Диференціальні рівняння руху матеріальної точки

Диференціальні рівняння руху поєднують кінематику точки із силами, що на неї діють. Для матеріальної точки сталої маси вони безпосередньо випливають із другого закону Ньютона.

Векторне рівняння

Основне рівняння руху:

$$m\frac{d^2\vec r}{dt^2}=\sum_i\vec F_i.$$

Якщо сили залежать від положення, швидкості або часу, права частина може мати вигляд $\vec F(\vec r,\vec v,t)$.

Рівняння в декартових координатах

Проєктування на нерухомі осі дає систему:

$$m\ddot x=\sum F_x,\qquad m\ddot y=\sum F_y,\qquad m\ddot z=\sum F_z.$$

Це система диференціальних рівнянь другого порядку відносно координат точки.

Природні координати

Для руху по відомій траєкторії зручно проєктувати рівняння на дотичну та головну нормаль:

$$m\frac{dv}{dt}=\sum F_\tau,\qquad m\frac{v^2}{\rho}=\sum F_n,$$

де $\rho$ — радіус кривини траєкторії.

Початкові умови

Для однозначного визначення руху зазвичай задають початкове положення та початкову швидкість, наприклад $x(t_0)=x_0$ і $\dot x(t_0)=v_{0x}$. Сталі інтегрування визначають саме з цих умов.

Вибір координат

Систему координат варто узгоджувати з геометрією руху й напрямами сил. Для прямолінійного руху достатньо однієї осі; для руху по кривій часто ефективні природні координати.

Приклад

Для вертикального падіння без опору повітря, якщо вісь $y$ спрямована вгору, маємо $m\ddot y=-mg$, тобто $\ddot y=-g$. Після двох інтегрувань і використання початкових умов отримують закон руху.

Типові помилки

• плутати знак проєкції сили з модулем сили;
• не враховувати реакції в’язей;
• інтегрувати рівняння без використання початкових умов;
• застосовувати $v^2/\rho$ як повне прискорення замість нормальної складової.