Фунікулярна арка

Фунікулярна арка — це арка, вісь якої має таку форму, що для заданого навантаження вона працює на осьовий стиск без згину. Для цього навантаження лінія тиску збігається з віссю арки, а згинальний момент в ідеалізованій розрахунковій схемі дорівнює нулю. Таку вісь також називають раціональною віссю арки.

Що таке фунікулярна арка?

Згин в арці виникає тоді, коли внутрішня стискальна рівнодійна проходить із ексцентриситетом відносно осі конструкції. Фунікулярна форма усуває цей ексцентриситет для вибраної схеми навантаження. Тому в ідеалізованій моделі арка передає навантаження стиском, а не спільною дією стиску та згину.

Важливо, що фунікулярність визначається не лише геометрією, а парою «форма + навантаження». Не існує однієї форми арки, яка була б фунікулярною для всіх можливих навантажень.

Фунікулярна арка та лінія тиску

Для тришарнірної арки з опорами на одному рівні під дією вертикального навантаження згинальний момент у перерізі можна записати як

$$M(x)=M_0(x)-H\,y(x),$$

де $M_0(x)$ — згинальний момент у відповідній шарнірно опертій балці від того самого вертикального навантаження, $H$ — горизонтальний розпір, а $y(x)$ — ордината осі арки над лінією опор.

Для ідеально фунікулярної осі

$$M(x)=0,$$

тому

$$y(x)=\frac{M_0(x)}{H}.$$

Отже, форма фунікулярної арки пропорційна епюрі згинальних моментів відповідної балки для того самого навантаження.

На рисунку нижче всі чотири системи мають однаковий проліт $L=12\,\text{м}$ і однакову максимальну стрілу $f=3\,\text{м}$. Відрізняється лише навантаження. Ординати осі обчислено за формулою $y(x)=M_0(x)/H$, а горизонтальний розпір для кожного випадку підібрано з умови досягнення заданої стріли.

Одна зосереджена сила створює трикутну епюру $M_0$, тому фунікулярна вісь вироджується у два прямі стержні. Дві зосереджені сили утворюють ламану з трьох прямих ділянок. Рівномірне навантаження по горизонтальній проєкції дає параболу. Якщо до нього додати силу посередині, кожна половина осі залишається параболічною, але в точці прикладання сили виникає злам: стрибок нахилу дорівнює $\Delta y'=P/H$.

Вплив власної ваги. Показані форми отримано для заданих зовнішніх навантажень. Для кам’яної або залізобетонної арки власна вага часто становить істотну частину повного навантаження, тому абсолютно точну фунікулярну вісь слід будувати для суми зовнішнього навантаження та власної ваги. За сталої товщини арки вага на одиницю горизонтальної проєкції загалом не є рівномірною: вона зростає на крутіших ділянках приблизно пропорційно $\sqrt{1+(y')^2}$. Через це початкова парабола дещо коригується. На практиці форму уточнюють ітераційно: задають попередню геометрію, визначають її власну вагу, перебудовують лінію тиску та повторюють розрахунок.

Форма фунікулярної арки

Необхідна геометрія безпосередньо залежить від розподілу навантаження. Інша схема навантаження створює іншу епюру $M_0(x)$, а отже, потребує іншої фунікулярної кривої. Форма, що забезпечує нульовий згин для одного навантаження, за іншого навантаження загалом уже матиме згинальні моменти.

Параболічна фунікулярна арка

Якщо вертикальне навантаження рівномірно розподілене по горизонтальній проєкції прольоту $L$, відповідна фунікулярна крива є параболою. За стріли підйому $f$ у середині прольоту її вісь можна записати як

$$y(x)=\frac{4f}{L^2}x(L-x).$$

Для тришарнірної параболічної арки під таким навантаженням горизонтальний розпір дорівнює

$$H=\frac{qL^2}{8f},$$

де $q$ — інтенсивність рівномірного вертикального навантаження на одиницю горизонтальної довжини.

Фунікулярна арка і ланцюгова лінія — це те саме?

Ні. Фунікулярна описує відповідність між формою та навантаженням, тоді як ланцюгова лінія (catenary) — це конкретна математична крива. Перевернута ланцюгова лінія є фунікулярною для навантаження, що відповідає вільно підвішеному однорідному гнучкому канату під дією власної ваги.

Натомість рівномірне вертикальне навантаження, задане на одиницю горизонтальної проєкції, утворює параболічну фунікулярну форму. Тому твердження «ідеальна арка завжди має форму ланцюгової лінії» без уточнення способу розподілу навантаження є некоректним.

Фунікулярна та звичайна арка

Вісь арки може бути круговою, параболічною, у формі ланцюгової лінії або мати іншу геометрію. Сама назва геометричної кривої ще не означає, що арка є фунікулярною. Вона стає фунікулярною лише для такого навантаження, за якого лінія тиску збігається з її віссю.

Якщо лінія тиску відхиляється від осі, виникає ексцентриситет, і арка сприймає не лише поздовжню силу, а й згинальний момент.

Чому фунікулярна форма залежить від навантаження?

Умова нульового моменту містить $M_0(x)$, а ця функція визначається прикладеним навантаженням. Зміна величини, положення або розподілу навантаження змінює $M_0(x)$ і, відповідно, необхідну форму осі.

У реальній споруді арка може бути близькою до фунікулярної під постійним навантаженням, але за несиметричного тимчасового навантаження, вітру, температурних впливів або переміщення опор у ній виникатиме згин.

Приклад: горизонтальний розпір

Розглянемо тришарнірну параболічну арку з прольотом $L=20\,\text{м}$, стрілою підйому $f=5\,\text{м}$ і рівномірним вертикальним навантаженням $q=10\,\text{кН/м}$ по горизонтальній проєкції.

Тоді

$$H=\frac{qL^2}{8f}=\frac{10\times20^2}{8\times5}=100\,\text{кН}.$$

Для цієї ідеалізованої схеми параболічна вісь є фунікулярною, тому згинальний момент уздовж тришарнірної арки дорівнює нулю, а опори мають сприйняти горизонтальний розпір $100\,\text{кН}$.

Інженерне значення та обмеження

Фунікулярна робота дозволяє зменшити згин і ефективніше використовувати матеріали та конструктивні системи, що добре працюють на стиск. Проте зменшення згину в самій арці не усуває інших вимог: горизонтальний розпір необхідно передати на опори, фундаменти або затяжку.

Крім того, форма, оптимальна для одного навантаження, не обов’язково залишається фунікулярною для інших дій. Тому в реальному проєктуванні перевіряють усі суттєві сполучення навантажень і стійкість системи.

Поширені запитання

Що таке фунікулярна арка?

Це арка, вісь якої збігається з лінією тиску для заданого навантаження, завдяки чому в ідеалізованій моделі вона працює на осьовий стиск без згину.

Чому у фунікулярній арці згинальний момент дорівнює нулю?

Тому що стискальна рівнодійна проходить через вісь арки. За відсутності ексцентриситету між лінією тиску та віссю не виникає момент відносно осі.

Чи завжди фунікулярна арка має форму ланцюгової лінії?

Ні. Фунікулярна крива залежить від розподілу навантаження. Ланцюгова лінія є лише одним із можливих випадків, тоді як для рівномірного вертикального навантаження по горизонтальній проєкції отримуємо параболу.

Яка форма арки є ідеальною?

Універсальної ідеальної форми незалежно від навантаження немає. Для мінімізації згину вісь має відповідати лінії тиску для визначального навантаження або забезпечувати прийнятну роботу для сукупності розрахункових випадків.