Навчальна тема
Розтяг і стиск
Все про деформації розтягу та стиску стержнів: епюри поздовжніх сил, напруження та закон Гука.
Розтяг і стиск — найпростіші види деформування стержня, коли зовнішні сили діють уздовж його поздовжньої осі. У поперечних перерізах виникає поздовжня сила \(N\), а основним напруженням є нормальне \(\sigma\).
1. Від навантаження до поздовжньої сили
Розрахунок починають із розрахункової схеми та визначення реакцій. Далі методом перерізів знаходять \(N\) на кожній характерній ділянці стержня і будують епюру поздовжніх сил.
Щоб визначити поздовжню силу $N$ у довільному перерізі стержня, застосовують метод перерізів:
- Уявно розсікають стержень у потрібному місці.
- Відкидають одну з частин і розглядають рівновагу частини, що залишилася.
- У перерізі прикладають внутрішню поздовжню силу $N$ уздовж осі стержня.
- Складають рівняння рівноваги вздовж осі: $$\sum F_x=0.$$
- Із рівняння визначають $N$. Додатне значення за прийнятим правилом знаків відповідає розтягу, від’ємне — стиску.
2. Від поздовжньої сили до напруження
Для центрального розтягу або стиску призматичного стержня далеко від зон локального прикладання навантаження середнє нормальне напруження визначають через \(N\) і площу поперечного перерізу \(A\).
Для центрального розтягу або стиску прямого стержня з однорідним поперечним перерізом нормальне напруження визначають за формулою:
$$\sigma=\frac{N}{A}$$
- $\sigma$ — нормальне напруження, МПа;
- $N$ — поздовжня сила, Н;
- $A$ — площа поперечного перерізу, мм².
Оскільки 1 Н/мм² = 1 МПа, при використанні $N$ у ньютонах та $A$ у мм² результат одразу отримують у мегапаскалях.
3. Напруження і деформація
У межах лінійно-пружної роботи матеріалу нормальне напруження пов’язане з відносною лінійною деформацією законом Гука.
У межах лінійно-пружної роботи матеріалу нормальне напруження пропорційне відносній поздовжній деформації:
$$\sigma=E\varepsilon.$$
- $\sigma$ — нормальне напруження, Па або МПа;
- $E$ — модуль поздовжньої пружності (модуль Юнга), Па або МПа;
- $\varepsilon$ — відносна поздовжня деформація, безрозмірна величина.
Закон застосовують на лінійній ділянці діаграми деформування, доки напруження і деформація залишаються пропорційними.
4. Зміна довжини стержня
Для однорідної ділянки зі сталими \(N\), \(E\) та \(A\) закон Гука приводить до формули поздовжньої деформації. Для ступінчастого стержня деформації окремих ділянок сумують алгебраїчно.
Для прямого призматичного стержня при центральному розтягу або стиску, якщо $N$, $E$ та $A$ сталі на ділянці й матеріал працює лінійно-пружно:
$$\Delta l=\frac{NL}{EA}.$$
- $\Delta l$ — зміна довжини стержня;
- $N$ — поздовжня сила;
- $L$ — початкова довжина ділянки;
- $E$ — модуль Юнга;
- $A$ — площа поперечного перерізу.
Відносна поздовжня деформація визначається як $\varepsilon=\Delta l/L$. Для ступінчастого стержня сумарну зміну довжини знаходять додаванням деформацій окремих ділянок: $\Delta l=\sum_i N_iL_i/(E_iA_i)$.
5. Міцність і жорсткість
Після визначення напружень і переміщень виконують дві різні перевірки: міцність обмежує напруження, а жорсткість — деформації або переміщення. У проєктній задачі ці умови використовують для підбору безпечного перерізу або допустимого навантаження.
Для центрального розтягу або стиску перевірку міцності виконують за умовою:
$$|\sigma_{\max}|\le[\sigma].$$
Для однорідного перерізу $\sigma=N/A$, тому при відомій поздовжній силі потрібну площу можна оцінити як:
$$A_{\mathrm{req}}\ge\frac{|N|}{[\sigma]}.$$
Перевірка жорсткості обмежує деформацію або переміщення, наприклад:
$$|\Delta l|\le[\Delta l].$$
- $\sigma_{\max}$ — найбільше за модулем нормальне напруження;
- $[\sigma]$ — допустиме напруження;
- $A_{\mathrm{req}}$ — необхідна площа перерізу;
- $\Delta l$ — розрахункова зміна довжини;
- $[\Delta l]$ — допустима зміна довжини.
Калькулятор нижче використовує граничну рівність $A=|N|/[\sigma]$ для підбору площі або визначення допустимої сили/напруження.
Розрахунковий маршрут
Схема і навантаження → реакції → \(N(x)\) → епюра \(N\) → \(\sigma\) → \(\varepsilon\) → \(\Delta l\) → перевірка міцності та жорсткості. Після засвоєння цього маршруту переходять до механічних властивостей матеріалів, ступінчастих стержнів, температурних впливів і статично невизначуваних осьових систем.
Про цю тему
Розтяг і стиск - найпростіший і один з найпоширеніших видів деформування стержня, при якому в його поперечних перерізах виникає лише один внутрішній силовий фактор - поздовжня сила N. У цьому розділі описано методику побудови епюр поздовжніх сил, розрахунок нормальних напружень та лінійних деформацій. Ви вивчите закон Гука при осьовому навантаженні, модуль пружності першого роду (модуль Юнга) та коефіцієнт Пуассона. Окрему увагу приділено умові міцності та підбору безпечних розмірів поперечного перерізу стержня.