Матричні методи розрахунку

Матричні методи розрахунку систематизують метод переміщень і дають універсальний алгоритм для розрахунку стержневих систем з великою кількістю елементів та ступенів вільності. Основною формою є матричний метод жорсткості.

Основне рівняння

Після нумерації вузлових ступенів вільності рівняння рівноваги конструкції записують як

$$[K]\{d\}=\{F\},$$

де $[K]$ — глобальна матриця жорсткості, $\{d\}$ — вектор вузлових переміщень, $\{F\}$ — вектор еквівалентних вузлових навантажень.

Елементний підхід

Конструкцію поділяють на стержневі елементи. Для кожного елемента спочатку задають локальні ступені вільності та матрицю жорсткості $[k]$. Вона пов’язує локальні вузлові переміщення з відповідними кінцевими силами.

Перетворення координат

Оскільки елементи можуть мати різну орієнтацію, їх локальні матриці переводять у спільну глобальну систему координат. Після цього внески всіх елементів асамблюють у єдину матрицю $[K]$.

Граничні умови

Закріплення задають відомі вузлові переміщення, найчастіше нульові. Після врахування цих умов розв’язують систему щодо невідомих переміщень, а потім визначають опорні реакції.

Відновлення зусиль

Глобальні вузлові переміщення кожного елемента повертають у його локальну систему. За локальними співвідношеннями жорсткості знаходять кінцеві сили та моменти, з яких будують епюри внутрішніх зусиль.

Зв’язок із МСЕ

Для стержневих конструкцій матричний метод жорсткості є природною основою методу скінченних елементів: модель складається з елементів, кожен має власні матриці та ступені вільності, а глобальна задача формується їх асамблюванням.