Внутрішні зусилля в арках

У довільному перерізі плоскої арки діють три основні внутрішні силові фактори: поздовжня сила $N$, поперечна сила $Q$ і згинальний момент $M$. Особливість арки полягає в тому, що локальні напрями перерізу змінюються вздовж криволінійної осі.

Локальна система координат

У точці осі вводять дотичний напрям $t$ і нормальний напрям $n$. Нехай дотична утворює кут $\varphi$ з глобальною віссю $x$. Тоді результуючу силу відсіченої частини розкладають на складові вздовж $t$ і $n$; вони визначають $N$ та $Q$ з урахуванням прийнятої системи знаків.

Визначення моменту

Згинальний момент у перерізі знаходять з рівняння моментів для однієї частини арки. Для тришарнірної арки з опорами на одному рівні та вертикальними навантаженнями часто зручно використовувати

$$M(x)=M_0(x)-H\,y(x),$$

де $M_0$ — момент у відповідній балці, $H$ — горизонтальний розпір, $y$ — ордината осі арки.

Поздовжня і поперечна сили

Після знаходження глобальних горизонтальної та вертикальної складових результуючої сили їх проектують на дотичну та нормаль. Саме тому одна й та сама глобальна сила в різних перерізах дає різні внески в $N$ і $Q$.

Фізичний зміст

Раціонально сформована арка передає значну частину навантаження поздовжнім стиском. Чим ближча форма осі до фунікулярної для заданого навантаження, тим меншими стають $M$ і, як правило, згинальні деформації.

Перевірки

У шарнірах має виконуватися $M=0$. Для симетричної геометрії та симетричного навантаження епюри повинні мати відповідну симетрію або антисиметрію. Внутрішні сили в перерізі мають забезпечувати рівновагу будь-якої відсіченої частини арки.