Ітераційне розв’язання нелінійних задач

Нелінійна задача зазвичай розв’язується інкрементно-ітераційно. Загальне навантаження розбивається на кроки, а всередині кожного кроку розв’язувач (solver) шукає стан, у якому зовнішні та внутрішні сили перебувають у прийнятній рівновазі.

Ідея методу Ньютона—Рафсона (Newton–Raphson)

На поточній ітерації формується дотична жорсткість (tangent stiffness). Solver обчислює поправку до переміщень за неврівноваженою силою — нев’язка (residual). Після оновлення стану знову визначаються внутрішні сили, і процес повторюється.

У спрощеному вигляді ітераційна поправка відповідає системі $$K_{T} \Delta U = R$$, де $K_{T}$ — дотична матриця жорсткості, а $R$ — нев’язка (residual). Збіжність оцінюють за нормами сил, переміщень, енергії або їх комбінацією залежно від розв’язувач (solver)-а.

Автоматичний вибір кроку (automatic крок навантаження (increment)ation)

Якщо ітерації проходять легко, розв’язувач (solver) може збільшувати наступний крок навантаження (increment). Якщо рівновагу знайти не вдається, виконується зменшення кроку (cutback). Надто часті зменшення кроку (cutback)-и — сигнал перевірити фізику моделі, контакт, матеріал, сітку та характер навантаження.