Сферичний рух твердого тіла

Сферичний рух твердого тіла — просторовий рух, за якого одна точка тіла залишається нерухомою. Усі інші точки рухаються по поверхнях сфер із центром у цій нерухомій точці.

Геометрія сферичного руху

Нехай точка $O$ тіла нерухома. Відстань $OP$ до будь-якої точки $P$ тіла стала, тому траєкторія $P$ лежить на сфері радіуса $OP$. На відміну від обертання навколо нерухомої осі, напрям миттєвої осі при сферичному русі загалом змінюється з часом.

Миттєва кутова швидкість

Для твердого тіла з нерухомою точкою $O$ швидкість довільної точки $P$ у даний момент визначається через миттєву кутову швидкість:

$$\vec v_P=\vec\omega\times\vec r_{P/O}.$$

Точки, що лежать на миттєвій осі обертання, мають у цей момент нульову швидкість. Для інших точок швидкість перпендикулярна до площини, утвореної $\vec\omega$ і $\vec r_{P/O}$.

Вектор $\vec\omega$ характеризує миттєве обертання тіла. Пряма через нерухому точку $O$, напрямлена вздовж $\vec\omega$, є миттєвою віссю обертання.

Швидкості точок

Модуль швидкості точки $P$ дорівнює $v_P=\omega r_\perp$, де $r_\perp$ — найкоротша відстань від точки до миттєвої осі. Тому точки на самій миттєвій осі в цей момент мають нульові швидкості.

Зміна миттєвої осі

Миттєва вісь не є загалом постійною матеріальною прямою тіла. У процесі руху її положення змінюється як у тілі, так і в нерухомому просторі. Саме це відрізняє загальний сферичний рух від простого обертання навколо нерухомої осі.

Кутове прискорення

Кутове прискорення визначається як $\vec\varepsilon=d\vec\omega/dt$ у нерухомій системі відліку. Оскільки може змінюватися не лише модуль, а й напрям $\vec\omega$, вектори $\vec\varepsilon$ і $\vec\omega$ загалом не паралельні.

Приклад

Якщо в певний момент $\omega=6$ рад/с, а точка розташована на перпендикулярній відстані 0,15 м від миттєвої осі, її швидкість має модуль $v=6\cdot0{,}15=0{,}9$ м/с.

Типові помилки

• вважати миттєву вісь незмінною протягом усього сферичного руху;
• використовувати повну відстань $OP$ замість перпендикулярної відстані до миттєвої осі у формулі $v=\omega r_\perp$;
• припускати, що $\vec\varepsilon$ завжди паралельне $\vec\omega$;
• плутати сферичний рух із рухом точки по сферичній поверхні.