Навчальна тема
Інерційні сили
Як враховувати сили інерції в конструкціях: принцип Д’Аламбера, поступальне й обертальне прискорення, розподілене інерційне навантаження та напруження.
Коли елемент конструкції рухається з прискоренням, його маса створює інерційний ефект, який необхідно враховувати при визначенні внутрішніх зусиль і напружень. Один зі зручних способів постановки таких задач — принцип Д’Аламбера.
Принцип Д’Аламбера дає змогу формально звести задачу руху до рівнянь рівноваги, якщо до активних сил додати сили інерції:
$$\mathbf F_i=-m\mathbf a.$$
Тоді для поступального руху матеріальної точки:
$$\sum \mathbf F+\mathbf F_i=0.$$
Для обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі відповідний інерційний момент можна записати як:
$$M_i=-J\varepsilon,$$
де J — масовий момент інерції відносно осі обертання, а ε — кутове прискорення.
Сили інерції є розрахунковими величинами, спрямованими протилежно відповідним прискоренням. Після їх введення внутрішні зусилля та напруження визначають методами, аналогічними статичному розрахунку.
Поступальний рух
Для тіла масою $m$ з поступальним прискоренням $a$ модуль сили інерції дорівнює $ma$, а її напрям у розрахунковій схемі протилежний прискоренню. Якщо маса розподілена вздовж стержня, інерційне навантаження також може бути розподіленим.
Для стержня зі сталою погонною масою $m_l$ та однаковим уздовж довжини прискоренням $a$ інтенсивність інерційного навантаження:
$$q_i=m_l a.$$
Напрям $q_i$ у схемі Д’Аламбера протилежний прискоренню.
Напруження у стержні, що прискорюється
Якщо прямий однорідний стержень довжиною $L$ і площею $A$ прискорюється вздовж власної осі, поздовжня сила в перерізі повинна забезпечувати прискорення частини маси по один бік від цього перерізу. Тому $N$ змінюється вздовж довжини, а нормальне напруження визначають як $\sigma=N/A$.
Наприклад, якщо стержень із густиною $\rho$ тягнуть за один кінець і все тіло має осьове прискорення $a$, то для перерізу на відстані $x$ від вільного кінця за модулем:
$$N(x)=\rho Aax,\qquad \sigma(x)=\rho ax.$$
Найбільше напруження виникає біля кінця, через який передається сила прискорення.
Обертальний рух
При кутовому прискоренні $\varepsilon$ використовують інерційний момент $J\varepsilon$. При сталому обертанні з кутовою швидкістю $\omega$ точки тіла мають доцентрове прискорення $a_n=\omega^2r$, тому в обертових деталях виникають напруження, пов’язані з розподіленими масовими силами.
Приклад: тонке кільце
Для ідеалізованого тонкого кільця з густиною матеріалу $\rho$, що обертається з кутовою швидкістю $\omega$ і має радіус $r$, окружне напруження в простій мембранній моделі:
$$\sigma_\theta=\rho\omega^2r^2.$$
Для товстих дисків, ободів складної форми або неоднорідних деталей потрібні точніші моделі розподілу напружень.
Алгоритм
- Визначити закон руху та прискорення мас.
- Знайти зосереджені або розподілені сили інерції.
- Додати їх до розрахункової схеми за принципом Д’Аламбера.
- Визначити внутрішні силові фактори.
- Обчислити напруження та переміщення звичайними формулами опору матеріалів у межах прийнятої моделі.
Зауваження
Якщо прискорення швидко змінюється, виникають коливання або поширення хвиль деформації, квазістатичне введення сил інерції може бути недостатнім. Тоді потрібен повний динамічний аналіз.
Про цю тему
При розрахунку деталей, що рухаються з прискоренням (стержні стержневих підйомників, ободи маховиків, вали), необхідно враховувати сили інерції. У розділі застосовується принцип Д'Аламбера для зведення задач динаміки до задач статики та наведено приклади розрахунку напружень від поступального й обертального прискорення.