Навчальна тема
Статично визначувані рами
Розрахунок статично визначуваних плоских рам: реакції опор, внутрішні зусилля, жорсткі вузли, шарніри та епюри N, Q, M.
Розрахунок рам полягає у визначенні реакцій опор та внутрішніх зусиль, що виникають у стрижнях рамної системи під дією навантаження. На відміну від ідеалізованої ферми, стрижень рами зазвичай сприймає не лише поздовжню силу, а й поперечну силу та згинальний момент. Нижче розглянуто практичний підхід до аналізу плоских рам із головним акцентом на статично визначувані системи.
Що таке рама?
Рама — це стрижнева система, елементи якої з'єднані у вузлах. Жорсткий вузол передає між стрижнями сили та момент, тому згин є важливою складовою роботи рами. Внутрішній шарнір, навпаки, не передає згинальний момент і може бути використаний для поділу системи на частини під час складання рівнянь рівноваги.
Для плоскої рами в поперечному перерізі стрижня зазвичай визначають:
- $N$ — поздовжню силу;
- $Q$ — поперечну силу;
- $M$ — згинальний момент.
Статично визначувана рама
У статично визначуваній плоскій рамі реакції та внутрішні зусилля можна знайти лише з рівнянь рівноваги. Для всієї системи використовують:
$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0.$$
Після визначення зовнішніх реакцій рівняння рівноваги застосовують до окремих стрижнів або виділених частин рами. Зусилля, якими два з'єднані стрижні діють один на одного у спільному вузлі, мають однакові модулі та протилежні напрями.
Алгоритм розрахунку рами
- Складіть розрахункову схему. Визначте стрижні, жорсткі вузли, внутрішні шарніри, опори, розміри та зовнішні навантаження.
- Побудуйте схему вільного тіла всієї рами. Замініть опори відповідними реакціями.
- Визначте реакції опор. Використайте рівняння рівноваги всієї системи; за наявності внутрішніх шарнірів використовуйте також умови рівноваги окремих частин.
- Розділіть раму на стрижні або зручні частини. Для кожної частини покажіть вузлові сили та моменти.
- Визначте $N$, $Q$ і $M$. Застосуйте метод перерізів або рівновагу окремого стрижня та дотримуйтеся однієї системи знаків.
- Побудуйте епюри внутрішніх зусиль. Покажіть розподіл поздовжньої сили, поперечної сили та згинального моменту вздовж стрижнів.
- Перевірте результат. Переконайтеся у виконанні рівноваги всієї рами й кожного виділеного елемента, а також у взаємній рівновазі зусиль у вузлах.
Епюри N, Q і M у рамах
Епюри будують уздовж локальної осі кожного стрижня. Це особливо важливо у вузлах повороту рами: глобальні горизонтальний і вертикальний напрями мають різний зміст відносно локальної поздовжньої та поперечної осей різних стрижнів.
Якщо на ділянці немає розподіленого поздовжнього навантаження, $N$ між зосередженими поздовжніми силами є сталою. Характер зміни $Q$ визначається поперечним навантаженням, а епюра $M$ пов'язана з епюрою поперечної сили звичайними диференціальними залежностями згину. Зосереджені сили спричиняють стрибки відповідних силових факторів, а прикладена пара сил — стрибок епюри згинального моменту.
Жорсткі вузли та внутрішні шарніри
Жорсткий вузол не означає, що згинальний момент у ньому дорівнює нулю. Такий вузол передає між стрижнями кінцеві сили та моменти. В ідеальному внутрішньому шарнірі, навпаки, $M=0$, але шарнір може передавати складові сили. На схемах вільного тіла двох частин рами ці сили показують у протилежних напрямах.
Типові помилки при розрахунку рам
- помилково вважати кожен вузол шарніром і прирівнювати кінцеві моменти до нуля;
- обмежуватися рівновагою всієї рами, коли для визначення внутрішніх зусиль потрібна рівновага окремих стрижнів;
- змішувати глобальні осі $x$–$y$ з локальними поздовжнім і поперечним напрямами стрижня;
- змінювати прийняту систему знаків для $N$, $Q$ або $M$ під час розрахунку;
- забувати умову $M=0$ у внутрішньому шарнірі;
- будувати епюри, кінцеві значення яких не відповідають знайденим вузловим зусиллям.
Статично визначувані та невизначувані рами
Для статично визначуваної рами достатньо рівнянь рівноваги. У статично невизначуваній рамі невідомих реакцій або внутрішніх зусиль більше, тому додатково використовують умови сумісності переміщень і жорсткісні характеристики елементів. До поширених підходів належать метод сил, метод переміщень та матричний метод жорсткості. Детальний розгляд цих методів виходить за межі цієї оглядової теми, але правильна рівновага системи та окремих стрижнів залишається їх основою.
Переміщення в рамах
Після визначення внутрішніх зусиль переміщення та кути повороту можна знаходити енергетичними методами. Зокрема, для згину рами методом одиничного навантаження використовують інтеграл Мора:
Переміщення в заданій точці та напрямку можна визначити методом одиничного навантаження. Для згину балки або рами:
$$\delta=\int_0^L\frac{M(x)\,\bar M(x)}{EI}\,dx,$$
де M(x) — згинальний момент від реального навантаження, а $\bar M(x)$ — момент від одиничної сили, прикладеної в точці й напрямку шуканого лінійного переміщення.
Для шуканого кута повороту прикладають одиничний момент.
У загальному стержневому випадку внески можна сумувати:
$$\delta=\int\frac{N\bar N}{EA}\,dx+\int\frac{M\bar M}{EI}\,dx+\int\frac{T\bar T}{GJ_p}\,dx+\int\frac{Q\bar Q}{\kappa GA}\,dx,$$
якщо відповідні деформації враховуються прийнятою моделлю.
Перевірка розрахунку
Правильно виконаний розрахунок рами повинен задовольняти рівновагу всієї системи, рівновагу кожного окремого стрижня або виділеної частини, взаємну рівновагу кінцевих зусиль у вузлах, нульовий момент в ідеальних внутрішніх шарнірах і відповідність форми епюр прикладеним навантаженням. Такі перевірки допомагають знайти помилки у знаках ще до використання результатів у подальшому розрахунку міцності або жорсткості.
Про цю тему
Розрахунок рам охоплює визначення реакцій опор і внутрішніх зусиль у стрижнях рамної системи. Матеріал зосереджений на статично визначуваних плоских рамах: рівновазі всієї системи та окремих стрижнів, жорстких вузлах і внутрішніх шарнірах, побудові епюр N, Q, M, типових помилках і перевірках результатів.