Навчальна тема
Інтеграл Мора і метод одиничного навантаження
Як знайти прогин або кут повороту балки, рами чи ферми за інтегралом Мора та методом одиничного навантаження — алгоритм і основна формула.
Інтеграл Мора та метод одиничного навантаження дозволяють визначити лінійне переміщення або кут повороту через внутрішні зусилля двох станів системи: реального та допоміжного одиничного.
Переміщення в заданій точці та напрямку можна визначити методом одиничного навантаження. Для згину балки або рами:
$$\delta=\int_0^L\frac{M(x)\,\bar M(x)}{EI}\,dx,$$
де M(x) — згинальний момент від реального навантаження, а $\bar M(x)$ — момент від одиничної сили, прикладеної в точці й напрямку шуканого лінійного переміщення.
Для шуканого кута повороту прикладають одиничний момент.
У загальному стержневому випадку внески можна сумувати:
$$\delta=\int\frac{N\bar N}{EA}\,dx+\int\frac{M\bar M}{EI}\,dx+\int\frac{T\bar T}{GJ_p}\,dx+\int\frac{Q\bar Q}{\kappa GA}\,dx,$$
якщо відповідні деформації враховуються прийнятою моделлю.
Алгоритм розрахунку
- Визначте точку, напрям і тип шуканого переміщення.
- Побудуйте внутрішні зусилля від реального навантаження.
- Створіть одиничний стан: для лінійного переміщення прикладіть одиничну силу, для кута повороту — одиничний момент.
- Побудуйте відповідні одиничні епюри.
- На кожній ділянці перемножте реальні й одиничні внутрішні фактори та поділіть на відповідну жорсткість.
- Проінтегруйте та підсумуйте внески всіх елементів.
Балки та рами
Для тонких балок і рам часто достатньо згинальної складової $\int M\bar M/(EI)\,dx$. Якщо осьові, зсувні або крутильні деформації істотні, їхні внески потрібно додати.
Ферми
Для ідеальної ферми з постійними на кожному стержні $N_i$, $\bar N_i$, $E_i$ та $A_i$ інтеграл переходить у суму
$$\delta=\sum_i\frac{N_i\bar N_i L_i}{E_iA_i}.$$
Знак результату
Додатне значення означає переміщення в напрямі одиничної сили або моменту. Від’ємне — фактичний напрям протилежний прийнятому в одиничному стані.
Про цю тему
Тема пояснює метод одиничного навантаження та інтеграл Мора для визначення переміщень у балках, рамах і фермах, включно з побудовою допоміжного одиничного стану.