Робота сил та потенціальна енергія деформації

Робота сил і потенціальна енергія деформації утворюють енергетичну основу багатьох методів будівельної механіки. Для пружної системи робота зовнішніх сил накопичується у вигляді енергії деформації стержнів.

Робота поступово прикладеної сили

Якщо сила $P$ зростає від нуля до кінцевого значення, а система є лінійно-пружною і кінцеве переміщення в напрямі сили дорівнює $\delta$, то

$$A=\frac12 P\delta.$$

Множник $1/2$ виникає тому, що під час поступового навантаження сила зростає лінійно разом із переміщенням.

Енергія деформації стержня

Для пружного стержня енергію можна виразити через внутрішні силові фактори. Типові складові мають вигляд

$$U_N=\int\frac{N^2}{2EA}\,dx,\qquad U_M=\int\frac{M^2}{2EI}\,dx.$$

За потреби модель доповнюють енергією від кручення та поперечного зсуву.

Баланс енергії

За квазістатичного пружного навантаження без втрат робота зовнішніх сил дорівнює накопиченій потенціальній енергії деформації. Це дозволяє пов’язати навантаження з переміщеннями без прямого інтегрування диференціального рівняння пружної лінії.

Взаємна робота

У лінійно-пружних системах принцип взаємності дає основу для методу одиничного навантаження: реальний напружений стан поєднують із допоміжним одиничним станом, а добутки відповідних внутрішніх сил інтегрують по довжині елементів.

Практичне значення

Енергетичні співвідношення використовують для визначення прогинів і кутів повороту, коефіцієнтів канонічних рівнянь методу сил та перевірки числових розрахунків.