Локальна матриця жорсткості стержневого елемента

Локальна матриця жорсткості описує механічну поведінку окремого стержневого елемента у системі координат, пов’язаній з його віссю. Вона встановлює лінійний зв’язок між вузловими переміщеннями та кінцевими силами.

Основне співвідношення

Для елемента без урахування початкових деформацій і розподіленого навантаження:

$$\{q\}=[k]\{u\},$$

де $\{u\}$ — вектор локальних вузлових переміщень, $\{q\}$ — вектор локальних кінцевих сил, $[k]$ — локальна матриця жорсткості.

Фермовий стержень

Для двовузлового стержня, що працює лише на осьову деформацію, локальними ступенями вільності є поздовжні переміщення кінців. Матриця має вигляд

$$[k]=\frac{EA}{L}\begin{bmatrix}1&-1\\-1&1\end{bmatrix}.$$

Множник $EA/L$ є осьовою жорсткістю елемента щодо відносного переміщення його кінців.

Балковий елемент

Для плоского елемента згину типові локальні координати — поперечні переміщення та кути повороту обох кінців. Коефіцієнти його матриці містять комбінації $EI/L^3$, $EI/L^2$ та $EI/L$, що відображають опір згину.

Плоский рамний елемент

Рамний елемент поєднує осьову і згинальну роботу. У кожному вузлі зазвичай використовують три локальні ступені вільності: поздовжнє переміщення, поперечне переміщення та поворот. Тому повна локальна матриця має розмір $6\times6$.

Властивості

Для лінійно-пружного консервативного елемента матриця $[k]$ симетрична. До накладання достатніх граничних умов вона може бути виродженою, оскільки переміщення елемента як абсолютно твердого тіла не створюють деформації та внутрішніх сил.