Умови рівноваги плоскої системи сил

Рівновага плоскої системи сил означає, що головний вектор системи та її головний момент дорівнюють нулю. Для твердого тіла на площині це дає три незалежні скалярні рівняння, за допомогою яких визначають невідомі сили та реакції в’язей.

Основна форма рівнянь рівноваги

Для довільної плоскої системи сил необхідні й достатні умови рівноваги абсолютно твердого тіла записують як:

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M_O=0.$$

Точка $O$ для рівняння моментів може бути обрана довільно. Усі проекції та моменти беруть з урахуванням прийнятих знаків.

Перші два рівняння виключають поступальну дію системи вздовж координатних осей, а третє — її обертальну дію. Якщо всі три умови виконані, тіло не має тенденції до поступального або обертального руху під дією розглянутих сил.

Вибір координатних осей

Осі $x$ і $y$ можна обирати довільно, але зручний вибір значно спрощує обчислення. Часто одну вісь спрямовують уздовж похилої поверхні, стрижня або напряму кількох відомих сил. Після вибору осей потрібно послідовно дотримуватися знаків проекцій.

Вибір точки для моментів

Точку $O$ доцільно вибирати так, щоб через неї проходили лінії дії однієї або кількох невідомих реакцій. Їх моменти відносно цієї точки тоді дорівнюють нулю, і рівняння містить менше невідомих.

Еквівалентні форми

Для довільної плоскої системи сил замість двох рівнянь проекцій і одного рівняння моментів можна використовувати інші незалежні набори рівнянь. Наприклад, можливі два рівняння моментів відносно різних точок і одне рівняння проекцій, якщо вибрані рівняння залишаються незалежними. У задачах важливо не лише мати три записи, а й уникати їх геометричної залежності.

Окремі системи сил

Для збіжної плоскої системи всі лінії дії проходять через одну точку, тому рівновага визначається двома незалежними умовами $\sum F_x=0$ і $\sum F_y=0$. Для системи паралельних сил зазвичай достатньо рівняння проекцій уздовж напряму сил та одного незалежного рівняння моментів.

Приклад

На тіло діють горизонтальні сили 8 кН праворуч і невідома сила $P$ ліворуч, а вертикальні сили 5 кН вгору і 5 кН вниз. Із $\sum F_x=0$ отримуємо $8-P=0$, звідки $P=8$ кН. Вертикальна умова вже виконується. Для повної рівноваги потрібно також перевірити $\sum M_O=0$, оскільки навіть за нульової суми сил система може створювати пару.

Алгоритм розв’язування

1. відокремити тіло або систему тіл, що розглядається;
2. показати всі активні сили та реакції в’язей;
3. обрати координатні осі й правило знаків моментів;
4. записати проекції сил;
5. обрати зручну точку для рівняння моментів;
6. скласти незалежні рівняння рівноваги та знайти невідомі;
7. перевірити знаки, одиниці й фізичний зміст результату.

Типові помилки

• пропускати одну з реакцій опори;
• плутати знак сили зі знаком її проекції;
• використовувати неправильне плече сили;
• не враховувати задані моменти пар сил;
• складати залежні рівняння замість незалежних.