Навчальна тема
Переміщення в стержневих системах
Визначення переміщень у балках, рамах і фермах: робота сил, енергія деформації, інтеграл Мора, одиничне навантаження та правило Верещагіна.
Переміщення в стержневих системах — це лінійні зміщення точок і кути повороту перерізів, що виникають унаслідок деформації стержнів. Їх визначення потрібне для перевірки жорсткості, розкриття статичної невизначуваності та побудови деформованої схеми конструкції.
Види переміщень
Лінійне переміщення задають для конкретної точки й напряму, а кутове — для конкретного перерізу та напряму повороту. Знак результату визначають відносно наперед обраного додатного напряму.
Енергетичний підхід
Для лінійно-пружної системи робота зовнішніх сил пов’язана з потенціальною енергією деформації. Цей зв’язок дозволяє знаходити переміщення через внутрішні силові фактори $N$, $M$, $Q$ і крутний момент та відповідні жорсткості стержнів.
Метод одиничного навантаження
Переміщення в заданій точці та напрямку можна визначити методом одиничного навантаження. Для згину балки або рами:
$$\delta=\int_0^L\frac{M(x)\,\bar M(x)}{EI}\,dx,$$
де M(x) — згинальний момент від реального навантаження, а $\bar M(x)$ — момент від одиничної сили, прикладеної в точці й напрямку шуканого лінійного переміщення.
Для шуканого кута повороту прикладають одиничний момент.
У загальному стержневому випадку внески можна сумувати:
$$\delta=\int\frac{N\bar N}{EA}\,dx+\int\frac{M\bar M}{EI}\,dx+\int\frac{T\bar T}{GJ_p}\,dx+\int\frac{Q\bar Q}{\kappa GA}\,dx,$$
якщо відповідні деформації враховуються прийнятою моделлю.
У балках і рамах часто домінує внесок згину. Для ферм за ідеалізації шарнірних вузлів основним є внесок поздовжніх деформацій стержнів.
Графоаналітичне обчислення
Для ділянки зі сталою жорсткістю EI інтеграл Мора $\int M\bar M/(EI)\,dx$ можна обчислювати графоаналітично, якщо одна з перемножуваних епюр на ділянці є лінійною.
- Побудуйте епюру M від реального навантаження та одиничну епюру $\bar M$ для шуканого переміщення.
- Розбийте балки або раму на ділянки, де EI стала, а епюри мають зручну геометричну форму.
- Для кожної простої частини однієї епюри визначте її алгебраїчну площу $\Omega$ та координату центра ваги.
- На іншій, лінійній на цій ділянці епюрі знайдіть ординату $\bar M_c$ під центром ваги першої площі.
- Обчисліть внесок $\Delta=\Omega\bar M_c/(EI)$ з урахуванням знаків епюр.
- Підсумуйте внески всіх ділянок. Додатний результат відповідає напряму введеного одиничного навантаження, від’ємний — протилежному.
Якщо жодна з епюр на ділянці не є лінійною, просте правило «площа × ордината під центром ваги» загалом не застосовують без додаткового розкладання або прямого інтегрування.
Інші причини переміщень
Переміщення можуть виникати не лише від механічного навантаження. Температурна зміна довжини, температурний градієнт, задані переміщення та осідання опор також створюють деформації й у статично невизначуваних системах можуть спричиняти додаткові внутрішні зусилля.
Перевірка результату
Потрібно перевіряти розмірність, знак, напрям одиничного навантаження, узгодженість епюр та жорсткостей на кожній ділянці. Якщо результат від’ємний, фактичне переміщення спрямоване протилежно до прийнятого одиничного впливу.
Про цю тему
Енергетичні методи визначення лінійних і кутових переміщень у стержневих системах: робота зовнішніх і внутрішніх сил, потенціальна енергія деформації, інтеграл Мора, метод одиничного навантаження та графоаналітичні прийоми.