Граничні умови, переміщення та відновлення зусиль

Після формування глобальної системи необхідно врахувати граничні умови, знайти невідомі вузлові переміщення, а потім відновити реакції та внутрішні зусилля в елементах.

Вільні та закріплені ступені вільності

Вектор переміщень поділяють на невідомі вільні координати $\{d_f\}$ та задані координати $\{d_c\}$. Для нерухомої опори відповідні компоненти $d_c$ дорівнюють нулю; при заданому переміщенні опори вони можуть бути ненульовими.

Розбиття системи

Після перестановки координат глобальне рівняння можна подати блоками:

$$\begin{bmatrix}K_{ff}&K_{fc}\\K_{cf}&K_{cc}\end{bmatrix}\begin{Bmatrix}d_f\\d_c\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}F_f\\F_c\end{Bmatrix}.$$

Рівняння для вільних координат дає

$$K_{ff}d_f=F_f-K_{fc}d_c.$$

Опорні реакції

Після визначення всіх переміщень реакції у закріплених координатах знаходять із повного рівняння рівноваги. Це надійніше, ніж намагатися включати невідомі реакції до вектора заданих зовнішніх навантажень до розв’язання.

Переміщення елемента

Для елемента вибирають його компоненти з глобального вектора $\{d\}$, отримуючи $\{d_e\}$, і переводять їх у локальну систему:

$$\{u_e\}=[T]\{d_e\}.$$

Кінцеві сили

Якщо елемент має еквівалентні вузлові дії або початкові деформації, їх необхідно врахувати у прийнятій формі елементного рівняння. У найпростішому ненавантаженому елементі

$$\{q_e\}=[k_e]\{u_e\}.$$

Компоненти $\{q_e\}$ дають кінцеві поздовжні й поперечні сили та моменти.

Перевірка результатів

Перевіряють глобальну рівновагу зовнішніх навантажень і реакцій, рівновагу вузлів, виконання заданих переміщень, симетрію матриці для відповідної моделі та узгодженість знаків локальних кінцевих зусиль.