Канонічні рівняння методу сил

Канонічні рівняння методу сил виражають умови сумісності переміщень у напрямках усунутих зайвих в’язей. Для системи зі ступенем статичної невизначуваності $n$ утворюється система з $n$ лінійних рівнянь.

Загальний вигляд

Якщо переміщення в напрямі кожної усунутої в’язі у вихідній системі дорівнює нулю, то

$$\delta_{i1}X_1+\delta_{i2}X_2+\cdots+\delta_{in}X_n+\Delta_{iP}=0,\qquad i=1,\ldots,n.$$

У матричній формі:

$$[\delta]\{X\}=-\{\Delta_P\}.$$

Фізичний зміст коефіцієнтів

$\delta_{ij}$ — переміщення в напрямі невідомої $X_i$, спричинене одиничним значенням $X_j$ в основній системі. $\Delta_{iP}$ — переміщення в тому самому напрямі від заданого навантаження.

Обчислення коефіцієнтів

Для згинальних систем зі сталою або кусочно-сталою жорсткістю типово використовують

$$\delta_{ij}=\sum\int\frac{M_iM_j}{EI}\,dx,$$

а вантажний член

$$\Delta_{iP}=\sum\int\frac{M_iM_P}{EI}\,dx.$$

За необхідності додають внески поздовжньої сили, кручення та зсуву.

Властивості матриці

Для лінійно-пружної консервативної системи виконується теорема взаємності: $\delta_{ij}=\delta_{ji}$. Діагональні коефіцієнти $\delta_{ii}$ для незалежних ненульових одиничних станів додатні.

Після розв’язання

Знайдені $X_j$ підставляють у суперпозицію внутрішніх зусиль, наприклад $M=M_P+\sum X_jM_j$. Після цього перевіряють рівновагу та нульові або задані переміщення в напрямках усунутих в’язей.