Теорема про зміну кінетичного моменту механічної системи

Кінетичний момент механічної системи (момент кількості руху системи) характеризує обертальну складову її руху відносно вибраного центра або осі.

Кінетичний момент відносно центра

Відносно нерухомого центра $O$:

$$\vec K_O=\sum_{i=1}^{n}\vec r_i\times m_i\vec v_i.$$

Відносно осі використовують проєкцію цього вектора на відповідну вісь.

Теорема про зміну кінетичного моменту

Для нерухомого центра $O$ в інерціальній системі:

$$\frac{d\vec K_O}{dt}=\sum\vec M_O^{e}.$$

Похідна кінетичного моменту системи за часом дорівнює головному моменту зовнішніх сил відносно того самого центра.

Чому внутрішні сили не входять

Для центральних парних внутрішніх сил моменти сил взаємодії взаємно компенсуються. Тому в рівнянні для всієї системи залишається лише сумарний момент зовнішніх сил.

Теорема відносно осі

Проєктуючи векторне рівняння на нерухому вісь $z$, отримуємо:

$$\frac{dK_z}{dt}=\sum M_z^{e}.$$

Закон збереження

Якщо $\sum\vec M_O^{e}=0$, то $\vec K_O=const$. Якщо нульовою є лише сума моментів зовнішніх сил відносно певної осі, зберігається відповідна складова кінетичного моменту.

Обертання твердого тіла

Для твердого тіла, що обертається навколо нерухомої головної осі $z$, маємо $K_z=I_z\omega$. Тоді рівняння набуває форми $I_z\dot\omega=\sum M_z^{e}$ за сталого $I_z$.

Приклад

Якщо тверде тіло має $I_z=2$ кг·м² і обертається з $\omega=5$ рад/с, то $K_z=10$ кг·м²/с. За нульового зовнішнього моменту відносно осі це значення зберігається.

Типові помилки

• плутати кінетичний момент із моментом сили;
• брати моменти сил відносно одного центра, а кінетичний момент — відносно іншого;
• застосовувати $K_z=I_z\omega$ без перевірки умов руху та вибору осі;
• стверджувати збереження всього вектора, якщо нульовою є лише одна проєкція зовнішнього моменту.