Перетворення координат і глобальна матриця жорсткості

Кожний стержневий елемент зручно описувати у власній локальній системі координат, але рівняння всієї конструкції повинні бути записані в одній глобальній системі. Для цього застосовують матрицю перетворення координат.

Локальні та глобальні переміщення

Нехай $\{d_e\}$ — вектор вузлових переміщень елемента у глобальних координатах, а $\{u_e\}$ — той самий стан у локальних координатах. При відповідному визначенні матриці перетворення $[T]$:

$$\{u_e\}=[T]\{d_e\}.$$

Для плоских систем елементи $[T]$ містять напрямні косинуси $c=\cos\alpha$ і $s=\sin\alpha$ осі стержня.

Матриця елемента у глобальних координатах

Підстановка перетворення в локальне співвідношення та узгоджене перетворення сил дають

$$[k_e^{(g)}]=[T]^T[k_e][T].$$

Матриця $[k_e^{(g)}]$ описує той самий фізичний елемент, але її рядки й стовпці відповідають глобальним компонентам вузлових ступенів вільності.

Чому потрібне перетворення

Два однакові стержні з однаковими $E$, $A$, $I$ і $L$, але з різними кутами нахилу, мають однакову локальну матрицю та різні глобальні матриці. Саме перетворення враховує орієнтацію елемента в конструкції.

Перетворення сил

Після розв’язання глобальної задачі переміщення кінців конкретного елемента вибирають із глобального вектора й переводять у локальні координати. Це дозволяє визначати поздовжні сили, поперечні сили та кінцеві моменти у природній для стержня системі.

Перевірки

Перетворення не повинно змінювати фізичну енергію деформації елемента. Для ортогонального поворотного перетворення зберігаються також симетрія матриці жорсткості та узгодженість роботи вузлових сил.