b^3}.\]

Максимальні дотичні напруження виникають у середині довгих сторін. У кутах і в середині перерізу вони дорівнюють нулю. Коефіцієнти \(\alpha\) та \(\beta\) залежать від відношення сторін:

\(a/b\)	\(\alpha\)	\(\beta\)
1,0	0,208	0,141
1,5	0,231	0,196
2,0	0,246	0,229
2,5	0,258	0,249
3,0	0,267	0,263
4,0	0,282	0,281
6,0	0,299	0,299
8,0	0,307	0,307
10,0	0,313	0,313
\(\infty\)	0,333	0,333

Для проміжних значень \(a/b\) коефіцієнти можна визначати лінійною інтерполяцією. Для дуже вузького прямокутника \(a/b\gg1\) маємо наближення \(\alpha\approx\beta\approx1/3\), тому \(J_t\approx ab^3/3\) і \(\tau_{\max}\approx3T/(ab^2)\).

Уточнена формула для сталої кручення

Коли табличних даних немає, для \(a\ge b\) зручно користуватися наближенням

\[J_t\approx\frac{ab^3}{3}\left[1-0{,}63\frac{b}{a}+0{,}052\left(\frac{b}{a}\right)^5\right].\]

Формула добре відтворює табличні значення \(\beta\). Для квадрата вона дає \(J_t\approx0{,}141a^4\). Не слід підміняти \(J_t\) полярним моментом інерції прямокутника \(I_p=I_x+I_y\): це призведе до неправильної жорсткості.

Умови міцності та жорсткості

Перевірки виконують окремо:

\[\tau_{\max}\le[\tau],\qquad \varphi=\frac{TL}{GJ_t}\le[\varphi].\]

Якщо нормують відносний кут закручування, перевіряють \(\theta=T/(GJ_t)\le[\theta]\). Наведені формули описують ділянку, достатньо віддалену від місця прикладання моменту, різких переходів і закріплень. Біля галтелей, пазів та інших концентраторів потрібен додатковий коефіцієнт концентрації напружень.

Інші суцільні некруглі перерізи

Для еліпса, трикутника та інших форм стала кручення і максимальні напруження визначаються окремими аналітичними формулами, довідковими коефіцієнтами або чисельним розрахунком. Загальний порядок незмінний: знайти \(J_t\), визначити кут закручування і перевірити максимальні дотичні напруження.

Межі розділу

Тут розглядаються лише суцільні некруглі перерізи. Відкриті й замкнені тонкостінні профілі мають інші розрахункові моделі; їх винесено в окремий розділ «Кручення тонкостінних стержнів».

Послідовність розрахунку

1. Задати форму й розміри суцільного перерізу.
2. За формулою або таблицею визначити \(J_t\) та коефіцієнт для \(\tau_{\max}\).
3. Обчислити максимальні дотичні напруження.
4. Знайти кут закручування або відносний кут закручування.
5. Перевірити міцність, жорсткість і за потреби концентрацію напружень.