Статично визначувані ферми

Ферма — це стрижнева система, у якій прямолінійні стержні з'єднані у вузлах і за прийнятої ідеалізації працюють переважно на осьовий розтяг або стиск. Розрахунок плоскої ферми полягає у визначенні реакцій опор та поздовжніх сил у її стержнях.

Розрахункова модель ідеальної ферми

Класичний статичний розрахунок ґрунтується на кількох припущеннях:

• вузли вважають ідеальними шарнірами;
• зовнішні сили та реакції прикладені у вузлах;
• осі стержнів проходять через центри вузлів;
• власну вагу стержнів або нехтують, або приводять до вузлових сил;
• кожний стержень є двосиловим елементом і передає лише поздовжню силу $N$.

За цих умов у стержнях ідеальної ферми немає згинальних моментів і поперечних сил. У реальній конструкції жорсткість вузлів, позавузлове навантаження та ексцентриситети можуть створювати додаткові згинальні ефекти.

Просторова будова ферми

Інтерактивна 3D-модель нижче допомагає розглянути вузли, поздовжні та діагональні стержні, просторові в’язі, опори й вузлові навантаження. Її можна обертати, щоб простежити, як триангуляція працює не лише в одній площині.

Статична визначуваність плоскої ферми

Для простої плоскої ферми з $m$ стержнями, $j$ вузлами та $r$ зовнішніми реакціями необхідну умову статичної визначуваності записують як:

$$m+r=2j.$$

Для звичайної ферми з трьома незалежними реакціями це дає $m=2j-3$. Ця рівність сама по собі не гарантує геометричної незмінності: невдала конфігурація стержнів може утворювати механізм навіть за правильного підрахунку.

Загальний порядок розрахунку

1. Перевірте схему. Визначте вузли, стержні, опори, геометрію та зовнішні навантаження.
2. Знайдіть реакції опор. Розгляньте всю ферму як одне тверде тіло та використайте $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$, $\sum M=0$.
3. Знайдіть нульові стержні. Це часто істотно скорочує подальші обчислення.
4. Виберіть метод. Для послідовного визначення багатьох стержневих сил зручний метод вузлів; для кількох конкретних стержнів — метод перерізів.
5. Дотримуйтеся одного правила знаків. Зручно спочатку вважати невідому силу розтягувальною; від'ємний результат тоді означає стиск.
6. Перевірте рівновагу. Для знайдених сил повинна виконуватися рівновага вузлів і всієї ферми.

Метод вирізання вузлів

У методі вузлів послідовно виділяють окремі шарнірні вузли. Оскільки всі сили у вузлі є збіжними, для плоскої задачі доступні два незалежні рівняння:

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0.$$

Тому розрахунок зазвичай починають із вузла, де після визначення опорних реакцій є не більше двох невідомих стержневих сил. Після їх знаходження переходять до сусіднього вузла, у якому кількість невідомих зменшилася.

Силу невідомого стержня зручно спрямовувати від вузла, тобто припускати розтяг. Якщо обчислене $N>0$, припущення підтверджується; якщо $N<0$, стержень фактично стиснутий.

Метод наскрізних перерізів

Метод перерізів, або метод Риттера, дозволяє визначити сили в окремих стержнях без послідовного розрахунку всієї ферми. Уявним перерізом розсікають ферму через потрібні стержні, відкидають одну частину і складають рівняння рівноваги для іншої:

$$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0.$$

У плоскій статично визначуваній фермі найзручніше проводити переріз не більш ніж через три стержні з невідомими силами. Якщо лінії дії двох із них перетинаються в одній точці, рівняння моментів відносно цієї точки одразу виключає дві невідомі та дозволяє знайти силу в третьому стержні.

Нульові стержні

Нульові стержні можна часто розпізнати без обчислень:

• якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два неколінеарні стержні, сили в обох дорівнюють нулю;
• якщо в ненавантаженому вузлі сходяться три стержні й два з них колінеарні, сила в третьому, неколінеарному стержні дорівнює нулю.

Нульовий стержень не обов'язково є зайвим: він може забезпечувати геометричну незмінність, сприймати навантаження в іншій розрахунковій ситуації або стабілізувати конструкцію.

Метод вузлів чи метод перерізів?

Метод вузлів доцільний, коли потрібні сили в більшості стержнів. Метод перерізів ефективніший, коли треба знайти сили лише в кількох стержнях, особливо розташованих далеко від опор. У практичному розрахунку обидва методи часто поєднують.

Типові помилки

• прикладати розподілене навантаження безпосередньо до ідеального стержня замість приведення його до вузлових сил;
• починати метод вузлів із вузла, де більше двох невідомих;
• плутати знак сили зі способом її початкового зображення на схемі;
• не враховувати геометрію похилих стержнів при розкладанні сил на складові;
• проводити переріз через надто багато невідомих стержнів;
• вважати умову $m+r=2j$ достатнім доказом геометричної незмінності.

Перевірка результату

Після розрахунку корисно перевірити рівновагу одного або кількох вузлів, які не використовувалися для первинного визначення сил. Для всієї ферми мають виконуватися глобальні рівняння рівноваги, а у кожному вузлі — баланс горизонтальних і вертикальних складових. Така перевірка добре виявляє помилки у знаках, кутах і реакціях опор.