Малі коливання системи з одним ступенем вільності

Малі коливання виникають поблизу положення стійкої рівноваги, коли відхилення достатньо малі, щоб рівняння руху можна було лінеаризувати. Для системи з одним ступенем вільності рух описується однією узагальненою координатою.

Вільні коливання без опору

Стандартне лінійне рівняння має вигляд:

$$m\ddot x+kx=0.$$

Власна кругова частота:

$$\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}},$$

а період $T=2\pi/\omega_n$.

Закон вільних коливань

Розв’язок можна записати як $x=C_1\cos\omega_nt+C_2\sin\omega_nt$ або $x=A\cos(\omega_nt+\varphi)$. Амплітуда та початкова фаза визначаються початковими умовами.

В’язке демпфування

При лінійному опорі $c\dot x$:

$$m\ddot x+c\dot x+kx=0.$$

Характер руху залежить від співвідношення демпфування та критичного значення. При слабкому демпфуванні система здійснює затухаючі коливання.

Вимушені коливання

Для гармонічної зовнішньої сили $F_0\cos\Omega t$:

$$m\ddot x+c\dot x+kx=F_0\cos\Omega t.$$

Усталена відповідь має частоту збудження $\Omega$, а її амплітуда залежить від частотного відношення та демпфування.

Резонанс

У недемпфованій ідеалізованій системі при $\Omega=\omega_n$ гармонічне збудження приводить до резонансного зростання амплітуди. За наявності демпфування амплітуда залишається скінченною, а максимум частотної характеристики зміщується залежно від демпфування.

Лінеаризація поблизу рівноваги

Для загальної системи координату відлічують від положення стійкої рівноваги та залишають члени першого порядку за малим відхиленням. У результаті отримують рівняння типу $m_{eq}\ddot q+c_{eq}\dot q+k_{eq}q=Q(t)$.

Приклад

Для системи $m=2$ кг, $k=50$ Н/м без демпфування власна частота $\omega_n=\sqrt{50/2}=5$ рад/с, а період $T=2\pi/5\approx1{,}26$ с.

Типові помилки

• плутати кругову частоту в рад/с зі звичайною частотою $f=\omega/(2\pi)$ у герцах;
• застосовувати лінійну модель малих коливань при великих відхиленнях без перевірки;
• ігнорувати демпфування при оцінюванні резонансної амплітуди реальної системи;
• використовувати фізичну масу $m$ замість еквівалентної інерції для складного механізму без виведення.