Малі коливання системи з одним ступенем вільності

Малі коливання виникають поблизу положення стійкої рівноваги, коли відхилення достатньо малі, щоб рівняння руху можна було лінеаризувати. Для системи з одним ступенем вільності рух описується однією узагальненою координатою.

Вільні коливання без опору

Стандартне лінійне рівняння має вигляд:

$$m\ddot x+kx=0.$$

Власна кругова частота:

$$\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}},$$

а період $T=2\pi/\omega_n$.

Закон вільних коливань

Розв’язок можна записати як $x=C_1\cos\omega_nt+C_2\sin\omega_nt$ або $x=A\cos(\omega_nt+\varphi)$. Амплітуда та початкова фаза визначаються початковими умовами.

Лінеаризація поблизу рівноваги

Для загальної системи координату відлічують від положення стійкої рівноваги та залишають члени першого порядку за малим відхиленням. У результаті отримують рівняння типу $m_{eq}\ddot q+k_{eq}q=0$.

Приклад

Для системи $m=2$ кг, $k=50$ Н/м власна частота $\omega_n=\sqrt{50/2}=5$ рад/с, а період $T=2\pi/5\approx1{,}26$ с.

Типові помилки

• плутати кругову частоту в рад/с зі звичайною частотою $f=\omega/(2\pi)$ у герцах;
• застосовувати лінійну модель малих коливань при великих відхиленнях без перевірки;
• використовувати фізичну масу замість еквівалентної інерції складного механізму без виведення.