Навчальна тема
Робота зовнішніх сил та потенціальна енергія деформації
Формули роботи зовнішніх сил і потенціальної енергії деформації при розтягу, зсуві, крученні та згині — основа енергетичних методів.
Потенціальна енергія деформації $U$ — енергія, накопичена пружним тілом унаслідок його деформування. У лінійно-пружній системі при поступовому статичному навантаженні вона дорівнює роботі зовнішніх сил.
Для лінійно-пружної системи, яку навантажують статично від нуля до кінцевих значень сил, робота зовнішніх сил дорівнює накопиченій потенціальній енергії деформації:
$$A=U=\frac{1}{2}\sum_i P_i\delta_i+\frac{1}{2}\sum_j M_j\varphi_j.$$
Для однієї узагальненої сили P та відповідного переміщення δ:
$$U=\frac{1}{2}P\delta.$$
Множник 1/2 виникає тому, що в лінійній системі сила та відповідне переміщення зростають пропорційно від нуля до кінцевого значення.
Енергія через внутрішні силові фактори
Для лінійно-пружного стержня потенціальну енергію деформації можна визначати інтегруванням внесків внутрішніх силових факторів уздовж довжини:
$$U_N=\int_0^L\frac{N^2(x)}{2EA}\,dx,$$
$$U_M=\int_0^L\frac{M^2(x)}{2EI}\,dx,$$
$$U_T=\int_0^L\frac{T^2(x)}{2GJ_p}\,dx.$$
За потреби врахування деформацій зсуву відповідний внесок записують у формі, узгодженій із прийнятою балковою моделлю, наприклад:
$$U_Q=\int_0^L\frac{Q^2(x)}{2\kappa GA}\,dx,$$
де κ — коефіцієнт зсуву, що залежить від форми перерізу та прийнятої моделі.
У лінійній системі сумарна енергія дорівнює сумі відповідних внесків, якщо вони описуються незалежними квадратичними членами.
Для стержня, що одночасно зазнає кількох видів деформування, у межах відповідної лінійної моделі сумарну енергію отримують додаванням внесків розтягу-стиску, згину, кручення та, за потреби, поперечного зсуву.
Осьове навантаження
Для призматичного стержня зі сталою силою $N$, площею $A$ та модулем $E$:
$$U_N=\frac{N^2L}{2EA}.$$
Оскільки видовження $\Delta L=NL/(EA)$, той самий результат можна записати як $U=N\Delta L/2$.
Кручення
Для круглого призматичного вала зі сталими $T$, $G$ і $J_p$:
$$U_T=\frac{T^2L}{2GJ_p}=\frac{1}{2}T\varphi,$$
де $\varphi$ — повний кут закручування.
Згин
Для балки основний енергетичний внесок у класичній моделі часто пов’язаний зі згинальним моментом $M(x)$:
$$U_M=\int_0^L\frac{M^2(x)}{2EI}\,dx.$$
Якщо вплив поперечного зсуву істотний, до нього додають відповідний зсувний внесок.
Питома енергія
Для одновісного лінійно-пружного стану питома енергія деформації:
$$u=\frac{U}{V}=\frac{1}{2}\sigma\varepsilon=\frac{\sigma^2}{2E}.$$
При чистому зсуві:
$$u=\frac{1}{2}\tau\gamma=\frac{\tau^2}{2G}.$$
- $U$ — потенціальна енергія деформації;
- $u$ — питома потенціальна енергія деформації;
- $V$ — об’єм тіла;
- $N$ — поздовжня сила;
- $A$ — площа поперечного перерізу;
- $E$ — модуль Юнга;
- $T$ — крутний момент;
- $G$ — модуль зсуву;
- $J_p$ — полярний момент інерції;
- $\varphi$ — кут закручування;
- $M(x)$ — згинальний момент;
- $EI$ — згинальна жорсткість.
Енергія зміни об’єму і форми
Для ізотропного лінійно-пружного матеріалу повну питому енергію можна розділити на об’ємну та девіаторну складові. Енергія зміни форми пов’язана з різницями головних напружень і лежить в основі критерію Губера–Мізеса–Генкі.
Для пластичних ізотропних матеріалів при складному напруженому стані поширені критерії Треска та Губера–Мізеса–Генкі.
Треска:
$$\sigma_{\mathrm{eq,T}}=\max\left(|\sigma_1-\sigma_2|,|\sigma_2-\sigma_3|,|\sigma_3-\sigma_1|\right).$$
Губера–Мізеса–Генкі:
$$\sigma_{\mathrm{eq,VM}}=\sqrt{\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}}.$$
- $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ — головні напруження;
- $\sigma_{\mathrm{eq,T}}$ — еквівалентне напруження за критерієм Треска;
- $\sigma_{\mathrm{eq,VM}}$ — еквівалентне напруження за критерієм Губера–Мізеса–Генкі.
У розрахунку за допустимими напруженнями відповідне еквівалентне напруження порівнюють із допустимим значенням, узгодженим із властивостями матеріалу та прийнятою методикою.
Практичне значення
Енергетичний запис особливо корисний тоді, коли потрібно визначити переміщення через Кастіліано або метод одиничного навантаження, а також при аналізі систем, де одночасно діють кілька внутрішніх силових факторів.
Про цю тему
При деформуванні тіла зовнішні сили виконують роботу, яка накопичується у вигляді потенціальної енергії пружної деформації U. На цій сторінці наведено формули для обчислення U при усіх базових видах деформацій: розтягу-стиску, зсуву, крученні та згині. Також розглянуто питому потенціальну енергію деформації, її поділ на енергію зміни об'єму та енергію зміни форми, що є основою для енергетичної теорії міцності.