Теорема про зміну кількості руху механічної системи

Кількість руху механічної системи дорівнює векторній сумі кількостей руху всіх її матеріальних точок. Теорема про її зміну дає змогу описувати поступальну складову руху системи через дію лише зовнішніх сил.

Кількість руху системи

Для системи з $n$ точок:

$$\vec Q=\sum_{i=1}^{n}m_i\vec v_i.$$

Оскільки $\vec v_C=(1/M)\sum m_i\vec v_i$, маємо важливе співвідношення:

$$\vec Q=M\vec v_C.$$

Диференціальна форма теореми

Підсумовуючи рівняння руху всіх точок системи та враховуючи взаємне компенсування внутрішніх сил, отримуємо:

$$\frac{d\vec Q}{dt}=\sum\vec F^{e}=\vec R^{e}.$$

Швидкість зміни кількості руху системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил.

Інтегральна форма

За проміжок часу від $t_1$ до $t_2$:

$$\vec Q_2-\vec Q_1=\int_{t_1}^{t_2}\sum\vec F^{e}\,dt.$$

Отже, зміна кількості руху системи дорівнює сумарному імпульсу зовнішніх сил.

Закон збереження кількості руху

Якщо $\sum\vec F^{e}=0$, то $\vec Q=const$. Якщо нульовою є лише сума проєкцій зовнішніх сил на певну вісь, зберігається відповідна проєкція кількості руху.

Внутрішні сили

Внутрішні сили можуть змінювати швидкості окремих частин системи, але не змінюють її сумарну кількість руху. Саме це лежить в основі аналізу віддачі, розділення тіл та багатьох задач ударної взаємодії за малим зовнішнім імпульсом.

Приклад

Два тіла масами 2 кг і 3 кг рухаються вздовж однієї осі зі швидкостями 4 м/с і -1 м/с. Кількість руху системи: $Q_x=2\cdot4+3\cdot(-1)=5$ кг·м/с. Якщо зовнішній імпульс уздовж осі дорівнює нулю, це значення зберігається.

Типові помилки

• додавати модулі кількостей руху замість їх векторних проєкцій;
• включати внутрішні сили до сумарного зовнішнього імпульсу;
• вважати, що збереження $\vec Q$ означає незмінність швидкості кожної точки;
• застосовувати закон збереження без перевірки зовнішнього імпульсу.