Динаміка механічної системи. Центр мас

Механічна система — сукупність матеріальних точок або тіл, рух яких розглядають спільно. Перехід від однієї точки до системи дає змогу сформулювати загальні теореми динаміки для центра мас, кількості руху, кінетичного моменту та енергії.

Маса системи

Для системи з $n$ матеріальних точок загальна маса:

$$M=\sum_{i=1}^{n}m_i.$$

У класичній механіці замкненої системи масу вважають сталою.

Зовнішні та внутрішні сили

Зовнішні сили діють на точки системи з боку тіл, які до системи не входять. Внутрішні сили — сили взаємодії між точками або тілами самої системи. Класифікація залежить від того, яку сукупність тіл обрано системою.

Властивості внутрішніх сил

За третім законом Ньютона внутрішні сили попарно рівні й протилежні. Тому їх головний вектор дорівнює нулю. Для центральних парних взаємодій також дорівнює нулю сумарний момент внутрішніх сил відносно довільного центра.

Центр мас

Положення центра мас $C$ визначається:

$$\vec r_C=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{n}m_i\vec r_i.$$

У декартових координатах $x_C=\sum m_ix_i/M$, $y_C=\sum m_iy_i/M$, $z_C=\sum m_iz_i/M$.

Швидкість і прискорення центра мас

Для сталої маси системи диференціювання дає $\vec v_C=(1/M)\sum m_i\vec v_i$ та $\vec a_C=(1/M)\sum m_i\vec a_i$.

Суцільне тіло

Для неперервного розподілу маси суми замінюють інтегралами: $\vec r_C=(1/M)\int\vec r\,dm$. За наявності симетрії центр мас часто лежить на осі, площині або в центрі симетрії.

Приклад

Дві точки масами 2 кг і 3 кг лежать на осі $x$ у координатах 0 м і 5 м. Тоді $x_C=(2\cdot0+3\cdot5)/5=3$ м.

Типові помилки

• вважати поділ сил на внутрішні й зовнішні абсолютним, незалежним від вибору системи;
• знаходити центр мас як просте середнє координат для нерівних мас;
• плутати центр мас із геометричним центром неоднорідного тіла;
• робити висновок, що внутрішні сили взагалі не впливають на рух частин системи.