Навчальна тема

Деформації стержнів при розтягу та стиску

Поздовжні й відносні деформації стержнів, формула Δl = NL/(EA), ступінчасті стержні та сумарне видовження при осьовому навантаженні.

0 практичних завдань · 0 підтем

Тема присвячена визначенню деформацій стержнів при центральному розтягу та стиску. Розглядаються абсолютна зміна довжини Δl, відносна деформація ε, фізичний зміст осьової жорсткості EA та формула Δl = NL/(EA). Показано розрахунок ступінчастих стержнів і сумування деформацій ділянок із різними N, E, A та L.

При центральному розтягу або стиску стержень змінює довжину. Для оцінювання цієї зміни використовують абсолютну поздовжню деформацію $\Delta l$ та відносну деформацію $\varepsilon$.

Абсолютна та відносна деформація

Абсолютна деформація — це різниця між кінцевою та початковою довжиною: $\Delta l=l-l_0$. При видовженні $\Delta l$ додатна, при скороченні — від’ємна. Відносна деформація визначається відношенням зміни довжини до початкової довжини: $\varepsilon=\Delta l/l_0$.

Деформація призматичного стержня

Для прямого призматичного стержня при центральному розтягу або стиску, якщо $N$, $E$ та $A$ сталі на ділянці й матеріал працює лінійно-пружно:

$$\Delta l=\frac{NL}{EA}.$$

$\Delta l$ — зміна довжини стержня;
$N$ — поздовжня сила;
$L$ — початкова довжина ділянки;
$E$ — модуль Юнга;
$A$ — площа поперечного перерізу.

Відносна поздовжня деформація визначається як $\varepsilon=\Delta l/L$. Для ступінчастого стержня сумарну зміну довжини знаходять додаванням деформацій окремих ділянок: $\Delta l=\sum_i N_iL_i/(E_iA_i)$.

Добуток $EA$ називають осьовою жорсткістю перерізу. Зі збільшенням $E$ або $A$ деформація за однакових $N$ і $L$ зменшується, а зі збільшенням довжини $L$ — зростає.

Ступінчастий стержень

Якщо поздовжня сила, площа перерізу або модуль Юнга змінюються вздовж стержня, його розбивають на ділянки. Для кожної ділянки визначають власні $N_i$, $L_i$, $E_i$ та $A_i$, після чого алгебраїчно додають зміни довжини. Ділянки, що працюють на розтяг, дають додатний внесок, а на стиск — від’ємний.

Приклад

Сталевий стержень має $N=20$ кН, $L=1000$ мм, $A=200$ мм² та $E=200\,000$ МПа. Оскільки 1 МПа = 1 Н/мм², можна використовувати узгоджену систему Н і мм:

$$\Delta l=\frac{20000\cdot1000}{200000\cdot200}=0{,}5\ \text{мм}.$$

Отже, при розтягу стержень видовжиться на 0,5 мм.

Межі застосування

Формула $\Delta l=NL/(EA)$ у такому вигляді передбачає центральне осьове навантаження, лінійно-пружну роботу матеріалу та сталі $N$, $E$ й $A$ у межах розрахункової ділянки. Для змінних величин застосовують поділ на ділянки або інтегральну форму.