Кінематика точки. Способи задання руху

Кінематика точки описує рух матеріальної точки без аналізу сил, що його спричиняють. Основне завдання — встановити положення точки як функцію часу, її траєкторію, швидкість і прискорення відносно вибраної системи відліку.

Система відліку та закон руху

Для опису руху задають тіло відліку, пов’язану з ним систему координат і спосіб вимірювання часу. Закон руху повинен дозволяти визначити положення точки в будь-який момент часу в межах розглядуваного інтервалу.

Основні способи задання руху

1. Векторний спосіб. Положення точки задають радіус-вектором $\vec r=\vec r(t)$ відносно вибраного початку відліку.
2. Координатний спосіб. У декартовій системі задають функції $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$. Разом вони є рівняннями руху точки.
3. Природний спосіб. Коли траєкторія відома, положення точки задають дуговою координатою $s=s(t)$, відлічуваною від вибраної точки траєкторії з установленим додатним напрямом.

Спосіб опису обирають так, щоб задані дані та шукані кінематичні величини використовувалися найпростіше.

Векторний спосіб

Радіус-вектор $\vec r(t)$ сполучає початок координат із рухомою точкою. Сукупність кінців $\vec r(t)$ при зміні часу утворює траєкторію. У декартовому базисі $\vec r=x\vec i+y\vec j+z\vec k$.

Координатний спосіб

Рівняння $x=x(t)$, $y=y(t)$, $z=z(t)$ називають кінематичними рівняннями руху. Щоб отримати рівняння траєкторії, параметр часу виключають із цих залежностей. Для плоского руху достатньо двох координат.

Природний спосіб

Якщо форма траєкторії вже відома, вибирають початок відліку дугової координати $O_1$, додатний напрям уздовж кривої та задають закон $s=s(t)$. Знак $s$ характеризує положення відносно початку відліку, а знак $\dot s$ — напрям руху вздовж траєкторії.

Траєкторія, шлях і переміщення

Траєкторія — геометричне місце послідовних положень точки. Шлях — довжина пройденої ділянки траєкторії, тому він не зменшується під час руху. Переміщення — вектор від початкового положення до кінцевого; його модуль загалом не дорівнює пройденому шляху.

Приклад

Нехай плоский рух задано $x=2t$, $y=t^2$ у метрах. Виключаючи час із $t=x/2$, одержуємо траєкторію $y=x^2/4$ — параболу. Параметричні рівняння одночасно задають і положення точки на цій траєкторії в кожний момент.

Типові помилки

• плутати закон руху з рівнянням траєкторії;
• вважати шлях модулем переміщення для довільного криволінійного руху;
• виключати час, втрачаючи інформацію про напрям або допустимий інтервал руху;
• застосовувати природний спосіб без заданої траєкторії та напряму відліку $s$.