Диференціальні залежності між навантаженням, Q і M

Між інтенсивністю розподіленого навантаження $q(x)$, поперечною силою $Q(x)$ і згинальним моментом $M(x)$ існують диференціальні залежності. Вони дозволяють передбачати форму епюр і перевіряти результати, не повторюючи повний розрахунок кожного перерізу.

Основні співвідношення

За однієї з поширених систем знаків:

$$\frac{dQ}{dx}=-q(x),\qquad \frac{dM}{dx}=Q(x).$$

Якщо на сайті або в конкретному курсі прийнята інша система знаків для $q$ чи $Q$, знак першого співвідношення може змінитися; геометричний зміст залежностей залишається тим самим.

Геометричний зміст

Поперечна сила визначає нахил епюри $M$, а розподілене навантаження — зміну $Q$. Якщо $q=0$, поперечна сила стала, а момент змінюється лінійно. Якщо $q$ стала, $Q$ змінюється лінійно, а $M$ — за квадратичним законом.

Інтегральна форма

На інтервалі від $x_1$ до $x_2$ зміна поперечної сили пов’язана з площею епюри навантаження, а зміна моменту — з площею епюри $Q$:

$$Q(x_2)-Q(x_1)=-\int_{x_1}^{x_2}q(x)\,dx,$$

$$M(x_2)-M(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}Q(x)\,dx.$$

Практична перевірка

Нулі $Q$ відповідають стаціонарним точкам $M$ на гладких ділянках. Знак $Q$ визначає напрям зміни моменту, а знак $q$ — напрям зміни поперечної сили. Ці ознаки дають змогу швидко знаходити суперечності в побудованих епюрах.